有限元与有限差分法基础

离散化过程
P vε T σ d a v u T P d v a u T G d 0 v
( u e ) T B T D e B u e d v ( u e ) T N T P d a ( u e ) T N T G d 0 v
v
a
v
B T D e B u e d v N T P d a N T G d v 0
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有限元法的基本思想
位移法基本过程
1）离散化过程
2）单元平衡方程组装过程 3）约束处理过程
4）方程组求解过程
5）应变、应力回代过程
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离散化过程
P
最小势能原理
弹性体的势能 p
A V
G
p Wi We
弹性体
W
i
为1弹性εT体σd变V形后所具有的内能 2V
12
2 0
0
0
0
0
0
12
2
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线弹性问题本构方程—平面应力
二维问题
平面应力状态
zz0 xz 0 yz 0 xz0 yz0
x
y
z xy
yz
2020zx /8 /2
xx
yy
0
xy
0
0
xx yy
xy
x
y
z xy
有限元法的基本思想
基本思想
通过在单元内假设不同的插值函数，建立不同 的单元模型，适应各种各样的变形模式和受力 模式
F
F
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X
X
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有限元法的基本思想
有限元法分类
1）位移法：基于最小势能原理或虚功原理 2）力法： 基于最小余能原理 3）杂交法：基于修正余能原理 4）混合法：基于Reissner变分原理
离散化过程
单元插值关系 uNue N为单元形函数矩阵 u e 单元节点自由度向量
单元几何关系 εLu
L为单元几何微分算子
单元本构关系 σDeε
D e为单元弹性矩阵
v ( 2u 02e 0) /T 8P /2B v B T T D D v e B e ε u B T e u d σ e d d a v v ( a u a v N e ) u T T P T N d P T d P d a v N v v a T G a ( u u d e T ) G T N d v 0 T G d 0 v 0 16/162
一
维 问 题
ε εxxyyxyxx uxuvxyuxvy0xyxu0xyuvLuLu
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线弹性问题本构方程—三维问题
三维问题
1 0
1
0
σD ε
De
E
0
(1)(12)
0
1e
0
0
12
2
0 0 0 0
0
0
0
0
E20为20/8弹/2 性模量；为泊松比
0 0 0 0
z 0
v w
Lu
y
x
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线弹性问题几何方程—二维问题
二 维 问 题
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εε平面xxyzyzyxyxzzxxy应yxy力 和wvuzxyux平wuvxzyuvxy面wuyvxzvy应变000xzy状0xy态000xzy
0
0
0xy0yzuvwuv
Lu
Lu
x
20W20e/8为/2 A 弹u性TP体d所A 受Vu的TG 外d力V功
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离散化过程
为弹性体的应变 为弹性体的应力
u为弹性体的可容位移
弹性体处于平衡状态时，其势能应为最小
P
0 ε T σ d Vu T P d A u T G d V 0
V
A
V
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有限元法基础及有限差分法基础
有限元法 有限差分法
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有限元法基础
有限元发展过程
有限元应用
有限元发展方向
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有限元法的基本思想
基本思想
1）将连续的求解系统离散为一组由 节点相互联在一起的单元组合体
2）在每个单元内假设近似函数来分 片表示系统的求解场函数
板料无论产生多大的塑性变形，单元与单 元之间依然不会产生裂缝、交叉和重叠， 关联单元的节点也不能脱开
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有限元法的基本思想
不合格单元
2020/8/2 单元裂缝
单元重叠
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有限元法的基本思想
变形前后单元之间都是连续的
变形前的网格
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变形后的网格
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yz
zx
xx
yy
zz
xy
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线弹性问题本构方程—平面应力
平面应力状态
xx
xx
Dxxyeyxy11E00Exyyzyyzz2 21010D
10e 10
0xyyz1yyzz 1002002xxyyxy
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0zx
0zx
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线弹性问题几何方程—二维问题
二
维
问 题
ε
ε
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轴 对xxyzyzyxyxzzrrzzrz称状 态wvuzxyuzwuvxzyurwuwrzuyvxz
w r
00x1r00y 0zy0rz0xz
0
00
u
00rzxyzwuwv LLu21u/162
线弹性问题几何方程—一维问题
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有限元法的基本思想
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4/162
有限元法的基本思想
2020/8/2
5/162
有限元法的基本思想
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有限元法的基本思想
2020/8/2
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有限元法的基本思想
离散为单元网格的冲压件仍然要保证是一 个连续体，单元与单元之间没有裂缝、不 能重叠，所有单元通过单元节点相互关联 着
线弹性问题几何方程—三维问题
三 维 问 题
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u
ε Lu ε
xx yy zz xy yz zx
ห้องสมุดไป่ตู้
x v
y w
z u v y x vw z y w u x z
x
0
0
y
0
z
0
y
0
x z
0
0
0
u
线弹性问题本构方程—平面应变
二维问题
平面应变状态
zz0 xz0 yz0 xz0 yz0
v
a
v
kue f 单元平衡方程或单元刚度方程
B 称为应变矩阵 BLN
k 称为单元刚度矩阵 k BTDeBdv v
2020f/8/称2 为单元载荷向量
f NTPd a
a vNTG 1d7/16v2
离散化过程
单元刚度矩阵的特性
对称性 奇异性 主元恒正且对角占优
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