由2008年江西高考理科数学最后一题说起

由2008年江西高考理科数学最后一题说起

周湖平

年年岁岁卷相似，岁岁年年题不同。2008年是江西省高考数学自主命题的第四年，今年全省理科平均分为69.37 比去年了降了19.87，特别是理科压轴题的难度系数为0.11，属于超难题。2007年考生满面笑容，2008年考生叫苦连天。2008年的理科压轴题是一道函数与不等式的综合题，一改前两年以数列与不等式的综合题为压轴题局面，避免了老师和学生猜题压宝，具有良好的导向作用。压轴题基于公平的原则体现了试题选拔功能,其设计之新颖,立意之深隧,技巧之高难，把选拔功能体现得酣畅淋漓。本文以08年江西省高考数学理科压轴题为例谈谈自己的看法。

1考查能力好载体

题目 函数()f x ＝x +11＋a +11＋8

+ax ax ，x ∈(0，＋∞)． （1）当8a =时，求()f x 的单调区间；

（2）对任意正数a ，证明：()12f x <<．

解 （1）略

（2）对任意给定的0>a ，0>x ，因为

ax a x x f 8111111)(+

++++=，若令ax b 8=，则8=abx ① b

a x x f +++++=11

1111)( ② （一）先证1)(>x f ：因为x x +>+1111，a a +>+1111，b

b +>+1111 又由x b a +++2≥8244=abx ，∴x b a ++≥6

所以

（2）.再证2)(

111

<+b ，162

61

61

11

11

<=+≤+++a x

1)1)(1)(1()()(1)1)(1)(1()()(9)1)(1)(1()(2311111111

1111)(=++++++++++=+++++++++≥+++++++++=+++++>+++++=b a x abx ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x b a x x f

∴211

11

11

)(<+++++=b a x x f

（Ⅱ）若a+b<7，由①得ab x 8=，∴811+=+ab ab x

③ 因为222))

1(21()(41111b b b a b b b b +-=+++-<+ ∴)1(2111

b b b +-

<+ ④ 同理得)1(2111a a a +-

<+ ⑤，于是 )8

211(212)(+-+++-

211+>+++ab ab b b a a ⑦ 因为)1)(1(211b a ab b b a a ++>+++，则只要)

1)(1(2b a ab ++82+>ab ab 只要ab b a +<++8)1)(1(，即证ab ab b a +<+++81，即a+b<7，而这显然成立。 综上，对任意正数a ，()12f x <<．

此题虽然难，但其第（1）问的入口较宽，只要正确求出函数的导数，便可得到答案；这样变难题的整体把关为难题的分支把关，充分考查学生的个性品质。数学压轴题已从“一题把关”转为“多题把关”，设置了层次分明的台阶，入口宽，上手易，但是深入难，解到底更难。第2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。第（2）问的构造思想和放缩法等的应用要有很高的技巧，以下引用不等式研究专家宋庆老师的发言：说句实在话，该题命题人陶平生教授[1]所给出的证明是最好的。问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。

2似曾相识燕归来

08年江西理科最后一题第（2）小题与2004年西部奥林匹克最后一题类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。

2004西部数学奥林匹克第八题求证：对任意正实数a、b、c都

有

1

2

<≤（王建伟供题）

提示：令

222

222

,,

b c a

x y z

a b c

===，则,,

x y z R

+

∈，1

xyz=，于是，只须证

明

1

2

<≤，不妨设x y z

≤≤。

《中学数学研究》(南昌)2006年第2期“一道西部数学奥林匹克赛题的溯源与推广”（四川省篷安中学蒋明斌老师著）；对那道西部奥林匹克题给出了推广。福建龙岩学院吴善和老师2004年7月，在《中学数学研究》（南昌）“关于IMO42一个不等式的逆向”一文给出了右边不等式的一种证明。

从历届竞赛题中找借鉴已成为高考命题的一种趋势，2008年有几道高考试题具有竞赛背景，譬如，天津市数学高考理科第22题第（3）小题，需要按4的剩余类讨论，广东省数学高考理科第21题和重庆数学高考理科第22题均涉及求二阶线性递归数列的通项公式。参加过数学竞赛训练的同学得益明显，试题背景有失公平，引发争议。

3华山不止一条道

著名数学家张景中院士认为此题难度较大，适宜竞赛而不适合高考。命题者提供的参考答案看似推理自然，但实际上做题者难以想到。下面提供另一种解法，以供叁考。

=

8

b=x,c=

ax

，问题转化为在三个正数a、b、c且8

abc=

的条件下求(,,)

F a b c=的上下界。不妨设a b c

≤≤，记

8

,,

t a k ab c

k

===，把(,,)

F a b c看成t的函

数()(,,)

f t F a b c

==

，注意变量和参数范围为02

t

<≤≤，计算导数

33

233

22

2

1

'()((1)(1))((1)())(,)

2

k k

f t t k t t t k Q t k

t t

--

=-+++=+-+，这里(,)

Q t k是某个正值代数式，于是可根据233

()((1)())

g t k t t t k

=+-+

的正负来判断的增减。注意到0

g=，容易作因式分解：22

()()((3))

g t k t t k k t k

=---+，由第二个因式形成的二次方程2(3)0

t k k t k

--+=的判别式22

(3)4

k k k

=--

V，当4

k<时有0

<

V。于是