第3章最优滤波3
第8章模拟滤波器的设计
h(t) F 1 H () 1 e jtD e jtD d
2
1
2
cos(t
tD)
j sin (t
tD )d
1
0
cos
(t
tD
)d
1
C 0
cos
(t
t
D
)d
C sin C (t tD ) C (t tD )
第15页/共65页
8.3.2 滤波器的理想特性与实际特性
（8-24）
H(
j)
2
A(2 )
1
1 C
2n
巴特沃思滤波器的MATLAB调用函数为：[Z,P,K]=buttap(n)
n:阶数
z,p,k: 滤波器零点、极点和增益。其幅度平方函数随Ω
变化的曲线如下图所示 ：
第24页/共65页
8.4.2 模拟滤波器的设计
由上图可知，巴特沃思滤波器的幅度平方函数具有下列特点：
第17页/共65页
8.4 模拟滤波器的设计
8.4.1 模拟滤波器的一般设计方法 ：
• 根据设计的技术指标即滤波器的幅频特性，确定滤波器的传递
•
函数H(S)；
• 设计实际网络(通常为电网络)实现这一传递函数.
第18页/共65页
8.4 模拟滤波器的设计
幅度特性函数|H(Ω)|的确定：
由于
而 则 又 那么 从而
第8页/共65页
8.2 模拟和数字滤波器的基本概念
模拟滤波器的重要用途： 模拟滤波器是现代控制系统中的重要部件。最常见的应用例子，是传感器输出
信号中混有噪声干扰的情况，在传感器及测试电路中，可以在工艺上使布线尽量合理， 元件布局合理，并采用屏蔽技术等措施来防止噪声进入系统，但信号中仍可能含有不可 忽略的噪声，此时常采用模拟滤波器抑制这些噪声，使有用信号能通过而输出。
现代信号分析与处理技术_第2讲_最优滤波方法
{
}
p −1 ⎧⎡ ⎤ ∗ ⎫ = E ⎨ ⎢ d (n) − ∑ w(l ) x(n − l ) ⎥ d (n) ⎬ l =0 ⎦ ⎩⎣ ⎭
即:
ξ min = rd (0) − ∑ w(l )r (l )
l =0
∗ dx
p −1
或:
H ξ min = rd (0) − rdx w
或:
H -1 ξ min = rd (0) − rdx Rx rdx
k =0
因此最优线性预测器的Wiener-Hopf方程为:
⎡ rx (0) rx∗ (1) rx∗ (2) ⎢ rx (1) rx (0) rx∗ (1) ⎢ rx (2) rx (1) rx (0) ⎢ ⎢ r ( p − 1) rx ( p − 2) rx ( p − 3) ⎣x rx ( p − 2) ⎥ ⎢ w(1) ⎥ ⎢ rx (2) ⎥ ∗ rx ( p − 3) ⎥ ⎢ w(2) ⎥ = ⎢ rx (3) ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ w( p − 1) ⎥ ⎢ r ( p ) ⎥ rx (0) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣x ⎦
信息科学与工程学院 杨绿溪
• 维纳滤波
FIR维纳滤波 应用：滤波、线性预测、噪声抑制、反卷积MMSE均衡器 IIR维纳滤波
• 线性离散卡尔曼滤波器
－ － －高斯假设下的序贯贝叶斯滤波 • 非线性最优滤波－序贯MC贝叶斯滤波
• 基本的粒子滤波器应用实例
参考书和参考文献
• 杨绿溪，现代数字信号处理,科学出版社,2007年11月。 • 张贤达，现代信号处理,清华大学出版社,2002年10月。 • T.Kailath, A innovations approach to LS estimation, IEEE T-AC, Vo.13, 1968, pp.641-655. • M.S.Arulampalam, S.Maskell, N.Gordon, T.Clapp, A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol.50, No.2, pp.174-188, 2002. 专辑 • Z.Chen. Bayesian filtering: From Kalman filters to particle filters, and beyond. Adaptive system lab., Macmaster Univ., Canada. [online]. http://soma.crl.mamaster.ca/zhechen /download. 另有2004-03, P-IEEE专辑
现代信号课件第4章最小二乘滤波
归一化均方误差性能评估
NMSE越小，说明滤波器的性能越好，信号处理的效 果越接近原始信号。
归一化均方误差（NMSE）是另一种衡量滤波器性能的 指标，它表示信号经过滤波器处理后的误差相对于原始 信号的均方误差的比例。
NMSE的计算公式为：$NMSE = frac{MSE}{MSE_{total}}$，其中$MSE_{total}$为原始 信号的均方误差。
加权最小二乘滤波
加权最小二乘滤波是在线性最小二乘滤波的基础上引入了权重因子，以调整误差的 权重。
通过给不同的误差项赋予不同的权重，加权最小二乘滤波能够更好地适应不同的噪 声分布和信号特性。
加权最小二乘滤波在处理具有不同特性的信号和噪声时能够获得更好的滤波效果。
03
最小二乘滤波的算法实 现
递归最小二乘滤波
04
在控制系统中，最小二 乘滤波用于系统辨识和 参数估计等。
02
最小二乘滤波的数学模 型
线性最小二乘滤波
线性最小二乘滤波是一种常用的 信号处理方法，通过最小化误差 的平方和来估计信号中的未知参
数。
它假设信号和噪声之间存在线性 关系，通过解线性方程组来得到
最优估计值。
线性最小二乘滤波具有简单、稳 定和快速收敛等优点，适用于多
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信噪比性能评估
信噪比（SNR）是衡量滤波器在噪声干扰下性能的重要指标，它表示信 号与噪声的功率比值。
SNR越大，说明滤波器对噪声的抑制能力越强，信号处理的效果越好。
SNR的计算公式为：$SNR = 10log_{10}frac{P_s}{P_n}$，其中$P_s$为 信号功率，$P_n$为噪声功率。
自适应滤波算法优化
第四部分自适应信号处理教学课件
❖ 算法原理
• 基本方程
4)最小代价函数
对于前向预测：
Emf
(n)
u(n)
a Tm
(n)u
* m
(n)
对于后向预测：
E
b m
(n)
v(n)
b
T m
(n)
v
* m
(n)
自适应格-梯型滤波器
❖ 算法原理
• 基本方程
5)W-H方程与Wiener解 a)对于前向预测：
Rm (n 1)am (n) um (n)
(11)
k
自适应格型滤波器
❖ 格型自适应滤波原理
• 格型自适应算法(续)
利用
Em (n) 0
* m
可得n时刻发射系数
w(n
k)
f m1 (k )g
* m1
(k
1)
m (n)
k
w(n k ) f m1 (k ) 2 (1 ) g m1 (k 1) 2
且有
k
m (n) 1
步骤6 令m m 1 ,重做步骤2-5, 直到预测误差功率很小为止.
内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalman滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 自适应格-梯型滤波器 ❖ 无限脉冲响应自适应滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
i0
m
m
gm (n) bm (i)x(n i) am* (m i)x(n i)
i0
i0
(8a) (8b)
自适应格型滤波器
❖ 格型自适应滤波原理
• 格型滤波器设计准则
定义前、后向滤波器的残差能量
第7章 线性预测和最优线性滤波器
7.4 预测器与格型滤波器关系
7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
7.2 前向线性预测
前向线性预测 后向线性预测 格形滤波器
▲
■
7.2 前向线性预测
已知n时刻以前的p个信号数据 x(n p), x(n p 1), , x(n 1) ，用这p个数据来线性预测 n时刻信号 x( n) 的值，如图所示，预测值为
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点
7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测
7.4 预测器与格型滤波器关系
7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
7.1 线性预测的依据和特点
• 信号之间的关联性 • 系统的惯性 • 随机信号预测特点
▲
■
7.1 线性预测的依据和特点
F0 ( z ) G0 ( z ) X ( z ) Fm ( z ) Fm1 ( z ) K m z 1Gm 1 ( z ), m 1, 2,
* Gm (n) K m Fm1 ( z ) z 1Gm 1 ( z ), m 1, 2,
,p ,p
把它们都除以X(z)得到
Fm ( z ) Fm1 ( z ) K m z 1Gm 1 ( z ), m 1, 2,
* Gm (n) K m Fm1 ( z ) z 1Gm 1 ( z ), m 1, 2,
▲
,p ,p
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
3. 格型滤波器的Z域表示
它们z变换的表达式为
——前向线性预测的Wiener-Hopf方程 解此方程则得p阶线性预测器的最佳参数 ap (k ) f E 及 P 。
毕业设计(论文)-lms及rls自适应干扰抵消算法的比较[管理资料]
![毕业设计(论文)-lms及rls自适应干扰抵消算法的比较[管理资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/e45ae55891c69ec3d5bbfd0a79563c1ec4dad715.png)
前言自适应信号处理的理论和技术经过40 多年的发展和完善,已逐渐成为人们常用的语音去噪技术。
我们知道, 在目前的移动通信领域中, 克服多径干扰, 提高通信质量是一个非常重要的问题, 特别是当信道特性不固定时, 这个问题就尤为突出, 而自适应滤波器的出现, 则完美的解决了这个问题。
另外语音识别技术很难从实验室走向真正应用很大程度上受制于应用环境下的噪声。
自适应滤波的原理就是利用前一时刻己获得的滤波参数等结果, 自动地调节现时刻的滤波参数, 从而达到最优化滤波。
自适应滤波具有很强的自学习、自跟踪能力, 适用于平稳和非平稳随机信号的检测和估计。
自适应滤波一般包括3个模块：滤波结构、性能判据和自适应算法。
其中, 自适应滤波算法一直是人们的研究热点, 包括线性自适应算法和非线性自适应算法, 非线性自适应算法具有更强的信号处理能力, 但计算比较复杂, 实际应用最多的仍然是线性自适应滤波算法。
线性自适应滤波算法的种类很多, 有RLS自适应滤波算法、LMS自适应滤波算法、变换域自适应滤波算法、仿射投影算法、共扼梯度算法等[1]。
其中最小均方(Least Mean Square,LMS)算法和递归最小二乘(Recursive Least Square,RLS)算法就是两种典型的自适应滤波算法, 它们都具有很高的工程应有价值。
本文正是想通过这一与我们生活相关的问题, 对简单的噪声进行消除, 更加深刻地了解这两种算法。
我们主要分析了下LMS算法和RLS算法的基本原理, 以及用程序实现了用两种算法自适应消除信号中的噪声。
通过对这两种典型自适应滤波算法的性能特点进行分析及仿真实现, 给出了这两种算法性能的综合评价。
1 绪论自适应噪声抵消( Adaptive Noise Cancelling, ANC) 技术是自适应信号处理的一个应用分支, 年提出, 经过三十多年的丰富和扩充, 现在已经应用到了很多领域, 比如车载免提通话设备, 房间或无线通讯中的回声抵消( AdaptiveEcho Cancelling, AEC) , 在母体上检测胎儿心音, 机载电子干扰机收发隔离等, 都是用自适应干扰抵消的办法消除混入接收信号中的其他声音信号。
(完整word版)自适应滤波LMS算法及RLS算法及其仿真
自适应滤波第1章绪论 (1)1.1自适应滤波理论发展过程 (1)1. 2自适应滤波发展前景 (2)1. 2. 1小波变换与自适应滤波 (2)1. 2. 2模糊神经网络与自适应滤波 (3)第2章线性自适应滤波理论 (4)2. 1最小均方自适应滤波器 (4)2. 1. 1最速下降算法 (4)2.1.2最小均方算法 (6)2. 2递归最小二乘自适应滤波器 (7)第3章仿真 (12)3.1基于LMS算法的MATLAB仿真 (12)3.2基于RLS算法的MATLAB仿真 (15)组别: 第二小组组员: 黄亚明李存龙杨振第1章绪论从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波。
相应的装置称为滤波器。
实际上, 一个滤波器可以看成是一个系统, 这个系统的目的是为了从含有噪声的数据中提取人们感兴趣的、或者希望得到的有用信号, 即期望信号。
滤波器可分为线性滤波器和非线性滤波器两种。
当滤波器的输出为输入的线性函数时, 该滤波器称为线性滤波器, 当滤波器的输出为输入的非线性函数时, 该滤波器就称为非线性滤波器。
自适应滤波器是在不知道输入过程的统计特性时, 或是输入过程的统计特性发生变化时, 能够自动调整自己的参数, 以满足某种最佳准则要求的滤波器。
1. 1自适应滤波理论发展过程自适应技术与最优化理论有着密切的系。
自适应算法中的最速下降算法以及最小二乘算法最初都是用来解决有／无约束条件的极值优化问题的。
1942年维纳(Wiener)研究了基于最小均方误差(MMSE)准则的在可加性噪声中信号的最佳滤波问题。
并利用Wiener. Hopf方程给出了对连续信号情况的最佳解。
基于这～准则的最佳滤波器称为维纳滤波器。
20世纪60年代初, 卡尔曼(Kalman)突破和发展了经典滤波理论, 在时间域上提出了状态空间方法, 提出了一套便于在计算机上实现的递推滤波算法, 并且适用于非平稳过程的滤波和多变量系统的滤波, 克服了维纳(Wiener)滤波理论的局限性, 并获得了广泛的应用。
中文第三章自适应滤波器
• 1. 自适应滤波器原理 • 2. 自适应线性组合器 • 3. 均方误差性能曲面 • 4. 最陡下降算法 • 5. LMS算法 • 6. RLS算法 • 7. 典型应用：噪声消除
理论分析 自适应算法
1。 自适应滤波原理
1. 学习和跟踪（时变信号） 2. 带有可调参数的最优线性滤波器
两输入两输出Two inputs and two outputs; FIR,IIR, and 格形（Lattice） 最小均方误差和最小平方误差准则
Tmse mse N
1 fs
,
sec
where mse iteration number
N (data samples for each iteration)
fs (sample frequency)
注意
• 最陡下降法具有更多的理论分析意义， 实际操作时我们必须对其做很多近似。
5. LMS 方法
1
陡
下
0.5
降
0
-0.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
1.5
1
LMS 0.5 单次 0
-0.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
1.5
最1 陡 下 0.5 降0
-0.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
确性 (7) 鲁棒性：对噪声干扰不敏感，小能量干扰只能造成小估
计误差
本章主要讨论自适应线性组合器（其分析和实现简单，在大多数 自适应滤波系统中广泛应用）。
2。 自适应线性组合器
一类具有自适应参数的FIR数字滤波器。－－》一般形式
第3章直流调速系统的数字控制
3.2.2 微机数字控制双闭环直流调速系统的软件框图
微机数字控制系统的控制规律是靠软件来实现的，所 有的硬件也必须由软件实施管理。微机数字控制双闭环 直流调速系统的软件有： – 主程序 – 初始化子程序 – 中断服务子程序等。
UU**ii -UUi
ASR
ACR
UUcc
D/P
-_ UUnn
Hale Waihona Puke PLG MP/D数字电路控制系统特点：
– 除主电路和功放电路外，转速、电流调节器，以及脉冲 触发装置等全部由数字电路组成。
3. 计算机控制系统
微机控制电路
A/D
UU**n +
_
Unn
ASR
U**i -Uii
ACR
UUcc
D/P
A~C
TA /3
转速检测用数字测速。
1. 转速检测
转速检测有模拟和数字两种检测方法：
（1）模拟测速一般采用测速发电机，其输出电压不仅表 示了转速的大小，还包含了转速的方向，在调速系统中 （尤其在可逆系统中），转速的方向也是不可缺少的。 因此必须经过适当的变换，将双极性的电压信号转换为 单极性电压信号，经A/D 转换后得到的数字量送入微机。 但偏移码不能直接参与运算，必须用软件将偏移码变换 为原码或补码，然后进行闭环控制。
主电路
PLG M
P/D
在数字装置中，由计算机软硬件实现其功能 ，即为计算机控制系统。 系统的特点： – 双闭环系统结构，采用微机控制； – 全数字电路，实现脉冲触发、转速给定和检测； – 采用数字PI算法，由软件实现转速、电流调节。
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种用于估计、预测和控制的最优滤波方法，由美国籍匈牙利裔数学家卡尔曼（Rudolf E. Kalman）在1960年提出。
卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，通过对测量数据和系统模型的融合，可以得到更准确、更可靠的估计结果。
在各种应用领域，如导航、机器人、航空航天、金融等，卡尔曼滤波都被广泛应用。
1. 卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波的基本原理是基于状态空间模型，将系统的状态用随机变量来表示。
它假设系统的状态满足线性高斯模型，并通过线性动态方程和线性测量方程描述系统的演化过程和测量过程。
具体而言，卡尔曼滤波算法基于以下两个基本步骤进行：1.1 预测步骤：通过系统的动态方程预测当前时刻的状态，并计算预测的状态协方差矩阵。
预测步骤主要是利用前一时刻的状态和控制输入来预测当前时刻的状态。
1.2 更新步骤：通过系统的测量方程，将预测的状态与实际测量值进行融合，得到最优估计的状态和状态协方差矩阵。
更新步骤主要是利用当前时刻的测量值来修正预测的状态。
通过不断迭代进行预测和更新，可以得到连续时间上的状态估计值，并获得最优的估计结果。
2. 卡尔曼滤波的优势卡尔曼滤波具有以下几个优势：2.1 适用于线性系统与高斯噪声：卡尔曼滤波是一种基于线性高斯模型的滤波方法，对于满足这些条件的系统，卡尔曼滤波能够给出最优的估计结果。
2.2 递归计算：卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，可以在每个时刻根据当前的测量值和先前的估计结果进行迭代计算，不需要保存过多的历史数据。
2.3 最优性：卡尔曼滤波可以通过最小均方误差准则，给出能够最优估计系统状态的解。
2.4 实时性：由于卡尔曼滤波的递归计算特性，它可以实时地处理数据，并及时根据新的测量值进行估计。
3. 卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在多个领域都有广泛的应用，以下是一些典型的应用例子：3.1 导航系统：卡尔曼滤波可以用于导航系统中的位置和速度估计，可以结合地面测量值和惯性测量传感器的数据，提供精确的导航信息。
清华现代信号课件第3章最优滤波.ppt
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
·反Levinson-Durbin算法
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
Cholesky分解
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
Cholesky分解的结论
2020/2/5
信号处理
前向线性预测误差滤波器与AR模型的关系
AR(M)模型下
M
x(n) ak* x(n k) v(n) k 1
比较 ak* aM* ,k v(n) f M (n)
2020/2/5
信号处理
Levinson-Durbin算法
从m-1阶出发，对正向预测有 将系数矩阵增广
pm1
0*mm11
pm1
(正向)＋(反向2)×km
Rm1
a
m1
0
km
a
0
B* m1
pm1 0m1 m1
k
m
*m1 0m1 pm1
R 1
可以分解成一个上三角矩阵和下三角矩阵之积， 它们是互为转置
2020/2/5
信号处理
格型预测器
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
M
证明
fm(n) Biblioteka a* m,kx(n
k
)
k 0
现代信号课件第3章最优滤波器理论
03
非线性最优滤波器
非线性滤波器的定义
非线性滤波器是指其输出与输入 之间存在非线性关系的滤波器。
非线性滤波器在处理非线性信号 时具有优势，能够更好地提取信
号中的有用信息。
非线性滤波器的数学模型通常采 用非线性微分方程或差分方程描
述。
非线性滤波器的应用场景
非线性滤波器在图像 处理中广泛应用，如 边缘检测、图像增强 等。
性滤波器的参数。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物 群体的行为，用于优化 非线性滤波器的参数。
04
最优滤波器的性能评估
均方误差（MSE）
总结词
均方误差是最优滤波器性能评估的重要指标之一，它表示估计信号与真实信号 之间的误差的平均值。
详细描述
均方误差（Mean Squared Error, MSE）定义为估计信号与真实信号之间的误 差的平方的平均值。它反映了滤波器对信号的估计精度，MSE越小，表示滤波 器的性能越好。
在通信系统中，非线 性滤波器可用于调制 解调、信号均衡等。
在音频处理中，非线 性滤波器可用于音效 处理、降噪等。
非线性最优滤波器的实现方法
迭代算法
通过迭代的方式不断优 化非线性滤波器的参数，
以实现最优性能。
梯度下降法
利用梯度下降原理，不 断调整非线性滤波器的 参数，以用于优化非线
雷达信号处理
目标检测
在雷达系统中，最优滤波器可以 用于目标检测和跟踪，提高雷达 对目标的发现概率和定位精度。
干扰抑制
在雷达干扰抑制中，最优滤波器 可以用于抑制干扰信号、提高雷 达抗干扰能力，提高雷达的可靠
性和稳定性。
信号分选
在雷达信号分选中，最优滤波器 可以用于信号分选和分类，提高 雷达对多目标环境的感知能力。
现代信号课件第3章最优滤波器理论
或 H(z) Sxd(z)
S (z) x
整理ppt
18
因果IIR维纳滤波器
因果IIR维纳滤波器的传输函数为
H(z)x1(z)xxd((zz))
最小均方误差为
Jmind2 wolrxd[l] l0
整理ppt
19
整理ppt
20
整理ppt
21
整理ppt
22
整理ppt
23
同一个问题分别用非因果IIR、因果IIR和2阶FIR Wiener 滤波器进行处理，得到输出最小均方误差分别为：0.2083、 0.2222和0.2240。
Wiener滤波的横向滤波器
整理ppt
6
从估计理论观点导出Wiener滤波 假设信号，滤波器权值均为实数
整理ppt
7
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8
整理ppt
9
维纳滤波：正交原理
整理ppt
10
整理ppt
11
整理ppt
12
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13
·维纳－霍夫方程（Wiener-Hopf）
整理ppt
14
M阶FIR滤波器，（横向滤波器）Wiener-Hopf方程为
M1
w0irx[ik]rxd[k]
i0
矩阵形式 Rw0 rxd w0 R1rxd
这里 x [n ] [x [n ]x [ ,n 1 ] ,,x [n M 1 ]T ]
r x d E [ x [ n ] d * [ n ] [ ] r x [ 0 d ] r x [ , d 1 ] ,r x [ 1 d M ] T
w 0 [w 0,0 w 0,w 10, 2w 0 M 1 ]T
整理ppt
15
最小均方误差
维纳滤波和卡尔曼滤波
2.2 维纳滤波器旳离散形式－－时域解
维纳滤波器设计旳任务就是选择 h(n),使其输出信号 y(n) 与期望信号 d (n)误差旳均方值最小，实质是解维纳－霍夫方程。
2.2.1维纳滤波器时域求解旳措施
假设滤波系统 h(n)是一种线性时不变系统，它旳h(n)和输 入信号都是复函数，设
h(n) a(n) jb(n)
系统实际输出： y(n) 。 y(n) sˆ(n) 1
预测：已知过去旳观察值 x(n 1), x(n 2), , x(n m)，估计 目前及后来时刻旳信号值 sˆ(n N ) , N 0 。 滤波：已知目前和过去旳观察值 x(n), x(n 1), , x(n m) ，
估计目前旳信号sˆ(n) 。
卡尔曼滤波是20世纪60年代由卡尔曼提出旳。
2
维纳滤波和卡尔曼滤波比较：
共同点：都处理最佳线性滤波和预测问题，都以均方误差最 小为最优准则，平稳条件下它们得到旳稳态成果一致。 不同点： (1)维纳滤波根据 x(n), x(n 1), , x(n m) 估计信号旳目前值，
它旳解以系统旳系统函数H (z)或单位脉冲响应h(n)形式给出。
M 1
i0
h(i)x(n
i)
17
E
e(n)
2
E
d
(n)
2
M 1
k 0
h
(k
)E
x
(n
k)d
(n)
M 1
M 1 M 1
h(i)E x(n i)d (n) h(k)h(i)E[x*(n k)x(n i)]
i0
k0 i0
M 1
M 1(k
19
2.3离散维纳滤波旳Z域解
时域求解Wiener滤波器很困难，用Z域求解。又因为实际旳系统是因果旳，
最优估计之卡尔曼滤波器的发散抑制方法
k 1(cd) 1
2
k
k
vi
i1
E[~xk|k
~xkT|k
]
(k
1)2 4
(c
d)2
2
k
当k 时，仍有E[~xk|k~xkT|k ]
发散的直接原因k： 的随 增着 长Pk， |k 趋于零的速度过而快 使增益系Kk数 随着k的增长而迅速减新小数，据使对滤波的 作用越来越小，去直作至用失，使滤波分与离测，量最终导
xk xk1 c x0 kc zk xk vk
式中， vk ~ N(0,2)，且与x0 无关。
若建立系统模型时忽略了常数 c，即： xk xk1•
无验前知识， xˆ0|0取 0， 初 P0|0值 ，由滤波基本方 xˆk1|k xˆk|k xˆk|k Pk1|k Pk|kT Qk Pk|k
Pk|k [Pk|k11 H T Rk1H ]1
判据：
k Tkt{ E rkk T }( 1 ， k z k z ˆ k |k 1 )
当此式不成立时，滤波发散。
kzkzˆk|k1
H kxkvkH kx ˆk|k1 H k~ xk|k1vk
Ek k TH kP k|k1H k TRk
判k T 据 kt： { H rkP k|k 1 H k T R k}
N 1
C i
E [vN (k) ]0 ,E { vN (k)v [N (l)T ] } R kei k kl
N 1
C i E [xN(0) ]x ˆ(0)V , [a xN r(0) ]P (0)ei0
对模•202型1/6/(77.4.6)在N时刻以后滤波，得
•18
滤波方程组：
x ˆN (kk) (k,k 1 )x ˆN (k 1k 1 )K N (k) [z(k)H (k) (k,k 1 )x ˆN (k 1k 1 )]
状态估计第3章 卡尔曼滤波的稳定性及滤波的发散
——卡尔曼滤波的稳定性问题
¾ 理论上计算出的无偏估计，在实际应用中，滤波估计的实 际误差（滤波值对实际状态的偏差）有时会远远超过按模
型计算的滤波误差的允许范围，甚至趋于无穷大，使得滤
波器失去作用。
2015-04-23
——滤波的发散现象
1
3.1 离散卡尔曼滤波器的稳定性
一、滤波的稳定性问题
¾ 设用正确的初值 xˆ * (0 | 0) 和 P *(0 | 0)，按照滤波方程 得到最优的滤波值 xˆ * (t | t)和 P * (t | t)，而用选取得不确 切的初值 xˆ(0 | 0) 和P(0 | 0) ，按照滤波方程得到非最优 的滤波值为 xˆ(t | t) 和 P(t | t) 。
对于k时刻，如果存在正整数N，使：
k
∑ Wc (k − N +1, k) =
Φ Γ Q Γ Φ T
T
k ,i i,i−1 k i,i−1 k ,i
>
0
i=k − N +1
其中，Wc (k − N +1, k)为完全可控性矩阵，上面条件即为完全 可控性矩阵为正定矩阵。
2015-04-23
9
¾ 随机线性离散系统(5)一致完全能控的充要条件： 如果存在正整数N和 β1 > α1 > 0，使对所有的k≥N，有： α1I ≤ Wc (k − N +1, k) ≤ β1I 此处的“一致”是对时间k而言的。
¾ 由于在转移矩阵 Ψ(k, k −1) 中有K(k)，而K(k)并不容易 用解析式表示，因此，用上面的滤波稳定性条件判断 滤波的稳定性也并不容易。
既既然然滤滤波波方方程程是是从从系系统统的的状状态态方方程程和和观观测测方方程程推推导导 得得到到的的，，那那么么，，滤滤波波的的稳稳定定性性是是否否与与随随机机线线性性系系统统 的的结结构构和和参参数数有有关关呢呢？？
FIR设计
第1章 FIR 滤波器的原理与技术FIR 滤波器是数字滤波器的一种。
数字滤波器是用于修正或改变时域或频域中信号的属性。
常见的是数字滤波器是线性时间不变(LineTime-Invariant,LTI)滤波器。
2.1 FIR 滤波器的特点FIR 滤波器有有限个采样值组成，将卷积的数量降低到每个采样时刻为有限个。
FIR 滤波器相对于IIR 滤波器的优点与不足如下：优点：(1) 有严格的相位又具有任意的幅度；(2) IIR 滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器性能稳定；(3) FIR 滤波器由于单位冲击响应是有限长的，因而可用快速傅立叶变换（FFT ）算法来实现过滤信号，可大大提高运算效率。
不足：(1) FIR 系统的系数长度比较大，即设计一个符合要求的滤波器，FIR 系统需要较多的乘法器。
(2)此系统的输出延迟时间长。
2.2线性相位FIR 数字滤波器的条件和特点本节中主要介绍FIR 滤波器具有的线性相位的条件及滤波其器的特点以及其网络结构和特性。
2.2.1 线性相位条件对于长度为N 的h(n)，传输函数为1()()N j j n n H e h n e ωω--==∑ 式（2-1）()()()j j g H e H e ωθωω-= 式（2-2）式中，H g (ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。
注意，这里H g (ω)不同于 |H(e j ω)|,H g (ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(e j ω)|总是正值。
H(e j ω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即θ(ω)=τω, τ为常数 如果θ(ω)满足下式：θ(ω)=θ0-τω, θ0是起始相位严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即式（2-3）也称这种情况为线性相位。
2.2.2 线性相位型 FIR 滤波器的特点按结构划分，FIR 滤波器有四种类型：直接型、级联型、线性相位型和频率采样型。
最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波
t
•
步骤2：对上述函数关于时间求导
ˆ (t ) E[ x(t )~ x z T (t )]R 1 (t )~ z (t ) (t )~ E{x z T ( )}R 1 ( )~ z ( )d
t0
t ~ K (t ) z (t ) A(t ) E[ x(t )~ z T ( )]R 1 ( )~ z ( )d t0
若对任意初始时刻成立使得对所有的进稳定即存在且在大范围内一致渐最优滤波一致渐进稳定致完全能控和一致完全如果线性连续系统为一稳定性定理表明当测量时间足够长滤波系统的最优滤波值最终与初始状态如何选取无关
最优估计
第8章 线性连续系统 卡尔曼滤波
离散系统取极限的推导方法 卡尔曼滤波方程新息推导法 线性连续系统滤波器的一般形式 滤波的稳定性及误差分析
推导方法步骤：
• • •
步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述 步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程
当 t 0 时 对离散卡尔曼滤波公式取极限 步骤3：
4
•
步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述 由 5.3 知，等效模型： x(t t ) (t t , t ) x(t ) (t t , t ) wn (t )
线性连续系统 (t ) A(t ) x(t ) G (t ) w(t ) x z (t ) H (t ) x(t ) v(t ) 框图如下：
x (t0 )
w(t )
G (t )
v (t ) x (t )
H (t )
+
+ +
1 s
A(t )
+
z (t )
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标量随机过程的递推MMSE估计
新息序列的特性：
矢量Kalman滤波
目标：离散时间线性动力系统状态估计 模型：Kalman滤波的模型如图所示
v1(n) x(n+1)
Z-1I
x(n)
C(n)
y(n)
F(n+1,n)
v2(n)
状态方程 y(n) 卡尔曼滤波 ˆ x (i | Yn )
例：一个AR(p)过程
x ( n) a k x ( n k ) v ( n)
k 1
p
令
x(n p) x ( n p 1) x (n 1) x ( n 1)
得到状态方程
1, 0 0 x(n p) 0 x(n p 1) 0, 0, 1, 0, 0 x(n p 1) 0 x(n p 2) 0, v ( n ) 0, 1 x(n 1) 0, 0 a , a a1 x(n 1) 1 x ( n) p 1 p
nk nk
由这个模型出发,得到一组简化的Kalman方程,它在数学上 与自适应滤波器的RLS算法一一对应, 由此,建立了Kalman 滤波与RLS之间的联系,任河一种Kalman滤波的有效算法都可 以对应得到一种RLS的实现,由此借助Kalman滤波领域的研究 成果,得到一组快速自适应滤波算法. (Sayed , Kailath, 1994) 最优滤波的评述 Wiener滤波、Kalman滤波的最优性限制 高斯、非高斯问题 序列蒙特卡罗方法，粒子滤波等
x (n 1)
H
1 / 2
x ( n)
F (n 1, n) Q1 (n) 0
1 / 2
I
y ( n) u ( n) x ( n) v ( n)
C ( n) u ( n)
H
Q2 (n) 1
1 E v ( n )v ( k ) 0
x(n 1) Ax(n) v1 (n)
Kalman滤波器推导
ห้องสมุดไป่ตู้
2．几个常用不相关公
5．Kalman增益
6．Riccati方程（K(n,n-1)的递推公式）
Kalman预测的跟踪性能
增益的变化曲线
Kalman滤波器的一些推广简述
4.特殊结构(无激励动力系统)