第三章13节 线性规划对偶理论PPT课件
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第三章 线性规划的对偶理论
s.t. AX=b X≥0 由于 AX=b 即 AX=b
AX≤b AX≥b
AX≤b -AX≤-b 所以，原问题可化为 max z=CX s.t. AX≤b -AX≤-b X≥0
A
X≤ -A
b
-b
14
设Y'：AX≤b的对偶变量（行向量） Y''：-AX≤-b的对偶变量（行向量） 按对称形式的对偶关系可得出原问题的对偶问题如下： min w =Y'b-Y''b= （Y'-Y''）b （Yb=bTYT） s.t Y'A-Y''A≥C （ YA=ATYT） Y'≥0，Y''≥0 令Y= Y'-Y''，则对偶问题为 min w =Yb s.t YA≥C Y符号不限 结论：原问题中约束条件为等式，对应的对偶变量 无非负要求；反过来同样成立。
s.t. 2y1+ y2+ 4y3 ≥2
2y1+2y2+ 4y4 ≥3 y1, y2 , y3 , y4 ≥ 0
解：2.首先将原式变形
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给 出其对偶规划。 （1）对原问题模型为“max，约束条件为≤”或“min，约 束条件为≥” 的形式，对应的对偶规划的变量大于 0 ；反之， 若原问题模型为“max，≥”或“min，≤” 的形式，对应的 对偶规划的变量小于0。 （ 2 ）原问题线性规划的决策变量大于 0 ，则对偶问题的模 型为“max，约束条件为≤”或“min，约束条件为≥” 的形 式；若原问题线性规划的决策变量小于0；则对偶问题的模型 为“max，≥”或“min，≤” 的形式。
对偶问题线性规划ppt
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
那么该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
那么其对应的对偶变量一定为零。 即
n
如果yˆi 0，则 aij xˆ j bi j 1 n
如果 aij xˆ j bi，则 yˆi 0 j 1
原 : m ax Z x1 2 x2
x1 x2 x3 2
2
x1
x2
x3
1
x1 ,
x2
,
x3
0
对 : m in W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
y1 y1
y2 2 y2 0
y 1 , y 2 0
试用对偶理论证明原问题无界。
__
解：X =（0.0.0）是 P 的一个可行解，而 D 的第一
练习 线性规划问题
min 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5 s.t. x1 x2 2x3 x4 3x5 4 2x1 x2 3x3 x4 x5 3 xj 0, j 1, 2, ,5
已 知 原 问 题 的 最 优 解 为 x(1 ,0,0,0,1 )T 试 用 互 补 松 弛 性 质 找 出 对 偶 问 题 的 最 优 解 .
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解对偶问题解的方法，而是利
用对偶理论求解原问题的解的方法。
对于标准线性规划问题：
minf CX
AX b
s.t.
X
0
maxzbY
s.t. ATY C
可行基B 假设B对应的根本解是可行解
最优基B 假设B对应的根本解是最优解
对偶可行基B 假设CBB-1是对偶问题可行解
例2 给定线性规划问题 min 2x1 3x2 x3 s.t. 3x1 3x2 x3 1 x1 2x2 x3 2 x1, x2 , x3 0
管理运筹学线性规划的对偶问题优质课件
AX b
s.t.
X
0
YA C s.t.Y 0
• 其中Y=（y1,y2,…,ym）,其他同前。
• 3.1.3 一般问题旳对偶问题——非对称型对偶问题
• • 线性规划有时以非对称型出现，那么怎样从原始问题写出
它旳对偶问题呢？
11
OR:SM
• 例1 写出下列线性规划旳对偶问题
max Z ( x) 2x2 5x3
23
OR:SM
• 例4 求解下列线性规划问题
max Z ( x) 4 x1 3x2
Y1
x1
6
Y2
x2 8
Y3
s.t.
x1
x2
7
Y4
3
x1
x2
15
Y5
x2 1
x1, x2 0
(3 7)
• 解：该问题仅有两个变量，但约束较多，其对偶问题为
minW ( y) 6 y1 8 y2 7 y3 15 y4 y5
y1 y3 3y4 4
s.t.
y2
y3
y4
y5
3
y1, y2 , , y5 0
(3 8)
24
OR:SM
• 把上述问题（3-8）作为原始问题求解，其最终单纯形表见下 表（3.3）
22
OR:SM
• 3.1.5 对偶问题旳最优解
• 主要推论： • 1.原始问题单纯形表中松驰变量旳检验数恰好相应着对偶
问题旳一种解。 • 2.原始问题单纯形表中,原始问题旳松弛变量旳检验数相应
于对偶问题旳决策变量;而原始问题旳决策变量旳检验数相应 于对偶问题旳松弛变量,只是符号相反。
• 注意：在两个互为对偶旳线性规划问题中，可任选一种进行 求解，一般是选择约束条件少旳，因求解旳工作量主要受到 约束条件个数旳影响。
《管理运筹学》03-对偶原理ppt课件
yi
=
cj，
j = 1,
2,…,n
i=1
因此，性质7(1) 的经济解释是: 当一个单位的任一运营活动 j在严厉 正程度( xj > 0 )上运营时，它所耗费的各种资源的边沿价值总和必定等 于 该项活动所产生的单位价值 cj 。
3.3 对偶关系的经济解释
譬如范例，知 X*= (4, 6, 4, 0, 0)T， Y*= (0, ½ , 1, 0, 0)T x1 = 4 > 0 → y4 = 0， 那么使 y1 +3y3 -y4 = 3 → y1 +3y3 = 3
8 F (8，6，0，0 ,- 12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
3.2 线性规划的对偶性质
6. 互补松弛性Ⅰ 设 = ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P⑴1)x(j Dym1)+的j =一0对，互补j根=本1解, ，2 ,那…么, n
cj
3
基 解 0 x1
5 00
x2
x3
0 x3 4 x40 x5 0 1 1/3 -
5 x2 16/3 0
1 0 1/2
3 x1 40 1
0 0 -2/3 1/3
比值
42 0
0 0 1/2 1
y4 y5 y1 y2 y3
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T, z* = 42
s.t. 0y1+2y2+4y3 ≥ 5
②
①
y1， y2， y3 ≥ 0 ③
2.4线性规划的对偶理论
对偶变换的规则
原问题(或对偶问题)
目标函数 maxz 变量： n 个
≥0 ≤0 无约束
约束条件：m 个 ≤ ≥ =
约束条件右端项 目标函数变量系数
对偶问题(或原问题)
目标函数 minω
约束条件：n 个
≥
≤ =
变量： m 个
≥
≤ 无约束
目标函数变量系数
约束条件右端项
原问题与对偶问题的结构关系
（1）标准对称式的线性规划问题的对偶仍是标准对称式；
偶问题:
min
W
Y1
,
Y2
b
b
min W (Y1 Y2 )b
s.t.(Y1
,
Y2
)
A A
C
s.t.(YY11,
Y2 Y2
)A 0
C
Y1 , Y2 0
令Y=Y 1 - Y 2 因为Y 1 ,Y 2 ≥0, 所以Y为不受正负约束的变量
min
W Yb YA C
s.t . Y为 无 约 束 的 变 量
y2 y3
解：
x1 0, x2 0, x3取 值 无 约 束
min s.t.
b1 y1 b2 y2 b3 y3
a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1
a12 y1 a22 y2 a32 y3 c2 a13 y1 a23 y2 a33 y3 c3
y1 0, y2取 值 无 约 束, y3 0
（2）原问题与对偶问题中的目标函数的优化方向相反 （一个为极大，另一个就为极小）；
3x1 2x2 2x2 20
s.t.
4x1
3x2 3x2 x1 x2 x2
10 5
x1 x2 x2 5
第三章线性规划的对偶定理
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
二、原问题与对偶问题的数学模型
❖ 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束
时，称为对称形式的对偶。
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b max w (Y 1,Y 2 ) -b
(Y
1,Y
2
)
A A
C
Y1 0 ,Y2 0
max w (Y 1 Y 2 ) b
(Y
1
Y
2
)
A
C
Y 1 0, Y 2 0
令 Y Y，1 Y得2对偶问题为：
max w Yb
❖ （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
❖ （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。
❖ （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。
❖ （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX Yb
原问题
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6 x1 2 x2 24
线性规划对偶理论PPT课件
max z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2
a21x1 a22x2
a1nxn ≤ b1 ≤ a2nxn b2
≤
am1x1 am2 x2
amn xn bm
x
j
≥
0
j 1, 2,
,n
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21y 2
a12
y1
a
22
y
2
a1n y1 a2n y2 yi ≥ 0 i 1, 2,
am1y m ≥ c1 am2xm≥ c2
amn ym ≥ cn ,m
6
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规范形式下对偶关系的一般形式
max z CX
AX ≤b
X
≥
0
min w Yb YA≥ C Y ≥ 0
7
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【证】因为X°、Y°是可行解，故有AX°≤b, X°≥0及Y°A≥C， Y°≥0,将不等式 AX°≤b
两边左乘Y°，得Y0AX°≤Y0b
再将不等式Y°A≥C两边右乘X°，得C X°≤Y°AX°
故
C X°≤Y°AX≤Y°b
这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性 规划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目 标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。
6
y2
8 y3 y3
≥ ≤
5 4
y1
5 y2
≤9
y1≤0， y2≥0， y3无约束
15
第15页/共45页
线性规划对偶问题的基本性质
下面介绍对偶基本性质时，一般假定是如下规范对偶关系。
设原问题是（记为LP）： 对偶问题是（记为DP）：
对偶问题课件ppt
拉格朗日乘数法是一种求解无约束优化问题的数学方法， 通过构造拉格朗日函数，将原问题转化为求极值的问题。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为 求拉格朗日函数的极值问题。该方法在处理无约束优化问 题时具有简单易行、适用范围广等优点。
牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代 算法，通过不断迭代和修正解的近似 值，逐步逼近方程的根。
VS
总结词：约束优化问题的对偶问题可 以简化和加速计算过程，通过对偶变 换将约束优化问题转化为对偶问题， 提高求解效率。
机器学习中的对偶问题
在机器学习中，许多算法都涉及到对偶问题 的应用。例如，支持向量机（SVM）算法 中的最大间隔问题就是一个典型的对偶问题 。通过对偶变换，可以将原问题转化为对偶 问题，简化模型复杂度，提高学习效率和精 度。
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
解决方案
对于线性规划问题，可以 通过对偶算法（如对偶单 纯形法）求解对偶问题， 得到最优解。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为 求拉格朗日函数的极值问题。该方法在处理无约束优化问 题时具有简单易行、适用范围广等优点。
牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代 算法，通过不断迭代和修正解的近似 值，逐步逼近方程的根。
VS
总结词：约束优化问题的对偶问题可 以简化和加速计算过程，通过对偶变 换将约束优化问题转化为对偶问题， 提高求解效率。
机器学习中的对偶问题
在机器学习中，许多算法都涉及到对偶问题 的应用。例如，支持向量机（SVM）算法 中的最大间隔问题就是一个典型的对偶问题 。通过对偶变换，可以将原问题转化为对偶 问题，简化模型复杂度，提高学习效率和精 度。
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
解决方案
对于线性规划问题，可以 通过对偶算法（如对偶单 纯形法）求解对偶问题， 得到最优解。
管理运筹学课件第3章对偶规划
Part 01
第3章 对偶规划
教学目标与要求
*
【知识结构】
通过对单纯形法；会根据最终单纯形表对于资源项、目标系数变动进行敏感性分析。
管理运筹学课件
*
本章主要内容
*
线性规划的对偶模型
对偶问题
线性规划对偶模型
对偶问题的基本性质
对偶单纯形法简介
影子价格（Dual Price）的含义见节3.3。当松弛变量为0时，影子价格大于0。
目标系数当前值
保持最优基不变时允许增量
保持最优基不变时允许减量
管理运筹学课件
*
本章小结
*
管理运筹学课件
*
管理运筹学课件
*
3.4.2 右端项bi的变化分析
*
设 由式3-8，若 则最优基保持不变. 【例3.5】 由[例3.4]最终单纯形表求最优基不变的b3允许变化范围。
初始基
最优基
即b3的允许变化范围：[40, 50]
3.5 如何看计算机求解报告
*
【例3.8】
Global optimal solution found. Objective value: 35.00000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X( 1) 5.000000 0.000000 X( 2) 0.000000 2.000000 X( 3) 5.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 35.00000 1.000000 2 0.000000 0.2000000 3 0.000000 0.6000000 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X( 1) 3.000000 1.800000 0.6000000 X( 2) 1.000000 2.000000 INFINITY X( 3) 4.000000 1.000000 1.500000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 55.00000 25.00000 15.00000 3 40.00000 15.00000 12.50000
运筹学课件 第三章-线性规划对偶问题
??????????????????????????????????????????????0322252min21321321321321xxxxxxxxxxxxxxz????????????????????????????????????????????????????0121213225max21321321321321yyyyyyyyyyyyyyw最小化问题
9, 4 A 4, 5
3, 10
• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义 上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产 收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤 电 油 单价
甲 乙 资源
按B企业提供的能源 A工厂 产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格 的要求 价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资 源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）
9, 4 A 4, 5
3, 10
• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义 上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产 收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤 电 油 单价
甲 乙 资源
按B企业提供的能源 A工厂 产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格 的要求 价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资 源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）
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a11x1 a12x2
a1n xn ≤ b1
≤
a21x1 a22x2
a2nxn b2
≤
am1x1 am2 x2
amn xn bm
x
j
≥
0
j 1, 2,
,n
a11 y1 a21y 2
a12
y1
a
22
y
2
a1n y1 a2n y2 yi ≥ 0 i 1, 2,
am1y m ≥ c1 am2xm≥ c2
（1）目标函数由 max 型变为 min 型；
（2）对应原问题，每个约束行有一个对偶变量 yi,i 1, 2,, m ；
（3）对偶问题约束为≥型，有 n 行；
（4）原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项；
（5）原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数；
（6）原问题的系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的系数矩阵。
max z 2 x1 x2
5x2 ≤15
（LP1）
6x1 2x2 ≤ 24
x1
x
2
≤
5
17.11.2020
x1, x2 ≥ 0
3
对偶问题的提出
再从另一个角度看问题。假定：有另一个公司想把该公司的资源收买下来，它至
少应付多大的代价才能让该公司愿意放弃生产活动出让自己的资源。显然，该公
司出让自己资源的条件是：出让价不低于同等资源由自己组织生产时获取的盈
调试时间以及设备 A、设备 B 和调试工序每天的可用能力，产品的单件利润如表所示，要
求确定 A，B 两种家电各多少件，获利为最大。
产品
产品 1
产品 2
每天可用能力
设备 A（h）
0
5
15
设备 B（h）
6
2
24
调试工序
1
1
5
单件利润
2
1
这是一个典型的最优生产计划制定问题。
制定获得最大利润生产计划的线性规划问题为：
利。
设 y1, y2 , y3 分别代表单位时间 (h) 设备 A，B 及调试工序的出让代价，那么， y1, y2 , y3 的取值应满足： 6 y2 y3≥ 2，5y1 2 y2 y3≥1
又另一个公司希望用最小代价把该公司的资源收买过来，故有
min w 15 y1 24 y2 5 y3 显然， yi ≥ 0, i 1, 2,3 ，
min w 15 y1 24 y2 5 y3
6 y2 y3≥ 2
（LP2） 5 y1 2 y2 y3 ≥1
y1,
y
2,
y
3
≥
0
17.11.2020
LP1与LP2 两个线性规划问题的 表现形式和系数之间存在许多对 应关系。
并且 maz xmw in
我们称前者为原问题，后者是前 者的对偶问题。
17.11.2020
11
如何直接写出非对称形式的对偶问题
然后，将上述原问题与对称形式下原问题作对照。
max z CX
min w Y T b
AX ≤b
X
≥
0
ATY ≥ CT
Y
≥
0
为了准确无误判断对偶问题中的待定符号，我们遵从
如下规则： （1） 约束为等式约束与变量无约束对应。 （2） 符号相同的变量、约束，其对偶问题的约束、 变量符号也相同。符号相反的变量、约束，其对偶问
17.11.2020
9
一般形式的原、对偶问题关系
Байду номын сангаас
例 3.2 写出如下线性规划问题的对偶问题
max z x1 4 x2 3 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3 x1 x2 6 x3 1
x1
x2
x3
4
x1 0, x2 0, x3无约束
17.11.2020
10
如何直接写出非对称形式的对偶问题
对偶理论是线性规划中的一个最重要的最有趣的 概念。支持对偶理论的基本思想是，每一个线性 规划问题都存在一个与其对偶的问题。在求出一 个问题解的时候，也同时给出了另一问题的解。
线性规划对偶问题以及对偶理论中对偶定理的运 用是线性规划中主要考点。
17.11.2020
2
对偶问题的提出
某公司制造两种家电产品。假定：已知各制造一件时，分别占用的设备 A、设备 B 的台时，
线性规划对偶理论
线性规划对偶理论概述 线性规划对偶问题提出 线性规划对偶问题规范形式 线性规划对偶问题一般形式 线性规划对偶问题基本性质 线性规划对偶问题的经济解释
17.11.2020
1
线性规划对偶理论概述
线性规划对偶理论自1947年提出以来，已经有了 很大发展，已成为线性规划的必不可少的重要基 础理论。
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对称形式下对偶问题的一般形式
定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非
负约束，其约束条件当目标函数求极大事均取“《”号，当目标函数求极小
时均取“》”号。
原问题
max z c1 x1 c2 x2 cn xn
对偶问题
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
amn ym ≥ cn ,m
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对称形式下对偶问题的一般形式
max z CX
AX ≤b
X
≥
0
minwYTb
ATY CT
s.t. Y
0,
YT
(y1,
y2,,
ym)
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对称形式原问题与对偶问题变换规则
观察分析上述对称形式下线性规划的原问题及其对偶问题的模型形 式可发现：按如下规则可从线性规划原问题得到其对偶问题：
综合上述，便有
min w 15 y1 24 y2 5 y3
LP2）
56
y2 y1
y3 2 2 y2 y3
1
y , 17.11.2020 1 y2 , y3 0
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对偶问题的提出
max z 2 x1 x2
5x2 ≤15
（LP1）
6x1 2x2 ≤
x1
x
2
≤
5
24
x1, x2 ≥ 0
根据上述变换规则，可直接写出对称形式下线性规划问题对偶问题。
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线性规划问题对偶问题举例
例3.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
max z 3x1 4x2 6x3 4x4 x1 4x2 2x3 3x4 ≤ 35
s.t. 3x1 x2 5x3 6x4 ≤ 45 x1, x2, x3, x4 ≥ 0
首先，按对规范形式写出对偶关系的框架（不考虑符号）， 对上例有
max z x1 4x2 3x3
2x1 3x2 5x3 ≤ 2
3x1 x2 6x3 ≥1
x1
x
2
x
3
4
x1≥ 0,x2 ≤ 0,x3无约束
min w 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3y2 y3 1 3y1 y2 y3 4 5 y1 6 y2 y3 3 y1 , y2 , y3