第三章13节 线性规划对偶理论PPT课件

利。
设 y1, y2 , y3 分别代表单位时间 (h) 设备 A，B 及调试工序的出让代价，那么， y1, y2 , y3 的取值应满足： 6 y2 y3≥ 2，5y1 2 y2 y3≥1
又另一个公司希望用最小代价把该公司的资源收买过来，故有
min w 15 y1 24 y2 5 y3 显然， yi ≥ 0, i 1, 2,3 ，
对偶理论是线性规划中的一个最重要的最有趣的 概念。支持对偶理论的基本思想是，每一个线性 规划问题都存在一个与其对偶的问题。在求出一 个问题解的时候，也同时给出了另一问题的解。
线性规划对偶问题以及对偶理论中对偶定理的运 用是线性规划中主要考点。
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对偶问题的提出
某公司制造两种家电产品。假定：已知各制造一件时，分别占用的设备 A、设备 B 的台时，
线性规划对偶理论
线性规划对偶理论概述 线性规划对偶问题提出 线性规划对偶问题规范形式 线性规划对偶问题一般形式 线性规划对偶问题基本性质 线性规划对偶问题的经济解释
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线性规划对偶理论概述
线性规划对偶理论自1947年提出以来，已经有了 很大发展，已成为线性规划的必不可少的重要基 础理论。
amn ym ≥ cn ,m
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对称形式下对偶问题的一般形式
max z CX
AX ≤b
X
≥
0
minwYTb
ATY CT
s.t. Y
0,
YT
(y1,
y2,,
ym)
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对称形式原问题与对偶问题变换规则
观察分析上述对称形式下线性规划的原问题及其对偶问题的模型形 式可发现：按如下规则可从线性规划原问题得到其对偶问题：
a11x1 a12x2
a1n xn ≤ b1
≤
a21x1 a22x2
a2nxn b2
≤
am1x1 am2 x2
amn xn bm
x
j
≥
0
j 1, 2,
,n
a11 y1 a21y 2
a12
y1
a
22
y
2
a1n y1 a2n y2 yi ≥ 0 i 1, 2,
am1y m ≥ c1 am2xm≥ c2
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一般形式的原、对偶问题关系
例 3.2 写出如下线性规划问题的对偶问题
max z x1 4 x2 3 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3 x1 x2 6 x3 1
x1
x2
x3
4
x1 0, x2 0, x3无约束
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如何直接写出非对称形式的对偶问题
综合上述，便有
min w 15 y1 24 y2 5 y3
LP2）
56
y2 y1
y3 2 2 y2 y3
1
y , 17.11.2020 1 y2 , y3 0
4
对偶问题的提出
max z 2 x1 x2
5x2 ≤15
（LP1）
6x1 2x2 ≤
x1
x
2
≤
5
24
x1, x2 ≥ 0
min w 15 y1 24 y2 5 y3
6 y2 y3≥ 2
（LP2） 5 y1 2 y2 y3 ≥1
y1,
来自百度文库
y
2,
y
3
≥
0
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LP1与LP2 两个线性规划问题的 表现形式和系数之间存在许多对 应关系。
并且 maz xmw in
我们称前者为原问题，后者是前 者的对偶问题。
根据上述变换规则，可直接写出对称形式下线性规划问题对偶问题。
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线性规划问题对偶问题举例
例3.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
max z 3x1 4x2 6x3 4x4 x1 4x2 2x3 3x4 ≤ 35
s.t. 3x1 x2 5x3 6x4 ≤ 45 x1, x2, x3, x4 ≥ 0
首先，按对规范形式写出对偶关系的框架（不考虑符号）， 对上例有
max z x1 4x2 3x3
2x1 3x2 5x3 ≤ 2
3x1 x2 6x3 ≥1
x1
x
2
x
3
4
x1≥ 0,x2 ≤ 0,x3无约束
min w 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3y2 y3 1 3y1 y2 y3 4 5 y1 6 y2 y3 3 y1 , y2 , y3
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如何直接写出非对称形式的对偶问题
然后，将上述原问题与对称形式下原问题作对照。
max z CX
min w Y T b
AX ≤b
X
≥
0
ATY ≥ CT
Y
≥
0
为了准确无误判断对偶问题中的待定符号，我们遵从
如下规则： （1） 约束为等式约束与变量无约束对应。 （2） 符号相同的变量、约束，其对偶问题的约束、 变量符号也相同。符号相反的变量、约束，其对偶问
调试时间以及设备 A、设备 B 和调试工序每天的可用能力，产品的单件利润如表所示，要
求确定 A，B 两种家电各多少件，获利为最大。
产品
产品 1
产品 2
每天可用能力
设备 A（h）
0
5
15
设备 B（h）
6
2
24
调试工序
1
1
5
单件利润
2
1
这是一个典型的最优生产计划制定问题。
制定获得最大利润生产计划的线性规划问题为：
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对称形式下对偶问题的一般形式
定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非
负约束，其约束条件当目标函数求极大事均取“《”号，当目标函数求极小
时均取“》”号。
原问题
max z c1 x1 c2 x2 cn xn
对偶问题
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
max z 2 x1 x2
5x2 ≤15
（LP1）
6x1 2x2 ≤ 24
x1
x
2
≤
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x1, x2 ≥ 0
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对偶问题的提出
再从另一个角度看问题。假定：有另一个公司想把该公司的资源收买下来，它至
少应付多大的代价才能让该公司愿意放弃生产活动出让自己的资源。显然，该公
司出让自己资源的条件是：出让价不低于同等资源由自己组织生产时获取的盈
（1）目标函数由 max 型变为 min 型；
（2）对应原问题，每个约束行有一个对偶变量 yi,i 1, 2,, m ；
（3）对偶问题约束为≥型，有 n 行；
（4）原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项；
（5）原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数；
（6）原问题的系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的系数矩阵。