概率论与数理统计茆诗松第二版课后习题参考答案
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第三章 多维随机变量及其分布
习题3.1
1． 100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品．从中任取5件，以X 、Y 分别表示取出的5
件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X , Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取． 解：（1）(X , Y )服从多维超几何分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，
且i j i j i j i j Y i X P −==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=
==5,,0;5,4,3,2,1,0,5100520
3050},{L ，
故 (X , Y ) 的联合分布列为
0281
.05
00000918.00612.04000
1132.01562.00495.03
000661.01416.00927.00185.0200182.00539.00549.00227.00032.010019.00073.00102.00066.00019.00002.00543210X Y
（2）(X , Y )服从多项分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，
且i j i j i j i j Y i X P j i j i −==×××−−⋅⋅=
==−−5,,0;5,4,3,2,1,0,2.03.05.0)!
5(!!!
5},{5L ，
故 (X , Y ) 的联合分布列为
03125
.05
000009375.00625.040001125.015.005.03000675.0135
.009
.002.02002025.0054.0054.0024.0004.0100243.00081.00108
.00072.00024.000032.00543210X Y
2． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取
到红球的个数，试求P {X = Y }．
解：35935335647222347221213}2,2{}1,1{}{=+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===+====Y X P Y X P Y X P ．
3． 口袋中有5个白球、8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个．如果第i 次取出的是白球，则令
X i = 1，否则令X i = 0，i = 1, 2, 3．求：
（1）(X 1, X 2, X 3)的联合分布列； （2）(X 1, X 2)的联合分布列． 解：（1）14328116127138)}0,0,0(),,{(321=⋅⋅=
=X X X P ，42970
115127138)}1,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ， 42970117125138)}0,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970
117128135)}0,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，
42940114125138)}1,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940
114128135)}1,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，
42940118124135)}0,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，1435
113124135)}1,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ；
（2）3914127138)}0,0(),{(21=⋅==X X P ，3910
125138)}1,0(),{(21=⋅==X X P ，
3910128135)}0,1(),{(21=⋅==X X P ，39
5
124135)}1,1(),{(21=⋅==X X P ．
39
/539/10139/1039/1401
01
2
X X
4． 设随机变量X i , i =1, 2的分布列如下，且满足P {X 1X 2 = 0} = 1，试求P {X 1 = X 2}．
25
.05.025.01
01P X i −
解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，
即P {X 1 = −1, X 2 = −1} = P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = −1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，分布列为
故P {X 1 = X 2} = P {X 1 = −1, X 2 = −1} + P {X 1 = 0, X 2 = 0} + P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0． 5． 设随机变量 (X , Y ) 的联合密度函数为
⎩
⎨⎧<<<<−−=.,0,
42,20),6(),(其他y x y x k y x p
试求
（1）常数k ；
（2）P {X < 1, Y < 3}； （3）P {X < 1.5}； （4）P {X + Y ≤ 4}． 解：（1）由正则性：1),(=∫
∫
+∞∞−+∞∞
−dxdy y x p ，得
6)6(2
2
4
2
⎜⎜⎝
⎛−−⋅=−−∫
∫
∫xy y k dx dy y x k dx