误差理论第三章 随机误差

满足最小二乘原理
▪该所有测量值对其算术平均值之差的平 方和达到最小
在正态分布条件下，满足最大似然原理
▪该测量事件发生的概率最大 19
二、算术平均值的标准差
计算公式
算术平均值 的标准差
x
D(x)
D
1 n
xi
1
n2
2 i
1
n
单次测量 标准差
适当增加测量次数取其算术平均值表 示测量结果，是减小测量随机误差的 一种常用方法。
12
随机误差的抵偿性
当测量次数n充分大时，有
n
n
i 0 以及
i j 0
i 1
1ip j
抵偿性是各种随机误差所共有的本质特征。
13
随机误差的随机性影响
对于任何的测量，其中的随机误差源 客观存在，它造成对每次测量数据的 不可预测的随机性影响
▪影响表现在该测量总体服从某种分布 ▪误差大小可以通过标准差来估计 ▪误差界限则可用置信区间表示
最小xm值in
当测量误差服从正态分布时，标准差的计算
公式
s n
n xdmnax xmin
▪极差
▪ 是测量总体标准差的无偏估计
估算 时的相对误差
(s) s
Cn
30
极差法系数
n
dn
Cn n
dn
Cn
n
dn
Cn
２ 1.13 0.76 9 2.97 0.27 16 3.53 0.21
3 1.69 0.52 10 3.08 0.26 17 3.59 0.21
▪ vi xi为 x残余误差，简称残差。
公式意义 总体标准差的估计(实验样本标准差)
25
n
修正贝塞尔公式
Hale Waihona Puke Baidu
s s 1
Mn Mn
1 n
n 1 i1
xi x 2
贝塞尔公式的修正因子
n ２ 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20
1 M n 1.25 1.13 1.09 1.06 1.05 1.04 1.04 1.03 1.03 1.021.01
28
【例3-1】
用某仪器测某物水份含量，测得50个数据如下（单位：水份百分比 （％）） 3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2,3.8,3.2,3.7, 3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2.7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5, 4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3.6,3.4,3.3
5
150次的面形峰谷值数据
0.124 0.120 0.118 0.119 0.121 0.125 0.121 0.123 0.120 0.118 0.119 0.117 0.118 0.121 0.119 0.118 0.119 0.119 0.115 0.120 0.119 0.119 0.119 0.116 0.116 0.118 0.121 0.120 0.122 0.122 0.119 0.121 0.121 0.124 0.121 0.118 0.118 0.119 0.120 0.118 0.119 0.122 0.118 0.119 0.119 0.117 0.118 0.118 0.118 0.120 0.119 0.118 0.120 0.124 0.120 0.118 0.118 0.119 0.121 0.123 0.124 0.123 0.118 0.119 0.119 0.120 0.120 0.119 0.119 0.118 0.123 0.121 0.119 0.118 0.120 0.120 0.120 0.119 0.120 0.123 0.118 0.121 0.119 0.121 0.120 0.123 0.123 0.121 0.118 0.119 0.120 0.121 0.122 0.119 0.121 0.122 0.119 0.120 0.117 0.125 0.119 0.127 0.120 0.124 0.123 0.123 0.118 0.119 0.124 0.122 0.123 0.124 0.121 0.123 0.123 0.121 0.120 0.121 0.123 0.127 0.125 0.121 0.120 0.124 0.123 0.123 0.124 0.123 0.119 0.121 0.123 0.129 0.121 0.120 0.121 0.124 0.123 0.121 0.125 0.119 0.122 0.127 0.121 0.120 0.122 0.121 0.122 0.123 0.124 0.121
测量总体标准
差 D(x)
20
10次算术平均值与单次测量的分布关系
1
2 101
2
两者的分布类型和峰值位置未发生变化，只
是分散性不同。
21
σx σ与测量次数的关系
当 一定时，n 10 以 后， x 已减小得较缓 慢。
x
1.0 0.8
0.6
测量次数愈大时，也愈 0.4
难保证测量条件的不变， 0.2
4 2.06 0.43 11 3.17 0.25 18 3.64 0.20
2
教学重点和难点
▪ 随机误差产生的原因 ▪ 随机误差的本质特征 ▪ 算术平均值 ▪ 贝塞尔公式 ▪ 试验标准差 ▪ 测量结果的最佳估计 ▪ 置信区间
3
第一节 随机误差概述
本节介绍随机误差产生的原因，随机误差的 本质特征以及减少随机误差的技术途径。
4
一、随机误差产生的原因
举例：某台激光数字波面干涉仪，对其进行准确 度考核，在相同测量条件下对某标准平晶的表面 面形进行150次重复测量获得面形峰谷值数据。 通过实验分析，查询有关的技术资料和其他信息， 可知随机误差来源 结论：对具体测量问题具体分析，从所用的设备、 人员、测量方法等资源以及环境等要素中去分析 寻找主要的随机误差来源。
极差法
0.76 0.52 0.43 0.37 0.34 0.31 0.29 0.27 0.26 0.20
最大误 差法
0.75 0.51 0.45 0.40 0.36
0.33
0.31
0.29
0.28
0.27
0.23
▪当样本数较小的情形（如 n ）6 ，用贝塞尔公式估计的信 赖程度已经开始低于极差法和最大误差法，应当改用修正的 贝塞尔公式来估计标准差
6
数据特点
数据列表明，各次测值不尽相同，这 说明各次测量中含有随机误差，这些 误差的出现没有确定的规律，即前一 个数据出现后，不能预测下一个数据 的大小。
但就数据整体而言，却明显具有某种 统计规律，这个规律可以用统计直方 图来表示。
7
统计直方图
统计直方图在对称性方面有 50 一些偏离理想正态分布的情形。
▪对于测量状态比较完好的光 40 电类测量仪器，其随机误差 的分布往往较好的呈现正态 30 分布的特征
x 0.1207
s 0.0024 3 0.6069 4 0.3703
▪对于测量状态不完好的光电 类测量仪器，特别是对传动 机械部件磨损较严重而规律 尚未掌握的仪器，其测量随 机误差可能就呈现其他分布 的特征。
适用的估计贝塞尔公式的相对误差的公式
(s)
1
s
2(n 1)
27
几种估计标准差的相对误差
n
1 2 3 ４ ５ ６ ７ ８ 9 10 20
贝塞尔 公式
修正贝塞 尔公式
0.80 0.57 0.47 0.40 0.36 0.32 0.30 0.28 0.26 0.17 0.60 0.46 0.39 0.34 0.31 0.28 0.26 0.25 0.23 0.16
14
含有随机误差的测量数据问题的处理 方法
有条件获取较大样本数据的情形
▪可以做出实验统计直方图，定性定量地给 出测量总体及其误差分布的判断，进而从中 提取表示被测量大小的数字特征，并给出完 整的测量结果
无条件获取大样本数据的情形
▪必须依据小样本的测量数据以及可能了解
到的有关测量信息，合理给出代表测量总体
从而带来新的误差。另
外，增加测量次数，必 0
5
10
15
20 n
然会增加测量的工作量及其成本。因此一般情况下，
取 n 10 ~以15内较为适宜。总之，要提高测量准确度，应
选用适当准确度的测量仪器，选取适当的测量次数。 22
第三节 实验标准差
23
实验标准差定义
对于一组测量数据，用其标准差来表述这组数 据的分散性
离散化采样误差、 各次装夹定位不 一致
测量装置方面的因素
仪器所在实验 室气流和温度 的波动
测量环境方面的因素
CCD光电探测 器采集信号及其 电信号处理电路 造成干涉图像信 号的随机噪声
空气尘埃的漂 浮、稳压电源 供电电压的微 小波动
操作人员方面的因素
采集干涉图像的摄 像头变焦倍数过小 造成较大的离散化 采样误差
如果这组数据是来自于某测量总体的一个样 本，则该组数据的标准差是对该测量总体标 准差的一个估计，称其为样本标准差，又称 为实验标准差
▪贝塞尔公式 ▪极差法 ▪最大误差法
24
一、贝塞尔公式
计算公式
s
1 n
n 1 i1
2
xi x
▪ s是2 方差 的2 无偏估计，但s并不是 标准差 的 无偏估计
20
10
0
0.114 0.116 0.118 0.12 0.122 0.124 0.126 0.128 80.13
激光数字波面干涉仪的随机误差主要来 源
氦氖激光源辐 射激光束的频 率不够稳定造 成激光波长的 漂移
放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动
操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当
9
减小随机误差的技术途径
(1) 测量前，找出并消除或减小其 随机误差的物理源;
(2) 测量中，采用适当的技术措 施，抑制和减小随机误差;
对防震台充气减震、 关空调减少气流、 开机对激光器预热 等。
(3) 测量后，对采集的测量数 据进行适当处理，抑制和减 小随机误差。
视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进 行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法 来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可 以有效消除低频随机噪声。
试评价该仪器的测量重复性及其相对标准差。
【解】
s
分别计算
x
1 n
xi
1 3.4 L
50
3.3 3.5
s2 1 n 1
xi x 2 0.19
0.19 0.44
(s)
1
0.10
s
2(n 1)
故该仪器的测量重复性为0.44, 其估计相对误差为0.10。29
二、极差法
对多次独立测得的数据 x1, x2 ,L，, x最n 大xm值ax ，
的测量结果，包括其最佳估计值及其标准差、
置信区间等
15
第二节 算术平均值
本节主要介绍算术平均值的意 义以及如何计算算术平均值的 标准差。
16
一、算术平均值的意义
在等权测量条件下，对某被测量进
行多次重复测量，得到一系列测量
值x1, x2 ,..., xn ,常取算术平均值
x
1 n
n i 1
xi
作为测量结果的最佳估计。
第3章 随机误差
1
教学目标
本章阐述随机误差产生的原因与特征，减小随 机误差的途径。通过本章的学习，读者应会分析 随机误差产生的原因以及减少随机误差的途径； 掌握用算术平均值表示测量结果的最佳估计，并 用实验标准差以及置信区间来表示该随机误差的 大小。本章内容是从事精密测量工作所必须掌握 的基本方法，也是学习后续章节的基础。
17
无限多次测量算术平均值作为真值的理论 依据
若测量次数无限增多，且无系统误差下， 由概率论的大数定律知，算术平均值以概率 为1趋近于真值
因为
n
n
i xi nx0
i 1
i 1
根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有
x
1 n
n i 1
xi
x0
18
最佳估计的意义
若测量次数有限，由参数估计知，算术平 均值是该测量总体期望的一个最佳的估计 量 ，即满足无偏性、有效性、一致性
戴工作手套装夹工件， 调整光路要尽量减少 离焦、倾斜，并使干 涉条纹疏密适当，人 员尽量远离测量光路； 必要的话，适当增加 重复测量次数取算术 平均值等
10
二、随机误差的本质特征
11
随机误差的表述
表述方法
i xi x0
▪ x被0 测量的真值 ▪ x一i 系列测量值，假设各次测量 值中不含有系统误差
▪1 M值n 随 n减少明显偏离系数1 ▪在样本数较小的情形（如 n 6 ），为了提高对s 估计的相对误差，最好用无偏修正的贝塞尔公式
26
标准差的相对误差
在n次测量服从正态分布且独立的条件下，有
(s)
s
1 Mn2 n
(s)
s
1 Mn2
▪估计标准差的相对误差，用百分数表示，该
百分数愈小，表示估计的信赖程度愈高。