4高中数学必修5第二章数列测试卷
高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷
高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。
试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。
新课标A版高中数学必修5：第二章+数列+单元同步测试(含解析)
第二章测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.S n 是数列{a n }的前n 项和,log 2S n ＝n (n ＝1,2,3,…),那么数列{a n }( )A.是公比为2的等比数列B.是公差为2的等差数列C.是公比为12的等比数列 D.既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ,得S n ＝2n ,a 1＝S 1＝2,a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2,a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4,…由此可知,数列{a n }既不是等差数列,也不是等比数列. 答案 D2.一个数列{a n },其中a 1＝3,a 2＝6,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,则a 5＝( ) A.6 B.－3 C.－12D.－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3, a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3, a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3.首项为a 的数列{a n }既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n 项和为( )A.a n －1B.naC.a nD.(n －1)a解析 由题意,知a n ＝a (a ≠0),∴S n ＝na . 答案 B4.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1＝1,a 5＝16,则数列{a n }的前7项和为( )A.63B.64C.127D.128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16,∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5.已知－9,a 1,a 2,－1四个实数成等差数列,－9,b 1,b 2,b 3,－1五个实数成等比数列,则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A.－8B.8C.－98D.98 解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83, b 22＝(－1)×(－9)＝9,∴b 2＝－3, ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6.在－12和8之间插入n 个数,使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列,则n 的值为( )A.2B.3C.4D.5解析 依题意,得－10＝－12＋82(n ＋2), ∴n ＝3. 答案 B7.已知{a n }是等差数列,a 4＝15,S 5＝55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线的斜率为( )A.4B.14C.－4D.－14解析由a 4＝15,S 5＝55,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11),Q (4,15).k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3＋a 17＝10,则S 19＝( ) A.55 B.95 C.100D.190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95.答案 B9.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数,则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A.S 7B.S 4C.S 13D.S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7,∴a 7为常数.∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数. 答案 C10.等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31,a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62,则通项是( )A.2n －1B.2nC.2n ＋1D.2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5), ∴62＝q ×31,∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1,∴a n ＝2n －1. 答案 A11.已知等差数列{a n }中,|a 3|＝|a 9|,公差d <0,则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A.4或5B.5或6C.6或7D.不存在解析 由d <0知,{a n }是递减数列,∵|a 3|＝|a 9|,∴a 3＝－a 9,即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0,∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大. 答案 B12.若a ,b ,c 成等比数列,则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A.有两个不等实根 B.有两相等的实根 C.无实数根 D.无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列,∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根. 答案 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.2,x ,y ,z,18成等比数列,则x ＝________.解析 设公比为q ,则由2,x ,y ,z,18成等比数列.得18＝2q 4,∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314.若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67,则a 2013＝________.解析 由题意,得a 1＝67,a 2＝127,a 3＝57,a 4＝107,a 5＝37,a 6＝67,a 7＝127,…,∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715.一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ,则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9,S 33＝－16＋33＝17,S 50＝－25,∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116.设等比数列{a n }的公比q ＝12,前n 项和为S n ,则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.解 (1)令n ＝1,得2a 1－a 1＝a 21,即a 1＝a 21,∵a 1≠0,∴a 1＝1,令n ＝2,得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2,解得a 2＝2. 当n ≥2时,由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n ,即a n ＝2a n －1, 于是数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列, 即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知,na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ,于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1,① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18.(12分)已知等比数列{a n },首项为81,数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列;(2)若S 11≠S 12,且S 11最大,求{b n }的公差d 的范围. 解 (1)证明:设{a n }的公比为q , 则a 1＝81,a n ＋1a n＝q ,由a n >0,可知q >0,∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n ＝log 3q (为常数),∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列.(2)由(1)知,b 1＝log 3a 1＝log 381＝4, ∵S 11≠S 12,且S 11最大,∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19.(12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1＝3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1＝1,且b 2S 2＝64,b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ;(2)证明:1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d >0,q ≠0,a n ＝3＋(n －1)d ,b n ＝q n －1,依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去).故a n ＝2n ＋1,b n ＝8n －1.(2)证明:由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2),1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2, ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1＝2,a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由已知,得16＝2q 3,解得 q ＝2,∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8,a 5＝32,则b 3＝8,b 5＝32.设{b n }的公差为d ,则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2n 2＋n ,n ∈N *,数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3,n ∈N *.(1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ,得当n ＝1时,a 1＝S 1＝3; 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *). 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1,得b n ＝2n －1(n ∈N *). (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1,n ∈N *, ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1, 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22.(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *,n ≥2).(1)求证:数列{a n2n }是等差数列; (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0,∴a n 2n －a n －12n －1＝12, ∴{a n 2n }是以12为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1),得a n 2n ＝12＋(n －1)×12,∴a n ＝n ·2n －1, ∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②,得 －S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ,∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。
第二章数列单元综合测试(人教A版必修5)
第二章数列单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．数列{2n ＋1}的第40项a 40等于( ) A ．9 B ．10 C ．40D ．41解析：a 40＝2×40＋1＝81＝9.答案：A2．等差数列{2－3n }中，公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．－1D ．－3解析：设a n ＝2－3n ，则an ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 答案：D3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( )A ．10B ．210C ．210－2D ．211－2解析：∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1＝2.答案：D4．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( ) A ．55 B ．40 C ．35D ．70解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，7a 1＋21d ＝21，解得d ＝23，a 1＝1，则S 10＝10a 1＋45d ＝40. 答案：B5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案：C6．等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．不确定解析：a 3＋a 17＝a 1＋a 19，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192×10＝95.答案：B7．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，即3a 2＝15，则a 2＝5. 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，∴d ＝3.答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18解析：设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d .则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝34，①5a n －10d ＝146，②a 1＋an2·n ＝234，③①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.从而有a 1＋a 13＝36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴a 7＝a 1＋a 132＝362＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab 等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：∵2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∵c 2＝ab ，∴a 2－5ab ＋4b 2＝0，∴a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴a b＝4. 答案：D10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设公比为q ，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：图1如图1所示，设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗共走路程为10(x－1)m ，然后回到第二面旗处再到第x 面处的路程是20(x －2)m ，…，从第x －1面到第x 面来回共20 m ，从第x 面处到第x ＋1面处路程为20 m ，从第x 面到第x ＋2面处的路程为20×2 m ，….总共的路程为s ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x )＝10(x －1)＋20·(x －2)(x －1)2＋20·(13－x )(14－x )2＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x )(14－x )]＝10(2x 2－29x ＋183)＝20(x －294)2＋31154.∵x ∈N *，∴当x ＝7时，s 有最小值为780 m ， 即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短． 答案：A12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4013B ．4014C ．4015D ．4016解析：由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3. 又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >114．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2006和a 2007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2008＋a 2009＝________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，答案：1815．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于________．解析：∵S 12＝12a 1＋66d ，S 4＝4a 1＋6d ，又S 12＝8S 4，∴12a 1＋66d ＝32a 1＋48d .∴20a 1＝18d ，∴a 1d ＝1820＝910.答案：91016．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝[n5](n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝________.解析：x 5n ＝[5n5]＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝512，(a q －2)＋(aq －2)＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0. 解：原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )＝(a ＋a 2＋…＋a n )－n (n ＋1)2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－a n )1－a－n (n ＋1)2(a ≠1)，n －n 22(a ＝1).19．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18；数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝18，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，Tn －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(bn －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝13b n －1. ∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为a n ， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ＝4750，即n 2＋9n －190＝0， 解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴n ＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米． 21．(本小题12分)设a 1＝1，a 2＝53，an ＋2＝53an ＋1－23a n (n ∈N *)．(1)令b n ＝an ＋1－a n (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)因为b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ，所以数列{b n }是首项为b 1＝a 2－a 1＝23，公比为23的等比数列，所以b n ＝(23)n (n ＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1.S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n ≥2)．(1)证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n －S 2n＝1，又因为S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，又因为S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. (2)设题表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项．故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，即S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)(1－2k )(k ≥3)．。
最新人教版高中数学必修5第二章数列测评(b卷)(附答案)
第二章 数列测评(B 卷)(总分：120分 时间：90分钟)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为 A ．12 B ．8 C ．6 D ．4答案：B 由等差中项性质可得a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32＝4a 8，故a 8＝8，则m ＝8. 2．在等差数列{a n }中，a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d 等于 A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．±2 答案：C ∵a 2＝3， ∴a 1＋a 3＝2a 2＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 3＝8，a 1＋a 3＝6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 3＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝2.∴d ＝±1.3．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝26，a 1－a 3－a 11＝－10，则S 7等于 A ．20 B ．22 C ．26 D ．28 答案：D (a 1＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)－(a 1－a 3－a 11)＝36， 即(a 3＋a 11)＋(a 4＋a 10)＋(a 6＋a 8)＝36， ∴a 3＋a 11＝12.∴a 1＝2，a 7＝a 3＋a 112＝6，S 7＝7(2＋6)2＝28.4．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝101，前4项和为1111.令b n ＝lga n ，则b 303等于 A ．302 B ．303 C ．404 D ．505 答案：A 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝101，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝1111，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝10， ∴a n ＝a 1q n －1＝10n －1，b n ＝lga n ＝n －1. ∴b 303＝302.5．(2009重庆高考，文5)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 答案：A 设其公差为d ，∵a 1，a 3，a 6成等比数列， ∴a 23＝a 1·a 6，即(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋5d)．又∵d ≠0，∴d ＝12.∴S n ＝na 1＋n(n －1)d 2＝2n ＋n(n －1)2·12＝n 24＋7n4.6．数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1，令b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }的前n 项和为A ．n 2B ．n(n ＋2)C ．n(n ＋1)D ．n(2n ＋1) 答案：B 可知数列{a n }为等差数列， 设{a n }的前n 项和为S n ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝S n n＝n[3＋(4n －1)]2n＝2n ＋1.∴数列{b n }也是等差数列，首项为b 1＝3，公差为2，其前n 项和为n(3＋2n ＋1)2＝n(n ＋2)．7．数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n 等于A.n 2n ＋1B.n n ＋1C.12n ＋1D.1n ＋1答案：B ∵a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴b n ＝1a n ·a n ＋1.又a 1＝1，∴a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n. ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝11×2＋12×3＋…＋1n(n ＋1) ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.8．数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，则a 2008等于A.13B.35C.20092008D.40114009答案：D ∵a n ＝2－1a n －1，∴a n －1＝1－1a n －1.∴1a n －1－1a n －1－1＝1. ∴数列{1a n －1}是以－52为首项，以1为公差的等差数列．∴1a n －1＝－52＋(n －1)×1.∴a n ＝2n －52n －7.∴a 2008＝2×2008－52×2008－7＝40114009.9．下列给出一个“直角三角形数阵” 1412，14 34，38，316 …满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83等于A.18B.14C.12D ．1 答案：C 观察数表图，由题意知，a 83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a 83＝2×(12)2＝12. 10．对于一个有限数列P ＝(P 1，P 2，…，P n )，P 的蔡查罗和(蔡查罗为一数学家)定义为1n(S 1＋S 2＋…＋S n )，其中S k ＝P 1＋P 2＋…＋P k (1≤k ≤n)．若一个99项的数列(P 1，P 2，…，P 99)的蔡查罗和为1000，那么100项数列(1，P 1，P 2，…，P 99)的蔡查罗和为A ．991B ．992C ．993D ．999答案：A 由题意，得199(S 1＋S 2＋…＋S 99)＝1000，S 1＋S 2＋…＋S 99＝99000.100项数列(1，P 1，P 2，…，P 99)的蔡查罗和为1100(S 1′＋S 2′＋S 3′＋…＋S 100′)＝1100[1＋(1＋S 1)＋(1＋S 2)＋(1＋S 3)＋…＋(1＋S 99)] ＝1100[100＋(S 1＋S 2＋…＋S 99)] ＝1100(100＋99000) ＝991.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________.答案：n(n ＋1)2＋1 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2. 将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n(n ＋1)2＋1. 12．设函数f(x)＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f(0)＝12，数列{a n }满足f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n 等于__________．答案：1n(n ＋1)由f(0)＝12，得a 1＝12.由f(1)＝n 2a n ，得a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n .①于是a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2a n －1.②由①－②得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，整理得a n a n －1＝n －1n ＋1.此时，a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·13，化简，得a na 1＝1×2n(n ＋1).又∵a 1＝12，∴a n ＝1n(n ＋1)，n ＝1时也满足．13．已知函数f(x)＝2x ，等差数列{a n }的公差为2，若f(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2[f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)]＝__________.答案：－6 由题意可得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝2， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝2－5×2＝－8. ∴f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)＝10212aa a ++＝22－8＝2－6.于是log 2[f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)]＝log 22－6＝－6. 14．(2009江苏高考，理14)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝__________.答案：－9 由题意：等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题满分10分)(2009浙江高考，文20)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．答案：解：(1)由S n ＝kn 2＋n ，得 a 1＝S 1＝k ＋1，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2)． a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *.(2)由a m 、a 2m 、a 4m 成等比数列，得(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 将上式化简，得2km(k －1)＝0， 因为m ∈N *，所以m ≠0. 故k ＝0或k ＝1.16．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 2＝－20，a 1＋a 9＝－28， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 2b n ，设T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n 且T n ＝1，求n 的值．答案：解：(1)∵{a n }为等差数列，a 1＋a 9＝－28， ∴a 1＋a 9＝2a 5＝－28. ∴a 5＝－14.又a 2＝－20，设{a n }的公差为d ， ∴a 5＝a 2＋3d.∴d ＝2.∴a 1＝－22. ∴a n ＝2n －24. (2)∵a n ＝log 2b n ， ∴b n ＝2a n .∴T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝n aa a ++212.当a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝0时，T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝1，即na 1＋n(n －1)2d ＝0，－22n ＋n(n －1)2×2＝0.∴n ＝23.故n ＝23时，T n ＝1.17．(本小题满分10分)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2.(n ≥2)(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；(2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .答案：解：(1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2. ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)，得2λ2－5λ＋3＝0.λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－1＝1，a 1＝a 2，不合题意舍去．λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2，可得a n －a n －1＝－1.∴数列{a n }构成以a 1＝1为首项，公差为－1的等差数列． ∴a n ＝－n ＋2.(2)由λ＝3可得a n ＝3a n －1＋3－2⇒a n ＝3a n －1＋1，∴a n ＋12＝3a n －1＋32.∴a n ＋12＝3(a n －1＋12)，即b n ＝3b n －1(n ≥2)．又b 1＝a 1＋12＝32，∴数列{b n }构成以b 1＝32为首项，公比为3的等比数列．∴b n ＝32·3n －1＝12·3n.∴S n ＝32(1－3n )1－3＝34(3n －1)．18．(本小题满分12分)(2009山东高考，文20)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r(b>0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .答案：解：(1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)． 由于b>0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b(b －1)，a 2a 1＝b ，即b(b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)由(1)知n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1. T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减，得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2 ＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.19．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．答案：解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．因此，所求数列{b n }是首项为S 1－3＝a －3，公比为2的等比数列，其通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.①(2)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)×2n －1－3n －1－(a －3)×2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12·(32)n －2＋a －3]．于是a n ＋1≥a n ⇔12·(32)n －2＋a －3≥0⇔a ≥3－12·(32)n －2⇔a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1，综上，所求a 的取值范围是[－9，＋∞)．。
数列(必修5第二章)水平测试A卷
数列（必修5第二章）水平测试A 卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2，…，n})上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的． 其中说法正确的序号是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④2．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－2 B ．－12 C.12D ．23．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．644．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝12,2a 6－a 5＝15，则a 4等于( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．135．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．366．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝2，则a 9＋a 10等于( ) A.12 B ．2 C.14D ．4 7．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60，则{a n ＋b n }的前20项和为( )A ．700B ．710C ．720D ．7308．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．1219．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数也是常数的是( )A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 1310．△ABC 中，tanA 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则tanC 等于( )A ．－12 B.12 C ．－112 D.112二、填空题（每小题4分，共28分)11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋9，则数列{a n }的最大项是______．12．若数列{a n }满足a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，且S 9＝27.则a 2＋a 8＝______.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝a 6＝12，则{a n }的通项公式为______．14．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝4a 25，a 2＝2，则{a n }的前5项和S 5等于________．15．在数列{a n }中a n ＝n(sinnπ2＋cos nπ2)，前n 项和为S n ，则S 100＝__________. 16．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n(n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.17．在数列{a n }中，a n ＝3n －7，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2)，若a n ＋log k b n为常数，则满足条件的k 值为______．三、解答题(72分)18．(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，求该数列的通项公式．19．(14分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .20．(14分)已知等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＋1<a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值及相应的n 值．21．(15分)记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＋a4＝6，S4＝10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝a n·2n(n∈N*)，求数列{a n}的前n项和T n.22．(15分)设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝na n－2n(n－1)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n＋1}的前n项和为T n，试求T n的取值范围．答案解析1、解析：数列的项数可以是无限的，通项公式的表示不唯一，故②④错误． 答案：C2、解析：a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝－a 3＋2d ＝2d ＝－1，∴d ＝－12.答案：B3、解析：a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 答案：A4、解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d ＝12a 1＋6d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2， ∴a 4＝a 1＋3d ＝9. 答案：B5、解析：∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.答案：C6、解析：由题得a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8，a 9＋a 10成等比数列，首项为4，公比为12， ∴a 9＋a 10＝4×(12)4＝14.答案：C7、解析：{a n ＋b n }的前20项和S 20＝(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 20＋b 20)＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 20)＝20(a 1＋a 20)2＋20(b 1＋b 20)2＝10(a 1＋a 20＋b 1＋b 20)＝720. 答案：C 8、解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴前n 项的和S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n)＝n ＋1－1，当n ＋1－1＝10时，n ＝120.答案：C9、解析：∵a 2＋a 6＋a 10＝3a 6，∴a 6为定值．S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6为定值．答案：B10、解析：由题意知：tanA ＝－1－(－4)7－3＝34，tan 3B ＝412＝8，∴tanB ＝2，∴tanC ＝－tan(A ＋B)＝－tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－34＋21－34×2＝112.答案：D 11、解析：∵a n ＝n n 2＋9，∴a n ＝1n ＋9n，∵n ＋9n ≥2n·9n ＝6，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时取“＝”号，∴n ＝3时，a n 的最大项是a 3＝39＋9＝16.答案：1612、解析：由a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1得{a n }为等差数列． ∵S 9＝27，∴9(a 1＋a 9)2＝27.∴a 1＋a 9＝6，∴a 2＋a 8＝6. 答案：613、解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝12a 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n.答案：a n ＝2n14、解析：因为a 3a 9＝4a 25，所以q 2＝4，又q>0，所以q ＝2，又a 2＝2，所以a 1＝1，S 5＝1－251－2＝31. 答案：3115、解析：sin nπ2＋cos nπ2＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝4k 时1 n ＝4k ＋1时－1 n ＝4k ＋2时－1 n ＝4k ＋3时，∴S 100＝(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(97－98－99＋100)＝0.答案：016、解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n)－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2， 当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)． 则a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n.答案：2n 2＋6n17、解析：∵b n ＝b 1·(127)n －1＝13·(13)3n －3＝(13)3n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k (13)3n －2＝3n －7＋(3n －2)·log k 13＝(3＋3log k 13)n －7－2log k 13.若a n ＋log k b n 为常数，则3＋3log k 13＝0，则k ＝3.答案：318、解：由S 1＝1得a 1＝1，又由S 2＝2可知a 2＝1. ∵S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，∴S n ＋1－S n －2S n ＋2S n －1＝0(n ∈N * 且n ≥2)， 即(S n ＋1－S n )－2(S n －S n －1)＝0(n ∈N *且n ≥2)，∴a n ＋1＝2a n (n ∈N *且n ≥2)，故数列{a n }从第2项起是以2为公比的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝12n －2，n>1，n ∈N *.19、解：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16a 1＝－4d. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n(n －1)＝n(n －9)，或S n ＝8n －n(n －1)＝－n(n －9)．20、解：(1)设公比为q ，则q 6＝a 8a 2＝164，a n ＋1<a n ，所以q ＝12.于是a 1＝a 2q ＝64.所以，通项公式为a n ＝64·(12)n －1＝27－n (n ∈N )．(2)设b n ＝log 2a n ，则b n ＝log 227－n ＝7－n.所以，数列{b n }是以首项为6，公差为－1的等差数列．T n ＝6n ＋n (n －1)2(－1)＝－12n 2＋132n ＝－12(n －132)2＋1698.由n 是自然数，知n ＝6或n ＝7时，T n 最大，其最值为T 6＝T 7＝21.21、解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 4＝6，S 4＝10，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝64a 1＋4×32d ＝10， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝32a 1＋3d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)＝n ，故所求等差数列{a n }的通项公式为a n ＝n. (2)依题意，b n ＝a n ·2n ＝n·2n ， ∴T n ＝b 1＋b n ＋…＋b n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，又2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)·2n ＋n·2n ＋1， 两式相减得－T n ＝(2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n )－n·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n·2n ＋1＝(1－n)·2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.22、解：(1)由S n ＝na n －2n(n －1)，得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ， ∴a n ＋1－a n ＝4.所以，数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． ∴a n ＝4n －3. (2)∵T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)(4n ＋1)＝14[1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1] ＝14(1－14n ＋1)<14. 又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15.∴15≤T n <14，即T n 的取值范围是[15，14)．。
高二数学必修5第二章数列单元测试(含答案)
高二数学必修5第二章数列单元测试（含答案）班级：________学号：__________姓名：__________成绩：__________ 一、 选择题。
（每题4分，10题共40分） 1、等差数列—3，1，5，…的第15项的值是（） A ．40 B ．53 C ．63 D ．76 2、等比数列{}n a 中，===+q a a a a 则,8,63232（ ）A ．2B ．21C ．2或21D ．－2或21-3、已知,231,231-=+=b a 则,a b 的等差中项为（）A ．3B ．2C ．31 D ．214．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列, 则2a ＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ． －105、设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（ ）A ．41B ．21C ．81D ．16、设n S 为等差数列{}n a 的前项和，若36324S S ==，，则9a =（ ）A. 15B. 45C. 192D. 27 7、某工厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值( D ) A.1.14a B. 1.15aC.11(1.16－1)aD.11(1.15－1)a .8．等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是（ C ）A ．130B ．170C ．210D ．260 9、若等差数列共有2n ＋1(n ∈N ＋)项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数＝（ ）A ．5B ．4C ．3D ．610．若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 取最大值时n =( B ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．14或15二、填空题。
（每题4分，4题共16分） 11、数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a ，则=4a12、 数列{}n a 的前ｎ项的和231n S n n =++则此数列的通项公式是__．13、两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =__________. 14、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8765S S S S >=< ，则下列结论一定正确的有(1)．0<d (2)．07=a (3)59S S > (4)01<a(5)．6S 和7S 均为n S 的最大值 三、解答题。
高中数学必修五第二章《数列》单元测试题(含答案)
高中数学必修五第二章单元测试题《数列》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100D ．833．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．424．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516D.31155．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．76．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．188．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．99．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．1610．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n ＋1－1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n ＋111．含2n ＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1nD.n ＋12n12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210B.129C.110D.15二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 14．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________．15．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 16．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两实数根，求此数列的通项公式．18．(12分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.19．(12分)某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的1320．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1,1,2，…，求数列{c n }的前10项的和．21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．22．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项； (2)求{nS n }的前n 项和T n .高中数学必修五第二章单元测试题《数列》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列答案 D2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100 D ．83 答案 B3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 答案 C解析 思路一：设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝14，d ＝32.则S 6＝6a 1＋15d ＝24.思路二：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列，则2(S 4－S 2)＝S 6－S 4＋S 2，所以S 6＝3S 4－3S 2＝24.4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516 D.3115 答案 A5．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 由等差数列的性质可知a 2、a 5、a 8也成等差数列，故a 5＝ a 2＋a 82＝6，故选C. 6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析 依题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ，则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 32，a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝ln nn －1，叠加得a n －a 1＝ln(21·32·43·…·nn －1)＝ln n ，故a n ＝2＋ln n ，选A.7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18答案 B解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n ＝0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a 6＝－1＜0，a 7＝1＞0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16答案 C解析 由4a 1＋a 3＝4a 2⇒4＋q 2＝4q ⇒q ＝2，则S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.10．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n ＋1－1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n ＋1 答案 B11．含2n ＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n 答案 B12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210B.129 C.110 D.15 答案 D解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴{a n ·a n －1a n －1－a n}为常数列．∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n . ∴1a n －1a n －1＝12，∴{1a n }为等差数列，1a 1＝12，d ＝12. ∴1a n＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n ，∴a 10＝15. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －9解析 由题意得a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋6)2＝a 1(a 1＋9)，解得a 1＝－12.所以a 2＝－12＋3＝－9.14．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________． 答案 n 22－n2＋3(n ≥3)解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n ≥3)行的最后一个数(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n 2＋3(n ≥3)．15．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 ⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②，①－②，得3a 3＝a 4－a 3,4a 3＝a 4，q ＝a 4a 3＝4.16．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.答案 4 解析 ∵a 1＝19，∴a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89.∴a 36＝a 18＋a 18＝2a 18＝2(a 9＋a 9)＝4a 9＝4(a 1＋a 8)＝4(19＋89)＝4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两实数根，求此数列的通项公式．答案 a n ＝2＋(n －1)×2＝2n18．(12分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ， a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d .a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d . 由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26. 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200； 当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.19．(12分)某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的13 答案 (1)1 458辆 (2)2011年底20．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1,1,2，…，求数列{c n }的前10项的和．解析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝c 2，a 3＋b 3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1， ①q 2＋2d ＝2. ②②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1. c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10) ＝a 1(1－q 10)1－q ＋10b 1＋10×92d＝210－1＋45·(－1)＝978.21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－(－12)n －11－(－12)＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．22．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项；(2)求{nS n }的前n 项和T n .解析 (1)a n ＝12n ，n ＝1,2，…(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n . 则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－(12＋222＋…＋n 2n )， ①T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－(122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1)，② ①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－(12＋122＋…＋12n )＋n 2n ＋1＝n (n ＋1)4－12(1－12n )1－12＋n 2n ＋1， 即T n ＝n (n ＋1)2＋12n －1＋n 2n －2.。
高中数学必修5第二章 数列题组训练题课标试题(共8页)
高中数学必修(bìxiū)5第二章数列题组训练题[根底训练A组]一、选择题〔六个小题，每一小题5分，一共30分〕1．在数列中，等于〔〕A．11 B．12 C．13 D．142．等差数列项的和S等于〔〕9A．66 B．99 C．144 D．2973．等比数列中, 那么{}n a的前4项和为〔〕A． 81 B．120 C．168 D．1924．与，两数的等比中项是〔〕A．1 B．－1 C． D．5．一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第〔〕项A．2 B．4 C．6 D．86．在公比为整数的等比数列{}n a中，假如那么该数列的前8项之和为〔〕A．513 B．512 C．510 D．二、填空题〔五个小题，每一小题6分，一共30分〕1．等差数列{}n a中, 那么{}n a的公差为______________。
2．数列{}是等差数列，=7，那么=_________3．两个等差数列那么=___________.4．在等比数列(děnɡ bǐ shù liè){}n a中, 假设那么-=___________.5．在等比数列{}n a中, 假设是方程的两根，那么=___________.三、解答题〔四个小题，每一小题10分，一共40分〕成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。
在等差数列{}n a中, 求的值。
求和：设等比数列{}n a前项和为，假设，求数列的公比。
[综合训练B组]一、选择题〔六个小题，每一小题5分，一共30分〕1．等差数列{}n a的公差为2,假设成等比数列, 那么=〔〕A．– 4 B．－6 C．－8 D．－102．设S是等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和，假设n〔〕1A．1 B．－1 C．2 D．23．假设成等差数列，那么x的值等于〔〕A．1 B．0或者32 C．32 D．4．三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,那么q的取值范围是〔〕A． B. C.D.5．在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,9为第六项的等比数列的公比,那么这个三角形是〔〕A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上都不对6．在等差数列{}n a中，设，，，那么关系为〔〕A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或者等比数列 D．都不对二、填空题〔五个小题，每一小题6分，一共30分〕1．等差数列{}n a中, 那么a＋a为______________。
最新人教版高中数学必修5第二章数列测评(a卷)(附答案)
第二章 数列测评(A 卷)(总分：120分 时间：90分钟)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．等差数列－2，0，2，…的第15项为A ．11 2B ．12 2C ．13 2D ．142 答案：C ∵a 1＝－2，d ＝2，∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2.2．等比数列{a n }的首项a 1＝1002，公比q ＝12，记p n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，则p n 达到最大值时，n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．11答案：C a n ＝1002×(12)n －1<1⇒n>10，即等比数列{a n }前10项大于1，从第11项起小于1，故p 10最大．3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于 A ．64 B ．81 C ．128 D ．243答案：A 公比q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝63＝2.由a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3，得a 1＝1，a 7＝26＝64.4．设{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝9，a 6＝9，则这个数列的前6项和等于 A ．12 B ．24 C ．36 D ．48答案：B {a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，a 3＝3，a 6＝9.∴d ＝2，a 1＝－1，则这个数列的前6项和等于6(a 1＋a 6)2＝24.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于 A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400答案：B 设数列可记为1，－5,9，－13，…，393，－397.其奇数项与偶数项分别是公差为8，－8的等差数列．于是，S 100＝(1＋9＋13＋…＋393)－(5＋13＋…＋397)＝50×(1＋393)2－50×(5＋397)2＝－200.6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且2a 2，a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为A ．1＋32B ．1－32 C.1－52 D.5＋12答案：A 由2a 2，a 3，a 1成等差数列得2a 3＝2a 2＋a 1，∴2a 1q 2＝2a 1q ＋a 1，整理得2q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋32或q ＝1－32＜0(因等比数列各项都是正数，故舍去)．∴a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 3q 2＋a 4q 2a 3＋a 4＝q 2＝(1＋32)2＝1＋32.7．(2009广东高考，理4)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于A ．n(2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 答案：C 由{a n }为等比数列，则a 5·a 2n －5＝a 1·a 2n －1＝22n ， 则(a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1)2＝(22n )n ⇒a 1·a 3·…·a 2n －1＝2n 2， 故log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1·a 3·…·a 2n －1)＝n 2.8．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于 A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案：A 由a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2),2a n ＝a n ＋1＋a n －1，得a n 2＝2a n ，即a n ＝2或a n ＝0(舍去)，所以S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2.9．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是A ．i<4?B ．i<5?C ．i ≥5?D ．i<6? 答案：D 该程序的功能是求和∑i ＝1n1i(i ＋1)，由输出结果56＝11×2＋12×3＋…＋1n ×(n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，得n ＝5. 10．(2009山东潍坊高三第二次质检，11)已知函数f(x)＝log 2x 的反函数为f －1(x)，等比数列{a n }的公比为2，若f －1(a 2)·f －1(a 4)＝210，则2f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)等于A ．21004×2008B ．21005×2009C ．21005×2008D ．21004×2009答案：D 由题意，得f －1(x)＝2x ，故f －1(a 2)·f －1(a 4)＝4222aa ⋅＝210， ∴a 2＋a 4＝10，即2a 1＋8a 1＝10. ∴a 1＝1.则f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)＝log 2(a 1·a 2·…·a 2009)＝log 220＋1＋2＋…＋2008＝1＋20082×2008＝1004×2009.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．若等差数列{a n }中，a 1＋4a 7＋a 13＝96，则2a 2＋a 17的值是__________． 答案：48 ∵a 1＋4a 7＋a 13＝96，a 1＋a 13＝2a 7， ∴a 7＝16.∴2a 2＋a 17＝a 1＋a 3＋a 17＝a 7＋a 11＋a 3＝a 7＋2a 7＝3a 7＝48.12．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k(k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0，其中正确判断的序号是__________．答案：①④ 从定义可知，数列{a n }若构成“等差比数列”，则相邻两项不可能相等，所以①正确；而等差数列与等比数列均可能为常数列，就有可能不能构成“等差比数列”，所以②③错误；如数列为{2,0,2,0,2，0，…}，则能构成“等差比数列”，所以④正确．综上所述，正确的判断是①④.13．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a(a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26等于__________．答案：b 2a 由a 15＋a 16a 5＋a 6＝(a 5＋a 6)q 10a 5＋a 6＝b a ，则q 10＝ba ，则a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)(q 10)2＝a ×(b a )2＝b 2a.14．对于一切实数x ，令[x]为不大于x 的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f(n3)，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝__________.答案：3n 2－n 2 ∵f(x)＝[x]，∴a n ＝f(n 3)＝[n3]，n ∈N *.于是，S 3n ＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ) ＝(0＋0＋1)＋(1＋1＋2)＋…＋[(n －1)＋(n －1)＋n]＝1＋4＋…＋(3n －2)＝n[1＋(3n －2)]2＝3n 2－n 2.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题满分10分)(2009福建高考，文17)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .答案：解：(1)设{a n }的公比为q. 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n(－16＋12n －28)2＝6n 2－22n.16．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n(2n －1)(n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn(n ∈N *)，试判定：是否存在自然数n ，使得b n ＝900，若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．答案：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(2n －1)－(n －1)(2n －3)＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，适合． ∴a n ＝4n －3.∵a n －a n －1＝4(n ≥2)，∴{a n }为等差数列．(2)解：由(1)知，S n ＝2n 2－n ，∴S nn＝2n －1.∴b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.由n 2＝900，得n ＝30，即存在满足条件的自然数，且n ＝30.17．(本小题满分10分)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .答案：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N *. 又a 1－1＝1，所以数列{a n －n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n)＝4n －13＋n(n ＋1)2.18．(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求和：1S 1＋1S 2＋…＋1S n.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 3b 3＝(9＋3d)q 2＝960，S 2b 2＝(6＋d)q ＝64.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎨⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n(n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n(n ＋2) ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 19．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝8，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答案：解：(1)∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n . ∴{a n }为等差数列．设公差为d ，则由题意，得8＝2＋3d ，∴d ＝2. ∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n.(2)∵b n ＝2n －1·2n ＝n·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②，得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2×(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n)×2n ＋1－2.∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。
高中数学必修五第二章《数列》单元测试卷及答案
高中数学必修五第二章《数列》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x +=+的两根，则8a 等于（ ） A ．1B ．1-C ．1±D ．不能确定3．已知数列{}n a 的通项公式是31,22,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则23a a 等于（ ）A ．70B ．28C ．20D ．84．已知0a b c <<<，且a ，b ，c 为成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．以上都不对5．在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，且2116a a =，495a a +=，则611a a 等于（ ） A ．6B ．23C ．16D ．326．在等比数列{}n a 中，11a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(),01),(-∞∞+C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)3,+∞7．正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是（ ） A ．65B ．65-C ．25D ．25-8．等差数列{}n a 中，若81335a a =，且10a >，n S 为前n 项和，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．11SD ．10S9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1316n n S x -⋅=-，则x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．12D ．12-10．等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 前n 项和，已知62S =，95S =，则15S =（ ）A ．15B ．30C ．45D ．6011．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆， 3.14π=，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位) （ ） A ．14 mB ．15 mC ．16 mD ．17 m12．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n ++-∈=N ．若32b =-，1012b =，则8a =（ ） A ．0B ．3C ．8D ．11二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S 等于________． 14．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =，则9a =__________． 15．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，160S >，170S <则当n =________时，n S 最大．16．数列{}n x 满足1lg 1lg ()n n x x x *++∈=N ，且12100100x x x +++=，则101102200()lg x x x +++=________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c=+，求非零常数c ．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?答 案一、选择题 1．【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得11141037a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得2d =．故选B ．2．【答案】B【解析】由题意得，41230a a +=-<，41210a a ⋅=>， ∴40a <，120a <．∴80a <，又∵812421a a a ⋅==，∴81a =-．故选B ． 3．【答案】C【解析】由通项公式可得22=a ，30=1a ，∴2320=a a ．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =． 又∵()log log log 2log log log log 112n n c b n n a a c ac b n n n==+=+=，∴log log g 1l 12o c b a n n n=+．故选C ． 5．【答案】B【解析】∵492116a a a a ==⋅，又∵495a a +=，且1n n a a <＋，∴42a =，93a =，∴45932a a q ==， 又6151123a q a ==．故选B ． 6．【答案】C【解析】设等比数列的公比为q ，则22313124S q q q ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭==．∴3S 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选C ．7．【答案】D【解析】∵{}n a 为正项等比数列，241a a =， ∴31a =，又∵313S =，∴公比1q ≠． 又∵()3311131a q S q-==-，231aa q =，解得13q =． ∴3333133n n n n a a q--⎛⎫= ⎪⎝⎭==－，∴3log 3n n b a n ==-．∴12b =，107b =-．∴()()11010101052522S b b +⨯-===-．故选D ．8．【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为81335a a =，所以12390a d +=，即1400a a +=， 所以20210a a +=，又10a >，0d <，故200a >，210a <， 所以n S 中最大的是20S ．故选B ． 9．【答案】C 【解析】1116a S x ==-， 221113266a S S x x x --+===-，3321136669a S S x x x --+===-， ∵{}n a 为等比数列，∴2213a a a =，∴21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12x =．故选C ．10．【答案】A【解析】解法一：由等差数列的求和公式及6925S S =⎧⎨=⎩知，116562259829a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，∴1427127a d =-⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴115151415152S a d ⨯=+=．故选A ．解法二：由等差数列性质知，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，设其公差为D ，则96522396969S S D -==-=，∴227D =， ∴15952661159927S S D =+=+⨯=，∴1515S =．故选A ． 11．【答案】B【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列， 则()126041260480 3.141507.2152l d d d cm m +=ππ+ππ⨯=+⨯6=≈+＝，故选B ． 12．【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项， 由32b =-，1012b =，∴2d =，16b =-，∴28n b n =-， ∵1n n n b a a =-＋．∴8877665544332211()()()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+＋－ ()7654321176278332b b b b b b b a -+⨯-++++++=+=+=．故选B ．二、填空题 13．【答案】218【解析】∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =， ∴31682q ==--，∴2q =-． 又451a a q =，∴121168a -==-， ∴()()666111212181128S a q q⎡⎤----⎣⎦===-+．14．【答案】15【解析】设等差数列公差为d ，则3113233233S a a d d ⨯=+=+=，11a d +=，① 又161656615242d d S a a ⨯=+=+=，即1258a d +=．② 联立①②两式得11a =-，2d =， 故91818215a a d =-+⨯==+． 15．【答案】8【解析】∵()()()116168911717916802171702a a S a a a a S a ⎧+==+>⎪⎪⎨+⎪==<⎪⎩，∴80a >而10a >，∴数列{}n a 是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大． 16．【答案】102【解析】由题意得110n n x x +=，即数列{}n x 是公比为10的等比数列， 所以100102101102200121001010()x x x x x x ++=++=++⋅，故101102200l (g )102x x x ++=+．三、解答题17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．【答案】（1）32n a n =-；（2）4． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴1226a a a =⋅， ∴211()(1)5d d +⨯=+，∴23d d =， ∵0d ≠，∴3d =， ∴11()332n a n n +-⨯=-=． （2）数列{}n b 的首项为1，公比为214a q a ==． ∵121441143k k k b b b -==-+-++， ∴41853k -=，∴4256k =，∴4k =，∴正整数k 的值为4．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．【答案】（1）2n a n =+；（2）2101． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得11143615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以1)2(1n a a n d n -=++=． （2）由（1）可得2n n b n =+． ∴231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++ 231022221210((3))=+++++++++()()1021210110122-⨯+=+-()111122552532101===-++．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c=+，求非零常数c ． 【答案】（1）43n a n =-；（2）12-．【解析】（1）{}n a 为等差数列， ∵342522a a a a +=+=， 又34117a a ⋅=，∴3a ，4a 是方程2221170x x +=-的两个根． 又公差0d >，∴34a a <，∴39a =，413a =． ∴1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴114a d =⎧⎨=⎩，∴43n a n =-．（2）由（1）知，()211422n n n S n n n -⋅+⨯=-=，∴22n n S n c n cn nb ==-++， ∴111b c =+，262b c =+，3153b c=+， ∵{}n b 是等差数列，∴2132b b b =+， ∴220c c +=，∴12c =-(0c =舍去)．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值．【答案】（1）21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）316179n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）∵11()3n n a S n ++=∈N ，∴11()32,n n a S n n +≥∈=N －，∴两式相减，得113n n n a a a +-=．即()1423n n a a n +=≥．11111333a S ==，211433a a =≠．∴数列{}n a 是从第2项起公比为43的等比数列， ∴21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）知，数列2a ，4a ，6a ，…，2n a 是首项为13，公比为169的等比数列，∴24621161393161167919nnn a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）12n n a -=，*n ∈N ，21n b n =-，*n ∈N ；（2）233(2)n n S n -=+，*n ∈N ． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ．由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，消去d ，得42280q q --=． 又因为0q >，解得2q =，2d =． 所以{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n ∈N ，{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n ∈N ．（2）由（1）有1)1(22n n c n =－－， 设{}n c 的前n 项和为n S ， 则0121123252(212)n n S n -=+⨯⨯⨯+-⨯++， 123(212325222)1n n S n ⨯⨯⨯+=-++⨯+，两式相减，得23()()12222122323n n n n S n n -++-⨯-⨯=++---=．所以233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 【答案】（1）2018年底；（2）2014年底． 【解析】（1）设中低价房面积构成数列{}n a ， 由题意知：{}n a 是等差数列，其中1250a =，50d =， ∴()2125050252252n n n S n n n -+⨯+==，令2252254750n n +≥， 即291900n n -≥+， 解得19n ≤-或10n ≥， ∴10n ≥．故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4750万m 2． （2）设新建住房面积构成等比数列{}n b ．由题意知{}n b 为等比数列，1400b =， 1.08q =．∴1400 1.08()n n b -⨯=， 令0.85n n a b >，即1250150400 1.0()()80.85n n -+-⨯>⨯⨯， ∴满足不等式的最小正整数6n =．故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．单元测试题二一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在数列{}n a 中，12=a ，1=221n n a a ＋＋，则101a 的值为（ ） A ．49B ．50C ．51D ．522．已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．31D ．643．等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81B ．120C ．168D ．1924．等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2205．数列{}n a 中，37 ()n a n n +=∈N －，数列{}n b 满足113b =，1(72)2n n b b n n +≥=∈N －且，若log n k n a b +为常数，则满足条件的k 值（ ） A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在6．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x +=-的两根，则4a 等于（ ）A ．8B ．8-C ．8±D ．以上都不对7．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2B ．1或2-C ．1-或2D ．1-或2-8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于（ ） A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．1:39．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于（ ）A ．1514B ．1213C ．1316D ．151610．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21B ．20C ．19D ．1811．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．2X Z Y += B ．()()Y Y X Z Z X =-- C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X =--12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的（ ） A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项 D ．第51项二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 1311的等比中项是________．14．已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项， 则公差为______．15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．16．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<；②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．18．（12分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 的前n 项和S n ．19．（12分）已知数列{}2log 1()() n a n *∈N －为等差数列，且13a =，39a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：213211111n na a a a a a ++++<---．20．（12分）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a =+＋． （1）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．21．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11,2,1(,)23n n a S n +==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当()132log 3n n b a =＋时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T nn =+．22．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意n *∈N ，它的前n 项和n S 满足1()()612n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11()1n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．答 案一、选择题 1．【答案】D【解析】由1=221n n a a ++得11=2n n a a -＋，∴{}n a 是等差数列首项12=a ，公差1=2d ，∴13212)2(n n a n =++-=，∴1011013522a +==．故选D ．2．【答案】A【解析】在等差数列{}n a 中，79412a a a a +=+， ∴1216115a =-=．故选A ． 3．【答案】B【解析】由352a a q =得3q =．∴213a a q==，44411133120113q S a q --=⨯=--＝．故选B ． 4．【答案】B【解析】∵123181920120219318()()()()()a a a a a a a a a a a a +++++=+++++ 120()3247854a a +=+=-=，∴12018a a +=．∴12020201802S a a +==．故选B ． 5．【答案】B【解析】依题意，133213111127333n n n n b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴32log 37log 11()3373l g 32o n n k n k ka b n n n -⎛⎫+== ⎪⎭+⎝-+-- 1133log 372log 3k k n ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭， ∵log n k n a b +是常数，∴133log 03k +=，即log 31k =，∴3k =．故选B ． 6．【答案】A【解析】∵2634a a +=，2664a a ⋅=，∴2464a =， ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8．故选A ． 7．【答案】C【解析】依题意有4652a a a =-，即24442a a q a q =-，而40a ≠， ∴220q q --=，1)20()(q q +=-．∴1q =-或2q =．故选C ． 8．【答案】A【解析】显然等比数列{}n a 的公比1q ≠，则由105510551111221S q q q S q -==+=⇒=--， 故3155315555111132141112S q q S q q ⋅⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====⎛⎫---- ⎪⎝⎭．故选A ． 9．【答案】C【解析】因为1239a a a =⋅，所以2111()()28a d a a d +=⋅+．所以1a d =． 所以1391241013101331316a a a a d a a a a d +++==+++．故选C ．10．【答案】B【解析】∵214365(())3)(a a a a a a d -+-+-=， ∴991053d -=．∴2d =-．又∵135136105a a a a d ++=+=，∴139a =． ∴()()221140204002n n n d n n na n S -=+=-+=--+．∴当20n =时，n S 有最大值．故选B ． 11．【答案】D【解析】由题意知n S X =，2n S Y =，3n S Z =． 又∵{}n a 是等比数列，∴n S ，2n n S S －，32n n S S －为等比数列， 即X ，Y X -，Z Y -为等比数列， ∴2()()Y X X Z Y ⋅=--， 即222Y XY X ZX XY +-=-， ∴22=Y XY ZX X --，即()()Y Y X X Z X =--．故选D ． 12．【答案】C【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个， 即11⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭，123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12,,,11n n n ⎛⎫⎪-⎝⎭，则第n 组中每个数分子分母的和为1n +，则56为第10组中的第5个， 其项数为1239)550(++++=+．故选C ．二、填空题 13．【答案】1±【解析】11的等比中项为a ，由等比中项的性质可知，)2111a ==，∴1a =±．14．【答案】4-【解析】由6723502360a d a d =+≥⎧⎨=+<⎩，解得232356d -≤<-，∵d ∈Z ，∴4d =-． 15．【答案】15【解析】设每一秒钟通过的路程依次为1a ，2a ，3a ，…，n a ， 则数列{}n a 是首项12a =，公差2d =的等差数列，由求和公式得()112402n na n d -=＋，即(12)240n n n +-=，解得15n =． 16．【答案】①②④【解析】①中，()()9910099100111011a a a a a ⎧--<⎪>⎨⎪>⎩⇒99100101a a >⎧⎨<<⎩100990,1()q a a =∈⇒，∴①正确．②中，29910110010099101011a a a a a a ⎧=⎪⇒⎨<<⎪⎩<，∴②正确． ③中，100991001010090901T T a a T T =⎧⇒⎨<<<⎩，∴③错误． ④中，()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a =>＝＝，()()199121981991199991011001T a a a a a a a a a ⋅<==，∴④正确．三、解答题17．【答案】（1）212n a n =-；（2）()413n n S =－． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵36a =-，60a =，∴112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-，2d =．∴101()2212n a n n =-⨯=-=-． （2）设等比数列{}n b 的公比为q ．∵212324b a a a =++=-，18b =-，∴824q -=-，3q =． ∴数列{}n b 的前n 项和公式为()111413n n nS q b q-==-－． 18．【答案】()9n S n n =-或(9)n S n n -=-． 【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ++=-⎧⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得182a d =-⎧⎨=⎩，或182a d =⎧⎨=-⎩．因此8()19()n S n n n n n +-=-=-，或81()9()n S n n n n n ==----． 19．【答案】（1）21n n a =+；（2）见解析．【解析】（1）解设等差数列{}2(og )l 1 n a －的公差为d ． 由13a =，39a =，得22log 91log 32()(1)d --=+，则1d =． 所以2log 1111()()n a n n +-=⨯-=，即21n n a =+． （2）证明因为11111222n n nn n a a ++==--， ∴12321321111111111112221112222212n n n n n a a a a a a +-⨯+++=++++==-<----． 20．【答案】（1）见解析；（2）1()21n n S n -⋅=+． 【解析】（1）证明由已知122nn n a a =+＋，得1111122222nn n nn n n nn a b a b a +-++===+=+．∴11n n b b -=＋，又111b a ==．∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列． （2）解由（1）知，n b n =，12n n n n a b -==．∴12n n a n ⋅=－．∴121122322n n S n +⋅⋅+=⋅++－，两边乘以2得：()11221222122n n n S n n =++⋅+-⋅+⋅⋅－，两式相减得：12112222(21?221)1n n n n n n S n n n ++-=-=-++⋅---－＝，∴1()21n n S n -⋅=+．21．【答案】（1）21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩；（2）见解析．【解析】（1）解由已知()1112,212n nn n a S a Sn +-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≥，得()1322n n a a n +≥=． ∴数列{}n a 是以2a 为首项，以32为公比的等比数列． 又121111222a S a ===，∴()22322n n a a n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭=⨯．∴21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩． （2）证明()11log 3lo 3333=2222g n n n n b a -⎡⎤⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋．∴()1111111n n b b n n n n +==-++． ∴12233411111111111111122334n n n T b b b b n b b b b n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+ 1111nn n=-=++． 22．【答案】（1）32,n a n n *=-∈N ；（2）22186n T n n -=-． 【解析】(1)∵对任意n *∈N ，有1()()612n n n S a a =++，①∴当1n =时，有1111112()()6S a a a ==++，解得11a =或2．当2n ≥时，有1111())62(1n n n S a a ---=++．②①－②并整理得113()()0n n n n a a a a --+--=． 而数列{}n a 的各项均为正数，∴13n n a a --=． 当11a =时，(1313)2n a n n +-=-=， 此时2249=a a a 成立；当12=a 时，23=(3=11)n a n n +--，此时2249=a a a 不成立，舍去． ∴32,n a n n *=-∈N ． （2）212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a =++=-+-++-＋ 21343522121()()()n n n a a a a a a a a a =-+-++-－＋242666n a a a --=--242(6)n a a a ++=-+246261862n nn n +-=-⨯-=-。
人教A版高中数学必修五必修5第二章《数列》单元测试题.docx
必修5第二章《数列》单元测试题一、选择题1.数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是( )A ．12)1(3++-=n n n a nn B ．12)3()1(++-=n n n a n n C ．121)1()1(2--+-=n n a n n D ．12)2()1(++-=n n n a n n2.已知{}{},n n a b 都是等比数列，那么 （ ） A. {},{}n n n n a b a b +⋅都一定是等比数列B. {}n n a b +一定是等比数列，但{}n n a b ⋅不一定是等比数列C. {}n n a b +不一定是等比数列，但{}n n a b ⋅一定是等比数列D. {},{}n n n n a b a b +⋅都不一定是等比数列 3.在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A.4-B. 4±C.2-D.2±4.已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A. 4- B.6- C. 8- D. 10-5.等差数列{n a }中，39||||,a a =公差0,d <那么使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A.5 B.6 C.5 或6 D.6或76.n S 等差数列}{n a 的前n 项和，已知59355,9a Sa S ==则（ ）． A ．1 B ．1- C ．2 D ．127.若两个等差数列{n a }、{n b }的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则1313a b 的值为（ ）A.5160 B.6051 C.2019D.878.若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．129.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=L ( )A.2(21)n -B.21(21)3n - C.41n - D.1(41)3n-10.等比数列{}n a 中,0n a >,965=a a ,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A.12 B.10 C.8 D.32log 5+ 二、填空题11.等差数列{}n a 中，123420,80a a a a +=+=，则10S =________12.在－9和3之间插入n 个数，使这2+n 个数组成和为－21的等差数列，则=n _______． 13.在等差数列{n a }中，已知1231215,78,155,n n n n a a a a a a S --++=++==则__.n = 14.已知数列{}n a 满足1n n a a n +=+，11=a ，则n a = . 15.已知数列1, ，则其前n 项的和等于 .三、解答题16.已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，求n a17.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数18．已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n an ∈=(1)判断{}n a 是何种数列，并给出证明； (2)若2021138,b b b m a a Λ求=+19.甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m ．（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？20．已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式．21.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且42(1,2,)1S a n n n =+=+L ，11a =（1）设nn n a a b 21-=+),2,1(ΛΛ=n ，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a的通项公式；（3）数列{}n a中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由.必修5第二章《数列》单元测试题参考答案一、选择题 1.答案：D2.答案：C3.答案：A4.答案：B5.答案：C提示：由0,93<=d a a 得0,093<>a a ，于是93a a -=，则06=a ，故0,075<>a a ，所以选择C6.答案：A 提示：由已知可得955292225951913535==++==S S a a a a a a a a ，于是159=S S 7.答案：A 提示：55142))(12(2))(12(221212121121121121--==+-+-=++==------n n B A b b n a a n b b a a b a b a n n n n n n n n n n8.答案：A 提示：设边数为n ，则可得到等式2)140100(360180+=-n n ，解得6=n9.答案：D 提示：由21nn S =-得等比数列的首项为1，公比为2，于是数列}{2n a 是以1为首项，以4为公比的等比数列，其前n 项和可直接运用公式得到.10.答案：B 提示：10)(log )(log log log log log 565310213103332313==⋅⋅⋅=++++a a a a a a a a a ΛΛ二、填空题11.答案：700提示：直接由已知条件求出首项和公差,然后再运用前n 项和公式可求出10S . 12.答案：6提示：直接利用等差数列求和公式可求解.13.答案：10提示：利用等差数列的性质得23121--+=+=+n n n a a a a a a ,再利用等差数列求和公式可得到结果.14.答案：12)1(+-=n n a n 提示:利用叠加法可求得数列的通项 15.答案：12+n n提示:根据通项)111(2)1(23211+-=+=++++=n n n n n a nΛ,采用裂项求和的方法可得到结果. 三、解答题16.解：111132,32,2(2)n n n n n n n n S S a S S n ----=+=+=-=≥而115a S ==，∴⎩⎨⎧≥==-)2(,2)1(,51n n a n n17.解：设此数列的公比为,(1)q q ≠，项数为2n则22222(1)1()85,170,11n na q q S S q q--====--奇偶 2221122,85,2256,28,14nn S a q n S a -======-偶奇 ∴,2=q 项数为818．解：（1）{}n b Θ是等比数列，依题意可设{}n b 的公比为)0(>q q2(1≥=∴-n q b b n n ） )2(331≥=∴-n q n na a )2(31≥=∴--n q n n a a )2(log 31≥=-∴-n q a a n n 为一常数。
高中数学人教A版必修5第二章 数列本章复习与测试(有答案)
10. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D. 18 11. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （ ）A.1B.9C.10D.55 12. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n - 二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_______________. 14. 在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式=n a _____________.15. 设数列{}n a 中，1211++==+n a a a n n ，，则通项=n a _____________.16. 设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若ɑ2019和ɑ2020是方程03842=+-x x 的两根，则 ɑ2020+ɑ2021 =_____________. 三、解答题17. 已知{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式.18. 已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19. 已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求na 及n S ；（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足n n b a 2log 2=，求数列{}n b 的前n 项和．21. 成等差数列的三个正数之和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅰ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列．参考答案：二、填空题13. ___24____. 14. )(4*1N n n ∈-. 15. )(22*2N n n n ∈++. 16.______18______.三、解答题17.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则.2,23432q q a a qq a a ====.32022,32042=+∴=+q q a a 即.3131+=+q q解之得3=q 或.31=q当3=q 时，)(32*333N n q a a n n n ∈⨯==--；当31=q 时，)(32)31(2*3333N n q a a n n n n ∈=⨯==---. 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=,所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ,所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d..13,2626756=∴=+=a a a a由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ，.22)(21n n a a n S n n +=+=（Ⅱ）12+=n a n ，)1(412+=-∴n n a n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .n n b b b T +++=∴ 21=)1113121211(41+-++-+-n n =)111(41+-n =4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + .20. 解：（Ⅰ）q p S a +-==211，23)2()44(122-=+--+-=-=p q p q p S S a ， 25)44()69(233-=+--+-=-=p q p q p S S a ，由3122a a a +=得,25246-++-=-p q p p.0=∴q（Ⅱ）根据题意，5132a a a +=所以1a 与5a 的等差中项为183=a .由（Ⅰ）知.4,1825=∴=-p p 从而.8,10,221===d a a.68)1(1-=-+=∴n d n a a n.34log ,68log 222-=-==∴n b n b a n n n故.16216812)2(213434---⨯=⨯=⋅==n n n n n b因此，数列}{n b 是等比数列，首项21=b ，公比.16=q所以数列{}n b 的前n 项和qq b T n n --=1)1(121. 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+， 依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得 所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去） 故{}n b 的10,5743==-=b d b ，公比2=q . 由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.22.解: （Ⅰ）因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图象上.所以得n n S b r =+,11a S b r ==+,b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(，2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=，{}n a 为等比数列,3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又 解得1r =-.（Ⅱ）当2=b 时，由（Ⅰ）知，12-=n n S .当2≥n 时，.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a111=-=b a 满足上式，所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++，………………（1） 3451212341222222n n n n n T +++=+++++……（2） ）（）（21-,得: 23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--. 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.。
苏教版高中数学必修五第二章数列单元测试试卷
解二： ， ，
∴ ，∴ .
2.【解析】设等差数列 的公差为 ，
， ， ，故选：B.
3.【解析】由 得 ，所以 ，
又因为 ，得 ，所以 ， .故选：D
4.【解析】设等比数列 的公比为 ，则
，化简得 ， ，
解得 ，所以 ，故选： B
5.【解析】设正项数列 的奇数Fra bibliotek依次成公差为 的等差数列，偶数项依次成公比为 的等比数列，由题 ， ， ， ，
11.【解析】因为 ，所以 ，
两式作差得 ，所以 ，
两式再作差得 ，可得数列 的偶数项是以4为公差的等差数列，从 起奇数项也是以4为公差的等差数列.
若对 恒成立，当且仅当 .
又 ， ，
所以 ，解得： .
即首项 的取值范围是 .
12.【解析】（1）因为 ，
所以 ，两式作差可得 ，
整理得 ，则 ，
故 ，
《数列》单元测试试卷
本试卷满分100分，考试时间80分钟．
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则公差 （）
A． B． C．2D．4
2．已知等差数列 中 那么 （）
A．17B．9C．10D．24
（1）求证：数列 为等差数列，并求其通项公式 ；
（2）求 ；
（3）若 恒成立，求实数 的最大值.
15．（本小题满分14分）
设数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式：
（2）设数列 的前n项和为 ，求证： 为定值；
（3）判断数列 中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．
参考解析
数列(必修5第二章)水平测试C卷
数列（必修5第二章）水平测试C 卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共50分)1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－112．数列{a n }满足a n a n ＋1＝2，且a 2＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 31为( ) A ．45 B ．46 C ．47 D ．483．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．104．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝anbn ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，那么a n 与a n ＋1的大小是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值有关5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且11++-n n n a a a ＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210B.129C.110D.156．已知数列{a n }满足a 1＝8，a 2＝0，a 3＝－7，且数列{a n ＋1－a n }为等差数列，则a n 的最小值为( )A ．－30B ．－29C ．－28D ．－277．若“★”表示一种运算，其运算法则如下： (1)1★1＝2；(2)(n ＋1) ★1＝2(n ★1)＋1，(n ∈N *)．则按照这种运算法则，n 1等于( )A ．2n －1B ．2nC ．2nD ．3·2n －1－1 8．已知数列{a n }是等比数列，公比q>0，S n 为其前n 项和，S 2＝3，S 4＝15.则S 10等于( ) A ．511 B ．1 023 C ．2 047 D ．2 0489．在函数y ＝f(x)的图象上有点列{x n ，y n }，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝(34)x B ．f(x)＝log 3x C ．f(x)＝4x 2 D ．f(x)＝2x ＋110．设f(x)是定义在R 上恒不为0的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f(x)·f(y)＝f(x ＋y)，若a 1＝12，a n ＝f(n)(n 为常数)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1]D ．[12，1)二、填空题（每小题4分，共28分)11．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，且点P 1(3，a 3)，P 2(4，a 4)在函数y=2x+b 的图像上，则S 4＝______.12．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N *)，且{a n ＋λ2n }为等差数列，则λ的值是________．13．为了观看2010年在广州举办的第十六届亚运会，小王从2005年1月1日起，每年到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，若到2010年1月1日他将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为______万元．14．有限数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，若把S 1＋S 2＋…＋S nn 称为数列{a n }的“优化和”，若数列a 1，a 2，a 3，…，a 2 011的“优化和”为2 012，则数列1，a 1，a 2，a 3，…，a 2 011的优化和为______．15．若数列1,2cosθ，22cos 2θ，23cos 3θ，…，2k cos k θ，…前2 012项之和为0，则θ的值为______．16．已知数列{a n }满足a 1＝36，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为______．17．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a 元/m 2，再根据楼层的不同上下浮动．一层的价格为(a －d)元/m 2，二层的价格为a 元/m 2，三层的价格为(a ＋d)元/m 2，第i 层(i ≥4)的价格为[a ＋d(23)i －3]元/m 2，其中a>0，d>0，则该商品房的各层房价的平均价格是______．三、解答题(共72分)18．(14分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .19．(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋cn(c ∈R ，n ＝1,2,3，…)，且S 1，S 22，S 33成等差数列．(1)求c 的值；(2)求数列{a n }的通项公式．20．(14分)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．21．(15分)已知数列{a n }的各项为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .22．(15分)某鱼塘养鱼，由于改进饲养技术，预计第一年的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原有产量为a.(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n 年与第n －1年(n ≥2，n ∈N *)的产量之间的关系式；(2)由于存在环境污染等问题，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐步提高的？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将不如上一年．答案解析1、解析：设公比为q ，则8a 1q ＋a 1q 4＝0， ∵a 1，q 都不为0，∴q ＝－2.∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝33－3＝－11. 答案：D2、解析：由已知得a 1＝2，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1…，∴数列{a n }为周期数列． 周期T ＝2，∴S 31＝15(a 1＋a 2)＋a 31＝15×3＋2＝47. 答案：C3、解析：由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，得a 6＝16，a 7－12a 8＝(a 6＋d)－12(a 6＋2d)＝12a 6＝8.答案：C4、解析：a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋c －anbn ＋c ＝a (n ＋1)(bn ＋c )－an[b (n ＋1)＋c](bn ＋b ＋c )(bn ＋c )＝ac(bn ＋b ＋c )(bn ＋c )>0，∴a n ＋1>a n .答案：B5、解析：当n ≥2时，由已知得1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，∴2＝a n a n －1＋a n a n ＋1，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴数列{1a n }是等差数列，又∵a 1＝2，a 2＝1，∴1a 1＝12，1a 2＝1，d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝n2，∴a n＝2n ，∴a 10＝210＝15. 答案：D6、解析：由已知a 2－a 1＝－8，a 3－a 2＝－7.又∵{a n ＋1－a n }为等差数列，∴a n ＋1－a n ＝n －9.a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝8－8－7＋…＋(n －10)＝8＋(n －18)(n －1)2＝n 22－192n ＋17. ∴当n ＝9或10时a n 取最小值为－28. 答案：C7、解析：设n 1＝a n ，则a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2，所以{a n ＋1}为等比数列，首项为a 1＋1＝3，公比为2.所以a n ＋1＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－1.答案：D8、解析：由已知q ＝1时不成立．∴a 1＋a 1q ＝3，且a 1(1－q 4)1－q ＝15，从而解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3q ＝－2(舍去)．∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝210－1＝1 023.答案：B9、解析：结合选项，对于函数f(x)＝(34)x 上的点列{x n ，y n }，有y n ＝(34)x n .由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n ＝(34)x n ＋1(34)x n ＝(34)x n ＋1－x n ＝(34)d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．答案：A10、解析：由f(x)·f(y)＝f(x ＋y)，a n ＝f(n)，令x ＝n ，y ＝1，得a n ·a 1＝a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝a 1，又∵a 1＝12，∴数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列，∴S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n ，∴当n ∈N *时，12≤1－12n <1.答案：D11、解析：设公比为q ，且q>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝1a 4－a 34－3＝a 1q 3－a 1q 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2a 1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－1a 1＝－1(舍去)， ∴S 4＝12(1－24)1－2＝12(24－1)＝152.答案：15212、解析：由a n ＋1＝2a n ＋2n －1可得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12－12n ＋1，则a n ＋1＋λ2n ＋1－a n ＋λ2n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n －λ2n ＋1＝12－12n ＋1－λ2n ＋1＝12－λ＋12n ＋1，当λ的值是－1时，数列{a n －12n }是公差为12的等差数列． 答案：－113、解析：从后向前考虑，因2010年不再存款，故可取回的钱的总数为：(1＋p)＋(1＋p)2＋…＋(1＋p)5＝(1＋p )[(1＋p )5－1]p ＝1p[(1＋p)6－(1＋p)]．答案：1p[(1＋p)6－(1＋p)]．14、解析：由已知得S 1＋S 2＋…＋S 2 0112 011＝2 012，∴S 1＋S 2＋…＋S 2 011＝2 011×2 012.又数列1，a 1，…，a 2 011的优化和为 1＋(1＋S 1)＋(1＋S 2)＋…＋(1＋S 2 011)2 012＝2 012＋2 011×2 0122 012＝2 012.答案：2 01215、解析：显然当2cosθ＝1时不合题意． ∴1×[1－(2cosθ)2 012]1－2cosθ＝0.∴2cosθ＝－1，∴θ＝2kπ±2π3，k ∈Z.16、解析：∵a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝36＋2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝36＋n 2－n. ∴a n n ＝36n＋n －1.由对钩函数可知 当且仅当n ＝6时取等号． 答案：1117、解析：由已知各层房价的总和为(a －d)＋a ＋(a ＋d)＋(a ＋23d)＋[a ＋(23)2d]＋[a ＋(23)3d]＋…＋[a ＋(23)17d]＝20a ＋d[23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)17]＝20a ＋d ×23[1－(23)17]1－23＝20a ＋2d[1－(23)17]， ∴各层房的平均价格为a ＋110[1－(23)17]d.答案：D18、解：(1)设公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知有⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2(1a 1＋1a 1q)a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64(1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q4).化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2a 21q 6＝64.又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝(a n ＋1a n )2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2. 故T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝4n－14－1＋1－14n1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1.19、解：(1)∵nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋cn(n ＝1,2,3，…)， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝n 2＋cn n (n ＋1)(n ＝1,2,3，…)． ∵S 1，S 22，S 33成等差数列，∴S 22－S 11＝S 33－S 22.∴1＋c 2＝4＋2c 6，∴c ＝1.(2)由(1)得S n ＋1n ＋1－S nn ＝1(n ＝1,2,3，…)．∴数列{S n n }是首项为S 11，公差为1的等差数列．∴S n n ＝S 11＋(n －1)·1＝n.∴S n ＝n 2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，上式也成立，∴{a n }的通项公式是a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)．20、解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， 所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)解：由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－(－12)n －11－(－12)＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1， 当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．21、解：(1)证明：S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，n ＝1时，S 1＝a 1(a 1＋1)2， ∴a 1＝1.⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n2S n －1＝a 2n －1＋a n －1⇒2a n ＝2(S n －S n －1)＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，n ≥2，所以数列{a n }是等差数列．(2)由(1)知a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，∴b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝11·2＋12·3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.22、解：(1)第一年增长率为2，第二年增长率为1，第三年增长率为12，…，第n 年增长率为22－n，∴a 1＝3a ，a 2＝6a ，a 3＝a 2(1＋12)＝9a ，∴a n ＝a n －1(1＋22－n )(n ≥2)． (2)设第n 年实际产量为b n ，则b 1＝a(1＋2)(1－110)＝3·910a ＝2710a ，b 2＝b 1(1＋1)·910，b 3＝b 2(1＋12)·910，…，b n ＝b n －1(1＋22－n )·910.∴b n b n －1＝910(1＋42n )，显然产量不可能逐年提高．设第n 年不如上一年，则b nb n －1<1，∴910(1＋42n )<1.∴2n >36， ∴n ≥6，∴从第6年起不如上一年产量．。
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高中数学必修五第二章数列复习测试卷
一、选择题：
1．已知数列｛n a ｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为
Ａ．0 B ．n Ｃ．n a 1 Ｄ．a 1n
2．如果,,1)()1(*∈+=+N n n f n f 且,2)1(=f 则=)100(f
102.101.100.99.D C B A
３．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =3n a －2,那么下面结论正确的是
Ａ．此数列为等差数列 B ．此数列为等比数列
Ｃ．此数列从第二项起是等比数列 Ｄ．此数列从第二项起是等差数列 ４．已知等差数列｛n a ｝满足,0101321=++++a a a a 则有
57.0.0.0.5199310021011==+<+>+a D a a C a a B a a A ５．如果数列｛n a ｝的前n 项和32
3-=n n a S ,那么这个数列的通项公式是 Ａ．n a =2(n 2+n +1) B ．n a =3·２n Ｃ．n a =3n +1
Ｄ．n a =2·3n ６．在等比数列｛n a ｝中，,60,482==n n S S 则n S 3等于
63.62.27.26.D C B A
７．已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为
Ａ．3n －1 B ．3(3n －1) Ｃ．419-n Ｄ．4
)19(3-n ８．实数等比数列｛n a ｝，n S ＝n a a a +++ 21，则数列｛n S ｝中
Ａ．任意一项都不为零 B ．必有一项为零
Ｃ．至多有有限项为零 Ｄ．可以有无数项为零
９．△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，a c 2=，则B cos ＝
3
2.42
.43
.41
.D C B A 10．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30.若最后一项超
过第一项10.5，则该数列的项数为
A ．18
B ．12
C ．10
D ．8
二、填空题：
1．等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d =-2 时，n =______________.
2．在等比数列{}n a 中，3415121
1-=-==n n S a a ，，，则=q ______________，=n ______________.
3．三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三
个数是 .
4．若数列{}n a 是等差数列，103,a a 是方程0532=--x x 的两根，则=+85a a .
5在等比数列{}n a 中，3254=a a ，=+++82212log log log a a a .
6．已知等比数列｛n a ｝的前m 项和,30,102==m m S S 则=m S 3 .
三、解答题： 1．已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .（7分）
2．已知数列｛n a ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，（8分）
（1）求.,42a a
（2）求证2
13-=n n a .
3)2(111411*********≥-++-+-+-n n （7分）
4．设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142
n n S a +=+ （8分）
（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式.
答案： 一、C C B C D D D D B D 二、1．4或10 2.－2 、10 3.4，8，16 或 16，8，4 4.3 5.20 6.70 三、1．解：设{}n a 的公差为d ，则
()()11112616350
a d a d a d a d ⎧++=-⎪⎨+++=⎪⎩即22111812164a da d a d ⎧++=-⎨=-⎩解得118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或 因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或
2．（1）解：.40133,1343,413,1342321=+==+==+==a a a a
（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，得 11232211)()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
13333321+++++=--- n n n
213-=n ； 2
13-=∴n n a . 3．解：)1111(21)1)(1(1112+--=-+=-n n n n n
1
11411311212222-++-+-+-∴n )]1
111()5131()4121()311[(21+--++-+-+-=n n )2.()1(21243)111211(21≥++-=+--+=n n n n n n 4．（I ）证明：由11,a =及142n n S a +=+，
12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-= 由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．②
②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-
又
12n n n b a a +=-，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．
（II ）解：由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224
n
n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n n
a 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n n a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅。