无穷级数 知识点总复习-高等数学无穷级数知识点总结
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2．级数收敛的定义
定义：若数项级数 的部分和数列 有极限，则称级数 收敛，极限值 称为此级数的和．当 不存在时，则称级数 发散．
利用级数收敛的定义，易知当 时，几何级数 收敛，和为 ；当 ，几何级数发散．
[例1.1]判断下列级数的敛散性
⑴ ⑵
解：⑴由于
所以 ，故级数 收敛．
⑵由于
所以 ，故级数 发散．
无穷级数知识点总复习
本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和．
§7.1数项级数
本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛．
●常考知识点精讲
一、数项级数的概念
1．数项级数定义
定义：设 是一个数列，则称表达式
为一个数项级数，简称级数，其中第 项 称为级数的通项或一般项， 称为级数的前 项部分和．
⑶当 时，敛散性不确定．
评注：⑴若 ，则级数 必发散；
⑵如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散性；
⑶当 1或不存在（但不为 ），则比值判别法失效．
4．正项级数的根值判别法
将比值判别法中的 改成 ，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法．
5．利用通项关于无穷小 的阶判定正项级数的敛散性
四、交错级数及其敛散性判别法
1．交错级数定义
定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如
的级数，称为交错级数．
2．交错级数的莱布尼兹判别法
定理：若交错级数 满足条件
⑴ ；
⑵ ，
则交错级数 收敛，其和 其余项 满足 ．
五、任意项级数及其绝对收敛
若级数 的各项为任意实数，则称它为任意项级数．
1．条件收敛、绝对收敛
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
解：取 ，则 ，此时（A） 与（C） 都发散；
若取 ，则 ，此时（B） 发散；
由排除法可得应选（D）．
事实上，若 ，则 ，根据“比较判别法”得 收敛．从而
收敛，故应选（D）．
[例7.1.3]已知级数 发散，则
（A） 一定收敛，（B） 一定发散
（C） 不一定收敛（D）
二、级数的基本性质及收敛的必要条件
1．设 都收敛，和分别为 ，则 必收敛，且 ；
评注：若 收敛， 发散，则 必发散；若 都发散，则 可能发散也可能收敛．
2．设 为非零常数，则级数 与 有相同的敛散性；
3．改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性；
4．级数收敛的必要条件：如果 收敛，则 ；
5．收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变．
定理：设 是正项级数， 为 的 阶无穷小，则当 时，正项级数 收敛；当 时，正项级数 发散．
[例1.3]判断下列级数的敛散性
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
解：⑴由于 ，而级数 发散，故原级数发散；
⑵由于 ，所以由比值判别法可得，原级数收敛；
⑶由于 ，所以由根值判别法可知，原级数收敛；
⑷由于 为 的 阶无穷小，所以原级数收敛．
评注：⑴若一般项中含有阶乘或者 的乘积形式，通常选用比值判别法：
⑵若一般项中含有以 为指数幂的因式，通常采用根值判别法：
⑶若一般项中含有形如 （ 为实数）的因式，通常采用比较判别法．
若 收敛，则称 绝对收敛；若 发散但 收敛，则称 条件收敛．
评注：绝对收敛的级数不因改变各项的位置而改变其敛散性与其和．
2．任意项级数的判别法
定理：若级数 收敛，则级数 收敛．即绝对收敛的级数一定收敛．
[例1.4]判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛
⑴ ⑵
解：⑴记
因为
所以级数 收敛，故原级数收敛且为绝对收敛；
设 都是正项级数，并设 或为 ，则
⑴当 为非零常数时，级数 有相同的敛散性；
⑵当 时，若 收敛，则必有 收敛；
⑶当 时，若 发散，则必有 发散．
评注：用比较判别法的比较对象常取 级数与等比级数及 ．
3．正项级数的比值判别法
定理：设 是正项级数，若 或为 ，则级数 有
⑴当 时，收敛；
⑵当 或 时，发散；
解：假设 收敛，则根据级数敛散的性质，不改变各项的次序加括号后得到的新级数仍然收敛，即 也收敛．这与已知矛盾，故 一定发散．应选（B）．
[例7.1.4]设正项级数 的部分和为 ，又 ，已知级数 收敛，则级数 必
（A）收敛（B）发散（C）敛散性不定（D）可能收敛也可能发散
解：由于级数 收敛，所以根据收敛的必要条件可得 ，又 ，所以 ，故级数 发散，故应选（B）．
定理：设 是正项级数 的部分和数列，则正项级数 收敛的充要条件是数列 有界．
当 时， 级数 收敛；当 时， 级数发散．（ 时的 级数也叫调和级数）
2．正项级数的比较判别法
定理：（正项级数比较判别法的非极限形式）
设 都是正项级数，并设 ，则
⑴若 收敛，则 收敛；
wenku.baidu.com⑵若 发散，则 发散．
定理：（正项级数比较判别法的极限形式）
⑵记
由于 ，而 发散，所以级数 发散
又 是一交错级数， ，且 ，由莱布尼兹定理知，原级数收敛，故原级数条件收敛．
●●常考题型及其解法与技巧
一、概念、性质的理解
[例7.1.1]已知 ， ，则级数 的和等于__________.
解：由于 ，所以根据级数的性质可得
从而
因此 ．
[例7.1.2]设 ，则下列级数中肯定收敛的是
[例7.1.5]设有命题
（1）若 收敛，则 收敛；
（2）若 为正项级数，且 ，则 收敛；
（3）若存在极限 ，且 收敛，则 收敛；
（4）若 ，又 与 都收敛，则 收敛．
则上述命题中正确的个数为
（A） （B） （C） （D）
解：关于命题（1），令 ，则 收敛，但 发散，所以不正确；
关于命题（2），令 ，则 为正项级数，且 ，但 发散，所以不正确；
评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散．
[例1.2]判断下列级数的敛散性
⑴ ⑵
解：⑴由于 收敛， 发散，所以 发散，
由性质5的“注”可知级数 发散；
⑵由于 ，不满足级数收敛的必要条件，所以级数
发散．
三、正项级数及其敛散性判别法
各项为非负（ ）的级数 称为正项级数．
1．正项级数收敛的基本定理
关于命题（3），令 ，则在极限 ，且 收敛，但 发散，所以不正确；
关于命题（4），因为 ，所以 ，因为 与 都收敛，所以由“比较判别法”知 收敛，故 收敛．故应选（A）．
二、正项级数敛散性的判定
正项级数 判别敛散的思路：①首先考察 （若不为零，则级数发散；若等于零，需进一步判定）；②根据一般项的特点选择相应的判别法判定．
定义：若数项级数 的部分和数列 有极限，则称级数 收敛，极限值 称为此级数的和．当 不存在时，则称级数 发散．
利用级数收敛的定义，易知当 时，几何级数 收敛，和为 ；当 ，几何级数发散．
[例1.1]判断下列级数的敛散性
⑴ ⑵
解：⑴由于
所以 ，故级数 收敛．
⑵由于
所以 ，故级数 发散．
无穷级数知识点总复习
本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和．
§7.1数项级数
本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛．
●常考知识点精讲
一、数项级数的概念
1．数项级数定义
定义：设 是一个数列，则称表达式
为一个数项级数，简称级数，其中第 项 称为级数的通项或一般项， 称为级数的前 项部分和．
⑶当 时，敛散性不确定．
评注：⑴若 ，则级数 必发散；
⑵如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散性；
⑶当 1或不存在（但不为 ），则比值判别法失效．
4．正项级数的根值判别法
将比值判别法中的 改成 ，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法．
5．利用通项关于无穷小 的阶判定正项级数的敛散性
四、交错级数及其敛散性判别法
1．交错级数定义
定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如
的级数，称为交错级数．
2．交错级数的莱布尼兹判别法
定理：若交错级数 满足条件
⑴ ；
⑵ ，
则交错级数 收敛，其和 其余项 满足 ．
五、任意项级数及其绝对收敛
若级数 的各项为任意实数，则称它为任意项级数．
1．条件收敛、绝对收敛
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
解：取 ，则 ，此时（A） 与（C） 都发散；
若取 ，则 ，此时（B） 发散；
由排除法可得应选（D）．
事实上，若 ，则 ，根据“比较判别法”得 收敛．从而
收敛，故应选（D）．
[例7.1.3]已知级数 发散，则
（A） 一定收敛，（B） 一定发散
（C） 不一定收敛（D）
二、级数的基本性质及收敛的必要条件
1．设 都收敛，和分别为 ，则 必收敛，且 ；
评注：若 收敛， 发散，则 必发散；若 都发散，则 可能发散也可能收敛．
2．设 为非零常数，则级数 与 有相同的敛散性；
3．改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性；
4．级数收敛的必要条件：如果 收敛，则 ；
5．收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变．
定理：设 是正项级数， 为 的 阶无穷小，则当 时，正项级数 收敛；当 时，正项级数 发散．
[例1.3]判断下列级数的敛散性
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
解：⑴由于 ，而级数 发散，故原级数发散；
⑵由于 ，所以由比值判别法可得，原级数收敛；
⑶由于 ，所以由根值判别法可知，原级数收敛；
⑷由于 为 的 阶无穷小，所以原级数收敛．
评注：⑴若一般项中含有阶乘或者 的乘积形式，通常选用比值判别法：
⑵若一般项中含有以 为指数幂的因式，通常采用根值判别法：
⑶若一般项中含有形如 （ 为实数）的因式，通常采用比较判别法．
若 收敛，则称 绝对收敛；若 发散但 收敛，则称 条件收敛．
评注：绝对收敛的级数不因改变各项的位置而改变其敛散性与其和．
2．任意项级数的判别法
定理：若级数 收敛，则级数 收敛．即绝对收敛的级数一定收敛．
[例1.4]判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛
⑴ ⑵
解：⑴记
因为
所以级数 收敛，故原级数收敛且为绝对收敛；
设 都是正项级数，并设 或为 ，则
⑴当 为非零常数时，级数 有相同的敛散性；
⑵当 时，若 收敛，则必有 收敛；
⑶当 时，若 发散，则必有 发散．
评注：用比较判别法的比较对象常取 级数与等比级数及 ．
3．正项级数的比值判别法
定理：设 是正项级数，若 或为 ，则级数 有
⑴当 时，收敛；
⑵当 或 时，发散；
解：假设 收敛，则根据级数敛散的性质，不改变各项的次序加括号后得到的新级数仍然收敛，即 也收敛．这与已知矛盾，故 一定发散．应选（B）．
[例7.1.4]设正项级数 的部分和为 ，又 ，已知级数 收敛，则级数 必
（A）收敛（B）发散（C）敛散性不定（D）可能收敛也可能发散
解：由于级数 收敛，所以根据收敛的必要条件可得 ，又 ，所以 ，故级数 发散，故应选（B）．
定理：设 是正项级数 的部分和数列，则正项级数 收敛的充要条件是数列 有界．
当 时， 级数 收敛；当 时， 级数发散．（ 时的 级数也叫调和级数）
2．正项级数的比较判别法
定理：（正项级数比较判别法的非极限形式）
设 都是正项级数，并设 ，则
⑴若 收敛，则 收敛；
wenku.baidu.com⑵若 发散，则 发散．
定理：（正项级数比较判别法的极限形式）
⑵记
由于 ，而 发散，所以级数 发散
又 是一交错级数， ，且 ，由莱布尼兹定理知，原级数收敛，故原级数条件收敛．
●●常考题型及其解法与技巧
一、概念、性质的理解
[例7.1.1]已知 ， ，则级数 的和等于__________.
解：由于 ，所以根据级数的性质可得
从而
因此 ．
[例7.1.2]设 ，则下列级数中肯定收敛的是
[例7.1.5]设有命题
（1）若 收敛，则 收敛；
（2）若 为正项级数，且 ，则 收敛；
（3）若存在极限 ，且 收敛，则 收敛；
（4）若 ，又 与 都收敛，则 收敛．
则上述命题中正确的个数为
（A） （B） （C） （D）
解：关于命题（1），令 ，则 收敛，但 发散，所以不正确；
关于命题（2），令 ，则 为正项级数，且 ，但 发散，所以不正确；
评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散．
[例1.2]判断下列级数的敛散性
⑴ ⑵
解：⑴由于 收敛， 发散，所以 发散，
由性质5的“注”可知级数 发散；
⑵由于 ，不满足级数收敛的必要条件，所以级数
发散．
三、正项级数及其敛散性判别法
各项为非负（ ）的级数 称为正项级数．
1．正项级数收敛的基本定理
关于命题（3），令 ，则在极限 ，且 收敛，但 发散，所以不正确；
关于命题（4），因为 ，所以 ，因为 与 都收敛，所以由“比较判别法”知 收敛，故 收敛．故应选（A）．
二、正项级数敛散性的判定
正项级数 判别敛散的思路：①首先考察 （若不为零，则级数发散；若等于零，需进一步判定）；②根据一般项的特点选择相应的判别法判定．