§1.7 质点动力学的基本定理和守恒定律

§1、7质点动力学基本定理和守恒定律

已讨论，通过求解⇒=a m F

可得运动规律，这是研究质点动力学的基本方法！

存在问题：由于F

形式复杂，求解十分困难；有时并不需要全部解。

⇒

关于质点动力学的其他研究及求解方法⇒质点动力学基本定理

一、动量定理（theorem of momentum ）及动量守恒定律

v

m P

= F

v m dt

d P

==)( 动量定理

具有普遍性 （1）牛二律原始形式 （2）相对论中亦适用

dt

F P d = 微分形式（又称“冲量定理” theorem of impulse ）

=

-=-1212v m v m P P ⎰

2

1

t t dt

F 积分形式 力对时间的积累

若 0=F 则c v m P

==（恒矢量）⇒动量守恒；若 0≠F

但0=x F 则1c mv x = 二、动量矩定理（theorem of moment of momentum ）及守恒定律

1、力矩（torque of force ）

力F

对O 点的矩

)()()(x y z x y z z

y

x yF xF k xF zF j zF yF i F F F z y x

k

j i

F r M -+-+-==⨯=

⎪⎩⎪

⎨⎧-=-=-=x

y z

z x y y z x yF xF M xF zF M

zF yF M

2、动量矩（moment of momentum ）（角动量 angular momentum ） 对O

点 =

⨯=v m r J

)()()(x y y x m k z x x z m j y z z

y m i z

m y

m x

m z y x k j i

-+-+-= ⇒ ⎪⎩⎪

⎨⎧-=-=-=)(()(x y y x m J z x x

z m J y z z

y m J z

y x 3、动量矩定理

F

r m = F

r r r m ⨯=⨯ =⨯-⨯=⨯r r r r dt d

r r

)()(v r dt

d ⨯

∴=⨯)(v m r dt d F r

⨯ 动量矩定理

M dt

J d

= dt M J d = M

J d

⎰

⎰

=

若 0=⨯=F r M

则 =⨯=v m r J

c P r

=⨯（恒矢量） ⇒动量矩守恒

虽 0≠⨯=F r M

但 0

=x

M

则1c J x =

注意 若 0=⨯=F r M

则 =J c

（恒矢量） J

r

⊥ r ∴必定始终处于与c

向垂

直的平面内，即质点作平面曲线运动，有心运动即为一例，见59p 例题

三、动能定理与机械能守恒定律

质点受力F 作用，⎰⋅=r d F W

，质点速度v

随时间而变化，与速度有关的能量发生变化！

F v

m r m == dt

v r d = r d F dt v v m ⋅=⋅ r d F v d v m dt v dt

v d m ⋅=⋅=⋅ r d F mv d ⋅=)21(2 〖2v v v =⋅ 2)(dv v v d =⋅ 2

2dv v d v =⋅ 2

2

1(mv d v d v m =⋅ 〗

质点动能的微分等于力F

对质点做的元功⇒动能定理（微分形式）

令质点在0r 处速度为0v ，在r 处速度为v ，则r r

⇒0时间内 ⎰

⎰

++=

⋅=

-

r

r z

y x z y x z y x dz

F dy F dx F r d F mv mv 0

00,,,,2

2

2

12

1 动能定理的积分形式

if F 为保守力，V F -∇=

则 []⎰

⎰⎰--=-=⋅∇-=⋅∇-=

-

r

r r r r r z y x V z y x V dV r d V r d V mv mv

),,(),,(2

12

10002

2

=),,(),,(000z y x V z y x V - 即 )

,,(2

1),,(21

0002

02z y x V mv z y x V mv +=

+ E V T =+ 机械能守恒

※能量转化与守恒定律 物理学基本原理 宇宙的基本定律 ※三个守恒定律为运动方程的初积分（第一积分）

c t z y x z y x =);,,;,,( ϕ 为时间t 的一阶微分方程 如E V T =+ 能量积分

四、势能曲线

例 一维守恒力（保守力） 势垒 势阱 对于一维守恒力（保守力）

E x V mv =+)(21

2 )]([2x V E m

x

-±=

（1）1x x 〈区域 V E 〈 经典禁区 （2）21x x x 〈〈 区域内振动运动 （3）32x x x 〈〈 V E 〈 经典禁区 （4）3x x 〉 区域内 任意点 经典力学 只有V E 〉时质点可越过势垒

量子力学 隧道效应