大学物理 第三章 刚体的运动
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大学物理课件第3章-刚体
究力的平衡和静力问题。
刚体的分类总结
根据是否可以发生平动或转动， 可以将刚体分为可动刚体和固定 刚体两类。不同类型的刚体在研 究力和运动关系时具有不同的应
用场景和特点。
02
刚体的运动
平动
01
02
03
平动定义
刚体在运动过程中，其上 任意两点都保持相对位置 不变的运动。
平动特点
刚体上任意两点在运动过 程中保持相对位置不变， 刚体整体做平行移动，没 有发生旋转。
刚体的稳定性
总结词
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保 持原有平衡状态的能力。
VS
详细描述
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保持 原有平衡状态的能力。如果外力较小，刚 体能够恢复到原来的平衡状态，则称该平 衡状态是稳定的。反之，如果外力较小， 刚体不能恢复到原来的平衡状态，则称该 平衡状态是不稳定的。刚体的稳定性可以 通过对平衡状态的稳定性进行分析来确定 。
刚体的性质总结
刚体的性质包括不发生形变、具有无限大的弹性和重心位 置不变。这些性质使得刚体成为研究力和运动关系的理想 化模型。
刚体的分类
可动刚体
可动刚体是指可以发生平动或转 动的刚体。这类刚体通常用于研 究物体的运动状态和力的作用效
果。
固定刚体
固定刚体是指形状和大小始终不 变的刚体。这类刚体通常用于研
06
刚体的应用
刚体在日常生活中的应用
钟表
钟表内部的齿轮、指针等都是刚 体，其运动规律符合刚体的运动
定理。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交通工具
自行车、汽车、火车等交通工具中 的轮子、轴承等都是刚体，其运动 规律符合刚体的运动定理。
家居用品
家具如椅子、桌子等，其结构大多 由刚体组成，符合刚体的运动定理 。
刚体的分类总结
根据是否可以发生平动或转动， 可以将刚体分为可动刚体和固定 刚体两类。不同类型的刚体在研 究力和运动关系时具有不同的应
用场景和特点。
02
刚体的运动
平动
01
02
03
平动定义
刚体在运动过程中，其上 任意两点都保持相对位置 不变的运动。
平动特点
刚体上任意两点在运动过 程中保持相对位置不变， 刚体整体做平行移动，没 有发生旋转。
刚体的稳定性
总结词
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保 持原有平衡状态的能力。
VS
详细描述
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保持 原有平衡状态的能力。如果外力较小，刚 体能够恢复到原来的平衡状态，则称该平 衡状态是稳定的。反之，如果外力较小， 刚体不能恢复到原来的平衡状态，则称该 平衡状态是不稳定的。刚体的稳定性可以 通过对平衡状态的稳定性进行分析来确定 。
刚体的性质总结
刚体的性质包括不发生形变、具有无限大的弹性和重心位 置不变。这些性质使得刚体成为研究力和运动关系的理想 化模型。
刚体的分类
可动刚体
可动刚体是指可以发生平动或转 动的刚体。这类刚体通常用于研 究物体的运动状态和力的作用效
果。
固定刚体
固定刚体是指形状和大小始终不 变的刚体。这类刚体通常用于研
06
刚体的应用
刚体在日常生活中的应用
钟表
钟表内部的齿轮、指针等都是刚 体，其运动规律符合刚体的运动
定理。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交通工具
自行车、汽车、火车等交通工具中 的轮子、轴承等都是刚体，其运动 规律符合刚体的运动定理。
家居用品
家具如椅子、桌子等，其结构大多 由刚体组成，符合刚体的运动定理 。
大学物理.第三章.刚体的转动
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
大学物理第3章刚体的转动
T2
( 2 m1 m / 2 ) m 2 g m 2 M f / R m1 m 2 m / 2
例4.如图所示长度不等的A ,B两个匀质细棒(材料粗细均相 同), 从竖直位置由静止开始自由倒向地面,问:A B棒哪根先倒地?
M rF
M mg l 2 sin( )
三. 转动惯量
I
m
i 1
n
r i i
2
是刚体转动惯性大小的量度 (质量是物体惯性大小的量度) 1. 刚体的质量 由三个因素决定: 2. 质量的分布 3. 转轴的位置
物理意义:
M I
2 如果刚体是连续分布的质点系 I r d m 单位：kg m2
质量为体分布: d m d V 质量为面分布: d m d s
dm m l d x
1 2
1
l
I I
r
2
dm
O
dm
x
l
2
x dm
I
1 l
2
2 1 l 2
m l
l
m l
x dx
2
0
1 3
ml
2
x d x
l 2
2
z l
ml
2
3 mx l 3
l 2
1 12
o
dx
x
例2: 计算质量为m, 半径为R的均匀细圆环的转动惯量. 轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解: 如图各质元到轴的垂直距离相等 m
质点角动量 L r p r m v
刚体的角动量(定轴转动)
L I
大学物理第3章刚体的定轴转动
13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的 质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴 转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平 面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称 为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P
x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量 称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ
v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt
dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0
大学物理 刚体
d d J d L 3. 角动量定理： M J d t d t d t
4. 角动量守恒定律： M 0 L C
5. 而 L J ω 仅对固定对称轴成立：
k ω
o
L
k ω L
L k ω L
o
r
o
r
r
o
r
2 2 2 2 3 1 R m R 2 2 A M J 2 2 8 g 4 2
11
例七：质量为 m 、长为 l 的均匀长杆，一端可绕水 平的固定轴旋转。开始时，杆静止下垂。现有一质 量为 m 的子弹，以水平速度 v 击中杆后就附在杆上 随之一起摆动。设击点距离转轴为 3l / 4，求杆向上 摆动的最大角度。 解：角动量守恒，机械能守恒。
2. 刚体是特殊的质点系：
M ( ri i z i k ) ( Fi r i Fi j Fi z k ) M z ri Fi L Li (ri i zi k ) mi (ri j ) Lz mi ri 2 ( mi ri 2 )
3. 刚体的定轴转动定律：
J mi ri 2
M J
刚体在作定轴转动时，角加速度与合外力矩成正比 且方向相同皆沿转轴，与刚体的转动惯量成反比。
4
例一：质量为 m1 的物体用轻绳挂缠在 质量为 m2、半径为 R 的定滑轮上，由 静止开始释放物体。试求：物体的加 速度、滑轮的角加速度和绳的张力。
d M ( 2 r d r ) g r 2g r 2 d r
R
M 2 g
0
2 r d r 2 g R mg R 3
4. 角动量守恒定律： M 0 L C
5. 而 L J ω 仅对固定对称轴成立：
k ω
o
L
k ω L
L k ω L
o
r
o
r
r
o
r
2 2 2 2 3 1 R m R 2 2 A M J 2 2 8 g 4 2
11
例七：质量为 m 、长为 l 的均匀长杆，一端可绕水 平的固定轴旋转。开始时，杆静止下垂。现有一质 量为 m 的子弹，以水平速度 v 击中杆后就附在杆上 随之一起摆动。设击点距离转轴为 3l / 4，求杆向上 摆动的最大角度。 解：角动量守恒，机械能守恒。
2. 刚体是特殊的质点系：
M ( ri i z i k ) ( Fi r i Fi j Fi z k ) M z ri Fi L Li (ri i zi k ) mi (ri j ) Lz mi ri 2 ( mi ri 2 )
3. 刚体的定轴转动定律：
J mi ri 2
M J
刚体在作定轴转动时，角加速度与合外力矩成正比 且方向相同皆沿转轴，与刚体的转动惯量成反比。
4
例一：质量为 m1 的物体用轻绳挂缠在 质量为 m2、半径为 R 的定滑轮上，由 静止开始释放物体。试求：物体的加 速度、滑轮的角加速度和绳的张力。
d M ( 2 r d r ) g r 2g r 2 d r
R
M 2 g
0
2 r d r 2 g R mg R 3
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
大学物理课件第3章-刚体
F
T
m
o
x
例4. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。
解： TR
a
1 2
MR
2
a R
T
1 2
Ma
2
mg T ma
M
T
mg mM 2
注： 可以用质点动力学 的方法来处理刚体 的平动问题。
转动：
刚体上所有质点都绕同一直线作圆 周运动。这种运动称为刚体的转动。这 条直线称为转轴。
定轴转动：
转轴固定不动的转动。
刚体的转动动能
mn
rn
o
r1
m1
r2
m2
令
I mi ri
i
2
kg m
2
I 为刚体对 z 轴的转动惯量。
结论： 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量 的分布以及转轴的位置有关。 对于质量连续分布的刚体：
2
2
( mi ri )
Ek
1 2
J
2
设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功：
dA Md
A I
d dt
A
由转动定律 有
d dt
d I d
1 2 1 2
dA I
2
1
I d
I 2 －
2
I 1
2
刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所 做的功等于刚体转动动能的增量。
l a v
o
30°
机械能守恒：
11 l 2 2 2 Ml ma mga1 cos 30 Mg 1 cos 30 23 2
T
m
o
x
例4. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。
解： TR
a
1 2
MR
2
a R
T
1 2
Ma
2
mg T ma
M
T
mg mM 2
注： 可以用质点动力学 的方法来处理刚体 的平动问题。
转动：
刚体上所有质点都绕同一直线作圆 周运动。这种运动称为刚体的转动。这 条直线称为转轴。
定轴转动：
转轴固定不动的转动。
刚体的转动动能
mn
rn
o
r1
m1
r2
m2
令
I mi ri
i
2
kg m
2
I 为刚体对 z 轴的转动惯量。
结论： 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量 的分布以及转轴的位置有关。 对于质量连续分布的刚体：
2
2
( mi ri )
Ek
1 2
J
2
设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功：
dA Md
A I
d dt
A
由转动定律 有
d dt
d I d
1 2 1 2
dA I
2
1
I d
I 2 －
2
I 1
2
刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所 做的功等于刚体转动动能的增量。
l a v
o
30°
机械能守恒：
11 l 2 2 2 Ml ma mga1 cos 30 Mg 1 cos 30 23 2
大学物理课课件第3章_刚体的定轴转动
G2 G1
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
第3节 机械能守恒定律
用两个对 转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹 棒
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
第3节 机械能守恒定律
用两个对 转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹 棒
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
大学物理-第三章 刚体力学
向力的作用点P的矢量。 M rF
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
上一页 下一页
2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
上一页 下一页
右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
上一页 下一页
刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
上一页 下一页
M,
J
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
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2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
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右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
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刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
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M,
J
大学物理03-刚体力学基础
15
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状（质量分布）
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒，质量为 m ，长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量：（1）通过棒中心且与棒垂直的轴；（2）通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解：取如图坐标，在棒上任取质元，到转轴的垂直距离为x， 长度为 d x，该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //
大小： M rF sin Fd 方向： 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中，M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向，则 M 与转轴方向一致时取正 值，反之为负值
11
(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的，而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因，而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内（任意力） 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩：
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状（质量分布）
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒，质量为 m ，长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量：（1）通过棒中心且与棒垂直的轴；（2）通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解：取如图坐标，在棒上任取质元，到转轴的垂直距离为x， 长度为 d x，该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //
大小： M rF sin Fd 方向： 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中，M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向，则 M 与转轴方向一致时取正 值，反之为负值
11
(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的，而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因，而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内（任意力） 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩：
大学物理 第三章 刚体的定轴转动
由于绳子与滑轮间无相对滑动，所以
a1 = β r1 , a2 = β r2
联立以上 5 个方程可得，两物体的加速度和绳子中的张力分别为
a1 = a2 =
( m1r1 − m2 r2 ) r1 g
J1 + J 2 + m1r12 + m2r22
( m1r1 − m2 r2 ) r2 g
1
(J T =
1
解 设滑轮的半径为 R ,转动惯量为 J ，如图 3.5 所示。使用大小等于 mg ，方向向下的力拉
ww
对物体有： 对滑轮有：
绳子时，如图 3.5（a）,滑轮产生的角加速度为 β =
绳下段挂一质量为 m 的物体时，如图 3.5（b） ，若设绳子此时的拉力为 T，则
此时滑轮产生的角加速度为
mgR J + mR 2 比较可知，用大小等于 mg ，方向向下的拉力拉绳子时，滑轮产生的角加速度变大，本题 β=
习题精解
3-1 某刚体绕定轴做匀速转动， 对刚体上距转轴为 r 处的任意质元的法向加速度为和切线加 速度来正确的是（） A. an ， aτ 大小均随时间变化 C. an 的大小变化， aτ 的大小保持不变 B. an ， aτ 大小均保持不变 D. an 大小保持不变， aτ 的大小变化
解 刚体绕定轴做匀变速转动时，因为 an = rω 2 , aτ = r β ，而 β 为恒量，所以 ω = ω0 + β t ， 故 an = r ( ω0 + β t ) , aτ = r β 。可见： an 的大小变化， aτ 的大小保持恒定，本题答案为 C. 3-2 一飞轮以的角速度转动 300rad • min ，转动惯量为 5kg • m ，现施加一恒定的制动
a1 = β r1 , a2 = β r2
联立以上 5 个方程可得，两物体的加速度和绳子中的张力分别为
a1 = a2 =
( m1r1 − m2 r2 ) r1 g
J1 + J 2 + m1r12 + m2r22
( m1r1 − m2 r2 ) r2 g
1
(J T =
1
解 设滑轮的半径为 R ,转动惯量为 J ，如图 3.5 所示。使用大小等于 mg ，方向向下的力拉
ww
对物体有： 对滑轮有：
绳子时，如图 3.5（a）,滑轮产生的角加速度为 β =
绳下段挂一质量为 m 的物体时，如图 3.5（b） ，若设绳子此时的拉力为 T，则
此时滑轮产生的角加速度为
mgR J + mR 2 比较可知，用大小等于 mg ，方向向下的拉力拉绳子时，滑轮产生的角加速度变大，本题 β=
习题精解
3-1 某刚体绕定轴做匀速转动， 对刚体上距转轴为 r 处的任意质元的法向加速度为和切线加 速度来正确的是（） A. an ， aτ 大小均随时间变化 C. an 的大小变化， aτ 的大小保持不变 B. an ， aτ 大小均保持不变 D. an 大小保持不变， aτ 的大小变化
解 刚体绕定轴做匀变速转动时，因为 an = rω 2 , aτ = r β ，而 β 为恒量，所以 ω = ω0 + β t ， 故 an = r ( ω0 + β t ) , aτ = r β 。可见： an 的大小变化， aτ 的大小保持恒定，本题答案为 C. 3-2 一飞轮以的角速度转动 300rad • min ，转动惯量为 5kg • m ，现施加一恒定的制动
大学物理 刚体汇总
都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动，该直线称 为转轴。 2、刚体的定轴转动
如果转轴是固定不动的，则刚体的转动称为定轴转动。 刚体的一般运动可看成刚体质心的平动与绕过质心的
轴的定轴转动的合运动。
3、描述刚体转动的物理量
转动平面：垂直于转动轴所作的平面
刚体重任一质点都在各自的转
动平面内作圆周运动，且具有相同
的角位移、角速度、角加速度。描
述刚体转动的物理量是角位移、角 速度、角加速度等。
转动平00面 θ
X
P
以刚体中的P点为例。 (1) 角位移
ω
开始时质点P在X轴，经t时间,
转过的角度为θ，θ即为角位移。
方向规定： 俯视转轴观察时，刚体
沿反时针方向转时时，θ为 正值；刚体沿顺时针方向转 动时，θ为负值。
合外力矩
M Firi sini
合内力矩
firi sini
刚体对OZ定轴的转动惯量 I miri2
以两质点为例
r1 f1 r2 f2 f1d f2d 0
r1
f1
内力中任一对作用力与反作用 力大小相等方向相反，则任一对作 用力与反作用力的力矩相加为零。
d r2
f2
合内力矩
与动量
P
mV
相似，动量矩是描述刚体绕定轴转动
状态的一个物理量。
二、 刚体冲量矩
冲量矩表示力矩在时间过程中的累积效应，是描述刚 体的转动状态发生改变的物理量。
冲量矩： 刚体所受合外力矩与力矩作用时间的乘积。
在dt时间元内，冲量矩为 Mdt
t2
在t1→t2时间内，冲量矩为 Mdt
米·牛顿·秒
t1
三、 角动量定理(动量矩定理)
0
如果转轴是固定不动的，则刚体的转动称为定轴转动。 刚体的一般运动可看成刚体质心的平动与绕过质心的
轴的定轴转动的合运动。
3、描述刚体转动的物理量
转动平面：垂直于转动轴所作的平面
刚体重任一质点都在各自的转
动平面内作圆周运动，且具有相同
的角位移、角速度、角加速度。描
述刚体转动的物理量是角位移、角 速度、角加速度等。
转动平00面 θ
X
P
以刚体中的P点为例。 (1) 角位移
ω
开始时质点P在X轴，经t时间,
转过的角度为θ，θ即为角位移。
方向规定： 俯视转轴观察时，刚体
沿反时针方向转时时，θ为 正值；刚体沿顺时针方向转 动时，θ为负值。
合外力矩
M Firi sini
合内力矩
firi sini
刚体对OZ定轴的转动惯量 I miri2
以两质点为例
r1 f1 r2 f2 f1d f2d 0
r1
f1
内力中任一对作用力与反作用 力大小相等方向相反，则任一对作 用力与反作用力的力矩相加为零。
d r2
f2
合内力矩
与动量
P
mV
相似，动量矩是描述刚体绕定轴转动
状态的一个物理量。
二、 刚体冲量矩
冲量矩表示力矩在时间过程中的累积效应，是描述刚 体的转动状态发生改变的物理量。
冲量矩： 刚体所受合外力矩与力矩作用时间的乘积。
在dt时间元内，冲量矩为 Mdt
t2
在t1→t2时间内，冲量矩为 Mdt
米·牛顿·秒
t1
三、 角动量定理(动量矩定理)
0
《大学物理》第三章 刚体的定轴转动
P
t
=
1 2
ω J 2 自
t
=
ω J 2 自 2P
=
2×105× (30π)
2×736×103
2
=
1.21×103s
(2) ω进 = 1度 秒 = 0.0175rad/s
ω进 =
M
Jω自
M = Jω进ω自
M = 2×105×0.0175×30π= 3.3×105 N返回.m退出
3-14 在如图所示的回转仪中，转盘的 质量为 0.15kg , 绕其轴线的转动惯量为： 1.50×10-4 kg.m2 ,架子的质量为 0.03kg, 由转盘与架子组成的系统被支持在一个支柱 的尖端O，尖端O到转盘中心的距离为0.04 m , 当转盘以一定角速度ω 绕其轴旋转时， 它便在水平面内以1/6 rev/s的转速进动。
为25cm，轴的一端 A用一根链条挂起，如
果原来轴在水平位置，并使轮子以ω自=12 rad／s的角速度旋转，方向如图所示，求：
（1）该轮自转的角动量；
（2）作用于轴上的外力矩；
（3）系统的进动角速度， ω
并判断进动方向。
AO
B
R
l 返回 退出
解：
(1)
J
=
m
R
2
回
=
5×(0.25 )2
ω
= 0.313 kg.m2
a
=
m
1+
m m
1g 2+
J
r2
T1 =
m 1g (m 2+ J m 1+m 2 + J
r 2) r2
T2 =
m 1m 2g m 1+m 2 + J
大学物理第三章 刚体总结
M rF
M
rF sin(r,
F)
rF
sin
r
sin F
6、刚体绕定轴的转动定律
M J J d 类比
dt
F maΒιβλιοθήκη 7、 定轴转动刚体的角动量定理
M J J d d(J) d L
dt dt dt
8、定轴转动刚体的角动量守恒定律
当M合外 0时，L J 常量
刚体 总结
刚体（形状、大小不能忽略）
1、刚体（理想模型）
刚体平动运动特点：
1）刚体中所有质点的位移、速度和加速度都相同。 2）研究刚体内任何一个质点的运动，都可代表其它质点的运动，也代
表整个刚体的运动。
定轴转动特点：
绕同一转轴转动的质点，角位移，角速度和角加速度均相同。
2、角速度 矢量
右手螺旋定则：
右手的四指沿刚体的转动方向弯曲，大
拇指方向为 方向
ω
Z轴 v
r
例：已知转速n=1500r/min，求角速度
解：=21500/60=50 rad/s
3、 转动惯量,角动量,转动动能
刚体绕定轴的转动惯量
n
J miri2 J r2dm 类比
i1
m
刚体绕定轴的角动量
Lz J
类比
刚体的转动动能
m惯性质量
P mv动量
Ek
1 2
J 2
类比
1 mv2动能
2
4、影响转动惯量大小的因素
1) 转轴的位置。 2）刚体总质量
3）跟质量分布相关
常用的几个转动惯量
均匀圆环： Jc mr2
均匀圆盘：
Jc
1 2
mr2
均匀细杆：
Jc
大学物理——第3章-角动量定理和刚体的转动
M
α
I
有何联系?
13
实验指出,定轴转动的刚体的角加速度 α与刚体所受的合外 力矩 M 成正比,与刚体的转动惯量 I 成反比.
v dω v M = Iα = I dt
v
定轴转动定理
v v F = ma
定轴转动定律在转动问题中的地 位相当于平动时的牛顿第二定律
应用转动定理解题步骤与牛顿第二定律时完全相同.
1 1 2 2 2 Eki = miυi = mi ri ω 2 2
质点质量 整个刚体的动能:
N
圆周运动的速率和半径
1 N 2 2 Ek = ∑Eki = (∑mi ri )ω 2 i=1 i=1
刚体对转轴的转动惯量:I
7
刚体定轴转动动能公式
物体的平动动能(质点动能)
1 2 Ek = Iω 2
角速度 ω 转动惯量 I 物体绕轴的转动惯性
λ :质量线密度 σ :质量面密度 ρ :质量体密度
10
I = ∫ r 2dm
单位: kg m2
转动惯量的大小取决于刚体的质量,质量分布及转轴的位置.
O
O l/2 O′
1 I= ml2 12
O
O O′
1 2 I = ml 3
r
O′
1 I = mr2 4
O′
1 I = mr2 2
11
平行轴
垂直轴
平行轴定理 质量为 m 的刚体,如果对其质心轴的转动惯量为 IC,则对任 一与该轴平行,相距为 d 的转轴的转动惯量:
2 θ 3Rω0 n= = 2π 16π g
26
讨论
用定轴转动的动能定理较之用转动定律求解, 省去了求角加速度,而直接求得,更为简捷.
理论力学第三章刚体力学
理论力学
电子科技大学物理电子学院 付传技
Em以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
1. 描写刚体位置的独立变量
质点3个变量
质点组3n个变量
确定刚体在空间的位置，需要几个变量？
B A
C 6个变量可以确定刚体位置
2. 刚体运动的分类 1）平动
平动的独立变量为三个
2）定轴转动
定轴转动的独立变量只有一个
世界最大的摩天轮——“伦敦眼”
3）平面平行运动
平面平行运动的独立变量有三个
4）定点转动
此时，有
3
e＝ a e （＝1, 2,3） ＝1
可以省去求和符号，默认对重复指标自动求和，
e＝a e 这种约定称为爱因斯坦约定。
用任意点的位矢点乘上式两端，得
x a x （＝1，2，3）
上式即是从空间系到本体系的坐标变换，可以
将它表示成矩阵形式：
x1 a11 a12 a13 x1
rˆ Aˆ rˆ Aˆ Aˆrˆ 因为rˆ是任意的，所以 Aˆ Aˆ＝1ˆ 1ˆ为单位阵，对调空间系和本体系的地位，可知上式 中Aˆ与Aˆ 的位置也可以交换，所以Aˆ是可逆的，逆阵与 逆变换相对应。
转动不改变位矢的长度，所以
rˆT rˆ ( Aˆ rˆ)T Aˆ rˆ rˆT ( AˆT Aˆ)rˆ rˆT rˆ
由rˆ的任意性可得 AˆT Aˆ＝1ˆ
这表明Aˆ的逆矩阵就是其转置。
这个结论还可以写成 Aˆ AˆT＝AˆT Aˆ＝1ˆ
或a a
电子科技大学物理电子学院 付传技
Em以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
1. 描写刚体位置的独立变量
质点3个变量
质点组3n个变量
确定刚体在空间的位置，需要几个变量？
B A
C 6个变量可以确定刚体位置
2. 刚体运动的分类 1）平动
平动的独立变量为三个
2）定轴转动
定轴转动的独立变量只有一个
世界最大的摩天轮——“伦敦眼”
3）平面平行运动
平面平行运动的独立变量有三个
4）定点转动
此时，有
3
e＝ a e （＝1, 2,3） ＝1
可以省去求和符号，默认对重复指标自动求和，
e＝a e 这种约定称为爱因斯坦约定。
用任意点的位矢点乘上式两端，得
x a x （＝1，2，3）
上式即是从空间系到本体系的坐标变换，可以
将它表示成矩阵形式：
x1 a11 a12 a13 x1
rˆ Aˆ rˆ Aˆ Aˆrˆ 因为rˆ是任意的，所以 Aˆ Aˆ＝1ˆ 1ˆ为单位阵，对调空间系和本体系的地位，可知上式 中Aˆ与Aˆ 的位置也可以交换，所以Aˆ是可逆的，逆阵与 逆变换相对应。
转动不改变位矢的长度，所以
rˆT rˆ ( Aˆ rˆ)T Aˆ rˆ rˆT ( AˆT Aˆ)rˆ rˆT rˆ
由rˆ的任意性可得 AˆT Aˆ＝1ˆ
这表明Aˆ的逆矩阵就是其转置。
这个结论还可以写成 Aˆ AˆT＝AˆT Aˆ＝1ˆ
或a a
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参考 方向 转动平面 转轴
逆时针为正，顺时针为负！！
定轴转动的刚体中,各质点的线量一般 不同，但角量都相同，描述刚体整体的 运动常用角量。
2. 角速度
角速度方向用右手螺旋法则确定。 定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向。
用正负号表示方向
3. 角加速度
角加速度方向与 相同。
加速转动
方向一致; 减速转动
一子弹质量为m，以水平速度0射入棒的下端而不复
出。求子弹和棒开始一起运动时角速度。
解：取棒和子弹为系统，碰撞过程时 间极短，在此过程中棒的位置基本不 变，所以重力和轴上支持力对O点的 力矩都为零，所以系统的角动量守恒：
注意:碰撞过程中轴 上有水平分力，所以 动量不守恒
角动量定义
L J
由角动量定理
O
S
m
答案：(A)
四、刚体的角动量和角动量守恒定律
1 刚体的角动量
z
刚体上某质元对轴的角动量为
刚体对轴的角动量为
O ri vi
mi
L J
2. 刚体的角动量定理
对于质点系
定轴转动刚体角动量对时间的变化率等于 其所受到的合外力矩。 若合外力矩持续作用，有
刚体所受的冲量矩
角动量的增量
3. 刚体的角动量守恒定律
J m 1 r12 m 2 r22 m 3 r32
J
m i ri2 r 2 dm
J r 2 dm V dm
mg l cos ( 1 ml 2 )
2
3
d
dt
d d
d
dt
d d
3 g cos
2l
d
3g cos d
0
0 2l
W力矩 Ek转动
3 g sin
物体运动的形式：平动、转动、振动等 刚体力学主要研究：刚体的转动
转动
一、刚体 ————力学模型
在任何外力作用下，形状、大小均不发生改变的物体。 或者说运动中物体上任二点的间距不变。
说明： 1. 理想模型； 2. 在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移； 3. 内力无穷大的特殊质点系。
二、刚体的运动
3. 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向， 所 以用正负号表示方向。
六、转动定律的应用
解题步骤： 1、确定转轴； 2、受力分析，并求得合力矩； 3、应用转动定律，求角加速度； 4、确定转动状态。
转动定理应用举例
N
例 一质量为M、半径为R的定滑轮(可看作
均匀圆盘)上绕有轻绳.绳的一端固定在轮边上，
l
d
dt
d
dt
d d
d
d
(
3 g sin ) 3 g cos
l
2l
E1 E2
E k转 E p 恒量 , Ep mghc 为质心处的势能
0
E k 2 ( mg
l sin )
2
1 ( 1 ml 2 ) 2 mg l sin
23
2
l sin 2
谢谢！！
转轴
转轴
瞬时转轴 固定转轴
非定轴转动 定轴转动
定轴转动的特点：转轴相对参照系固定，刚体内所有点都 具有相同的角量。
3. 刚体的自由运动
刚体的自由运动可分解为质心的平动及绕质心轴的转动。
质心：刚体的质量中心，当刚体不大或匀质对称时，质心和 重心重合。
三、描述刚体定轴转动的物理量 1. 角坐标和角位移
物体加速度与滑轮的角加速度间的关系为
a R
联立以上三式，可得物体加速度
物体速度 滑轮角速度
N
R
T Mg T
a h
复习
1. 刚体的角动量
L J
2. 刚体的角动量定理
刚体所受的冲量矩
角动量的增量
3. 刚体的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J 常量
复习
4. 刚体的转动定律
M J
(1). M J
另一端系一质量为m的物体.忽略轮轴处的摩擦 力，求物体由静止下落高度h时的速度v和滑轮 的角速度ω。
解：分别取滑轮和物体为隔离体，受力分析 如图所示。
R
T
Mg T
a
对滑轮，由转动定理得
h
M RT J 1 MR2
2
对滑轮，由转动定理得
M RT J 1 MR2
2
对物体，由牛顿第二定律，得 mg T ma
方向相反
4. 角量与线量的关系
s r
o
刚体作匀变速转动公式:
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v 0 at
0
t
x
Hale Waihona Puke x0v0t1 2
at
2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02
2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0
)
四、刚体的角动量和角动量守恒定律
1 刚体的角动量
z
刚体上某质元对轴的角动量为
l / 2
3 l / 2 12
J A
x 2dm l x 2dx 1 ml 2
0
3
JA
JC
1 ml 2 3
1 ml 2 12
1 ml 2 4
m( l )2 2
md 2
（
J
J1
J2
1 2
MR2
3 2
mr 2
1 2
M (2r)2
3 2
mr 2
随堂练习22
P
Q
R
4m
3m
2m
PQ = QR = RS =l
M J
刚体绕固定轴转动时，所获得的角加速度的大小与其 所受到的合外力矩成正比，与转动惯量成反比；角加速度 的方向与合外力矩的方向一致.这就是定轴转动刚体的 转动定理.
说明
M J
1.
M J
与
F
ma
地位相当，m反映质
点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。
2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原 因。
1. 刚体的平动
若刚体中所有点的运动 轨迹都保持完全相同，或者 说刚体在运动中，其上任意 两点的连线始终保持平行， 则称刚体作平动。
特点：在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度 都相同，所以当刚体作平动时，可用其中一点的运动代表 整体的运动，即可视为一质点运动。
2. 刚体的转动
当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作 转动，该直线称转轴。
与
F
ma
地位相当，m反映
质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。
(2). 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的 原因。
(3). 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方 向，所 以用正负号表示方向。
复习
M
r
F
rF sin
向r至, 且F在的右手r螺与旋F方组 成的平面内。
复习
J m i ri2
若 M 0 ，则 L J 常量
讨论
1 对于质点和刚体，角动量守恒
ω
意味着角速度 ω不变。
2 对一般物体，J ω=常量，J与ω
成反比。如芭蕾舞演员、花样滑冰
运动员做原地快速旋转动作时；
天体系统盘状结构的形成。
O
补例1、一根长为l，质量为M的均匀细直棒，其
一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有
刚体对轴的角动量为
O ri vi
mi
L J
J m i ri2
J m 1 r12 m 2 r22 m 3 r32
J
m i ri2 r 2 dm
J r 2 dm V dm
J r 2 dm V dm
Jc
x 2dm l / 2 x 2dx x 3 l / 2 1 ml 2
逆时针为正，顺时针为负！！
定轴转动的刚体中,各质点的线量一般 不同，但角量都相同，描述刚体整体的 运动常用角量。
2. 角速度
角速度方向用右手螺旋法则确定。 定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向。
用正负号表示方向
3. 角加速度
角加速度方向与 相同。
加速转动
方向一致; 减速转动
一子弹质量为m，以水平速度0射入棒的下端而不复
出。求子弹和棒开始一起运动时角速度。
解：取棒和子弹为系统，碰撞过程时 间极短，在此过程中棒的位置基本不 变，所以重力和轴上支持力对O点的 力矩都为零，所以系统的角动量守恒：
注意:碰撞过程中轴 上有水平分力，所以 动量不守恒
角动量定义
L J
由角动量定理
O
S
m
答案：(A)
四、刚体的角动量和角动量守恒定律
1 刚体的角动量
z
刚体上某质元对轴的角动量为
刚体对轴的角动量为
O ri vi
mi
L J
2. 刚体的角动量定理
对于质点系
定轴转动刚体角动量对时间的变化率等于 其所受到的合外力矩。 若合外力矩持续作用，有
刚体所受的冲量矩
角动量的增量
3. 刚体的角动量守恒定律
J m 1 r12 m 2 r22 m 3 r32
J
m i ri2 r 2 dm
J r 2 dm V dm
mg l cos ( 1 ml 2 )
2
3
d
dt
d d
d
dt
d d
3 g cos
2l
d
3g cos d
0
0 2l
W力矩 Ek转动
3 g sin
物体运动的形式：平动、转动、振动等 刚体力学主要研究：刚体的转动
转动
一、刚体 ————力学模型
在任何外力作用下，形状、大小均不发生改变的物体。 或者说运动中物体上任二点的间距不变。
说明： 1. 理想模型； 2. 在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移； 3. 内力无穷大的特殊质点系。
二、刚体的运动
3. 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向， 所 以用正负号表示方向。
六、转动定律的应用
解题步骤： 1、确定转轴； 2、受力分析，并求得合力矩； 3、应用转动定律，求角加速度； 4、确定转动状态。
转动定理应用举例
N
例 一质量为M、半径为R的定滑轮(可看作
均匀圆盘)上绕有轻绳.绳的一端固定在轮边上，
l
d
dt
d
dt
d d
d
d
(
3 g sin ) 3 g cos
l
2l
E1 E2
E k转 E p 恒量 , Ep mghc 为质心处的势能
0
E k 2 ( mg
l sin )
2
1 ( 1 ml 2 ) 2 mg l sin
23
2
l sin 2
谢谢！！
转轴
转轴
瞬时转轴 固定转轴
非定轴转动 定轴转动
定轴转动的特点：转轴相对参照系固定，刚体内所有点都 具有相同的角量。
3. 刚体的自由运动
刚体的自由运动可分解为质心的平动及绕质心轴的转动。
质心：刚体的质量中心，当刚体不大或匀质对称时，质心和 重心重合。
三、描述刚体定轴转动的物理量 1. 角坐标和角位移
物体加速度与滑轮的角加速度间的关系为
a R
联立以上三式，可得物体加速度
物体速度 滑轮角速度
N
R
T Mg T
a h
复习
1. 刚体的角动量
L J
2. 刚体的角动量定理
刚体所受的冲量矩
角动量的增量
3. 刚体的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J 常量
复习
4. 刚体的转动定律
M J
(1). M J
另一端系一质量为m的物体.忽略轮轴处的摩擦 力，求物体由静止下落高度h时的速度v和滑轮 的角速度ω。
解：分别取滑轮和物体为隔离体，受力分析 如图所示。
R
T
Mg T
a
对滑轮，由转动定理得
h
M RT J 1 MR2
2
对滑轮，由转动定理得
M RT J 1 MR2
2
对物体，由牛顿第二定律，得 mg T ma
方向相反
4. 角量与线量的关系
s r
o
刚体作匀变速转动公式:
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v 0 at
0
t
x
Hale Waihona Puke x0v0t1 2
at
2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02
2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0
)
四、刚体的角动量和角动量守恒定律
1 刚体的角动量
z
刚体上某质元对轴的角动量为
l / 2
3 l / 2 12
J A
x 2dm l x 2dx 1 ml 2
0
3
JA
JC
1 ml 2 3
1 ml 2 12
1 ml 2 4
m( l )2 2
md 2
（
J
J1
J2
1 2
MR2
3 2
mr 2
1 2
M (2r)2
3 2
mr 2
随堂练习22
P
Q
R
4m
3m
2m
PQ = QR = RS =l
M J
刚体绕固定轴转动时，所获得的角加速度的大小与其 所受到的合外力矩成正比，与转动惯量成反比；角加速度 的方向与合外力矩的方向一致.这就是定轴转动刚体的 转动定理.
说明
M J
1.
M J
与
F
ma
地位相当，m反映质
点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。
2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原 因。
1. 刚体的平动
若刚体中所有点的运动 轨迹都保持完全相同，或者 说刚体在运动中，其上任意 两点的连线始终保持平行， 则称刚体作平动。
特点：在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度 都相同，所以当刚体作平动时，可用其中一点的运动代表 整体的运动，即可视为一质点运动。
2. 刚体的转动
当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作 转动，该直线称转轴。
与
F
ma
地位相当，m反映
质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。
(2). 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的 原因。
(3). 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方 向，所 以用正负号表示方向。
复习
M
r
F
rF sin
向r至, 且F在的右手r螺与旋F方组 成的平面内。
复习
J m i ri2
若 M 0 ，则 L J 常量
讨论
1 对于质点和刚体，角动量守恒
ω
意味着角速度 ω不变。
2 对一般物体，J ω=常量，J与ω
成反比。如芭蕾舞演员、花样滑冰
运动员做原地快速旋转动作时；
天体系统盘状结构的形成。
O
补例1、一根长为l，质量为M的均匀细直棒，其
一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有
刚体对轴的角动量为
O ri vi
mi
L J
J m i ri2
J m 1 r12 m 2 r22 m 3 r32
J
m i ri2 r 2 dm
J r 2 dm V dm
J r 2 dm V dm
Jc
x 2dm l / 2 x 2dx x 3 l / 2 1 ml 2