应用回归分析证明题及答案

应用回归分析证明题及答案

所以 12ˆ22 1β

--===--yy xx yy r L n L r n t L SSR r

212ˆ/1

.ˆ/(2)βσ

==-xx L SSR F SSE n

证毕.

四．证明：22

2()1()1 ()σ⎡⎤-=--⎢⎥

-⎢⎥⎣

⎦∑i i i x x Var e n x x 。 证明：由于

011

1ˆˆˆ()ˆ()()1()

βββ

==-=-+=----=---∑∑i i i i i

i

i

n i i i i i

i xx

e y y y x y y x x x x y y y x x n L

于是

()121112

()1()()()1()()12,2,()()12,()σ====⎡⎤-=---⎢⎥⎣⎦

⎡⎤-⎛⎫

=++-⎢⎥

⎪⎝⎭⎣⎦

⎡⎤-⎡⎤

---⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦

=+∑∑∑∑∑∑∑∑n i i i i i i i xx n i i i i i i xx n i i i i i i i xx n i i i i

i xx x x y Var e Var y y x x n L x x y Var y Var y Var x x n L x x y Cov y y Cov y x x n L x x y Cov y x x n L 22222222

()()1122()11σσσσ

σ

--+--⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦i i xx xx

i xx x x x x n L n L x x n

L

证毕.

五．证明：在一元回归中，201

ˆˆ(,)xx

x Cov L ββσ=-。 证明：

01111111()()1ˆˆ(,),()()1,()()1,()(1ββ======⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

⎡⎤

⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦

⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫-=- ⎪

⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑n i i i i i i xx xx n n i i i i i i xx xx

n n i i i i i i xx xx

n

i i xx x x y x x y Cov Cov y x n L L x x x x Cov x y y n L L x x x x Cov x y y n L L x x x n

L 2

2

)σσ-=-

i xx xx

x x L x L

证毕.

六．证明：21

ˆ 1

SSE n p σ

=--是误差项方差2σ的无偏估计。

证明：由于 22

2()1()1 ()σ⎡⎤-=--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

∑i i i x x D e n x x 而 ()2

2()()()()=+=i i i i E e D e E e D e 所以

2

21

211

2211ˆ() ()1111()(1)111(1)1

σσσσ===⎛⎫== ⎪----⎝⎭==-----=--=--∑

∑∑n

i i n n

i ii i i E E SSE E e n p n p D e h n p n p n p n p 证毕.

七．证明：ˆ()E =β

β；21ˆ()()D σ-'=βX X 。 证明：

()()()1111

ˆ()()()()()----''''==''=+''==E E E E β

X X X y X X X y X X X X βεX X X X ββ

()

()111112121

ˆˆˆ(),(),()(),()()()()σσ-------''''⎡⎤==⎣⎦

'''='''='=D Cov Cov Cov βββX X X y X X X y X X X y y X X X X X X IX X X X X

证毕.

八．证明：在多元线性回归中，假设2(,)n N σ~ε0I ，则随机向量2(,)n N σ~y X βI 。九．证明：当2(,)n N σ~y X βI 时，则：

（1）21ˆ(,())σ-'~N ββX X ；（2）2/(1)σχ2~--SSE n p 。

证明：

（1）因为1ˆ()-''=β

X X X y ，X 是固定的设计矩阵，因此，ˆβ是y 的线性变换。 又当2(,)n N σ~ε0I 时，有随机向量2(,)n N σ~y X βI ，所以ˆβ服从正态分布，且 21ˆˆ(),()()σ-'==E D β

ββX X ，即有21ˆ(,())σ-'~N ββX X 。 （2）：由于

[][]

ˆˆ()()()()

=''===''='=++''==SSE NX e e y -y

y -y (I -H)y (I -H)y y (I -H)y y Ny

X βεN X βεεN ε

借助于定理：设(,)~n N X 0I ，A 为⨯n n 对称阵，秩为r ，则当A 满足：2=A A ，二次型22χ'r X A X

，只需证明：()1=--rk n p N 即可。

因为N 是幂等阵，所以有()()=rk tr N N ，故

()

()111()()()()1

---''=-''=-''=-=--n rk tr n tr n tr n p N I X X X X X X X X X X X X

证毕.