结构地震反应分析的状态空间法_范旭红

∫t φ(t -τ)B(τ)dτ t 0
(5 )
对式(5)进行数值离散 , 并假设时间步长为 Δt
= t k+1 -tk , 考察在采样周期 k Δt ≤ t ≤(k +1)Δt
这一段时间内的状态响应 , 对上式取 t 0 = k Δt , t =
(k +1)Δt , 则得
∫ Uk+1 = φ(Δt )Uk + tk+1 φ(tk +1 -τ)B(τ)dτ (6 ) t k
破坏 .
图 3 最大层间位移 Fig .3 M ax im floor displacement
图 4 塑性铰发生位置 Fig .4 Position of plastic ting e
图 2 刚度处理示意图 Fig .2 M anagement of stiffness change
4 算 例
K4
f d -K 4 xd
当 x >D0 时 , 由 0 段进入 Ⅰ段 ;当 x <-D 0 时 , 由 0 段进入 Ⅰ b 段 当 x >D1 时 , 由 Ⅰ 进入 Ⅱ ;当 x <D 1 ∩ ﹒x <0 时 , 由 Ⅰ 进入 Ⅰ a , 此时记 x1 , x1a =x1 当 x >-D1 时 , 由 Ⅰ b 进入 Ⅴ ;当 x >-D1 ∩ ﹒x >0 时 , 由 Ⅰ b 进入 Ⅰ a , 记 x1a = x 1 当 x >x1a , 由 Ⅰ a 进入 Ⅰ ;当 x <-x 1a 时 , 由 Ⅰ a 进入 Ⅰ b 当 ﹒x <0 时 , 由Ⅱ 进入 Ⅲ , 此时记下新的 xp , f p 值 当 x >xp 时 , 由 Ⅲ 进入Ⅱ ;当 f <0 时 , 由 Ⅲ 进入 Ⅳ , 记 xa , f a =0 当 x <xn 时 , 由 Ⅳ进入 Ⅴ ;当 ﹒x >0 时 , 由 Ⅳ进入 Ⅵ b , 记 xb , f b 当 ﹒x >0 时 , 由Ⅴ进入 Ⅵ , 记下新的 xn , f n 当 x <xn 时 , 由 Ⅵ 进入 Ⅴ ;当 f >0 时 , 由 Ⅵ 进入 Ⅶ , 记 xc, f c =0 当 f >0 时 , 由 Ⅵ b 进入 Ⅶ , 记 xc, f c =0 ;当 ﹒x <0 且 f <0 时 , 由 Ⅵ b 进入 Ⅳ, 记 xa , f a 当 x >xp 时 , 由 Ⅶ 进入Ⅱ ;当 ﹒x <0 时 , 由 Ⅶ 进入 Ⅲ b , 记 xd , f d 当 f <0 时 , 由 Ⅲ b 进入 Ⅳ , 记 xa , f a =0 ;当 ﹒x >0 时 , 由 Ⅲ b 进入 Ⅶ , 记下 xc , f c
或 0.02 s).但如不对刚度发生变化的时刻 进行处 理 , 计算出的结果可能有较大误差 , 甚至失真 .
笔者建议在处理刚度发生变化的过程中 , 采用 优选法有目的地对时间步长进行分割 .图 2 中第 i 步与第 i +1 步的结构刚度矩阵不同(可以通过状态 判定值是否相同进行判断), 对第 i 步的积分步长进 行分割 , 假设地震波加速度记录在此时间步长内是 线性变化的 , 可通过内插法求出步长 i 中各分割点 的地震加速度值 , 按分割后的积分步长重新进行积 分 .从后面算例的滞回曲线可以看出 , 按此方法计 算产生的误差很小 .在实际计算时 , 可以将积分步 长缩小 1 2 重新算一遍 , 若两次计算结果很接近 , 则 可以认为计算结果是准确的 .
从表 1 可以看出 , 无论何种状态 , 楼层 i 的恢复 初始条件为
力表达式可统一写成
f i =K i xi +Pi
(1 )
第 i 质点的运动微分方程为 mi y··i +F Di + f i -f i +1 =-m i x··g
(2 )
式中 FD i 是作用于 mi 的阻尼力 , f i 是第 i 层的层间
图 1 三线退化型模型 Fig .1 Deg enerate model of triple-line
钢筋混凝土结构及构件的恢复力特性随材料 、 受力特征的变化而不同 , 综合反映了构件在反复周 期荷载作用下的变化 , 即 :裂缝开展 、钢筋的屈服和 强化 、粘结退化和滑移 、局部混凝土的酥裂和剥落以 至构件破坏 , 文献[ 7] 给出了国内外一些学者模拟实 际曲线的恢复力模型 .
[ 参 考 文 献]
[ 1] 石启印 , 范旭红 .混 凝土 内含角 钢桁 架柱恢 复力 特性 研究[ J] .工业建筑 , 1999, 29(2):33-36.
[ 收稿日期] 2003 -03 -16 [ 基金项目] 江苏大学校青年基金资助项目(1241190004)
[ 作者简介] 范旭红(1969 -), 女 , 陕西汉中人 , 硕士生 , 主要从事智能材料 、工程抗震方面的研究 .
第 4 期 范旭红等 :结构地震反应分析的状态空间法
图 3 为按本文方法和文 献[ 6] 中 杆系模型 、剪 切模型进行弹 塑性分析得到的 各楼层层间最 大位
移 .从计算结果可以看出 , 本文计算所得底 层与第 二层层间位移与文献[ 6] 中杆系摸型的结果较为接 近 , 顶层存在一定差别 ;结构的最大层间位移出现在 第二层 , 顶 层次之 , 底 层最轻 , 这 与实际 震害完 全 一致 .
澜沧 -耿马岩帅茶厂是一幢三层四跨钢筋混凝 土框架结构 , 在澜沧 -耿马地震中 , 厂房的第二层破 坏最为严重 , 第三层次之 , 底层最轻 .
以被破坏的澜沧 -耿马岩帅茶厂南楼厂房钢筋 混凝土框架为例 , 按本文方法进行计算 , 地震波采用 宁河地震天津医院地震台记录(6.9 级 , 地面最大加 速度为 131.8 cm s2), 取阻尼比 ξ=0.05.
恢复力 .将式(1)代入到式(2)中 , 写成矩阵形式为
My··+Cy·+K y =-MIx··g -P
(3 )
其中 , C 为结构阻尼矩阵 , 可根据阻尼比或瑞雷阻尼
确定 .
K 1 +K 2 -K 2
K = -K 2
K 2 +K 3 -K 3
U(0)={0来自百度文库 状态方程(4)的求解公式为[ 5]
U(t)= φ(t -t 0)U(t 0 )+
Ⅶ
6
Ⅲb
5
K 1 0
K2
(K 1 -K 2)D0
K2
-(K 1 -K 2)D0
Ka 0
K3
(K 4 -K 3)D1
K4
f p -K4 xp
Kan fa -K4 xa
K3
-(K 4 -K 3)D1
K4
f n -K 4·xn
K4
f b -K4 xb
K cp f c -K cp xc
第 24 卷第 4 期 2003 年 7 月
江 苏 大 学 学 报(自 然 科 学 版) Journal o f Jiang su University(N atural Science Edition)
结构地震反应分析的状态空间法
V ol.24 No .4 July 2003
范旭红1 , 石启印2 , 吴 强2
笔者从应用广泛的平面杆系模型出发 , 介绍恢 复力模型的数值描述及拐点处理 , 并利用状态方程 的直接积分法计算结构的非线性地震反应 .
1 楼层滞回模型的描述
以
Mc+
、M
c
分
别表
示杆
件
i
端正向和反向开裂
弯矩
,
+
My
、My-分别表示杆 件 i
端正向和反向 屈服
弯矩 , α+ 1 、α1- 表示 i 端混凝土开裂后刚度降低系数 . 图 1 所示三线退化型模型中所有折线可归纳为十二 类直线 , 引入状态判定数 IPD[ 4] , 各状态之间的转换 及刚度折减系数如表 1 所示 .
图 6 各楼层滞回曲线 Fig .6 Curv e of force-displacement
5 结 论
将状态空间法应用到结构非线性地震反应分析
第 4 期 范旭红等 :结构地震反应分析的状态空间法
77
中 , 直接从动力方程的全量形式出发 , 利用状态方程 直接积分法计算结构地震反应 .在恢复力滞回模型 中通过引入状态判定数 , 进而表达出结构在弹性 塑性状态间的转换条件及恢复力表达式 , 并通过优 选法对拐点进行处理 , 这使程序的结构清晰 、编制容 易 .算例分析表明 , 按此方法进行地震反应分析是 切实可行的 .
式中 , φ(Δt)=exp(ΔtA), 可由 QR 法或指数矩阵
-Kn K n P1 -P2
精细数值算法计算得出 .式(6)中 , 等式右边的第二 项可用数值积分法直接计算 , 即采用文献[ 2] 提出 的利用辛普生格式的数值积分法 , 则状态响应的迭
P = P2 -P3 Pn
2 结构在状态空间内地震反应分析
75
表 1 各状态之间转换条件及刚度折减系数 Tab.1 The transf orm condition of all state and coef ficient of stiffness convert
段号 IPD K
P
状态变化条件
0
0
Ⅰ
2
Ⅰ b -2
Ⅰa
1
Ⅱ
3
Ⅲ
4
Ⅳ -6
Ⅴ -3
Ⅵ
-4
Ⅵ b -5
图 4 为塑性铰的发生位置 , 图 5 为第二层边柱 上端的位移时程曲线 , 图 6 为结构各楼层位移反应 时程曲线 .由图 4 塑性铰的发生位置可知 , 该结构 为强梁弱柱型 , 第二层和第三层的所有柱均产生了 塑性铰 , 表明在强震作用下第二层和第三层将发生
图 5 第二层边柱上端位移时程曲线 Fig .5 Curve of displacement-time
(1 .江苏大学理学院 , 江苏 镇江 212013 ;2 .东南大学土木工程学院 , 江苏 南京 210096)
[ 摘 要] 介绍了平面杆系模型非线性地震反应分析技术 , 包括恢复力滞回模型的数值描述及刚度 变化的处理 , 提出了通过数值积分来计算结构弹塑性地震反应的状态空间法 , 同时也提出了逐步积 分过程中刚度变化的处理方法 .并用本文方法对澜沧 -耿马帅茶厂一幢三层四跨钢筋混凝土框架 结构进行了计算 .计算结果表明 :运用本文计算方法进行结构地震反应的非线性分析计算 , 其计算 结果比目前结构工程地震反应的非线性分析法精度高 , 计算精度可以满足工程要求 .说明工程设 计中运用本文方法进行地震反应分析是切实可行的 .
代公式为
Uk+1 = φ(Δt )Uk +Δ6t [ φ(Δt )Bk +
4
φ
Δt 2
Bk+12 +Bk+1]
(7 )
以上介绍的方法即为进行地震反应分析状态方
将式(3)写成状态方程 ﹒U = AU(t)+B(t)
其中
U=
x x·
(4 )
程直接积分法 , 可证明这两种迭代格式都是稳定 、收 敛的 .梯形积分格式的误差一般为 ε=o(Δt 2), 辛 普生积分格式的误差一般为 ε=o(Δt 5).对于一般 的地震加速度记录 Δt =0.02 s , 这两种积分格式都 能够满足工程中的精度需要 .
[ 关键词] 地震反应 ;杆系模型 ;恢复力模型 ;状态空间法
[ 中图分类号] T U317+ .1 [ 文献标识码] A [ 文章编号] 1671 -7775(2003)04 -0074 -04
目前结构非线性地震反应分析通过输入给定的 实际强震记录或人工模拟地震波 , 采用逐步积分法 计算出各时刻结构的内力和变形状态 , 给出构件的 开裂和屈服顺序 , 从而判明结构屈服机制 、薄弱环节 及可能的破坏模型 .它涉及到 :结构振动分析模型 的确定 ;恢复力滞回模型的表达 ;多自由度体系振动 微分方程求解的精度等问题[ 1] .
A
=
0 -M -1 K
I -M-1 C
0 B(t)= -x··g -M-1 P
3 刚度变化的处理方法
输入地震波记录时 , 为了合理地描述地震波变 化规律而选取的时间步长一般都很小(例如 0.01 s
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江 苏 大 学 学 报(自 然 科 学 版) 第 24 卷
结构振动微分方程的数值求解通常采用逐步积 分法 , 如线性加速度法 、中心差分法 、威尔逊法和纽 马克法等 .近年来 , 国内外许多学者[ 2] 将状态空间 法应用到结构的动力响应分析中 , 通过引入状态空 间理论 , 将动力学平衡方程转化为时间 t 的一阶微 分方程组 ———状态方程 , 并利用数值积分方法计算 结构动力响应 , 此方法具有无条件稳定且精度高的 特点 , 但目前还仅应用于线性系统中 .