应用回归分析证明题及答案
应用统计学课件回归分析习题答案
多元回归例题答案： 1．
(1) 从残差图看无异方差，DW=2.44, dU=1.46,dL=0.59，无序列相关，OLS 估计量
为最优线性吴偏估计量。
x1x3VIF>10，存在多重共线， X2 的VIF=1.019不存在多重共线。
H0:0321===βββ，H!: 321,,βββ不同时为零， F=
3.289)
411/()992.01(3
/992.0=--291>F 0.05=4.35, 拒绝原假设，方程显著。
t α/2=2.365
(3) X1不显著，且存在多重共线，可用主成分回归修正多重共线。
2．模型不存在异方差，截面数据不存在序列相关，最小二乘估计量是最优线性无偏估计量，t 检验和F 检验有效。
方程总体线性关系显著数均显著。
的系数不显著，其余系只有37.272.11)
667/()1(5/0.222
.22
.43
17
.15
0125.0:
)64.0()10.0()09.0()06.0()14.0()2.3(:42.1exp 42.0exp 27.007.070.004.0_05.02
22/05.0=>=--==+--++=F R R F fage t t se power
av f fage size p lostday
因为所有变量的VIF 都小于3，无多重共线， fage 系数不显著，为多余变量，应剔除。
2021年应用回归分析证明题及答案
应用回归分析证明题及答案n n一 . 证明残差满足地约束条件：0 ，0 ；e ix i e ii 1i 1证明： 由偏导方程即得该结论：nQQ1 ? 0? x ) 2 ( y 0 i 1 i ?i n1?? x )x 2 ( y 0 ii i?1 11 i 1 证毕 .二 . 证明平方与分解式： 证明：nSSTi 1 nSST SSR SSE ；n2y)2y) y ? y ? ( y ( y i ii ii 1 nny ) 2 2( y ? ? y ? )( y? ( y ) 2 ( y y ) y i ii ii i i 1i 1i 1nnne ( ? ? x ) 上式第三项e y ? 22e y i ii i 0 1 i i 1i 1i 1nn? 0?12 ex e 0i i ii 1i 1nny )22即SST( y ?( y ? )y i i i i 1i 1SSR SSE证毕 .三 . 证明三种检验地关系： ? 1?2 L xx?r n 1 2 2SSR/1SSE/(n 1 L xx 2 2（ 1） t=；(2) = F= = = t? 2)r证明： 由于? 1L xy L xx L yyLxx L yySSR, SST2? 1r 2SST,rSSRLxx 2 eiSST n SSR 2?2n 2? 1r L yy n 2 Lxx ?r n 1 2 2所以t;L SSRryy? 2SSR/1 SSE/(n L 1 xx2F.?2)证毕.21 n( x i (x ix)2四．证明： ；Var (e ) 1i 2x)证明 ：由于? 0? x ) y ? ( e y y y i i i i1 i ? ( x y x ) i 1 i n(x x) y 1n iiy iy i( x ix )L xxi 1于为n(x x) y 1n i L xx iVar(e i ) Var y iy i( x ix) i 1n( x x) y 1 i L xx(x i x) y iL xx iVar y i2 Var y iVar( x ix)ni 1n1n n2Cov y i , y i2Cov y i , (x i x)i 1 ( x x) y 1n i i2Covy i , ( x ix)L xx 2i 121 n( x i x)L xx2 1 n2 ( x i x)Lxx2222221 n( x i x)L xx21证毕 .x L xx? , ? ) 2；五．证明：在一元回归中， Cov( 0 1 证明 ：n( x i L xxx) y i( x i L xxx ) y i1n ? , ? ) Cov( Covy x ,0 1 ii 1nn1n ( x x ) ( x x ) i L xx iCovx y , y i iL xx i 1 i 1 nn1n ( x x ) ( x x ) i L xx iCovx y , y i iL xx i 1i 1 n1 n ( x x ) ( x x )2 iL xx iL xxx i 1xL xx2证毕 .1p ?22地无偏估计；六．证明： 为误差项方差SSE n 121 n( x i( x ix)2证明 ：由于D (e )1i 2x)22而 E( e i)D( i e )E(i e )D(i e )所以n1 p 1 p 1p 2E ( ?2) 2)E ( ESSEe i n 1 p 1p 1 n 1 i n1n2D(e ) (1 h ) iiin 1 i 1n 21 i 1(n p 1)n 1证毕 .E(β?) β；D (β?) 2(X 1七．证明： X ) ；证明 ：E(β?) 1 X1 X (X X ) y (X X ) ε yE E 1X β (X X ) X E (X X ) 1X X β βD(β?) Cov β?, β? (X X ) 1X y ,( X X ) 1 XCov y 1 1(X X ) X Cov y , y X ( X X ) 121(X X ) XIX (X X )21(X X )证毕 .2I 2I 八．证明：在多元线性回归中， 假设 ε N (X β, N (0, ) ，则随机向量 y ) ；n n 2I 九．证明：当 y N ( X β, ) 时，则：n （ 1） β? 证明：2(X 1) ；（ 2） SSE/2N (β, X ) 1) ；(n p β? 1 Xβ? 为 y 地线性变换； （ 1）因为 ( X X ) y ， X 为固定地设计矩阵，因此， 2I2Iβ? 服从正态分布，且 又当 ε N ( 0, N ( X β, ) 时，有随机向量 y ) ，所以 n nE(β?) β, D (β?) β? 2(X X ) 1 ，即有 2N (β, (X X ) 1) ；（ 2）：由于SSE ee ( y - y ?) (y - y ?)(I - H)y y (I - H)y(I - H)y y Ny( X β ε) N ( X β ε) NX 0εN ε2借助于定理：设 X N (0, I n ) ，A 为n n 对称阵，秩为 r ，则当 A 满足：A A ，22r二次型 X A X，只需证明： n p 1 即可；rk ( N ) 因为 N 为幂等阵，所以有 rk ( N ) tr ( N ) ，故1 X1Xrk (N ) tr I X (X X ) n n n n tr X ( X X ) 1tr (X X ) X X p 1证毕 .β? 与残差向量 十．证明：在多元线性回归中，最小二乘估计e 不相关，即 Cov(β?,e ) 证明：0；Cov(β?, e ) 1 X (X X ) y ,( I H )y Cov 1(X (X (X 0X ) X X ) X X ) X Cov y , y (I H ) 12 I ( I I ( I H )X (X 1 21X ) X )证毕 .ne t e t 1t 2 ?) ，其中 ?十一．证明： DW2(1 ； nn2 2etet 1t 2t 2证明： 由于nnnn222 (e t ne t 1 )etet n2e t e t 11t 2t 2t 2t 2 DW2 2 etett 2t 2ne t e t1n n2 2 t 2n如果认为?，所以，则有 etet 12 t 2t 2ett 2ne t e t 1t 2n?) .2 12(1 DW2 ett 2证毕 .十 二 . 试 证 明 ： 在 二 元 线 性 回 归 模 型 y i 1xi x 2i12 i中，当 x 1 与 x 2 相互独立时，对回归系数与 2 地 OLS 估计值，等于 y i 分别对1x 1 与 x 2 做简单线性回归时回归系数地 OLS 估计值；。
《应用回归分析》课后题答案解析
《应用回归分析》部分课后习题答案第一章回归分析概述1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？答：变量间的统计关系是指变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系，而变量间的函数关系是指由一个变量唯一确定另外一个变量的确定关系。
1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有 a.在回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。
b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。
而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
1.3 回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.1.5 回归变量的设置理论根据是什么？在回归变量设置时应注意哪些问题？答：理论判断某个变量应该作为解释变量，即便是不显著的，如果理论上无法判断那么可以采用统计方法来判断，解释变量和被解释变量存在统计关系。
应用回归分析,第4章课后习题参考答案
第4章违背基本假设的情况思考与练习参考答案4.1 试举例说明产生异方差的原因。
答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Y i=β0+β1X i+εi其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。
由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。
例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型Y i=A iβ1K iβ2L iβ3eεi被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。
由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。
这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
4.2 异方差带来的后果有哪些？答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：1、参数估计量非有效2、变量的显著性检验失去意义3、回归方程的应用效果极不理想总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。
4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。
答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。
其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。
在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。
然而在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。
由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。
所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。
2021年应用回归分析证明题及答案
应用回归分析证明题及答案n n一 . 证明残差满足地约束条件：0 ，0 ；e ix i e ii 1i 1证明： 由偏导方程即得该结论：nQQ1 ? 0? x ) 2 ( y 0 i 1 i ?i n1?? x )x 2 ( y 0 ii i?1 11 i 1 证毕 .二 . 证明平方与分解式： 证明：nSSTi 1 nSST SSR SSE ；n2y)2y) y ? y ? ( y ( y i ii ii 1 nny ) 2 2( y ? ? y ? )( y? ( y ) 2 ( y y ) y i ii ii i i 1i 1i 1nnne ( ? ? x ) 上式第三项e y ? 22e y i ii i 0 1 i i 1i 1i 1nn? 0?12 ex e 0i i ii 1i 1nny )22即SST( y ?( y ? )y i i i i 1i 1SSR SSE证毕 .三 . 证明三种检验地关系： ? 1?2 L xx?r n 1 2 2SSR/1SSE/(n 1 L xx 2 2（ 1） t=；(2) = F= = = t? 2)r证明： 由于? 1L xy L xx L yyLxx L yySSR, SST2? 1r 2SST,rSSRLxx 2 eiSST n SSR 2?2n 2? 1r L yy n 2 Lxx ?r n 1 2 2所以t;L SSRryy? 2SSR/1 SSE/(n L 1 xx2F.?2)证毕.21 n( x i (x ix)2四．证明： ；Var (e ) 1i 2x)证明 ：由于? 0? x ) y ? ( e y y y i i i i1 i ? ( x y x ) i 1 i n(x x) y 1n iiy iy i( x ix )L xxi 1于为n(x x) y 1n i L xx iVar(e i ) Var y iy i( x ix) i 1n( x x) y 1 i L xx(x i x) y iL xx iVar y i2 Var y iVar( x ix)ni 1n1n n2Cov y i , y i2Cov y i , (x i x)i 1 ( x x) y 1n i i2Covy i , ( x ix)L xx 2i 121 n( x i x)L xx2 1 n2 ( x i x)Lxx2222221 n( x i x)L xx21证毕 .x L xx? , ? ) 2；五．证明：在一元回归中， Cov( 0 1 证明 ：n( x i L xxx) y i( x i L xxx ) y i1n ? , ? ) Cov( Covy x ,0 1 ii 1nn1n ( x x ) ( x x ) i L xx iCovx y , y i iL xx i 1 i 1 nn1n ( x x ) ( x x ) i L xx iCovx y , y i iL xx i 1i 1 n1 n ( x x ) ( x x )2 iL xx iL xxx i 1xL xx2证毕 .1p ?22地无偏估计；六．证明： 为误差项方差SSE n 121 n( x i( x ix)2证明 ：由于D (e )1i 2x)22而 E( e i)D( i e )E(i e )D(i e )所以n1 p 1 p 1p 2E ( ?2) 2)E ( ESSEe i n 1 p 1p 1 n 1 i n1n2D(e ) (1 h ) iiin 1 i 1n 21 i 1(n p 1)n 1证毕 .E(β?) β；D (β?) 2(X 1七．证明： X ) ；证明 ：E(β?) 1 X1 X (X X ) y (X X ) ε yE E 1X β (X X ) X E (X X ) 1X X β βD(β?) Cov β?, β? (X X ) 1X y ,( X X ) 1 XCov y 1 1(X X ) X Cov y , y X ( X X ) 121(X X ) XIX (X X )21(X X )证毕 .2I 2I 八．证明：在多元线性回归中， 假设 ε N (X β, N (0, ) ，则随机向量 y ) ；n n 2I 九．证明：当 y N ( X β, ) 时，则：n （ 1） β? 证明：2(X 1) ；（ 2） SSE/2N (β, X ) 1) ；(n p β? 1 Xβ? 为 y 地线性变换； （ 1）因为 ( X X ) y ， X 为固定地设计矩阵，因此， 2I2Iβ? 服从正态分布，且 又当 ε N ( 0, N ( X β, ) 时，有随机向量 y ) ，所以 n nE(β?) β, D (β?) β? 2(X X ) 1 ，即有 2N (β, (X X ) 1) ；（ 2）：由于SSE ee ( y - y ?) (y - y ?)(I - H)y y (I - H)y(I - H)y y Ny( X β ε) N ( X β ε) NX 0εN ε2借助于定理：设 X N (0, I n ) ，A 为n n 对称阵，秩为 r ，则当 A 满足：A A ，22r二次型 X A X，只需证明： n p 1 即可；rk ( N ) 因为 N 为幂等阵，所以有 rk ( N ) tr ( N ) ，故1 X1Xrk (N ) tr I X (X X ) n n n n tr X ( X X ) 1tr (X X ) X X p 1证毕 .β? 与残差向量 十．证明：在多元线性回归中，最小二乘估计e 不相关，即 Cov(β?,e ) 证明：0；Cov(β?, e ) 1 X (X X ) y ,( I H )y Cov 1(X (X (X 0X ) X X ) X X ) X Cov y , y (I H ) 12 I ( I I ( I H )X (X 1 21X ) X )证毕 .ne t e t 1t 2 ?) ，其中 ?十一．证明： DW2(1 ； nn2 2etet 1t 2t 2证明： 由于nnnn222 (e t ne t 1 )etet n2e t e t 11t 2t 2t 2t 2 DW2 2 etett 2t 2ne t e t1n n2 2 t 2n如果认为?，所以，则有 etet 12 t 2t 2ett 2ne t e t 1t 2n?) .2 12(1 DW2 ett 2证毕 .十 二 . 试 证 明 ： 在 二 元 线 性 回 归 模 型 y i 1xi x 2i12 i中，当 x 1 与 x 2 相互独立时，对回归系数与 2 地 OLS 估计值，等于 y i 分别对1x 1 与 x 2 做简单线性回归时回归系数地 OLS 估计值；。
应用回归分析第四版课后习题答案_全_何晓群_刘文卿
1 n
1 (Lxxnx)Co( yi ,n
2
n
i1
(xi
Lxx
n
i1
x)2
的无偏估计量
E(ei2 )
(xi x )2 ] 2 Lxx
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
应用回归分析课后习题参考答案 全部版 何晓群,刘文卿
第一章回归分析概述1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有 a.在回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。
b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。
而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
1.3回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.第二章一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1一元线性回归有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0 i=1,2, …,nVar (εi)=σ2i=1,2, …,nCov(εi,εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(X i, εi)=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0, σ2) i=1,2, …,n2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。
《应用回归分析》课后题答案[整理版]
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《应用回归分析》课后题答案[整理版] 《应用回归分析》部分课后习题答案第一章回归分析概述 1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么, 答:变量间的统计关系是指变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系，而变量间的函数关系是指由一个变量唯一确定另外一个变量的确定关系。
1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么, 答:联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有a.在回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。
b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。
而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而回归分析不仅可以揭示变量x 对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
1.3 回归模型中随机误差项ε的意义是什么, 答:ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性回归模型的基本假设是什么,答:线性回归模型的基本假设有:1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2….Cov(εi,εj)=,σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.1.5 回归变量的设置理论根据是什么,在回归变量设置时应注意哪些问题,答:理论判断某个变量应该作为解释变量，即便是不显著的，如果理论上无法判断那么可以采用统计方法来判断，解释变量和被解释变量存在统计关系。
应用回归分析_整理课后习题参考答案
第二章 一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1 一元线性回归有哪些基本假定答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=?2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n误差εi （i=1,2, …,n ）仍满足基本假定。
求β1的最小二乘估计 解： 得：2.3 证明（2.27式），?e i =0 ，?e i X i =0 。
证明：∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ其中： 即： ?e i =0 ，?e i X i =02.4回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价给出证明。
答：由于εi ~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , ?2 ) 最大似然函数：21112)ˆ()ˆ(ini i ni i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-=01ˆˆˆˆi ii i iY X e Y Y ββ=+=-0100ˆˆQQββ∂∂==∂∂使得Ln （L ）最大的0ˆβ，1ˆβ就是β0，β1的最大似然估计值。
同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。
值得注意的是：最大似然估计是在εi ~N (0, ?2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。
应用回归分析(第三版)何晓群_刘文卿_课后习题答案_完整版
第二章 一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1 一元线性回归有哪些基本假定?答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=σ2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n误差εi （i=1,2, …,n）仍满足基本假定。
求β1的最小二乘估计 解：21112)ˆ()ˆ(ini i ni i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-=得：2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。
证明：∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ其中：即： ∑e i =0 ，∑e i X i =02.4回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。
答：由于εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , σ2 ) 最大似然函数：)()(ˆ1211∑∑===ni ini ii XY X β01ˆˆˆˆi ii i iY X e Y Y ββ=+=-0100ˆˆQQββ∂∂==∂∂使得Ln （L ）最大的0ˆβ，1ˆβ就是β0，β1的最大似然估计值。
同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小，∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。
应用回归分析证明题及答案
应用回归分析证明题及答案第一篇：应用回归分析证明题及答案应用回归分析证明题及答案nn一.证明残差满足的约束条件：∑ei=0，∑xiei=0。
i=1i=1证明：由偏导方程即得该结论：∂Q=-2nˆ0β0=βˆ0∑(yi=1i-β0-βˆ1xi)=0∂Q=-2n(y-βˆ-βˆx)x1β1=βˆ1∑i=1i01ii=0证毕.二.证明平方和分解式：SST=SSR+SSE。
证明：nSST=∑(y2n(yˆ2i-)=∑i-yi+yˆi-)i=1i=1nˆ2nn=∑(yi-)+i=1∑(yi-yˆi)2+2i=1∑(yi-yˆi)(yˆi-)i=1上式第三项=2⎛n ⎝∑eiyˆn⎫ni-∑ei⎪=2∑ei(βˆ0+βˆ1xi)-0i=1i=1⎭i=1n=2⎛⎝βˆ0∑ei+βˆn1xe⎫i=1∑iii=1⎪⎭=0nˆn即SST=∑(y2i-)+i=1∑(yi-yˆi)i=1=SSR+SSE证毕.三.证明三种检验的关系：（1）SSR/1βˆ2L；(2)F=SSE/(n-2)=1xxσˆ2=t2证明：由于r=L=ˆ=SSR =⎡⎣β2=r2SST,σˆ2=e2in-2=SST-SSRn-2所以t==;F=SSR/1SSE/(n-2)=βˆ21Lxxσˆ2.证毕.)=⎡⎢1(x2四．证明：Var(ei-)⎤i⎢1-σ2 。
⎣n-(x)2⎥i-⎦⎥证明：由于ei=yi-yˆi=yi-(βˆ0+βˆ1xi)=yi--βˆ1(xi-)=y1ni-(xi-)yin∑yi-(xi-)i=1Lxx于是Var(e⎡1ni)=Var⎢y⎣i-n∑yi-(xi-)yi(xi-)⎤⎥i=1Lxx⎦=Var(y)+1⎛n⎫⎡(xi-)yi⎤in2Var ⎝∑yi⎪+Var⎢(xi-)⎥i=1⎭⎣Lxx⎦-2Cov⎡⎡⎢⎣y1n⎤(xi-)yi⎤i,n∑yii=1⎥⎦-2Cov⎢y⎣i,L(xi-)⎥xx⎦+2Cov⎡⎢1n(xi-)yi(x⎣n∑yi,i=1Li-)⎤⎥xx⎦=σ2+1(x22i-)2nσ+(xi-)2212Lσ-2σ-2σxxnLxx=⎡⎢1⎣1-n-(xi-)2⎤L⎥σ2xx⎦证毕.五．证明：在一元回归中，Cov(βˆ0,βˆ1)=-Lσ2。
应用回归分析(第三版)何晓群_刘文卿_课后习题答案_完整版
第二章 一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1 一元线性回归有哪些基本假定?答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=σ2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n误差εi （i=1,2, …,n）仍满足基本假定。
求β1的最小二乘估计 解：21112)ˆ()ˆ(ini i ni i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-=得：2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。
证明：∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ其中：即： ∑e i =0 ，∑e i X i =02.4回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。
答：由于εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , σ2 ) 最大似然函数：)()(ˆ1211∑∑===ni ini ii XY X β01ˆˆˆˆi ii i iY X e Y Y ββ=+=-0100ˆˆQQββ∂∂==∂∂使得Ln （L ）最大的0ˆβ，1ˆβ就是β0，β1的最大似然估计值。
同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小，∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。
应用回归分析简答题及答案
应用回归分析简答题及答案4.为什么要对回归模型进行检验？答：当模型的未知参数估计出来后，就初步建立了一个回归模型。
建立回归模型的目的是应用他来研究经济问题，但如果马上就用这个模型去做预测、控制和分析，显然是不够慎重的。
因为这个模型是否真正揭示了被解释变量与解释变量之间的关系，必须通过对模型的检验才能决定。
5.讨论样本容量n与自变量个数p的关系,他们对模型的参数估计有何影响?答：在多元线性回归模型中，样本容量n与自变量个数p的关系是：n>p。
如果n<=p对模型的参数估计会带来严重的影响。
因为：（1）在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数B，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。
（2）解释变量X是确定性变量，要求rank(X)=p+1<n，表明设计矩阵X中的自变量列之间不相关，样本容量的个数应该大于解释变量的个数，X是一个满秩矩阵。
7.如何正确理解回归方程显著性检验拒绝Ho,接受Ho？答：（1）一般情况下，当Ho：B1=0被接受时，表明y的取值倾向不随x的值按线性关系变化，这种状况的原因可能是变量y与x之间的相关关系不显著，也可能虽然变量y与x之间的相关关系显著，但这种相关关系不是线性的而是非线性的。
（2）当Ho：B1=0被拒绝时，没有其他信息，只能认为因变量y对自变量x是有效的，但并没有说明回归的有效程度，不能断言y与x之间就一定是线性相关关系，而不是曲线关系或其他的关系。
8.一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R^2=0.9801,我们能断定这个回归方程就很理想吗？答：1.在样本容量较少，变两个数较大时，决定系数的值容易接近1，而此时可能F检验或者关于回归系数的t检验，所建立的回归方程都没能通过。
2.样本决定系数和复相关系数接近1只能说明Y 与自变量X1，X2，…，Xp整体上的线性关系成立，而不能判断回归方程和每个自变量都是显著的，还需进行F检验和t检验。
《应用回归分析》课后题答案解析
《应用回归分析》部分课后习题答案第一章回归分析概述1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？答：变量间的统计关系是指变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系，而变量间的函数关系是指由一个变量唯一确定另外一个变量的确定关系。
1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有 a.在回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。
b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。
而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
1.3 回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.1.5 回归变量的设置理论根据是什么？在回归变量设置时应注意哪些问题？答：理论判断某个变量应该作为解释变量，即便是不显著的，如果理论上无法判断那么可以采用统计方法来判断，解释变量和被解释变量存在统计关系。
应用回归分析试题
应用回归分析试题（一）一、选择题1. 两个变量与x的回归模型中，通常用2R来刻画回归的效果，则正确的叙述是（ D ）A. 2R越小，残差平方和越小B. 2R越大，残差平方和越大C. 2R与残差平方和无关D. 2R越小，残差平方和越大2．下面给出了4个残差图，哪个图形表示误差序列是自相关的（B）（A） (B)（C）（D）3.在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：i ，…，①对所求出的回归直线方程作出解释; ②收集数据(i x,i y），1,2n；③求线性回归方程; ④求未知参数; ⑤根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可行性要求能够作出变量,x y具有线性相关结论，则在下列操作中正确的是（ D ）A．①②⑤③④ B．③②④⑤①C．②④③①⑤ D．②⑤④③①4.下列说法中正确的是（B ）A.任何两个变量都具有相关关系B.人的知识与其年龄具有相关关系C．散点图中的各点是分散的没有规律 D．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的5. 下面的各图中，散点图与相关系数r不符合的是（B ）二、填空题1. OLSE估计量的性质线性、无偏、最小方差。
2. 学习回归分析的目的是对实际问题进行预测和控制。
3. 检验统计量t 值与P 值的关系是P(|t |>|t 值|)=P 值，P 值越小，|t 值| 越大 ，回归方程越显著。
4. 在一元线性回归中，SST 自由度为n-1, SSE 自由度为n-2, SSR 自由度为1。
5. 在多元线性回归中，样本决定系数2R = 1SSR SSESSTSST =-。
三、叙述题1. 叙述一元线性回归模型中回归方程系数的求解过程及结果（OLSE 法）答案：定义离差平方和2^1)()(i ni i y y Q ∑=-=β最小二乘思想找出参数10,ββ的估计值^1^0,ββ。
使得离差平方和最小，使^1^0,ββ满足下述条件：∑∑==--=-=ni i i ni i i x y x y Q 1210,121^^010)(min ),(),(1ββββββββ根据微分中值定理可得：0)(2|0)(2|^11^01^11^11^00^00=---=∂∂=---=∂∂∑∑====i i n i i i n i i x x y Qx y Qββββββββββ求解正规方程组得到：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---=-=∑∑=-=----n i i n i i i x x y y x x xy 121^11^^0)())((βββ 令 --=-=--==--=--=-=-=∑∑∑∑y x n y x y y x x L xn x x x L ni i i i ni i xy ni ini i xx 1121212)()()(则一元线性回归模型中回归方程系数可表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--xx xy L L x y ^1^1^0βββ2. 叙述多元线性回归模型的基本假设 答案：假设1.解释变量12,,,K X X X L 是非随机的 假设（i ε）=0；假设(i ε)=2σ,i =1,2,……ｎcov(,i j εε)=0,i j ≠, ,i j =1,2,……ｎ； 假设4.解释变量12,,,K X X X L 线性无关；假设5.2(0,)i N εσ:3. 回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答案：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y 与12,,px x x L 的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
应用回归分析第四版课后习题答案_全_何晓群_刘文卿
实用回归分析第四版第一章回归分析概述1.3回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.第二章一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1一元线性回归有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0 i=1,2, …,nVar (εi)=σ2i=1,2, …,nCov(εi,εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(X i, εi)=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0, σ2) i=1,2, …,n2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i=0 。
证明：∑∑+-=-=niiiniXYYYQ12121))ˆˆ(()ˆ(ββ其中：即： ∑e i =0 ，∑e i X i =02.5 证明0ˆβ是β0的无偏估计。
证明：)1[)ˆ()ˆ(1110∑∑==--=-=ni i xxi n i i Y L X X X Y n E X Y E E ββ )] )(1([])1([1011i i xx i n i i xx i ni X L X X X n E Y L X X X n E εββ++--=--=∑∑==1010)()1(])1([βεβεβ=--+=--+=∑∑==i xx i ni i xx i ni E L X X X nL X X X n E 2.6 证明 证明：)] ()1([])1([)ˆ(102110i i xxi ni ixx i ni X Var L X X X n Y L X X X n Var Var εβββ++--=--=∑∑== 222212]1[])(2)1[(σσxx xx i xx i ni L X n L X X X nL X X X n +=-+--=∑=2.7 证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR证明：2.8 验证三种检验的关系，即验证： （1）21)2(r r n t --=；（2）2221ˆˆ)2/(1/t L n SSE SSR F xx ==-=σβ 01ˆˆˆˆi i i i iY X e Y Y ββ=+=-())1()1()ˆ(222122xx ni iL X n X XX nVar +=-+=∑=σσβ()()∑∑==-+-=-=n i ii i n i i Y Y Y Y Y Y SST 1212]ˆ()ˆ[()()()∑∑∑===-+--+-=ni ii ni i i i ni iY Y Y Y Y Y Y Y 12112)ˆˆ)(ˆ2ˆ()()SSESSR )Y ˆY Y Y ˆn1i 2ii n1i 2i +=-+-=∑∑==0100ˆˆQQββ∂∂==∂∂证明：（1）ˆt======（2）2222201111 1111ˆˆˆˆˆˆ()()(())(()) n n n ni i i i xxi i i iSSR y y x y y x x y x x Lβββββ=====-=+-=+--=-=∑∑∑∑2212ˆ/1ˆ/(2)xxLSSRF tSSE nβσ∴===-2.9 验证（2.63）式：2211σ)L)xx(n()e(Varxxii---=证明：0112222222ˆˆˆvar()var()var()var()2cov(,)ˆˆˆvar()var()2cov(,())()()11[]2[]()1[1]i i i i i i ii i i ii ixx xxixxe y y y y y yy x y y x xx x x xn L n Lx xn Lβββσσσσ=-=+-=++-+---=++-+-=--其中：222221111))(1()(1))(,()()1,())(ˆ,(),())(ˆ,(σσσββxxixxiniixxiiiniiiiiiiiLxxnLxxnyLxxyCovxxynyCovxxyCovyyCovxxyyCov-+=-+=--+=-+=-+∑∑==2.10 用第9题证明是σ2的无偏估计量证明：2221122112211ˆˆ()()()22()111var()[1]221(2)2n ni ii in niii i xxE E y y E en nx xen n n Lnnσσσσ=====-=---==----=-=-∑∑∑∑第三章2ˆ22-=∑neiσ1.一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R 2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？ 答：不能断定这个回归方程理想。
应用回归分析_第2章课后习题参考答案
第二章 一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1 一元线性回归有哪些基本假定?答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=σ2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n误差εi （i=1,2, …,n ）仍满足基本假定。
求β1的最小二乘估计 解： 得：2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。
证明：∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ其中：即： ∑e i =0 ，∑e i X i =021112)ˆ()ˆ(ini i ni i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-=0)ˆ(2ˆ111=--=∂∂∑=ii ni i eX X Y Q ββ)()(ˆ1211∑∑===ni i ni ii X Y X β01ˆˆˆˆi ii i iY X e Y Y ββ=+=-0100ˆˆQQββ∂∂==∂∂2.4回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。
答：由于εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , σ2 ) 最大似然函数：使得Ln （L ）最大的0ˆβ，1ˆβ就是β0，β1的最大似然估计值。
同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小，∑∑+-=-=nii i n i X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。
应用回归分析+第2章详细答案
2.3由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=β-β-=β∂∂=β-β-=β∂∂∑∑=β=β=β=βn1i i i 10i ˆ1n 1i i 10i ˆ00x )x ˆˆy (Q 0)x ˆˆy (Q 1100得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==-∑∑∑∑====n 1i n 1i i i i i i n 1i n1i i i i 0x e x )y ˆy (0e )y ˆy (2.4在),0(N ~2i σε的正态分布假定下，10,ββ的最小二乘估计与最大似然估计等价，求对数似然函数的极大值等价于对∑=β+β-n1i 2i 10i )]x (y [求极小值，至此与最小二乘估计原理完全相同2.52.62n1i 2i212210])x x()x (n 1[)ˆvar()x (n 1)x ˆy var()ˆvar(σ-+=β+σ=β-=β∑=2.7SSR SSE )y y ˆ)(y ˆy (2)y y ˆ()y ˆy ()y y ˆyˆy ()y y (SST n1i i i i n 1i 2i n 1i 2i i n 1i 2i i i n 1i 2i +=--+-+-=-+-=-=∑∑∑∑∑=====2.8（1）22i2i 2i2i 2i2i2i i2i i xx1xx 1r 12n r )y y ()y y ˆ(12n r )y y ()y yˆ()y y (2n r )y y ()yˆy (2n r )y ˆy (2n L ˆˆL ˆt --=----=-----=---=--β=σβ=∑∑∑∑∑∑∑∑（2）F )2n /(SSE 1/SSR SSE SSR )2n (SSTSSR 1SST SSR)2n (r 1r )2n (t 222=-=-=--=--= 2.92xxi 2i10L )x x (n 1)x ˆˆvar(σ-+σ=β+β xx2i 2xx i 2i i 2xx i i i i 2i 1i L )x x (n 1)L y )x x (,y cov(n 1)L y )x x ()x x (,y cov(n 1))x x (ˆy ,y cov(-+σ=-+σ=--+σ=-β+∑2xx 2i 22i1i i 10i i i i n11[L )x x (n 1))x x (ˆy ,y cov(2)x ˆˆvar()y var()y y var()e var(--=σ--σ-σ=-β+-β+β+=-=2.1022xx2i i 2i 2i 2i i 2)L )x x (1n (2n 1))e (E )e (var(2n 1)e (E 2n 1))y ˆy (2n 1(E )ˆ(E σ=σ----=--=-=--=σ∑∑2.112n F F )2n /(SSE SSE SSR )2n /(SSE SSR )2n /(SSE SST )2n /(SSE SSR SSTSSR r 2-+=-+-=--==如果一个线性回归方程通过F 检验，只能说明x 与y 之间的线性关系是显著的，不能说明数据拟合得很好，决定系数r 2是一个回归直线与样本观测值拟合优度的相对指标。
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应用回归分析证明题及答案
所以 12ˆ22 1β
--===--yy xx yy r L n L r n t L SSR r
212ˆ/1
.ˆ/(2)βσ
==-xx L SSR F SSE n
证毕.
四．证明：22
2()1()1 ()σ⎡⎤-=--⎢⎥
-⎢⎥⎣
⎦∑i i i x x Var e n x x 。
证明：由于
011
1ˆˆˆ()ˆ()()1()
βββ
==-=-+=----=---∑∑i i i i i
i
i
n i i i i i
i xx
e y y y x y y x x x x y y y x x n L
于是
()121112
()1()()()1()()12,2,()()12,()σ====⎡⎤-=---⎢⎥⎣⎦
⎡⎤-⎛⎫
=++-⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦
⎡⎤-⎡⎤
---⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦
=+∑∑∑∑∑∑∑∑n i i i i i i i xx n i i i i i i xx n i i i i i i i xx n i i i i
i xx x x y Var e Var y y x x n L x x y Var y Var y Var x x n L x x y Cov y y Cov y x x n L x x y Cov y x x n L 22222222
()()1122()11σσσσ
σ
--+--⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦i i xx xx
i xx x x x x n L n L x x n
L
证毕.
五．证明：在一元回归中，201
ˆˆ(,)xx
x Cov L ββσ=-。
证明：
01111111()()1ˆˆ(,),()()1,()()1,()(1ββ======⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎡⎤
⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫-=- ⎪
⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑n i i i i i i xx xx n n i i i i i i xx xx
n n i i i i i i xx xx
n
i i xx x x y x x y Cov Cov y x n L L x x x x Cov x y y n L L x x x x Cov x y y n L L x x x n
L 2
2
)σσ-=-
i xx xx
x x L x L
证毕.
六．证明：21
ˆ 1
SSE n p σ
=--是误差项方差2σ的无偏估计。
证明：由于 22
2()1()1 ()σ⎡⎤-=--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
∑i i i x x D e n x x 而 ()2
2()()()()=+=i i i i E e D e E e D e 所以
2
21
211
2211ˆ() ()1111()(1)111(1)1
σσσσ===⎛⎫== ⎪----⎝⎭==-----=--=--∑
∑∑n
i i n n
i ii i i E E SSE E e n p n p D e h n p n p n p n p 证毕.
七．证明：ˆ()E =β
β；21ˆ()()D σ-'=βX X 。
证明：
()()()1111
ˆ()()()()()----''''==''=+''==E E E E β
X X X y X X X y X X X X βεX X X X ββ
()
()111112121
ˆˆˆ(),(),()(),()()()()σσ-------''''⎡⎤==⎣⎦
'''='''='=D Cov Cov Cov βββX X X y X X X y X X X y y X X X X X X IX X X X X
证毕.
八．证明：在多元线性回归中，假设2(,)n N σ~ε0I ，则随机向量2(,)n N σ~y X βI 。
九．证明：当2(,)n N σ~y X βI 时，则：
（1）21ˆ(,())σ-'~N ββX X ；（2）2/(1)σχ2~--SSE n p 。
证明：
（1）因为1ˆ()-''=β
X X X y ，X 是固定的设计矩阵，因此，ˆβ是y 的线性变换。
又当2(,)n N σ~ε0I 时，有随机向量2(,)n N σ~y X βI ，所以ˆβ服从正态分布，且 21ˆˆ(),()()σ-'==E D β
ββX X ，即有21ˆ(,())σ-'~N ββX X 。
（2）：由于
[][]
ˆˆ()()()()
=''===''='=++''==SSE NX e e y -y
y -y (I -H)y (I -H)y y (I -H)y y Ny
X βεN X βεεN ε
借助于定理：设(,)~n N X 0I ，A 为⨯n n 对称阵，秩为r ，则当A 满足：2=A A ，二次型22χ'r X A X
，只需证明：()1=--rk n p N 即可。
因为N 是幂等阵，所以有()()=rk tr N N ，故
()
()111()()()()1
---''=-''=-''=-=--n rk tr n tr n tr n p N I X X X X X X X X X X X X
证毕.
十．证明：在多元线性回归中，最小二乘估计ˆβ与残差向量e 不相关，即ˆ(,)0Cov =β
e 。
证明：
()1112121ˆ(,)(),()(),()()()
()(())0
σσ-----''⎡⎤=-⎣⎦
'''=-''=-''''=-=Cov Cov Cov βe X X X y I H y X X X y y I H X X X I I H X X X I I X X X X
证毕.
十一．证明：ˆ2(1)DW ρ
≈-，其中122
21
2
2
ˆn
t t t n
n
t t t t e e
e e
ρ-=-===∑∑∑
证明：由于
2
221
1
1
2
2
2
2222
2
()
2---======-+-=
=
∑∑∑∑∑∑n
n n
n
t
t t t t t t t t t n
n
t
t
t t e e
e e
e e DW e
e
如果认为221
2
2
-==≈∑∑n n
t t t t e e
，则有1
2
22
ˆρ
-==≈∑∑n
t t t n
t
t e e
e
，所以
1222ˆ212(1)ρ-==⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥≈-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑∑n
t t t n
t t e e DW e . 证毕.
十二. 试证明：在二元线性回归模型01122βββε=+++i i i i y x x 中，当1x 和2x 相互独立时，对回归系数1β 和2β的OLS 估计值，等于i y 分别对
1x 和2x 做简单线性回归时回归系数的OLS 估计值。