数学之功

数学是人类思维的工具。
数学概念的形成、结论的发现与推导， 都是通过数学思维活动实现的，数学应用 于实践的过程，也在很大程度上是通过数 学思维活动对事物进行分析、类比、提炼、 建构，并最终实现模式化、最优化的过程。 数学为人类思考问题、解决问题提供了广 泛而可靠的思维工具。其重要特点在于： 理性、客观、准确、可靠。
数学思维是人类创新、创造的源泉。
数学也充满着理性的创新和实事求是的 科学精神，她不断为人们提供新概念、新方 法，她促进了人类的思想解放．数学家的一 个特点就是敢于怀疑自己。数学越发展，取 得的成就越大，数学家就越要问自己的基础 是不是巩固。越是在表面上看来没有问题的 地方，也就是数学的基础部分，越要找出问 题来。
起死回生问题
由于事先并不知道两个士兵中谁是说真话者， 又不能多问一个问题以求辩真假，许多囚犯面 对这样的逃生机会不知所措，只好听天由命。 有的难免一死，有的侥幸逃生。 有一天，一个精通数学和逻辑的囚犯，在 这里依靠自己的聪明才智，为自己捡来一条性 命。那么，他提了一个什么问题呢？
起死回生问题
原来，他把真话视为＋1，而把假话视为－1， 虽然不知道谁讲的是＋1、谁讲的是－1，但由 于正负得负、负正得负的数学原理，他认为如 果能通过一个问题把两个人的回答套起来，得 到的必然是正负或负正相乘的唯一结果— －1，因此得到的是假话。
作为一种工具，数学方法巧妙有效， 是创造社会财富的得力助手； 作为一门课程，数学知识准确可靠， 是学习与理解其他知识的重要基础；
作为一种思维，数学推理精细严谨， 是人类理性思维的标志和典范；
作为一种语言，数学公式简洁清晰， 是描述自然与社会现象的通用语言；
作为一门科学，数学既是科学之母 ，也是科学之仆，孕育并推动科学 发展；
数学思维追求理性的精神。
数学作为文化的一部分，其永恒的主题 是“认识宇宙，也认识人类自己”。在这个 探索过程中，它追求一种完全确定、完全可 靠的知识，把理性思维的力量发挥得淋漓尽 致，是一种理性的精神。它提供了一种思维 的方法与模式，提供了一种最有力的工具， 提供了一种思维合理性的标准。数学所探讨 的不是转瞬即逝的知识，而是某种永恒不变 的东西；数学的结论具有较强的客观性。
数学通过个性发现共性，通过现象抓住本质。 数学的逻辑是要透过现象看本质，其突 出特点是讲究普遍联系，其最大特征是抽象。 事物与事物的联系程度靠其共性与个性判断， 事物表面的东西通常反映的是个性，它会掩 盖共性。数学抽象性的主要特征就是从个性 中发现共性，个性“抽”得越多，共性越少， 内涵越丰富。
比如，速度、切线斜率分别是物理、几何 中的不同问题，表现出完全不同的个性， 但是它们具有一样的共性——函数变化率， 提出共性就得到函数导数的概念，形成相 关的理论，再用以解决更多的体现共性的 各种问题—经济学中的边际类问题等。
作为一种文化，数学给人类带来智慧， 为生产增加动力，促进科技发 展， 改良艺术创作，推动社会进步．
数学影响深远．数学思维使人 类头脑更聪明，数学工具使人类生 活更美好，数学方法使科技发展更 迅速，数学文化使人类社会更文明 。
法国著名作家雨果曾说过： “人的智慧掌握着三把钥匙：一 把开启数学，一把开启字母，一 把开启音符。知识、思想、幻想 就在其中。”
数学讲究辩证法。
辩证唯物主义讲联系、讲统一。数学 研究的一个重要手段是建立对应关系 （联系），通过对应关系去发现共性 （本质）。比如，数学中的化归思想、 变换思想、数形结合思想、映射（函数） 思想都体现了变与不变的关系；
数学中很多常数，比如圆周率、三角形 内角和等，都体现了变中之不变、万变 不离其宗，表现了事物的共性，函数极 限定义中的ε-δ语言，表现了以静描述动 的奇妙。这就是辩证法！其意义之重大 已使数学与世界观的核心部分关系越来 越紧密，与对世界本身的看法紧密相连。
其实，你稍微注意一下就会发现，数学的 结论都是建立在某种假设之上的，也许这 种假设在当时并不真地被证实是存在的。 在数学研究中，最有趣的研究工作往往是 从不完整的假设和不完整的数据开始的。 事实上，在解决一个问题，或者建立一套 新理论的时候，如果你要等到数据全了， 所需的技巧都有了才开始，那么你一定会 落伍。数学家要创新，但是有原则，这正 是理性精神的体现。
比如， 欧几里得平面上的三角形内角和为 180°. 这绝不是说“在某种条件下”，“绝 大部分”三角形的内角和“在一定误 差范围内”为180°，而是在命题的规 定范围内，一切三角形的内角和正好 为180°。
所以，数学的对象必须有明确无误的概 念，而且其推导必须由明确无误的命题 开始，并服从明确无误的推理规则，借 以达到正确的结论。正是因为这样，而 且也仅仅因为这样，数学方法既成为人 类认识方法的一个典范，也成为人类在 认识宇宙和人类自己时必须持有的客观 态度的一个标准。
起死回生问题
中一个只讲真话不讲假话，而另一个则只讲假 话不讲真话，除了他们二人之外，其他人并不 知道他们二人谁是讲真话者。国王给囚犯提供 的逃生机会是：允许囚犯只向其中一个士兵询 问唯一一个问题，然后根据士兵的回答决定朝 哪个方向前进。如果走向刑场，则要执行死刑； 如果走向光明大道，则可以自由逃生。
数学的价值
宇宙之大，粒子之微，火箭之速， 化工之巧，地球之变，生物之谜， 日用之繁，无处不用数学。 ——华罗庚
起死回生问题
从前，有一个国王非常爱惜人才，即使是 对囚犯也不倒外。国王规定，对于死囚，在押 赴刑场时可以给他一次生存的机会。为此，在 押赴囚犯到刑场途中，他们设计了一个丁字路 口，在这个路口有两个前进方向可供选择，一 个通向刑场，另一个则通向光明大道。但是两 个方向入口处各有一个士兵把守，这两个士兵
比如，数的加法、乘法明明是可以交换的， 但数学家偏偏要研究不可交换的乘法，而结 果并非做数学游戏——数学家发现现实生活、 自然宇宙中确有一些非交换的事物；再比如， 非欧几里得几何的建立，也是数学家敢于对 自身公理的怀疑而做出的成就，而且非欧几 何在爱因斯坦创立广义相对论时发挥了根本 的作用。在很多情况下，数学研究是超前的， 但最终总会发现它的用处。这种超前的研究 就是创新。
起死回生问题
于是他向其中一个士兵提出如下问题：
“假如我问那一个士兵哪一条路通向光明大道， 他会如何回答？”
被问的这个士兵只好用自己的真话（或假话） 向囚犯转述另一个士兵的假话（或真话）， 从而囚犯得到的是一句假话，据此便可以判 断光明大道的方向．
数学与个人成长
数学与个人成长——数学使人类更 聪明！数学对人的影响主要体现在三个 方面：数学是一种素质；数学影响人的 思维；数学影响人的世界观。
数学之功 探因析理
唐先华
2013年11月11日
数学之功 探因析理 数学，作为最古老的知识领 域之一，以万物之本为对象，以 万象之理为内容，形式简洁而内 涵丰富，在人类文明的进化中发 挥着不可替代的巨大作用。
数学功能多样．她不仅仅是一 种“方法”或“工具”，还是一种 思维模式，即“数学思维”；也不 仅仅是一门学科，还是一种文化， 即“数学文化”；更不仅仅是一些 知识，还是人的一种素质，即“数 学素质”。
数学技能是数学知识和数学方法的综合 应用，是把数学当作一种工具解决问题 的能力。
数学思维是思考、探索与理解事物的手 段，具有抽象性、逻辑性、创造性和模 式化，包括归纳、类比和演绎等。
数学教育本质上是素质教育。 古往今来，在世界各地，在学校 教育的各个阶段，数学始终是必修科 目，其表面原因是数学被作为计算的 工具、下一步升学的基础。但是，数 学教育更重要的价值和目的则是培养 以思考力为核心的数学素质。
第一，数学是一种素质，数学 教育本质上是素质教育
什么叫素质？素质就是能力和素养。人 的素质可以划分为三个方面：科学素质、 文化素质和艺术素质。
科学素质是人类认识世界、改造世界，发展生
产力，创造物质财富的能力，追求的是真；
文化素质是人类认识社会、了解历史，提高交
流能力和道德水平的能力，体现的是善；
数学的理性思维是辩证唯物主义认识世界 和改造世界的强大思想武器． 唯物论是客观、科学的，但人类对它 的观点有两种极端曲解：一是认为认识必 定来源于物质世界而且必定直接来自于物 质世界；二是不经过实践基础就要求人们 解决思想问题，认为思想解决了，就解决 了一切。数学科学的事实与发展排除了这 两种极端。
数学思维的主要方式是推理，数学 推理既有发散的归纳、类比推理，也有 收敛的演绎推理，前者具有创新性，是 人类创新、创造的源泉，是现代人文化 素质的组成部分，对人类社会进步起到 了极为重要的作用。因此，我国数学家 齐民友教授认为，数学作为一种文化， 在过去和现在都极大地促进了人类的思 想解放。人类无论在物质生活和精神生 活上都得益于数学的实在太多。
Fra Baidu bibliotek
数学理论的建立既可来自于物质世界， 也会来源于纯理性思维．数学的理性思 维既包含了客观、实事求是的科学精神， 也充满着理性的创新精神，其创新性在 于，不受现实世界的表象所局限，不断 为人们提供新概念、新方法，促进人类 的思想解放。
理性思维可靠吗？
数学的判断、数学结论的确立都要通过计算 或推理（证明）来实现。这是纯理性的思维， 它撇开了主观，也没有直接依赖于物质世界， 甚至不相信眼睛的观察、仪器的测量。但由 于数学推理的原则是绝对可靠的，因此只要 其前提正确，结论就是可靠的。即使数学的 理论结果无法在实际中看到，数学家也会坚 信其结果的正确性。
第二，数学影响人的思维
人的思维能力是对人生有重要影响 的能力之一，是后天形成的，受各种因 素影响，并表现出多面性．但符合逻辑 的、精密的、深刻的、聪慧的思维是每 个人都希望拥有的。数学教育的重要价 值在于她对人的思维能力的培养。
人参与社会竞争所需要的基术能 力包括以下八种：逻辑思维能力、词 汇语言能力、推理运算能力、视觉观 察能力、空间想象能力、创造力、沟 通协调能力、应变能力，其中有一半 的能力是可以通过数学教育培养的。
由于前提的正确性直接决定着结论的正确 性与可靠性，因此数学家非常关注前提。但 前提正确与否未必都可判断，因为要正确判 断前提的正确性，必须要有判断的依据，而 依据本身的正确性依然需要判断，判断它又 需要更基础的依据。依此类推，人类必须首 先承认某些前提是自然成立的或者是假定成 立的，否则将陷入不可知的深渊，这些被认 为自然成立的前提就是公理，而假定成立的 前提就是假设。
第三，数学影响人的世界观。
世界观的形成是后天的，它与人的成 长过程密切相关。世界观左右人的认识、 观点与方法，其共性表现为符合逻辑的、 辩证统一的和纯理性的。数学为人类提供 了观察世界的一般观念和方法。
从古希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras， 约公元前560—前480）到近代的伽利略 （Galileo Galilei，1564—1642）、 笛卡尔（Descartes，René ，1596—1650）、 开普勒（Kepler，Johannes，1571—1630） 等都认为世界是数的体现，世界是按数学公 式运行的，宇宙的书本是按数学写成的，数 与世界密不可分。
艺术素质的目的是追求社会、人生与心灵的和
谐，向往的是美。
科学素质的核心是数学素质。 数学素质包括： 数学意识 数学语言 数学技能 数学思维
数学意识就是人的数量观念，时时处处 “胸中有数”，注意事物的数量方面及 其变化规律，是看待和认识世界的态度。 数学语言是简单、清晰、准确地表达事 物的一种方式，是描述与传达事物的手 段。
数学教育不可替代。 由于数学的抽象性等原因，数学学 习是困难的，因此通过数学教学培养的 数学素质所托付的代价是极其昂贵的。 那么，是否可以通过其他途径来实现这 一目的呢？纵观目前开设的各种课程， 还没有哪一门能够替代数学教育的价值。
通过严格的数学训练培养出的数学素 质具有社会性、独特性和发展性，其 个体功能与社会功能常常是潜在的， 而不是急功近利的，即使所学数学知 识已经淡忘，这些素质依然不会消失， 并始终发挥作用。