高中数学-圆的标准方程课件
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高中数学必修二4.1.2圆的一般方程课件(1)
1. 圆的一般方程和标准方程； 2. 配方法和待定系数法.
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
例3.已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 10 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5， -1）除外，B点除外
＝
1 4
( (x
x 2＋y2 ) －3 )2＋y2
＝
1 2
①
化简得： x2 ＋ y2＋2x－3＝0 ②
这就是所求的曲线方程。
y
把 ② 左边配方得(x＋1)2＋ y 2＝ 4
所以方程 ② 的曲线是以C( —1，0） M.
为圆心，2为半径的圆， 它的图形如图：
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
例3.已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 10 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5， -1）除外，B点除外
＝
1 4
( (x
x 2＋y2 ) －3 )2＋y2
＝
1 2
①
化简得： x2 ＋ y2＋2x－3＝0 ②
这就是所求的曲线方程。
y
把 ② 左边配方得(x＋1)2＋ y 2＝ 4
所以方程 ② 的曲线是以C( —1，0） M.
为圆心，2为半径的圆， 它的图形如图：
2.4.1圆的标准方程(教学课件)--高中数学人教A版(2019)选择性必修 第一册
点得
即圆心坐标为C(4,6).
又由两点间的距离公式得 故所求圆的标准方程为(x-4)²+(y-6)²=5. 分别计算点M,N,P 到圆心C 的距离：
所以点M在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.
方法 总 结
点与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较. (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x₀-a)²+(y₀-b)²>r²,点在圆外. ②(x₀-a)²+(y₀-b)²=r²,点在圆上. ③(x₀-a)²+(y₀-b)²<r²,点在圆内.
预习自测 1.圆P(x-2)²+(y+1)²=3的圆心坐标为( B ) A.(2,1) B.(2,-1) C. (-2,1) D. (-2,-1)
2.方 程(x-a)²+(y-b)²=0表示的图形是( C ) A.以(a,b) 为圆心的圆 B. 以(-a,-b) 为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b)
得
即圆心坐标为(1,1),圆的半径为
(1-1)²+[1-(-1)]²=2, 故所求圆的标准方程为(x-1)²+(y-1)²=4.
方法 总 结
确定圆的标准方程有两种方法：几何法和待定系数法. (1)几何法：它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直 接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆 的标准方程.
于y=-x 的对称点为(a,b), 则
解得
所以所求
对称圆的圆心为(0,2),半径为 √5,所以所求对称圆的方程为
x²+(y-2)²=5.
4. (多选题)以直线2x+y-4=0 与两坐标轴的一个交点为 圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( AD )
即圆心坐标为C(4,6).
又由两点间的距离公式得 故所求圆的标准方程为(x-4)²+(y-6)²=5. 分别计算点M,N,P 到圆心C 的距离：
所以点M在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.
方法 总 结
点与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较. (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x₀-a)²+(y₀-b)²>r²,点在圆外. ②(x₀-a)²+(y₀-b)²=r²,点在圆上. ③(x₀-a)²+(y₀-b)²<r²,点在圆内.
预习自测 1.圆P(x-2)²+(y+1)²=3的圆心坐标为( B ) A.(2,1) B.(2,-1) C. (-2,1) D. (-2,-1)
2.方 程(x-a)²+(y-b)²=0表示的图形是( C ) A.以(a,b) 为圆心的圆 B. 以(-a,-b) 为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b)
得
即圆心坐标为(1,1),圆的半径为
(1-1)²+[1-(-1)]²=2, 故所求圆的标准方程为(x-1)²+(y-1)²=4.
方法 总 结
确定圆的标准方程有两种方法：几何法和待定系数法. (1)几何法：它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直 接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆 的标准方程.
于y=-x 的对称点为(a,b), 则
解得
所以所求
对称圆的圆心为(0,2),半径为 √5,所以所求对称圆的方程为
x²+(y-2)²=5.
4. (多选题)以直线2x+y-4=0 与两坐标轴的一个交点为 圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( AD )
新教材高中数学第2章圆的方程：圆的标准方程pptx课件新人教A版选择性必修第一册
的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
[解]
设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8．
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
[母题探究]
如何求经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程？
[解]
当线段AB为圆的直径时，过点A、B的圆的半径最小，从而周
长最小，
即所求圆以线段AB的中点
1
1
|AB|＝
2
2
5
5
，
2
2
为圆心，
10为半径，故所求圆的标准方程为 −
5 2
知识点2 点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点
P(x0，y0)，设d＝|PC|＝
0 −
2
+ 0 − 2 ．
位置关系
d与r的大小
点P的坐标的特点
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
______________________
= 5，
(3 − )2 +(4 − )2 = 2
所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．
法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点
(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝ 5，所以外接圆的方程为(x－
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
[解]
设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8．
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
[母题探究]
如何求经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程？
[解]
当线段AB为圆的直径时，过点A、B的圆的半径最小，从而周
长最小，
即所求圆以线段AB的中点
1
1
|AB|＝
2
2
5
5
，
2
2
为圆心，
10为半径，故所求圆的标准方程为 −
5 2
知识点2 点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点
P(x0，y0)，设d＝|PC|＝
0 −
2
+ 0 − 2 ．
位置关系
d与r的大小
点P的坐标的特点
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
______________________
= 5，
(3 − )2 +(4 − )2 = 2
所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．
法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点
(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝ 5，所以外接圆的方程为(x－
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
人教版高中数学选修一2.4.1圆的标准方程 课件
解：设所求圆的方程为：(x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r2 a 2 (7 a)2 (3 b)2 r2 b 3 (2 a)2 (8 b)2 r2 r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 ( y 3)2 25
11
方法总结
圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆
的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,
从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
3
学习新知 圆的标准方程
圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
y
M(x,y) 圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程.
·r
C
设点M (x,y)为圆C上任一点，
则 |MC|= r
O
x
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r }
定点 圆心
定长 半径
(x a)2 (y b)2 r
2.4.1圆的标准方程
复习引入
1.两点间距离公式
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y 1)2
2.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是
d = Ax 0 + By 0 + C A2 + B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
3.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
2.4.1圆的标准方程(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修 第一册
研探新知
探究：点 M₀(xo,y₀) 在圆 (x- a)²+(y-b)²=r²7 件
内的条
是什么?在圆 ( x -a)²+(y-b)²=r ² 外 呢 ?
结论：点在圆上⇔ (x-a)²+(y-b)²=r²
点在圆外⇔(x-a)²+(y-b)²>r² 点在圆内 → (x-a)²+(y-b)²<r²
例题详解
1.以(3,-4)为圆心，且过点(0,0)的圆的方程 是 (x-3)²+(y+4)²=25 2.求以点A(1,5) 和B(3,-1) 为直径两端点的圆的方程。
(x-2)²+(y-2)²=10
3 . 已知△AOB的顶点坐标分别是A(4,0),B(0,3),0(0,0) ,
求△AOB 外接圆的方程。
例题详解
因此线段AB的垂直平分线/′的方程
是
即x-3y-3=0
A(1,1)
0
B(2,-2)
数形结合法 l:x 一y+1=0
例题详解
解方程组
得
所以圆心C的坐标是(-3,-2) 圆心为C的圆的半径长 r=ACl=√ 1+3)²+(1+2)²=5 所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x+3)²+(y+2)²=25
课堂训练
莲叶何田田
摩天轮
研探新知
思考：我们知道，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线， 一点和倾斜角也确定一条直线。那么如何确定一个圆呢? 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢?
分析：显然，当圆心与半径大小确定后，圆就唯一确定了。
因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径。
研探新知
人教版高中数学第四章 圆的一般方程(共13张PPT)教育课件
凡事 都 是多 棱 镜， 不 同的 角 度会
凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看 开了 ，就 会 有个 好 心情 。 让聚 散 离合 犹 如月 缺 月圆 那 样寻 常 ，让 得 失利 弊 犹如 花 开花 谢 那样 自 然， 不 计较 ， 也不 刻意 执 着； 让 生命 中 各种 的 喜怒 哀 乐， 就 像风 儿 一样 ， 来了 ， 不管 是 清风 拂 面， 还 是寒 风 凛冽 ， 都报 以 自然 的微 笑 ，坦 然 的接 受 命运 的 馈赠 ， 把是 非 曲折 ， 都当 作 是人 生 的定
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
二、内容标准 1.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定 两个圆的方程,判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 本章的重点是直线的点斜式方程、一般式方程和圆的方程.难点是坐标 法的应用.坐标法是研究解析几何的基本方法,由曲线求方程和由方程研 究曲线是解析几何的基本问题,应注意展现过程,揭示思想方法,强调学 生的感受和体验.在活动中逐步提高认识和加深理解.
直线 AB 的斜率 kAB= 2 5 =-7,……………………………………………………………………4 分 1 0
因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- 3 = 1 (x- 1 ),…………………………………………6 分 27 2
即 x-7y+10=0.同理可得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x+y+5=0.……………………………8 分
规范解答:法一 设所求圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2.…………………………………………………………4 分 因为 A(0,5),B(1,-2,),C(-3,-4)都在圆上, 所以它们的坐标都满足圆的标准方程,于是有
(0 a)2 (5 b)2 r2,
a 3,
(1
a)2
(2
3.(圆的标准方程)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D )
(A)(x-1)2+(y-1)2=1 (B)(x+1)2+(y+1)2=1
高中数学(新人教A版)选择性必修一：圆的标准方程【精品课件】
化：化简
这也是求轨迹方程的步骤！
新知探究
探究二：求圆的标准方程
课堂练习
例1 求圆心为(， − )，半径为5的圆的标准方程，并判断点
y
(−
两个点中，一个
，
(， − )，,
，−
)是否在这个圆上.
在圆上，一个点在圆内；
解:圆心为A(2，−3)
，半径为5的圆的标准方程是
那我们该如何判断点与圆
数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(－)＋(－)＝；
②列——由已知条件，建立关于，，的方程组；
③解——解方程组，求出，，；
④代——将，，代入所设方程，得所求圆的方程．
随堂练习
1.写出下列圆的标准方程:
(1)圆心为C(− 3，4)，半径是 ;
(2)圆心为C(− 8，3)，且经过点M(− 5，− 1).
解析：(1) + + − =
(2) + + − = .
随堂练习
3.已知 (4，9)， (6，3）两点，求以线段 为直径的圆的
标准方程，并判断点 (，)，(，)，(，) 在圆上、圆内，
求△AOB的外接圆的标准方程.
解析：设圆的标准方程为 − + − = (r>0)
∵ A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)都在圆上，
− + =
∴ + − =
+ =
=
，解得 = .
=
∴ △AOB外接圆的标准方Байду номын сангаас是 −
这也是求轨迹方程的步骤！
新知探究
探究二：求圆的标准方程
课堂练习
例1 求圆心为(， − )，半径为5的圆的标准方程，并判断点
y
(−
两个点中，一个
，
(， − )，,
，−
)是否在这个圆上.
在圆上，一个点在圆内；
解:圆心为A(2，−3)
，半径为5的圆的标准方程是
那我们该如何判断点与圆
数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(－)＋(－)＝；
②列——由已知条件，建立关于，，的方程组；
③解——解方程组，求出，，；
④代——将，，代入所设方程，得所求圆的方程．
随堂练习
1.写出下列圆的标准方程:
(1)圆心为C(− 3，4)，半径是 ;
(2)圆心为C(− 8，3)，且经过点M(− 5，− 1).
解析：(1) + + − =
(2) + + − = .
随堂练习
3.已知 (4，9)， (6，3）两点，求以线段 为直径的圆的
标准方程，并判断点 (，)，(，)，(，) 在圆上、圆内，
求△AOB的外接圆的标准方程.
解析：设圆的标准方程为 − + − = (r>0)
∵ A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)都在圆上，
− + =
∴ + − =
+ =
=
，解得 = .
=
∴ △AOB外接圆的标准方Байду номын сангаас是 −
北师大版高中数学必修2《圆的标准方程》参考课件
5. 圆的方程的求法: ①代入法 ②待定系数法
例1(1)已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以P1P2 为直径的圆的方程.
(x 5)2 + ( y 6)2 = 10
(2) 判断点M(6, 9)、N(3, 3)、Q(5, 3)是在圆 上，在圆内，还是在圆外.
M在圆上，N在圆外，Q在圆内．
(3) 经过点P(5，1)，且圆心在C(8， 3). (x 8)2 + ( y + 3)2 = 25
例3 求圆心在C(1， 2)，半径为 2 5 的圆 被x 轴所截得的弦长 .
法1(方程法) 圆的方程为 (x 1)2 + ( y + 2)2 = 20，
令y = 0，x 1 = 4，可得弦长为8.
《圆的标准方程》
问题： (1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的轨迹方程. (x 1)2 + ( y 2)2 = 4
(2) 方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表示的曲线是 什么？
以点C(1, 2)为圆心， 2为半径的圆.
1.圆的定义： 平面内与定点的距离等于定长的点的集
合(轨迹)叫做圆. 2.圆的标准方程:
约为3.86m
0.01m).
例5 已知圆的方程x2 + y2 = r2，求经过 圆上一点M(x0，y0)的切线方程．
一般地，过圆(x a)2 + ( y b)2 = r2上一点 M(x0，y0)的切线方程为 (x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结:
本课研究了圆的标准方程推导过程，对于 这个方程必须熟记并能灵活应用. 从三道例题 的解题过程，我们不仅仅要理解和掌握解题的 思想方法，也要学会从中发现和总结出规律性 的内在联系.
高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程课件
求曲线方程的步骤:
1、选系； 2、取动点； 3、列方程； 4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中， 两点确定一条直线，一点和倾斜角也能 确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确
定一个圆呢？
三、圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点
的集合(轨迹)是圆.
定点就是圆心，
y
定长就是半径.
怎样求出圆心是 A(a，b)，半径是r的 圆的方程?
(3)方法：①待定系数法; ②数形结合法.
练习:
6、圆心在直线y=x上，与两轴同时相切， 半径为2.
Y
Y=X
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
例4、求以C1，3为圆心，并且和直线
3x 4 y 7 0相切的圆的方程.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)定义法； (2)待定系数法:确定a，b，r.
课外作业： P124 习题 A组 1、2、3、4、5、6
练习
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、 B(x2, y2)，证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
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时间：2024年9月1日
2024课件
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
高中数学选择性必修一课件：圆的标准方程
【证明】 ∵l：k(x－4)＝y－3，∴l 恒过定点(4，3)． ∵(4－3)2＋(3－4)2＝2<4， ∴(4，3)在圆内， ∴直线过圆内一点，与圆恒有两个公共点．
确定圆的方程的方法和步骤： 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r 的方程组，求 a，b，r，或直接求出圆心(a，b)和半径 r，一般步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)根据已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组； (3)解方程组，求出 a，b，r 的值，并把它们代入所设的圆的方程中，就得到 所求圆的方程.
方法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（（－2－2－a）a）2＋2＋（（－－3－5－b）b）2＝2＝r2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22＋－44aa＋＋bb22＋＋160bb＋＋1239＝＝r2r，2， a＝3＋2b， ③
① ②
②－①，得 2a＋b＋4＝0.④
由③④，得 a＝－1，b＝－2，代入①得 r2＝10.条件Fra bibliotek方程形式
圆心在原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点
x2＋y2＝r2 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋(y－b)2＝r2 (x－a)2＋y2＝a2
圆心在 y 轴上且过原点
x2＋(y－b)2＝b2
与 x 轴相切，圆心(a，b)
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
与 y 轴相切，圆心(a，b)
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
4．已知一圆的圆心为点 O(2，－3)，一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴 上，则此圆的方程为___(x_－_2_)_2＋__(y_＋_3_)2_＝_1_3___．
确定圆的方程的方法和步骤： 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r 的方程组，求 a，b，r，或直接求出圆心(a，b)和半径 r，一般步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)根据已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组； (3)解方程组，求出 a，b，r 的值，并把它们代入所设的圆的方程中，就得到 所求圆的方程.
方法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（（－2－2－a）a）2＋2＋（（－－3－5－b）b）2＝2＝r2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22＋－44aa＋＋bb22＋＋160bb＋＋1239＝＝r2r，2， a＝3＋2b， ③
① ②
②－①，得 2a＋b＋4＝0.④
由③④，得 a＝－1，b＝－2，代入①得 r2＝10.条件Fra bibliotek方程形式
圆心在原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点
x2＋y2＝r2 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋(y－b)2＝r2 (x－a)2＋y2＝a2
圆心在 y 轴上且过原点
x2＋(y－b)2＝b2
与 x 轴相切，圆心(a，b)
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
与 y 轴相切，圆心(a，b)
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
4．已知一圆的圆心为点 O(2，－3)，一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴 上，则此圆的方程为___(x_－_2_)_2＋__(y_＋_3_)2_＝_1_3___．
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1.求圆的标准方程有两种方法：①直接法：据已知 条件求得圆心和半径，直接写出圆的标准方程.② 待定系数法：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 根据条件列方程组求待定系数a,b,r即得. 2.掌握点与圆的位置关系.
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学点一
学点二
பைடு நூலகம்
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
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学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
(3-1)2+(2-4)2=8,
∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上.
【评析】（1）以A（x1,y1）,B(x2,y2)为直径两端点的圆的方 程可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.仿照例题自己推导. （2）判定P(x0,y0)与（x-a）2+(y-b)2=r2的位置关系时，只需 比较(x0-a)2+(y0-b)2与r2的大小即可.
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若点(a,a)不在圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部，求a的取值范围. 解:因为点(a,a)不在圆的内部，所以点(a,a)应在圆上或圆 外，故有(a-1)2+(a-1)2≥2. 解得a≥2或a≤0.
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如何理解圆的标准方程？
要确定一个圆，就必须知道圆心的位置（在直角坐标系中 也就是圆心坐标）和半径.已知圆心(a,b)，半径为r，则圆 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.此方程首先形式比较对称，看起 来比较整齐，更重要的是这个方程明确指明圆心和半径， 便于我们研究圆的有关性质，以及用数形结合法解决有关 问题，由标准方程可知，要确定一个圆的方程，必须且只 需已知a,b,r这三个独立的参数，因此，求圆的标准方程常 用定义法和待定系数法.
解法一：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则
2a-b-3=0 (5-a)2+(2-b)2=r2 (3-a)2+(-2-b)2=r2， 解得
a=2 b=1 r= 10 .
∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
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解法二：∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，而线段AB的垂直 平分线方程为y=- 1 (x-4),
∴圆心为C(1,-1),半径r=|a|=|b|=1.
故所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1.
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【评析】确定圆的方程需三个独立条件，“选形式， 定参数”是解题的基本思路，在解题过程中，要仔 细审题，充分利用圆的性质.
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求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的 方程.
【分析】先求出圆的标准方程，再判断点与圆的位置关系.
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【解析】由已知得圆心坐标C（1，4），圆的半径
1
1
r= 2 |P1P2|= 2 (3 1)2 (6 - 2)2 2 2
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-4)2=8.
∵(2-1)2+(2-4)2=5<8，
(5-1)2+(0-4)2=32>8,
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（2）设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
∵圆与坐标轴相切，
∴圆心满足a-b=0或a+b=0.
又圆心在直线5x-3y=8上，
∴ 5a-3b=8
5a-3b=8.
a=4
由 a-b=0 得 b=4.
∴圆心为C(4,4),半径为r=|a|=|b|=4;
由 a+b=0
a=1
5a-3b=8， 得 b=-1,
2
设所求圆的圆心坐标为C(a,b)， 则有
2a-b-3=0 b=- 1 (a-4), 2
a=2
解得
b=1,
∴C(2,1), r=|CA|= | (5 - 2)2 (2 - 1)2 10
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
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学点二 点与圆的位置关系 已知两点P1(3,6)，P2(-1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的 方程，并判断点M(2,2)，N(5,0),Q(3,2)在圆上，在圆内， 还是在圆外？
【分析】因为所给条件均与圆心有直接关系，因此, 设圆的标准方程，利用待定系数法可解决问题.
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【解析】（1）方法一：设圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=r2, ∵点P(5,1)在圆上， ∴(5-8)2+(1+3)2=r2,∴r2=25. ∴所求圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 方法二：∵圆的半径为r=|CP|= (5 - 8)2 (1 3)2 =5, 又圆心为C（8,-3）, ∴所求圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
1.求圆的标准方程有两种方法：①直接法：据已知 条件求得圆心和半径，直接写出圆的标准方程.② 待定系数法：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 根据条件列方程组求待定系数a,b,r即得. 2.掌握点与圆的位置关系.
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学点一
学点二
பைடு நூலகம்
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
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学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
(3-1)2+(2-4)2=8,
∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上.
【评析】（1）以A（x1,y1）,B(x2,y2)为直径两端点的圆的方 程可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.仿照例题自己推导. （2）判定P(x0,y0)与（x-a）2+(y-b)2=r2的位置关系时，只需 比较(x0-a)2+(y0-b)2与r2的大小即可.
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若点(a,a)不在圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部，求a的取值范围. 解:因为点(a,a)不在圆的内部，所以点(a,a)应在圆上或圆 外，故有(a-1)2+(a-1)2≥2. 解得a≥2或a≤0.
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如何理解圆的标准方程？
要确定一个圆，就必须知道圆心的位置（在直角坐标系中 也就是圆心坐标）和半径.已知圆心(a,b)，半径为r，则圆 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.此方程首先形式比较对称，看起 来比较整齐，更重要的是这个方程明确指明圆心和半径， 便于我们研究圆的有关性质，以及用数形结合法解决有关 问题，由标准方程可知，要确定一个圆的方程，必须且只 需已知a,b,r这三个独立的参数，因此，求圆的标准方程常 用定义法和待定系数法.
解法一：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则
2a-b-3=0 (5-a)2+(2-b)2=r2 (3-a)2+(-2-b)2=r2， 解得
a=2 b=1 r= 10 .
∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
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解法二：∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，而线段AB的垂直 平分线方程为y=- 1 (x-4),
∴圆心为C(1,-1),半径r=|a|=|b|=1.
故所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1.
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【评析】确定圆的方程需三个独立条件，“选形式， 定参数”是解题的基本思路，在解题过程中，要仔 细审题，充分利用圆的性质.
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求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的 方程.
【分析】先求出圆的标准方程，再判断点与圆的位置关系.
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【解析】由已知得圆心坐标C（1，4），圆的半径
1
1
r= 2 |P1P2|= 2 (3 1)2 (6 - 2)2 2 2
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-4)2=8.
∵(2-1)2+(2-4)2=5<8，
(5-1)2+(0-4)2=32>8,
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（2）设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
∵圆与坐标轴相切，
∴圆心满足a-b=0或a+b=0.
又圆心在直线5x-3y=8上，
∴ 5a-3b=8
5a-3b=8.
a=4
由 a-b=0 得 b=4.
∴圆心为C(4,4),半径为r=|a|=|b|=4;
由 a+b=0
a=1
5a-3b=8， 得 b=-1,
2
设所求圆的圆心坐标为C(a,b)， 则有
2a-b-3=0 b=- 1 (a-4), 2
a=2
解得
b=1,
∴C(2,1), r=|CA|= | (5 - 2)2 (2 - 1)2 10
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
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学点二 点与圆的位置关系 已知两点P1(3,6)，P2(-1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的 方程，并判断点M(2,2)，N(5,0),Q(3,2)在圆上，在圆内， 还是在圆外？
【分析】因为所给条件均与圆心有直接关系，因此, 设圆的标准方程，利用待定系数法可解决问题.
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【解析】（1）方法一：设圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=r2, ∵点P(5,1)在圆上， ∴(5-8)2+(1+3)2=r2,∴r2=25. ∴所求圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 方法二：∵圆的半径为r=|CP|= (5 - 8)2 (1 3)2 =5, 又圆心为C（8,-3）, ∴所求圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.