§1.7 质点动力学的基本定理和守恒定律

§1、7质点动力学基本定理和守恒定律
已讨论，通过求解⇒=a m F
可得运动规律，这是研究质点动力学的基本方法！
存在问题：由于F
形式复杂，求解十分困难；有时并不需要全部解。

⇒
关于质点动力学的其他研究及求解方法⇒质点动力学基本定理
一、动量定理（theorem of momentum ）及动量守恒定律
v
m P
= F
v m dt
d P
==)( 动量定理
具有普遍性 （1）牛二律原始形式 （2）相对论中亦适用
dt
F P d = 微分形式（又称“冲量定理” theorem of impulse ）
=
-=-1212v m v m P P ⎰
2
1
t t dt
F 积分形式 力对时间的积累
若 0=F 则c v m P
==（恒矢量）⇒动量守恒；若 0≠F
但0=x F 则1c mv x = 二、动量矩定理（theorem of moment of momentum ）及守恒定律
1、力矩（torque of force ）
力F
对O 点的矩
)()()(x y z x y z z
y
x yF xF k xF zF j zF yF i F F F z y x
k
j i
F r M -+-+-==⨯=
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=x
y z
z x y y z x yF xF M xF zF M
zF yF M
2、动量矩（moment of momentum ）（角动量 angular momentum ） 对O
点 =
⨯=v m r J
)()()(x y y x m k z x x z m j y z z
y m i z
m y
m x
m z y x k j i
-+-+-= ⇒ ⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=)(()(x y y x m J z x x
z m J y z z
y m J z
y x 3、动量矩定理
F
r m = F
r r r m ⨯=⨯ =⨯-⨯=⨯r r r r dt d
r r
)()(v r dt
d ⨯
∴=⨯)(v m r dt d F r
⨯ 动量矩定理
M dt
J d
= dt M J d = M
J d
⎰
⎰
=
若 0=⨯=F r M
则 =⨯=v m r J
c P r
=⨯（恒矢量） ⇒动量矩守恒
虽 0≠⨯=F r M
但 0
=x
M
则1c J x =
注意 若 0=⨯=F r M
则 =J c
（恒矢量） J
r
⊥ r ∴必定始终处于与c
向垂
直的平面内，即质点作平面曲线运动，有心运动即为一例，见59p 例题
三、动能定理与机械能守恒定律
质点受力F 作用，⎰⋅=r d F W
，质点速度v
随时间而变化，与速度有关的能量发生变化！
F v
m r m == dt
v r d = r d F dt v v m ⋅=⋅ r d F v d v m dt v dt
v d m ⋅=⋅=⋅ r d F mv d ⋅=)21(2 〖2v v v =⋅ 2)(dv v v d =⋅ 2
2dv v d v =⋅ 2
2
1(mv d v d v m =⋅ 〗
质点动能的微分等于力F
对质点做的元功⇒动能定理（微分形式）
令质点在0r 处速度为0v ，在r 处速度为v ，则r r
⇒0时间内 ⎰
⎰
++=
⋅=
-
r
r z
y x z y x z y x dz
F dy F dx F r d F mv mv 0
00,,,,2
2
2
12
1 动能定理的积分形式
if F 为保守力，V F -∇=
则 []⎰
⎰⎰--=-=⋅∇-=⋅∇-=
-
r
r r r r r z y x V z y x V dV r d V r d V mv mv
),,(),,(2
12
10002
2
=),,(),,(000z y x V z y x V - 即 )
,,(2
1),,(21
0002
02z y x V mv z y x V mv +=
+ E V T =+ 机械能守恒
※能量转化与守恒定律 物理学基本原理 宇宙的基本定律 ※三个守恒定律为运动方程的初积分（第一积分）
c t z y x z y x =);,,;,,( ϕ 为时间t 的一阶微分方程 如E V T =+ 能量积分
四、势能曲线
例 一维守恒力（保守力） 势垒 势阱 对于一维守恒力（保守力）
E x V mv =+)(21
2 )]([2x V E m
x
-±=
（1）1x x 〈区域 V E 〈 经典禁区 （2）21x x x 〈〈 区域内振动运动 （3）32x x x 〈〈 V E 〈 经典禁区 （4）3x x 〉 区域内 任意点 经典力学 只有V E 〉时质点可越过势垒
量子力学 隧道效应。