高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)

专题六、解析几何（一）

直线和圆

1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或

2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y =

的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =；

（2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0；

（3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0；

3.圆的方程：()()2

2

2

x a y b r -+-=或()

2

2

2

2

040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，

无xy 。

4.直线与圆相交：

（1）利用垂径定理和勾股定理求弦长:

弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02

=++c bx ax ，其判别式为∆，则

弦长公式（万能公式）：12l x =-=

a

k a c a k ∆

+=--+=2

2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可，

再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外：

如定点()00,P x y ，圆：()()2

2

2

x a y b r -+-=，[()()2

2

2

00x a y b r -+->]

第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上：

若点P ()00x y ，在圆()()2

2

2

x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为：

⇒=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。

点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。

（3）若点P ()00x y ，在圆()()2

2

2x a y b r -+-=外，即()()2

2

200x a y b r -+->，

过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为：

200))(())((r b y b y a x a x =--+--。

6.两圆公共弦所在直线方程：

圆1C ：2

2

1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2

2

2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题：

（1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。

（2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。

（4）圆C1关于点P对称的圆C2：两圆圆心关于点P对称，且半径相等。

例1.已知直线0=++c by ax 中的 a ，b ，c 是取自集合{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，则这样的直线共有_______条。

例2.已知圆C ：4)4(2

2

=-+y x ，直线l ：04)1()13(=--++y m x m

（Ⅰ）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；

（Ⅱ）已知坐标轴上点A （0，2）和点T （t ，0）满足：存在圆C 上的两点P 和Q ，使得TQ TP TA =+，求实数t 的取值范围．

变式训练：

1.直线01)1(22

=-++y a ax 的倾斜角的取值范围是____________

2.若01298=-+-y x kxy 表示两条直线，则实数k =__________

3.若点A （1，0）和点B （4，0）到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有____条。

4.直线l 过P （1，2），且A （2，3），B （4，﹣5）到l 的距离相等，则直线l 的方程是_________________

5.若直线l 1：032=+++a y ax 与l 2：04)1(=+++y a x 平行，则实数a 的值为________

6.过点P （3，0）有一条直线l ，它夹在两条直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与l 2：x+y+3=0之间的线段恰被点P 平分，则直线l 方程为____________________

7.过点(5，2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是__________________ 8.（2007湖北）已知直线

1x y

a b

+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且 公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有_______________条。

9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若△ABC 的顶点A （2，0），B （0，4），且△ABC 的欧拉线的方程为02=+-y x ，则顶点C 的坐标为（ ）