统计预测与决策课程论文讲解

统计预测与决策课程论文题目基于ARMA模型的西安进出口总额时间序列分析与预测学生姓名解盼学生学号 13610704150504专业经济统计学班级金融统计班提交日期二〇一六年五月基于ARMA模型对西安进出口总额时间序列分析与预测摘要:本文分析了 1987-2013年西安地区进出口总额时间序列，在将该时间序列平稳化的基础上，建立自回归移动平均模（ARMA）,从中得出西安进出口总额序列的变化规律，并且预测2014,2015年西安进出口总额的数值。

关键词：时间序列预测；进出口总额；ARMA模型1. 前言进出口总额指实际进出我国国境的货物总金额。

进出口总额用以观察一个国家在对外贸易方面的总规模。

进出口总额包括:对外贸易实际进出口货物，来料加工装配进出口货物，国家间、联合国及国际组织无偿援助物资和赠送品，华侨、港澳台同胞和外籍华人捐赠品，租赁期满归承租人所有的租赁货物，进料加工进出口货物，边境地方贸易及边境地区小额贸易进出口货物(边民互市贸易除外)，中外合资企业、中外合作经营企业、外商独资经营企业进出口货物和公用物品，到、离岸价格在规定限额以上的进出口货样和广告品(无商业价值、无使用价值和免费提供出口的除外)，从保税仓库提取在中国境内销售的进口货物，以及其他进出口货物。

本文就此对我国进出口总额时间序列进行分析，并且采用ARMA模型对序列进行拟合，最后在此基础上对2014年西安进出口总额数据进行预测。

2. ARMA模型2.1 ARMA模型概述ARMA模[]1型全称为自回归移动平均模型(Auto-regressive Moving AverageModel，简称 ARMA)是研究时间序列的重要方法。

其在经济预测过程中既考虑了经济现象在时间序列上的依存性, 又考虑了随机波动的干扰性, 对经济运行短期趋势的预测准确率较高, 是近年应用比较广泛的方法之一。

ARMA模型是由美国统计学家G.E.P.Box 和 G.M.Jenkins在20世纪70年代提出的著名时序分析模型,即自回归移动平均模型。

ARMA模型有自回归模型AR(q)、移动平均模型MR(q)、自回归移动平均模型ARMA(p,q) 3种基本类型。

其中ARMA(p,q）自回归移动平均模型，模型可表示为：()()()()01111210,00,,0,0,t t p t p t t q t q p q t t t t s t x x x E Var E s t E x s tεφφφεθεθεφθεεσεεε-----=++++---⎧⎪≠≠⎪⎨===≠⎪⎪=∀<⎩其中，P 为自回归模型的阶数，q 为移动平均模型的介数；t x 表示时间序列{}t x 在时刻t 的值；()1,2,,i i φ==P 为自回归系数；()1,2,j j q θ==表示移动平均系数；t ε表示时间序列{}t x 在t 时期的误差或偏差。

2.2 ARMA 模型建模流程首先用ARMA 模型预测要求序列必须是平稳的，也就是说，在研究的时间范围内研究对象受到的影响因素必须基本相同。

若所给的序列并非稳定序列，则必须对所给的序列做预处理，使其平稳化，然后用ARMA 模型建模。

建模的基本步骤如下：（1）求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF)和样本偏相关（PACF)的值。

（2）根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质选择适当的(),ARMA q P 模型进行拟合。

（3）估计模型中未知参数的值。

（4）检验模型的有效性。

如果拟合模型通不过检验，转向步骤（2），重新选择模型再拟合。

（5）模型优化。

如果拟合模型通过检验，仍然转向步骤（2)，充分考虑各种可能，建立多个拟合模型，从所有通过检验的拟合模型中选择最优模型。

（6）利用拟合模型，预测序列的将来走势。

3. 西安进出口时间序列模型的建立3.1 数据的预处理本文选取了西安1987-2013年的进出口总额数据作为时间序列观察值。

对此时间序列做时序图如图1所示：图1 我国进出口总额时序图由时间序列的时序图可以发现进出口总额随时间的增长是呈指数趋势。

因此，对原始序列作对数变换并作出其时序图如图1所示：图2 取对数后的进出口总额时序图通过观察取对数后的进出口时序图，发现经过处理后的序列具有趋势性。

由于进出口总额带有很强的趋势成分, 而我们的目的主要是利用ARMA 模型对其周期成分进行分析, 因此需要对此类的数据先进行消除趋势性的处理, 然后建立ARMA模型。

拿到观察值序列之后，无论是采用确定性时序分析方法还是随机时序分析方法，分析的第一步都是要通过有效的手段提取信息中所蕴含的确定性信息。

在Box 和Jenkins在Time Series Analysis Forecasting and Control一书中特别强调差分方法的使用，他们使用大量的案例分析证明差分方法是一种非常简便﹑有效的确定性信息提取方法。

实践中，我们会根据序列的不同特点选择合适的差分方式，常见情况有以下三种；序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳。

序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（2阶或3阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响。

蕴含固定周期的序列，一般进行步长为周期长度的差分运算就可以较好地提取周期信息。

从理论上而言，足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息。

但应当注意的是，差分运算的阶数并不是越多越好。

差分运算是一种对信息的提取﹑加工过程，每次差分都会有信息的损失，在实际中差分运算的阶数要适当，应当避免过差分。

观察时序图2，可使用一阶差分就可以提取序列的足够信息。

做一阶差分后，做其序列图3如下：图3 一阶差分后对数进出口总额时序图从图（3）可以观察得出，序列大致趋于平稳。

为了进一步检验序列是否真正平稳，在此使用Eviews统计软件对已转换进行平稳性检验。

对时间序列的平稳性有两种检验方法，一种是根据时序图和自相关图显示的特征作出判断的图检验方法；一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。

目前最常用的平稳性统计检验方法是单位根检验（unit root test ）。

使用单位根检验法对变换数据进行检验得出检验结果如表1所示：表1 DLOGJCK 一阶差分单位根检验Null Hypothesis: DLNJCK has a unit root Exogenous: ConstantLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=5)t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -9.304482 0.0000Test critical values:1% level -3.724070 5% level -2.98622510% level-2.632604结合图3与表1，结果表明序列logGDP 经过一阶差分之后序列平稳。

3.2 模型的识别与选择计算出样本自相关系数和偏相关系数的值之后，我们主要是根据它们表现出来的性质，选择适当的ARMA 模型拟合观察值序列。

这个过程实际上就是要根据样本自相关系数和偏相关系数的性质估计自相关阶数 p ∧和移动平均阶数q ∧，因此模型的识别过程也成为定阶过程。

一般ARMA 模型定阶的基本原则如表2示：表2 ARMA(p,q)模型选择原则ACF PACF 模型定阶 拖尾 p 阶截尾 AR(p)模型 q 阶截尾 拖尾 MA(q)模型 拖尾拖尾ARMA(p,q)模型利用Eviews 统计软件对差分数据进行操作，可得样本自相关系数和偏相关系数图如图4所示：图4 差分序列自相关系数与偏相关系数图通过对一阶差分的对数序列的自相关系数和偏相关系数图的分析观察，可以知道模型大致可选取两种模型。

第一种，自相关系数为拖尾，而偏相关系数为一阶截尾。

此时选取模型可以为ARIMA （1,1,0）模型。

第二种，自相关二阶截尾，而偏相关系数为一阶截尾。

此时选取模型可以为ARIMA(1,1,2）模型。

3.3 参数估计选择拟合好后的模型之后，下一步就是要利用序列的观察值确定该模型的口径，即估计模型中未知参数的值。

对于一个非中心化ARMA （p,q ）模型，有()()q t tP B x B μεΘ=+Φ式中，()20,tWN εεδ()()21221211q q P P B B B θθθφφφPP ΘB =----ΦB =-B -B --B该模型共含2q P ++个未知参数：211,,,,,,,p q εφφθθμδ。

对于未知参数的估计方法有三种：矩估计﹑极大似然估计和最小二乘估计。

其中本文使用最小二乘估计法对序列进行参数估计。

在ARMA(p,q)模型场合，记()1,1,q βφφθθP '=1111t t p t p t q t qF x x βφφθεθε----⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭残差项为：t t x F εβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭残差平方和为：()22111111n nt t t p t p t q t q t t Q x x x βεφφθεθε----=-⎛⎫==---+++ ⎪⎝⎭∑∑是残差平方和达到最小的那组参数值即为β的最小估计值。

使用Eviews 统计软件操作可得序列两种可能的参数估计图如图5、6所示：图5 ARIMA(1,1,0)模型参数估计与检验结果图6 ARIMA(1,1,2)模型参数估计与检验结果由图6﹑7模型的参数估计与检验结果对比看，可以知道，ARMA(1，0）模型中其调整后的2R 为0.488410小于ARMA （1,2）模型中的 0.173525;而AIC 和SC 值分别为-0.824388，-0.726217分别小于ARMA(1,2)模型中的 -0.794386,1.995615根据以上模型的识别与选择，我们选用了ARIMA(1,1,2)作为最佳预测模型。

估计该模型的参数及模型的相关检验结果如图7。

结果表明, 模型ARMA ( 1,1, 2) 的参数估计值具有统计意义。

3.4 参数的显著性检验参数的显著性检验就是要检验每一个未知参数是否显著非零。

这个检验的目的是为了是使模型最精简。

如果某个参数不显著，即表示该参数所对应的那个自变量对因变量的影响不明显，该自变量就可以从拟合模型中删除。

最终模型将由一系列参数显著非零的自变量表示。

由图7模型参数估计与检验结果，可以观察到t统计量值的P值均小于0.05。

表明模型参数显著。

3.5 预测序列走势由预测方程及其条件方程：=jckjckjckd-loglog-()1log经预测得到2014年的进出口总额值为9108.079亿元。

预测值与真实值误差均在3%以内预测较为准确。

利用此模型对2014年进出口总额进行预测结果如表3所示：表3 2014年模型预测值年份 2014预测值（亿元） 9108.0794.结论时间序列分析的ARMA 模型预测问题, 实质上是通过对社会经济发展变化过程的分析研究, 找出其发展变化的量变规律性, 用以预测经济现象的未来。