5.连续时间信号的抽样与量化资料

第5章 连续时间信号的抽样与量化5.1 学习要求1. 掌握时域抽样过程及时域抽样定理，会求已知信号的奈奎斯特频率；了解抽样信号的频谱及其求解方法。

2. 掌握抗混叠滤波处理3. 深刻理解连续时间信号的内插恢复过程；4. 理解频域抽样定理；5. 了解连续时间信号的离散处理过程。

5.2 学习重点1. 时域抽样定理。

5.3知识结构5.4 内容摘要5.4.1 时域抽样定理 1. 时域抽样就是利用抽样脉冲序列)(t p 从时域连续信号)(t f 中抽取一系列的离散样值，这种离散信号通常称为抽样信号，以)(t f s 表示 ，抽样信号傅里叶变换为：()sn nFTs n F P t p t f t f ωω-⇔=∑∞-∞=)()()(()()dt e t p T n P t jn T T ss s s ω--⎰=221，称为)(t p 的傅里叶级数的系数。

n P 取决于抽样脉冲序列的形状，可以是，也可以是矩形脉冲抽样。

（1） 冲激抽样设单位冲激序列)(t T δ为： ∑∞-∞=-=n sT nT t t )()(δδ ，()()dt e t T n P t jn T T T sss s ωδ--⎰=221＝sT 1 抽样信号为：()()()()()s T s s n f t f t t f nT t nT δδ∞=-∞=⋅=⋅-∑则抽样信号)(t f s 的频谱为：∑∞-∞=-=n sss n F T F )(1)(ωωω（2） 矩形脉冲序列的抽样如果抽样脉冲序列是周期为s T ，幅度为1，宽度为τ的矩形脉冲序列)(t p ， 则抽样信号)(t f s 的频谱为：)()2()](*)([21)(s s n ss n F n Sa T p F F ωωτωτωωπω-==∑∞-∞=2. 时域抽样定理时域抽样定理是指一个频谱受限的信号)(t f ，如果频谱只占据m ω-到m ω的范围,则信号)(t f 可以用等间隔的抽样值唯一地表示，而抽样间隔ms f T 21≤（其中m m f πω2=），或者说，最低抽样频率为m f 2。

抽样的最大间隔m s f T 21=称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率m s f f 2=称为奈奎斯特速率，最低抽样频率m s ωω2=称为奈奎斯特频率。

5.4.2 频率混叠效应和信号抽样频率的选择由于信号在时域上的抽样而造成信号在频域上的频谱混叠称作频率混叠效应。

减小频率混叠效应有两种途径：一是提高信号的抽样频率s ω，即缩小抽样周期T 。

二是对被抽样的信号)(t f 预先进行抗混叠滤波处理，将非带限信号变成带限信号，然后按抽样定理抽样。

后一种方法虽然使信号丢失了部分高频分量，但可以有效地保护信号()x t 中低频分量将不因抽样而受到干扰。

当信号有效带宽a f 已知时，若取抗混叠滤波器截止频率c a f f ≈，当滤波器具有-50~-60dB/倍频程衰减率，那么滤波后的信号以3s a f f =抽样即可。

5.4.3 利用内插从样本值重建信号利用内插从样本值重建信号也就是如何从抽样信号恢复连续时间信号的问题，包括，零阶保持内插，线性内插等方法。

1. 理想内插：被恢复信号)(t f r 在抽样点的值等于)(s nT f ，即原信号)(t f 等于在相应抽 样时刻s nT t =上的样本值，而在样本点之间的信号则是由各抽样值的内插函数波形叠加完成。

)]([)()()()(s s c n s csr nT t Sa nT f T t h t f t f -⋅=*=∑∞-∞=ωπω 上式说明连续时间信号)(t f r 可以展开成抽样函数（Sa 函数）的无穷级数，级数的系数等于抽样值)(s nT f ，并且为从抽样信号)(t f s 恢复原连续信号)(t f r 提供了一个抽样内插函数，即)]([s c nT t Sa -ω，该函数仅在s nT t =的抽样点上函数值为1，而在s s s T n ，，T ，T ，)1(20-±⋅⋅⋅±±处抽样点函数值为零。

2. 零阶保持内插：零阶保持内插是用一个矩形脉冲作为内插函数，是将每个样本点的样本 值保持到下一个抽样瞬间，它相当于对原来的连续时间信号进行平顶抽样。

零阶保持内插得到的输出具有阶梯形状，是对原始信号的一种近似。

零阶保持信号)(0t f s 频谱的基本特征是)(ωj F 的频谱以s ω为周期进行重复，但是要乘以)2(sT Sa ω，此外还附加了延迟项2sT jeω-。

3. 线性内插：用三角形进行内插也称为线性内插或一阶保持内插，即把相邻的样本点用直 线连接起来，它是利用内插函数来产生抽样值之间)(t f 的线性近似，构成折线状波形。

一阶保持信号)(1t f s 频谱的基本特征是)(ωj F 频谱以s ω周期重复，但是要乘以)2(sT Sa ω。

5.4.4 频域抽样定理若信号)(t f 是时间受限信号，它集中m t -到m t +的时间范围内，若在频域以不大于mt 21的频率等间隔在频域中对)(t f 频谱)(ωj F 进行抽样，则抽样后的频谱)(1ωj F 可以唯一地表示原信号。

5.4.5 连续时间信号的离散时间处理图5.4.1 连续时间信号的离散时间处理过程5.5 典型例题例5.1 已知：1()F j ω=F 1[()]f t ，2()F j ω=F 2[()]f t 其中，1()F j ω的最高频率分量为12,()F j ωω的最高频率分量为2ω，若对12()()f t f t ⋅进行理想取样，则奈奎斯特抽样频率s f 应为（21ωω>）（ ）（a ）2ω1 （b ）ω1+ω2 （c ）2（ω1+ω2） （d ）12（ω1+ω2）答案：(c)分析：两个信号的相乘后的最高频率分量为两信号的频率分量相加。

例5.2 已知信号2()Sa(100)Sa (60)f t t t =+，则奈奎斯特抽样频率s ω为( )（a ）π50（b ）π120（c ）π100（d ）π60 答案：(d)分析：两个信号相加的最后频率为取最大频率，该题中2Sa (60)t 的频率为120，例5.3 若对f （t ）进行理想取样，其奈奎斯特抽样频率为f s ，则对)231(-t f 进行取样，其奈奎斯特抽样频率为（ ）（a ）3f s （b ）s f 31 （c ）3（f s -2） （d ）)2(31-s f 答案：(b)分析：根据傅立叶变换的尺度性质，时域信号的拉伸3倍会造成其频谱的压缩成 1/3，所以奈奎斯特抽样频率也相应的变为原来的1/3。

5.6习题全解5.1 试证明时域抽样定理。

证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为∑∞-∞=-=n sT nT t t )()(δδ由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：[])()(21)(ωδωπωT s F F *=()[]∑∞-∞=-=n ssn F T ωω1式中)(ωF 为原信号)(t f 的频谱，)(ωδT 为单位冲激序列)(t T δ的频谱。

可知抽样后信号的频谱)(ωs F 由)(ωF 以s ω为周期进行周期延拓后再与s 1相乘而得到，这意味着如果m s ωω2≥，抽样后的信号)(t f s 就包含了信号)(t f 的全部信息。

如果m s ωω2<，即抽样间隔ms f T 21>，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建原信号。

因此必须要求满足ms f T 21≤，)(t f 才能由)(t f s 完全恢复，这就证明了抽样定理。

5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1）)50(t Sa（2）)100(2t Sa（3） )100()50(t Sa t Sa +（4）)60()100(2t Sa t Sa +解：抽样的最大间隔m s f T 21=称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率m s f f 2=称为奈奎斯特速率，最低抽样频率m s ωω2=称为奈奎斯特频率。

（1）)]50()50([50)50(--+↔ωωπu u t Sa ，由此知s rad m /50=ω，则π25=m f ，由抽样定理得：最低抽样频率π502==m s f f ，奈奎斯特间隔501π==s s f T 。

（2）)2001(100)100(2ωπ-↔t Sa 脉宽为400，由此可得s rad m /200=ω，则π100=m f ，由抽样定理得最低抽样频率π2002==m s f f ，奈奎斯特间隔2001π==s s f T 。

（3）)]50()50([50)50(--+↔ωωπu u t Sa ，该信号频谱的s rad m /50=ω )]100()100([100)100(--+↔ωωπu u t Sa ,该信号频谱的s rad m /100=ω)100()50(t Sa t Sa +信号频谱的s rad m /100=ω,则π50=m f ，由抽样定理得最低抽样频率π1002==m s f f ，奈奎斯特间隔1001π==s s f T 。

（4）)]100()100([100)100(--+↔ωωπu u t Sa ,该信号频谱的100=m ω)1201(60)60(2ωπ-↔t Sa ，该信号频谱的s rad m /120=ω 所以)60()100(2t Sa t Sa +频谱的s rad m /120=ω, 则π60=m f ，由抽样定理得最低抽样频率π1202==m s f f ，奈奎斯特间隔1201π==s s f T 。

5.3 系统如题图 5.3所示，)1000()(1t Sa t f π=，)2000()(2t Sa t f π=，∑∞-∞=-=n nT t t p )()(δ，)()()(21t ft f t f =，)()()(t p t f t f s =。

（1）为从)(t f s 中无失真地恢复)(t f ，求最大采样间隔max T 。

（2）当max T T =时，画出)(t f s 的幅度谱)(ωs F 。

题图 5.3解：（1）先求)(t f 的频谱)(ωj F 。

)]1000()1000([10001)()1000()(11πωπωωπ--+=⇒=u u j F t Sa t f )]2000()2000([20001)()2000()(22πωπωωπ--+=⇒=u u j F t Sa t f)]}3000()1000()[3000()]1000()1000([2000)]1000()3000()[3000{(1041)]2000()2000((20001))1000()1000((10001[21)()(21)(621πωπωπωπωπωππωπωπωππωπωπωπωπωωπω---+-+--+++-++⨯⨯=--+*--+=*=-u u u u u u u u u u j F j F j F由此知)(ωj F 的频谱宽度为π6000，且s rad m /3000πω=，则Hz f m 1500=，抽样的最大允许间隔s f T m 3000121max ==（2）∑∞-∞=-=n nT t t p )()(δ，所以用冲激序列对连续时间信号为)(t f 进行抽样，设原输入信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，而单位冲激序列的频谱密度为：∑∞-∞=-=n s n Tp )(2)(ωωδπω 其中Ts πω2=则根据频域卷积定理得抽样信号)(t f s 的频谱为：∑∞-∞=-==n s s n F T p F F )(1)](*)([21)(ωωωωπω而max T T =，则s rad T s /6000230002maxπππω=⨯==，幅度谱如下图所表示。