高中数学-圆的标准方程课件
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学点一
学点二
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
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学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
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（2）设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
∵圆与坐标轴相切，
∴圆心满足a-b=0或a+b=0.
又圆心在直线5x-3y=8上，
∴ 5a-3b=8
5a-3b=8.
a=4
由 a-b=0 得 b=4.
∴圆心为C(4,4),半径为r=|a|=|b|=4;
由 a+b=0
a=1
5a-3b=8， 得 b=-1,
2
设所求圆的圆心坐标为C(a,b)， 则有
2a-b-3=0 b=- 1 (a-4), 2
a=2
解得
b=1,
∴C(2,1), r=|CA|= | (5 - 2)2 (2 - 1)2 10
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
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学点二 点与圆的位置关系 已知两点P1(3,6)，P2(-1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的 方程，并判断点M(2,2)，N(5,0),Q(3,2)在圆上，在圆内， 还是在圆外？
解法一：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则
2a-b-3=0 (5-a)2+(2-b)2=r2 (3-a)2+(-2-b)2=r2， 解得
a=2 b=1 r= 10 .
∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
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解法二：∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，而线段AB的垂直 平分线方程为y=- 1 (x-4),
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【分析】因为所给条件均与圆心有直接关系，因此, 设圆的标准方程，利用待定系数法可解决问题.
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【解析】（1）方法一：设圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=r2, ∵点P(5,1)在圆上， ∴(5-8)2+(1+3)2=r2,∴r2=25. ∴所求圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 方法二：∵圆的半径为r=|CP|= (5 - 8)2 (1 3)2 =5, 又圆心为C（8,-3）, ∴所求圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
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1.求圆的标准方程有两种方法：①直接法：据已知 条件求得圆心和半径，直接写出圆的标准方程.② 待定系数法：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 根据条件列方程组求待定系数a,b,r即得. 2.掌握点与圆的位置关系.
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若点(a,a)不在圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部，求a的取值范围. 解:因为点(a,a)不在圆的内部，所以点(a,a)应在圆上或圆 外，故有(a-1)2+(a-1)2≥2. 解得a≥2或a≤0.
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如何理解圆的标准方程？
要确定一个圆，就必须知道圆心的位置（在直角坐标系中 也就是圆心坐标）和半径.已知圆心(a,b)，半径为r，则圆 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.此方程首先形式比较对称，看起 来比较整齐，更重要的是这个方程明确指明圆心和半径， 便于我们研究圆的有关性质，以及用数形结合法解决有关 问题，由标准方程可知，要确定一个圆的方程，必须且只 需已知a,b,r这三个独立的参数，因此，求圆的标准方程常 用定义法和待定系数法.
∴圆心为C(1,-1),半径r=|a|=|b|=1.
故所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1.
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【评析】确定圆的方程需三个独立条件，“选形式， 定参数”是解题的基本思路，在解题过程中，要仔 细审题，充分利用圆的性质.
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求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的 方程.
(3-1)2+(2-4)2=8,
∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上.
【评析】（1）以A（x1,y1）,B(x2,y2)为直径两端点的圆的方 程可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.仿照例题自己推导. （2）判定P(x0,y0)与（x-a）2+(y-b)2=r2的位置关系时，只需 比较(x0-a)2+(y0-b)2与r2的大小即可.
【分析】先求出圆的标准方程，再判断点与圆的位置关系.
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【解析】由已知得圆心坐标C（1，4），圆的半径
1
1
r= 2 |P1P2|= 2 (3 1)2 (6 - 2)2 2 2
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-4)2=8.
∵(2-1)2+(2-4)2=5<8，
(5-1)2+(0-4)2=32>8,
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学点二
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
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学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
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（2）设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
∵圆与坐标轴相切，
∴圆心满足a-b=0或a+b=0.
又圆心在直线5x-3y=8上，
∴ 5a-3b=8
5a-3b=8.
a=4
由 a-b=0 得 b=4.
∴圆心为C(4,4),半径为r=|a|=|b|=4;
由 a+b=0
a=1
5a-3b=8， 得 b=-1,
2
设所求圆的圆心坐标为C(a,b)， 则有
2a-b-3=0 b=- 1 (a-4), 2
a=2
解得
b=1,
∴C(2,1), r=|CA|= | (5 - 2)2 (2 - 1)2 10
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
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学点二 点与圆的位置关系 已知两点P1(3,6)，P2(-1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的 方程，并判断点M(2,2)，N(5,0),Q(3,2)在圆上，在圆内， 还是在圆外？
解法一：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则
2a-b-3=0 (5-a)2+(2-b)2=r2 (3-a)2+(-2-b)2=r2， 解得
a=2 b=1 r= 10 .
∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
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解法二：∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，而线段AB的垂直 平分线方程为y=- 1 (x-4),
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【分析】因为所给条件均与圆心有直接关系，因此, 设圆的标准方程，利用待定系数法可解决问题.
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【解析】（1）方法一：设圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=r2, ∵点P(5,1)在圆上， ∴(5-8)2+(1+3)2=r2,∴r2=25. ∴所求圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 方法二：∵圆的半径为r=|CP|= (5 - 8)2 (1 3)2 =5, 又圆心为C（8,-3）, ∴所求圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
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1.求圆的标准方程有两种方法：①直接法：据已知 条件求得圆心和半径，直接写出圆的标准方程.② 待定系数法：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 根据条件列方程组求待定系数a,b,r即得. 2.掌握点与圆的位置关系.
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若点(a,a)不在圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部，求a的取值范围. 解:因为点(a,a)不在圆的内部，所以点(a,a)应在圆上或圆 外，故有(a-1)2+(a-1)2≥2. 解得a≥2或a≤0.
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如何理解圆的标准方程？
要确定一个圆，就必须知道圆心的位置（在直角坐标系中 也就是圆心坐标）和半径.已知圆心(a,b)，半径为r，则圆 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.此方程首先形式比较对称，看起 来比较整齐，更重要的是这个方程明确指明圆心和半径， 便于我们研究圆的有关性质，以及用数形结合法解决有关 问题，由标准方程可知，要确定一个圆的方程，必须且只 需已知a,b,r这三个独立的参数，因此，求圆的标准方程常 用定义法和待定系数法.
∴圆心为C(1,-1),半径r=|a|=|b|=1.
故所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1.
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【评析】确定圆的方程需三个独立条件，“选形式， 定参数”是解题的基本思路，在解题过程中，要仔 细审题，充分利用圆的性质.
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求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的 方程.
(3-1)2+(2-4)2=8,
∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上.
【评析】（1）以A（x1,y1）,B(x2,y2)为直径两端点的圆的方 程可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.仿照例题自己推导. （2）判定P(x0,y0)与（x-a）2+(y-b)2=r2的位置关系时，只需 比较(x0-a)2+(y0-b)2与r2的大小即可.
【分析】先求出圆的标准方程，再判断点与圆的位置关系.
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【解析】由已知得圆心坐标C（1，4），圆的半径
1
1
r= 2 |P1P2|= 2 (3 1)2 (6 - 2)2 2 2
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-4)2=8.
∵(2-1)2+(2-4)2=5<8，
(5-1)2+(0-4)2=32>8,