(完整版)高中数学-排列组合及二项式定理-知识点和练习,推荐文档

【解析】：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯5 C3 种方法,所以满足条件的
关灯方案有 10 种. 四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其它的元素。
（9）2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，
n
n
令 x 1 ，则 2n C n0 C n1 C
2 n
r
C n
n
Cn
王新疆新敞 奎
【常见考点】 一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素 看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正 确判断哪个底数，哪个是指数 1 有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ 2 有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ 3 将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
王新奎新疆屯敞奎新王屯新疆敞
7.组合概念：从 n 个不同元素中取出 m m n个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组
合 新 疆 王新 敞奎 屯
8. 组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m m n个元素的所有组合的个数，叫做从 n
个不同元素中取出
m 个元素的组合数．用符号Cmn 表示．
（5）3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 360
B. 188
C. 216
D. 96
【解析】： 间接法 6 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， C3 224A2 2A2A2 =432 种
A 素的排列数，用符号 表示 m
n
新 疆王 奎 新敞 屯
4．排列数公式： Anm n(n 1)(n 2)(n m 1) （ m, n N , m n ）
5.阶乘： n!表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘王新敞规定0! 1．
m n!
6. 排列数的另一个计算公式： An= (n m)!
n
n
n
n
n
{0,1,2,, n}，
1
（1） 对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cmn Cnnm ）．
n
n1
n1
（2） 增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项Cn2取得最大值；当n 是奇数时，中间两项C
2 n
， Cn 2
取得最大
值．
（3） 各二项式系数和：∵ (1 x)n 1 C1x Cr xr xn ，
Am 9.组合数公式：Cnm An m
n(n1)(n2)(n m1)或 C m n
n! m!(n m)!
(n, m N ,且m n) 新疆新疆
m!
王新敞 王新
敞
奎 屯 奎屯
10. 组合数的性质 1： Cm Cnm ．规定： C 0 1 ；
n
n源自文库
n
m
m
m1
01
nn
11.组合数的性质 2： Cn1 ＝ Cn+ C n
【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A5 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A2 种，不同的排法种数是
5
6
A556A2 3600 种
（7） 书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有 答）
种不同的插法（具体数字作
【解析】： A1 7A819A1 =504
（8） 马路上有编号为 1，2，3…，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的 二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
C新
疆 王 新敞
+n C
+n…+C
=2n
屯奎
12.二项式展开公式：(a+b)n=nC 0an+nC 1an-1b+…+nC kan-kbk+…n+C nbn
13. 二项式系数的性质：
(a b)n 展开式的二项式系数是C0 ， C1 ， C 2 ，…， Cn ． Cr 可以看成以r 为自变量的函数 f (r) ，定义域是
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
（）
A. 36 种
B. 12 种
C. 18 种
D. 48 种
【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。 A23 3A3 36
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C1C1 A3 24 ；若小张、小赵都入选，则有
2 23
选法 A2 A2 12 ，共有选法 36 种，选 A.
排列组合及二项式定理
【基本知识点】
1. 分类计数和分步计数原理的概念
2.排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成
一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排m 疆 新 王 新敞 奎 屯
3. 排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元
【解析】：（1）34 （2） 43 （3） 43
二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
（4） A, B,C, D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有
【解析】：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，4 A4 24 种
2
其中男生甲站两端的有A12C3 22A322A2A2 =144 ，符合条件的排法故共有 288
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几 个元素插入上述几个元素的空位和两端.
（6） 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
23
（10）1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
【解析】：
老师在中间三个位置上选一个有 A1种，4 名同学在其余 4 个位置上有 A4 种方法；所以共有
3
4
3
A314A4 72 种。.
五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。