5.连续时间信号的抽样与量化资料

第5章 连续时间信号的抽样与量化

5.1 学习要求

1. 掌握时域抽样过程及时域抽样定理，会求已知信号的奈奎斯特频率；了解抽样信号的频

谱及其求解方法。 2. 掌握抗混叠滤波处理

3. 深刻理解连续时间信号的内插恢复过程；

4. 理解频域抽样定理；

5. 了解连续时间信号的离散处理过程。 5.2 学习重点

1. 时域抽样定理。 5.3知识结构

5.4 内容摘要

5.4.1 时域抽样定理 1. 时域抽样

就是利用抽样脉冲序列)(t p 从时域连续信号)(t f 中抽取一系列的离散样值，这种离散信号通常称为抽样信号，以)(t f s 表示 ，抽样信号傅里叶变换为：

()s

n n

FT

s n F P t p t f t f ωω-⇔

=∑∞

-∞

=)()()(

()()dt e t p T n P t jn T T s

s s s ω--⎰

=

22

1

，称为)(t p 的傅里叶级数的系数。

n P 取决于抽样脉冲序列的形状，可以是，也可以是矩形脉冲抽样。

（1） 冲激抽样

设单位冲激序列)(t T δ为： ∑∞

-∞

=-=

n s

T nT t t )()(δδ ，

()()dt e t T n P t jn T T T s

s

s s ωδ--⎰

=

221

＝

s

T 1 抽样信号为：()()()()()s T s s n f t f t t f nT t nT δδ∞

=-∞

=⋅=⋅-∑

则抽样信号)(t f s 的频谱为：∑∞

-∞

=-=

n s

s

s n F T F )(1

)(ωωω

（2） 矩形脉冲序列的抽样

如果抽样脉冲序列是周期为s T ，幅度为1，宽度为τ的矩形脉冲序列)(t p ， 则抽样信号)(t f s 的频谱为：

)()2

(

)](*)([21)(s s n s

s n F n Sa T p F F ωωτ

ωτ

ωωπω-=

=∑∞

-∞

=

2. 时域抽样定理

时域抽样定理是指一个频谱受限的信号)(t f ，如果频谱只占据m ω-到m ω的范围,则信号)(t f 可以用等间隔的抽样值唯一地表示，而抽样间隔m

s f T 21

≤（其中m m f πω2=），或者说，最低抽样频率为m f 2。

抽样的最大间隔m s f T 21=称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率m s f f 2=称为奈奎斯特速率，最低抽样频率m s ωω2=称为奈奎斯特频率。

5.4.2 频率混叠效应和信号抽样频率的选择

由于信号在时域上的抽样而造成信号在频域上的频谱混叠称作频率混叠效应。减小频率混叠效应有两种途径：一是提高信号的抽样频率s ω，即缩小抽样周期T 。二是对被抽样的信号)(t f 预先进行抗混叠滤波处理，将非带限信号变成带限信号，然后按抽样定理抽样。后一种方法虽然使信号丢失了部分高频分量，但可以有效地保护信号()x t 中低频分量将不因抽样而受到干扰。

当信号有效带宽a f 已知时，若取抗混叠滤波器截止频率c a f f ≈，当滤波器具有-50~-60dB/倍频程衰减率，那么滤波后的信号以3s a f f =抽样即可。

5.4.3 利用内插从样本值重建信号

利用内插从样本值重建信号也就是如何从抽样信号恢复连续时间信号的问题，包括，零阶保持内插，线性内插等方法。

1. 理想内插：被恢复信号)(t f r 在抽样点的值等于)(s nT f ，即原信号)(t f 等于在相应抽 样时刻s nT t =上的样本值，而在样本点之间的信号则是由各抽样值的内插函数波形叠加完成。

)]([)()()()(s s c n s c

s

r nT t Sa nT f T t h t f t f -⋅=

*=∑∞

-∞

=ωπ

ω 上式说明连续时间信号)(t f r 可以展开成抽样函数（Sa 函数）的无穷级数，级数的系数等于抽样值)(s nT f ，并且为从抽样信号)(t f s 恢复原连续信号)(t f r 提供了一个抽样内插函数，即)]([s c nT t Sa -ω，该函数仅在s nT t =的抽样点上函数值为1，而在

s s s T n ，，T ，T ，)1(20-±⋅⋅⋅±±处抽样点函数值为零。

2. 零阶保持内插：零阶保持内插是用一个矩形脉冲作为内插函数，是将每个样本点的样本 值保持到下一个抽样瞬间，它相当于对原来的连续时间信号进行平顶抽样。零阶保持内插得到的输出具有阶梯形状，是对原始信号的一种近似。零阶保持信号)(0t f s 频谱的基本特征是

)(ωj F 的频谱以s ω为周期进行重复，但是要乘以)2

(

s

T Sa ω，此外还附加了延迟项2

s

T j

e

ω-。

3. 线性内插：用三角形进行内插也称为线性内插或一阶保持内插，即把相邻的样本点用直 线连接起来，它是利用内插函数来产生抽样值之间)(t f 的线性近似，构成折线状波形。

一阶保持信号)(1t f s 频谱的基本特征是)(ωj F 频谱以s ω周期重复，但是要乘以)2

(s

T Sa ω。

5.4.4 频域抽样定理

若信号)(t f 是时间受限信号，它集中m t -到m t +的时间范围内，若在频域以不大于

m

t 21

的频率等间隔在频域中对)(t f 频谱)(ωj F 进行抽样，则抽样后的频谱)(1ωj F 可以唯一地表示原信号。

5.4.5 连续时间信号的离散时间处理