1.1利用函数性质判定方程解的存在
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具体有多少个实数解.
y f(a)>0
x1 x2 x3
O
xf(b)<0
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且在 (a,b)上有零点，但不一定满足f(a) ·f(b)<0
y f(a)>0 f(b)>0
x1
O
x
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且 f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a,b)内也可能存在零点。
所以方程 3x x2 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个
大于5,一个小于2.
y
解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1
f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1
f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物线, 所以抛物线与横轴在(5,+∞)内有一 交点,在(-∞,2)内也有一个交点.
y
f(a)>0 f(b)>0
x1 x2
O
x
典例分析:
北师大版数学教材 必修1
例 2.已知函数 f (x) 3x x2 .问:方程 f (x) 0 在[1,0] 内
有没有实数解?为什么?
解：由题意知函数 f (x) 3x x2 的图像是连续的,
又因为 f (1) 2 0 , f (1) 2 0 , 3
作业布置:
• 1.教材P119,习题4—1之A组第 2题.
• 2.教材P119,习题4—1之B组第 1题.
பைடு நூலகம் 课后思考：
请求出方程 x log2 x 0 的一个有解区间 (a,b) , 使得 b a 0.1.
实例分析：
例 1.判断方程 x2 x 6 0 是否存在实数解.
y
A
C
x2 x1
-4
O
4x
B
抽象概括:
我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横 坐标称为这个函数的零点.
函数的零点与方程的实数解之间有何关系？
（方程f(x)=0的实数根叫做函数y=f(x)的零点）
用函数的性质来断定方程有解的条件有哪些？
y
y
O1 x
O 12 3 x
1.怎样判断方程在给定区间上是否有实数解？ ①判断函数的图像在该区间上是否连续. ②判断函数在区间端点处的函数值是否异号. 注意：函数在区间端点处是否有意义！
2.函数的图像和性质在方程是否有解的判断过程中有哪些作用？ ①用函数图象的特征可以判断方程是否有解. ②分析函数的单调性可以判断方程是否有解. ③用函数图象 的连续性及端点函数值的符号判断方程是否有解.
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个
A.5
B.4
C.3
D.2
巩固提高：
北师大版数学教材 必修1
4.方程 x log2 x 0 在 (0,1) 上是否有实数解？
y
O1
x
深入理解：
北师大版数学教材 必修1
5.方程 x2 2 3 0 在区间 (0, 2) 上是否有实数解？ x 1
零点存在定理:
y
.
0 a.
bx
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续曲线，
并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则
在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应
的方程f(x)=0在区间(a,b) 内至少有一个实数解.
该判定方法只是指出了方程实数解的存在,但不能判断
O x1 2
-1
5 x2
x
方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一 个小于2
1.在二次函数 y ax2 bx c中，ac<0,则其零点的个
数为（ ）
Ａ.１
Ｂ.２
Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x) 对应值表：
x12345 6 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
y f(a)>0
x1 x2 x3
O
xf(b)<0
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且在 (a,b)上有零点，但不一定满足f(a) ·f(b)<0
y f(a)>0 f(b)>0
x1
O
x
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且 f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a,b)内也可能存在零点。
所以方程 3x x2 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个
大于5,一个小于2.
y
解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1
f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1
f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物线, 所以抛物线与横轴在(5,+∞)内有一 交点,在(-∞,2)内也有一个交点.
y
f(a)>0 f(b)>0
x1 x2
O
x
典例分析:
北师大版数学教材 必修1
例 2.已知函数 f (x) 3x x2 .问:方程 f (x) 0 在[1,0] 内
有没有实数解?为什么?
解：由题意知函数 f (x) 3x x2 的图像是连续的,
又因为 f (1) 2 0 , f (1) 2 0 , 3
作业布置:
• 1.教材P119,习题4—1之A组第 2题.
• 2.教材P119,习题4—1之B组第 1题.
பைடு நூலகம் 课后思考：
请求出方程 x log2 x 0 的一个有解区间 (a,b) , 使得 b a 0.1.
实例分析：
例 1.判断方程 x2 x 6 0 是否存在实数解.
y
A
C
x2 x1
-4
O
4x
B
抽象概括:
我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横 坐标称为这个函数的零点.
函数的零点与方程的实数解之间有何关系？
（方程f(x)=0的实数根叫做函数y=f(x)的零点）
用函数的性质来断定方程有解的条件有哪些？
y
y
O1 x
O 12 3 x
1.怎样判断方程在给定区间上是否有实数解？ ①判断函数的图像在该区间上是否连续. ②判断函数在区间端点处的函数值是否异号. 注意：函数在区间端点处是否有意义！
2.函数的图像和性质在方程是否有解的判断过程中有哪些作用？ ①用函数图象的特征可以判断方程是否有解. ②分析函数的单调性可以判断方程是否有解. ③用函数图象 的连续性及端点函数值的符号判断方程是否有解.
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个
A.5
B.4
C.3
D.2
巩固提高：
北师大版数学教材 必修1
4.方程 x log2 x 0 在 (0,1) 上是否有实数解？
y
O1
x
深入理解：
北师大版数学教材 必修1
5.方程 x2 2 3 0 在区间 (0, 2) 上是否有实数解？ x 1
零点存在定理:
y
.
0 a.
bx
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续曲线，
并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则
在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应
的方程f(x)=0在区间(a,b) 内至少有一个实数解.
该判定方法只是指出了方程实数解的存在,但不能判断
O x1 2
-1
5 x2
x
方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一 个小于2
1.在二次函数 y ax2 bx c中，ac<0,则其零点的个
数为（ ）
Ａ.１
Ｂ.２
Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x) 对应值表：
x12345 6 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26