江苏省海安中学金陵中学2019-2020学年期中学业联考质量监测高三数学试题(8页)

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江苏省海安中学金陵中学2019-2020学年期中学业联考质量监测

高三数学

考试时间：2019.11.11

一、填空题：本大题共14小题，共计70分.

1. 已知复数(23)z i i =-，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 .

2.

在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2

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x y -=的两条渐近线方程为

. 3. 从2,4,6这三个数中任取两个不同的数，记为,a b ，则log a b 恰

为整数的概率为 .

4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 .

5. 将一半径为1 dm 的实心铁球经高温熔化后铸造成

一个底面

半径为0.5 dm 的实心圆锥（不计损耗），则圆锥的高为

dm .

6. 已知1

tan ,43

R παα⎛⎫+=∈ ⎪⎝

⎭

，则tan α的值为 .

7. 已知甲种水稻连续5年的平均单位面积产量（单位：2/t hm ）分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，乙种水稻连续5年的平均单位面积产量（单位：2/t hm ）分别为：8.6,9.7,9.8,10.2,11，则甲、乙中单位面积产量较为稳定的那组数据的方差2s = .

8. 已知等差数列{}n a 的前5项和为10，且85a =，则数列{}n a 的公差为 . 9. 在平面直角坐标系xOy 中，设00(,)P x y 为函数0)y x x =>图像上一点，当点P

到原点O 的距离最小时，0x 的值为 .

10. 在平面直角坐标系xOy 中，设,,,A B C D 为函数sin y x ω=与cos (0)y x ωω=>的图像的四个相邻的交点，且四边形ABDC 的面积为π，则ω的值为 .

11. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线12

y x b =+与圆22640x y x +-+=相交于,A B 两点，

若圆上存在一点C ，使ABC ∆为等边三角形，则所有满足题设的实数b 之和为 .

12. 已知集合2{60}M x x x =+->，2{230,0}N x x ax a =-+≤>，若M N 中恰有一个整数，

则a 的最小值为 .

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13. 已知函数(),y f x x R =∈满足：对任意x R ∈，(2)2()f x f x +=-，且当[0,2]x ∈时，

()11f x x =--.函数()(4),g x k x x R =+∈.若函数()()y f x g x =-在区间[6,8]-上共有

5个不同的零点，则实数k 的取值范围是 . 14. 如图，已知AB 为半圆O 的直径，长度为2，点,C D

在半圆O 上，点P 在弦

AC

上，且

1AC =，3

,2

2

POD PD BC π

∠=

⋅=-

，则O P

B ⋅的

值

为 .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15.（本小题满分14分） 在ABC ∆

中，已知sin A C =

，AC =（1）若6

B π=，求

C 的大小；

（2）若B 为钝角，且1cos22

B =，求AB

C ∆的面积.

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABC 中，已知底面ABC 是直角三角形，其中∠ABC=90

°，

AB=BP，平面PAB⊥平面ABC，点D,E,F分别是AB,AC,AP的中点，求证：（1）平面DEF∥平面PBC；

（2）平面PAC⊥平面BCF.

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17.（本小题满分14分）

“精卫填海”的故事家喻户晓，随着我国工程技术的蓬勃发展，填海造陆已不再是神话，如图，是一个圆形为O ，半径为100 m 的圆形岛屿，点P 为海上一点，点M,N 为圆形岛屿边界上两点，线段PM,PN 及劣弧MN 围成的曲边三角形PMN 为填海造陆区，其中PM ，PN 与圆形岛屿边界相切.（假设点P,M,O,N 在同一平面内，且锐角∠MPO=θ）

（1）若3

πθ=，求填海造陆区的面积；（

取

1.73π=，结果精确到0.1）

（2）填海造陆后，欲修建一条环海快速公路PMN （由PM 段、优弧MN 段及NP 段连接而成，且宽度不计），已知修建单位长度的PM 段、PN 段与优弧MN 段公路的费用

之比为1:2，

问：应如何设计θ的大小，可使修建环海快速公路PMN 的总费用最小.

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知P 为椭圆

C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>上异于长轴

端点的一点，过P 与x 轴平行的直线交椭圆C 的两条准线于点12,T T ，直线12,T F T F

交

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于点Q.

（1）若12PF F ∆与12QF F ∆的面积相等，求椭圆C

的离心率；

（2）若1212506,3

F F TT ==

. ①求椭圆C 的标准方程；

②试判断点12,,,P F Q F 是否四点共圆，并说

明理由.

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19.（本小题满分16分）

已知数列{}n a 共有100项，1a a =，对任意的正整数(2100)n n ≤≤，存在n i

a qa =（11i n ≤≤-，*i N ∈）.若对给定的正整数(2100)k k ≤≤，存在正整数(11)j j k ≤≤-，使得k j

a a =，则

称k a 具有性质P.

（1）若1,2a q ==，3a 具有性质P ，4a 不具有性质P ，求34,a a 的值； （2）若{}n a 不是等比数列，求证：{}n a 中存在具有性质P 的项；

（3）若数列{}n a 中恰有三项具有性质P ，求数列{}n a 的其余项的和（用,a q 表示）.

20.（本小题满分16分）

已知函数2(),()x f x e g x x bx c ==-++，其中,b c R ∈，e 为自然对数的底数. （1）若b c =，求函数()()y f x g x =的单调增区间（用b 表示）；

（2）若对任意的x R ∈，()()f x g x ≥（仅当1x =时，“=”成立），求,b c 的值； （3）若1b =，试确定曲线()y f x =与()y g x =的公切线的条数.