大学物理参考答案(白少民)第10章 波动学基础

ω 1.1 ×15.2 ×10 2 = = 2.66 ×10 2 m / s 2π 2 × 3.14
由波的一般形式便可写出此波的波函数为 x x y = A cos ω(t − ) = 1.25 ×10 −2 cos 1.52 ×10 3 (t − ) + ϕ m u 266
其中 ϕ 是初相位。 10.12 一平面简谐波沿 x 轴的负方向行进，其振幅为 1.00cm ，频率为 550Hz ，波速为 330m/s.求波长，并写出此波的波函数。
λ = 2π ⋅
1 = 2.0 ×10 2 m −3 5.0 ×10 波速 u = λν = 2.0 × 10 2 × 1 = 2.0 × 10 2 m / s
λ=
3
（2）振动速率 υ =
∂y = −2π ×10 sin(t − 5.0 ×10 −3 x ) ∂t
则绳上某质点的最大恒向振动速率为： υm = 2π ×10 = 63 cm/s = 0.63 m/s 10.17 证明公式 ω = ku 证明 ： ω = 2πν = 2π
φ = −1 。而 A1 = A2 ， ∴ A = A1 − A2 = 0 （2）由于 ∆φ = 3π ， cos ∆
即 R 点由于 ∆φ = 3π 与 R 点在 Q 外侧的具体位置无关（不 含 x），则在 Q 右侧任一点均有 ∆φ = 3π ，同时 A=0，即沿 x 轴在 Q 右侧的所有点都是干涉相消的。 10.22 弦线上的驻波相邻波节的距离为 65cm，弦的振动频率为 2.3 ×10 2 Hz 。求波的传 播速率 u 和波长 λ 。
3λ / 2
4
10.21 题示图
以 P 点为坐标原点，设两振动的初相为 ϕ 0 自 P 和 Q 发出的波在 R 点引起的振动的相位分别为
ϕ p = ϕ 0 + ω t − 2π
则相位差
x x1 ； ϕ Q = ϕ 0 + ω t − 2π 2 λ λ 2π 2π 3λ ∆φ = ϕQ − ϕ p = ( x1 − x2 ) = = 3π λ λ 2
u 330 = 0 .6 m 解：波长为： λ = = ν 550 由于波是沿 x 轴负方向传播的，故在波的一般式中 x 前取正号，则由本题所给数据可写 出波函数为
2
x x y = A cos ω(t + ) = 1.0 ×10 −2 cos 1.1 ×10 3 π (t + ) + ϕ m u 330 10.13 在平面简谐波传播的波射线上有相距 3.5cm 的 A，B 两点，B 点的相位比 A 点落后
10.10 某一声波在空气中的波长为 0.30m，波速为 340m/s。当它进入第二种介质后，波长 变为 0.81m。求它在第二种介质中的波速。
ν= = = 1.13 ×10 3 Hz λ 0.3 而波的频率不因所传播的介质而变，再由 u = λν 可求得该波在第二种介质中的波速
解：由 u = λν 可求得这波的频率
450。已知波速为 15cm/s，试求波的频率和波长。 解：波长可看成是沿波射线相位差 2π 的两点间的距离，则由题知其波长为
3.5 u 15 = 28 cm ， 进而可求得波的频率为 ν = = = 0.54 Hz π /4 λ 28 10.14 证 明 y = A cos( kx −ω t ) 可 写 成 下 列 形 式 ： y = A cos k ( x − u t ) ， x x 1 x y = A cos 2π ( − ν t ) ， y = A cos 2π ( − ) ，以及 y = A cos ω( − t ) 。 λ T u λ ω 2πν t ) = k ( x − ut ) 证明 ： kx − ω t = k ( x − t ) = k ( x − k 2π / λ 所以波函数可写为： y = A cos k ( x − ut ) 2π x x x − 2πν t = 2π ( −νt ) ，则波函数还可写为 y = A cos 2π ( −ν t ) 又 kx − ω t = λ λ λ 1 x t 由ν = 则还可得： y = A cos 2π ( − ) T λ T k x x kx − ω t = ω( x − t ) = ω( − t ) ，则波函数还可写为 y = A cos ω( − t ) ω u u 10.15 波源 做 简谐振动，位移与时间的关系为 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240π t m ，它所 激发的波以 30.0m/s 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。 解：由波源的振动方程 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240πt m 知振动角频率 ω = 240π . 而波的频率就等于波源的振动频率，所以波的频率和周期分别为 ω 1 1 ν= = 120 Hz ， T = = = 8.33 ×10 −3 s ν 120 2π u 30.0 = 0.25 m 进一步计算波长为 λ = = ν 120 x x −3 )m 最后可写出波函数为 y = A cos ω(t − ) = ( 4.00 ×10 ) cos 240π (t − u 30 10.16 沿 绳子 行进的 横 波波函数为 y =10 cos(0.01π x − 2π t ) ，式中长度的 单 位是 cm，时间的单位是 s。试求：（1）波的振幅、 频率、传播速率和波长；（2）绳上某质点的最 大横向振动速率。 解：（1）由 y = 10 cos(0.01π x − 2π t ) = 10 cos 2π (t − 5.0 ×10 −3 x ) 知： ω 2π ν= = = 1 Hz ； 波 长 振 幅 A = 10cm = 0.1m ； 频 率 2π 2π
1
之间不断进行互相转换和转移，但没有能量的定向传播，同时也看不到波形的定向移动。 （2）驻波中，两波节各质点虽作同相位简谐振动，但每个振动质点的能量并非保持不变。 10.8 为什么在振动过程中振动物体在平衡位置时动能最大 ,而势能为零；在最大位移处 动能为零 ,而势能最大？为什么在波动过程中参与波动的质点在振动时 ,却是在平衡位置动能 和势能同时达到最大值,在最大位移处又同时为零？ 答：在振动过程中振动物体在平衡位置时其速率最大，位移为零，故动能最大而势能为 零；在最大位移处，由于振动物体位移最大，速率为零，故其动能为零，而势能最大。 在波动过程中参与波动的质点在振动时，在平衡位置，质点的速率最大，同时此处媒质 的弹性形变也最大，故平衡位置处动能和势能同时达到最大值；在最大位移处，质点的速率 为零，同时弹性形变也为零，故动能和势能同时为零。 10.９ 在某一参考系中 ,波源和观察者都是静止的 ,但传播的介质相对与参考系是运动的 . 假设发生了多普勒效应,问接收到的波长和频率如何变化？ 答：接收到的波长和频率均不改变。
10.20 频率为 300Hz、波速为 330m/s 的平面简谐声波在直径为 16.0cm 的管道中传播，能 流密度为 10.0 ×10 −3 J ⋅ s −1 m −2 。求：（1）平均能量密度；（2）最大能量密度；（3）两 相邻同相位波面之间的总能量。 解：（1）由 I = w u 得平均能量密度 （2）最大能量密度
第 10 章
10.1 波动与振动有何区别和联系？
波动学基础
答：振动的传播就是波。振动是一质点（或某一物量）在平衡位置附近的机械运动，而 波是多个质点在平衡位置附近的振动，它是通过媒质的弹性（或场量的相互激发）把波源的 振动状态传递给其他质点。 振动中，质点的动能和势能互相交换，其总能量保持不变。 而在波 动中动能和势能大小相等，相位相同，都是时间的周期函数。它不断地接受来自波源的能量， 同时也不断地把能量释放出去。 10.2 机械波形成的条件是什么？ 答：机械波形式的条件有：1）存在波源(即物体的振动）；2) 存在传播机械波的弹性媒 质。 10.3 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波 ,它们的波长是否可能相等？为什么？ 如果这两列波分别在两种介质中传播,它们的波长是否可能相等？为什么？ 答：它们的波长不可能相等。因为根据波的叠加原理（独立性原理）可知，一列波的状 态不因其它波的存在与否，故两列不同频率的简谐波在同一种介质中频率仍然不同，但在同 一种介质中，波速是相同的，所以它们的波长也不可能相等。 若这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长则可能相等。这是因为，它们的频率和 波速都不相同，据 u = λν 知，它们的波长可能相等。 10.4 当波从一种介质进入另一种介质中时,波长、 频率、 波速、 振幅各量中哪些量会改变？ 哪些量不会改变？ 答：当波从一种介质进入另一种介质时，波的频率不变（等于波源的频率）；波速（由 介质决定）、波长（ λ =
u
340
u 2 = λ2ν = 0.81 × 1.13 × 10 3 = 9.15 × 10 2 m / s
10.11 已知平面简谐波的角频率为 ω = 15.2 ×10 2 rad / s ，振幅为 A = 1.25 ×10 −2 m 。 波长为 λ = 1.10m ，求波速 u，并写出此波的波函数。 解： u = λν = λ
u
ν
）、振幅都会发生改变。
10.5 根据波长、频率、波速的关系式 ,有人认为频率高的波传播的速度大,你认为对否？ 答：由 u = λν 认为频率高的波传播速度大是错误的。 波的传播速度是由介质的性质决定 的，与波的频率无关。 10.6 波传播时,介质质点是否“随波逐流”?“长江后浪推前浪”这句话从物理上说 ,是否 有根据？ 答：波传播时，介质质点并不“随波逐流”。“长江后浪推前浪”这句话从物理上说是无 根据的，前浪并不因后浪（波）的存在而改变其传播。 10.7（1）为什么有人认为驻波不是波？（2）驻波中,两波节间各个质点均作同相位的简 谐振动,那么,每个振动质点的能量是否保持不变？ 答：（1）有人认为驻波不是波，是因为在驻波中，波腹附近的动能与波节附近的势能
解 ： 驻 波 相 邻 波 节 的 距 离 为 半 波 长 ， 则 λ / 2 = 65cm = 0.65m ， ∴波长 λ = 2 ×0.65 =1.3 m 波速为 u = λν =1.3 ×2.3 ×10 2 = 3.0 ×10 2 m/s 10.23 火车汽笛的频率为 ν ，当火车以速度 V 通过车站上的静止观察者身边时，观察者 所接受到的笛声频率的变化为多大？已知声速为 u。 解：火车驶向站台时，波源向着观测者，则频率 当火车驶离站台时，波源背离观测者，则频率
Y
G
ρ
.
=
ω2 G ，再由 ω = ku 便得横波的传播速度为 u = ρ k2
同理可证纵波的速度
u=
ρ
10.19 在某温度下测的水中的声速为 1.46 ×10 3 m / s ，求水的体变摸量。 解：由横波的波速关系 u = G / ρ 得水的体变横量为
G = ρu 2 = 1.0 × 10 3 × (1.46 × 10 3 ) 2 = 2.13 × 10 9 Pa
u 2π = u = ku λ λ
∂2 y G ∂ 2 y ∂ 2 y Y ∂2 y = ⋅ = ⋅ 2 ，证明横波 和 纵 波的波动方程 ρ ∂x 2 ρ ∂x ∂t2 ∂t2
G
10.18 用横波的波动方程
的波速和纵波的波速分别为 u =
ρຫໍສະໝຸດ Baidu
和u =
Y
ρ
。
证明 ：任何横波均要满足横波的波动方程 ，现考虑平面简谐波 y = A cos(ω t − kx) 将其代入横波波动方程便得：
w=
I 10.0 ×10 −3 = = 3.03 ×10 −5 J ⋅ m −3 u 330
wmax = 2 w = 6.06 ×10 −5 J ⋅ m −3
u
（3）两相邻同相波面之间的距离为： l = λ = 其间的总能量
ν
=
330 = 1.1 m 300
d 16 ×10 −2 2 w = w ls = w lπ ( ) 2 = 3.03 ×10 −5 ×1.1π ( ) = 6.70 ×10 −7 J 2 2 10.21 P 和 Q 是两个以相同相位、 相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波 R 为 P、 Q 连线延长线上的任意一点，试求： 源，其频率为ν 、 波长为 λ ，P 和 Q 相距 3λ / 2 。 （1）自 P 发出的波在 R 点引起的振动与自 Q 发出的波在 R 点引起的振动的相位差；（2）R 点的合振动的振幅。 P Q R x 解 ：如图取 PQ 连线的延长线方向为 x 轴正向， x