清华大学 2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷

清华大学高等数学A 期末考试试卷2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。

2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。

3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。

4．设yz u x =，则du = 。

5．级数11(1)np n n∞=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（ ）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)limx y →= （ ）A ．14 B ．12- C ．14- D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上C ．直线L 垂直于平面πD ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= （ ）A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．1n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

2. 计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y∂∂+∂∂。

4.求曲线积分()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方向。

5.计算Dy ⎰⎰，其中D是由y =1x =-及1y =所围成的区域。

6．判断级数1(1)1n n n n ∞=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。

7．将函数1(1)(2)x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

2. 求幂级数1(1)(1)!n nn nx n ∞=-+∑的和函数。

3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知[()()]()LDxydx yf x g x dy yg x d σ++=⎰⎰⎰，求()f x 和()g x 。

参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．2{(,)|210}x y y x -+> 2．33．920y z --= 4．1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5．01p <≤ 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C 2．C 3．C 4．B 5．A三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

解：先求'0y y +=的通解，得1x y C e -=………………2分采用常数变易法，设()x y h x e -=，得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分得21()2x h x e C =+………………5分故通解为12x x y e Ce -=+………………6分将初始条件0x =，2y =带入得32C =，故特解为1322x x y e e -=+…………7分2. 计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

解：设cos ,sin x r y r θθ==………………1分则10,12sin cos r πθθθ≤≤≤≤+………………3分所以1212220sin cos cos sin Dx y r r dxdy d rdr x y r πθθθθθ+++=+⎰⎰⎰⎰………………5分 20(sin cos 1)d πθθθ=+-⎰………………6分42π-=………………7分3. 设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z zx y∂∂+∂∂。

解：设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分12cos(23),44cos(23),36cos(23)x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-………………4分2cos(23)14cos(23)4,3[12cos(23)]3[12cos(23)]y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ∂+--∂+-+=-==-=∂++-∂++-……6分 所以1z z x y∂∂+=∂∂………………7分4. 求曲线积分()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方向。

解：圆的参数方程为：cos ,sin (0)2x a t y a t t π==≤≤……………1分220()()(cos sin (cos sin )cos )sin Lx y dx x y dy a t a t da a t a t da t t ππ++-=+-+⎰⎰⎰……3分220(cos 2sin 2)at t dt π=-⎰………………4分220[sin 2cos 2]2a t t π=+………………6分 2a =-………………7分（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）5.计算Dy ⎰⎰，其中D是由y =1x =-及1y =所围成的区域。

解：{(,)|1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分111Dy dx y -=⎰⎰⎰………………2分31262112[(1)63x y -=-⨯+-⎰………………4分1311(||1)9x dx -=--⎰………………5分1302(1)9x dx =--⎰………………6分16=………………7分6.判断级数1(1)1n n n n ∞=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。

解：(1)11n n n n n -=++1分 ()n n→∞………………3分 所以级数发散。

………………4分又(1)1(1)(111n n n n n -=--++5分1n n += (6)分 显然，交错级数1n n ∞=1nn ∞=都收敛，所以原级数收敛。

因此是条件收敛。

………………7分7. 将函数1(1)(2)x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。

解：111(1)(2)12x x x x=-----………………2分而1,||11n n x x x ∞==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222x xx x =+++<-………………4分所以22111[1()](1)(2)222x xx x x x =+++-+++--………………5分101(1)2nn n x ∞+==-∑………………6分 成立范围||1x <………………7分四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ，P 点满足抛物面和平面方程。

原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++，………………1分 构造拉格朗日函数22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分2222022020010x yzF x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=⎧⎪=++=⎪⎪=-+=⎨⎪=+-=⎪=++-=⎪⎩………………4分解得1(12x =-………………5分得两个驻点为121111(2(22222P P =---=---- …………………6分………………7分2. 求幂级数1(1)(1)!n nn nx n ∞=-+∑的和函数。

解：因为0!n xn x e n ∞==∑，所以0(1)!n n xn x e n ∞-=-=∑，………………1分00(1)(1)(11)()(1)!(1)!n n n nn n nx n x S x n n ∞∞==--+-==++∑∑………………2分00(1)(1)!(1)!n n n nn n x x n n ∞∞==--=-+∑∑………………3分(1)!n nx n x e n ∞-=-=∑………………4分 110010010(1)(1)!11(1)1(11(1)1)(1)!(1)!1(1)1(1)1!1!!n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x x x n x n x x x x n x e x x n x xn x n ∞+++∞∞==∞∞=∞-===--=-++⎡⎤--=-=--⎢⎥⎣⎦=-=+--=-∑∑∑∑∑∑ (0)x ≠…………5分 所以1()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠故1()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠……6分当0x =时，()0S x =。

………7分另解：当0x ≠时，11110(1)1(1)1(1)(1)!(1)!(1)!n n n n x n n n n n n x x n x n x n x n d x +∞∞∞===⎡⎤---==⎢⎥++-⎣⎦⎰∑∑∑ 1111001(1)1(1)(1)!(1)!n n n x n n n x x n x n x x dx x dx -∞∞==-⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪==-⎨⎬⎢⎥⎢⎥--⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰∑∑ 001(1)!n x n n x n x x dx ∞=-=-∑⎰0011xx x xx dx e xd e x x --=-=⎰⎰()11x x e e x x--=+- 11x x e e x x --=+-当0x =时，()0S x =。