人教A版《集合论的进一步发展与完善》PPT公开课课件1
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高中数学新教材《1.1 集合的概念》公开课优秀课件(好用)
①确定性：集合中的元素必须是确定的。即确定了一 个集合，任何一个元素是不是这个集合的 元素也就确定了。 (具有某种属性)
高一级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班 的同学，b是高二(7)班的同学，那么a与A，b与A之 间各自有什么关系？
四、集合的表示
立德树人 和谐发展
例1、用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合； (3)由1~20以内既能被2整除，又能被3整除的所有自 然数组成的集合.
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程 x2 x的所有实数根组成的集合；
（3）由1～10以内的所有质数组成的集合．
思考？
立德树人 和谐发展
（1）你能用自然语言描述集合｛2，4，6，8｝吗？
（2）你能用列举法表示不等式 x 7 3 的解集吗？
（2）描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
四、集合的表示
立德树人 和谐发展
描述法
列举法
A={x R | x2 2=0 } B={x Z | 10<x<20 } C={x | x=2n，n N }
A { 2， 2}
B={11,12,13,14,15,16,17,18,19 }
有限集通常用列举法来表示 无限集通常用描述法来表示
六、小结归纳
（1）方程x2 2 0 的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有2 0的实数根为 x ，并且满足条件
x2 2 0 ，因此，用描述法表示为
A x R | x2 2 0
方程 x2 2 0有两个实数根 2, 2，因此，用列举法表
人教A版高中数学必修第一册 1.1.1集合的概念公开课课件(最新、好用、值得收藏)
集合与元素
例1 下列语句能确定集合的是（__2_）_（__3_）_．(只填序号) （1）著名的数学家； （2）平面直角坐标系中第三象限的所有点； （3）2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目； （4）接近0的所有实数．
[解析]（1）不能，“著名”没有明确的标准； （2）能，因为第三象限的点是确定的； （3）能，因为奥运会比赛项目是确定的； （4）不能，“接近”没有明确标准． 综上，能确定集合的是（2）和（3）．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 显然①④可以构成集合．故选B.
练习2 已知集合A是方程x²+px+q=0的解组成的集合， 若-1∈A且2∈A，求p、q的值．
[解思法路二引：导由] 题判意断得一，个-1元,2素是是方某程个x²+集px合+q的＝元0的素两的根条，件是什么？ [由解韦]∵达A定是理方可程知x²+px-1++q2==的-p解，组成的集合，且-1∈A,2∈A， ∴-1,p2=是-1方，程x²+px+(-q1=)x02的=q两，根． 得 （q=--12）. ²-p+q=0， p=-1 ∴∴p的2²值+2为p-+1q，=0q，的值得为-2.q=-2 ∴p的值为-1，q的值为-2. [想一想] 还有其他方法吗？
导入
看下面的例子： （1）1~10之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线l的距离等于定长d的所有点； （5）方程x²-3x+2=0的所有实数根； 1，2 （6）地球上的四大洋；太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋
例（1）中，我们把1~10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全 体就是一个集合；同样地，例（2）中，把立德中学今年入学的每一 位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合．
《集合论进一步的发展和完善》课件-优质公开课-人教A版选修3-1精品
得证( A B) C A ( B C)
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四、对称差分运算
例如 设A={a,b,c}, B={c,d,f}, C={b,e}
那么 A B {a, b, c, d , f } A C {a, b, c, e} B C {b, c, d , e, f }
A
B
可以看出 A A B, B A B
A B
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二、集合的并
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关于交集、并集的例子
老师讲完交集、并集的概念之后，提问学生： （1）设A={x│x是参加百米赛跑的同学}， B={x│x是参加跳高比赛的同学}，求A∩B． （2）设A={x│x是红星农场的汽车}，B={x│x是 红星农场的拖拉机}，求A∪B．
一学生答道： （1）中A∩B={x│x是参加百米障碍赛的同学}． （2）中A∪B={x│x是红星农场的联合收割机}．
集合的差分运算还具有如下性质：
(a ) ~ (~ A) A (b) ~ E (c) A ~ A E (d ) A ~ A
~A
A
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三、差分运算（集合的补）
定理3.2-4：设A,B为任意两个集合，则下列关系式 成立。
(a) ~ ( A B) ~ A ~ B (b) ~ ( A B) ~ A ~ B
由于 (~ A B) ( A ~ B) C ((~ A B ) A) ((~ A B ) ~ B ) C ((~ A A) ( A B ) (~ A ~ B) ( B ~ B)) C ( ( A B) (~ A ~ B) ) C ( A B C ) (~ A ~ B C )
证明：(a) ~ ( A B) {x | x ~ ( A B)} {x | x A B} {x | x A B} {x | ( x A x B)} {x | x A x B} {x | x ~ A x ~ B} {x | x ~ A ~ B} ~ A ~ B
人教a版高中数学选修3-1-8.3 集合论的进一步发展与完善-课件(共14张ppt)
集合论的进一步发展与完善
集合论悖论
• 罗素悖论（1902） • 集合分成两类：
集合是它本身的元素， 称为“非正常集合”； 集合不是它本身的元素， 称为“正常集合”。 • 设“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。” 问： “Ｒ包含不包含Ｒ自身？”
集合论悖论
理发师悖论（1918） • “在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：
——G.Cantor
集合论的历史地位
• 康托创立的超穷集合论赋予实无穷的观念以数学 内容，为抽象集合论奠定了基础，并为微积分的 基本原理和实数连续统的分析作出了重大贡献。 • 康托的最引人注目的成就是从数学上严密地证明 了“无穷”并不是铁板一块的不可分的概念。并 非所有的无穷集合都具有相同的大小，因而它们 之间是可以互相比较的。
“我只给村里所有那些不给自己理发的人理 发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发 师顿时无言以对。
有关集合论的争论
克罗内克（Kronecker ） • 他在许多场合大骂康托是“败类、臭虫”，“我 们科学的敌人”。他对外尔斯特拉斯的学生柯瓦 列夫斯卡娅（1850～1891）说，康托的集合论同 任何一门数学毫无共同之处，同另外一些人说康 托的集合论空洞无物。
• 如今，“集合”这个词已经成为数学中最重要和 最基本的术语之一，大部分数学的相容性已经被
奠基于集合论的相容性之上，集合论在某种意义
上已经成为整个数学最坚实的基础。
悖论的解决和集合论的发展
• 所有的人都渴望能解决悖论的问题以重建先前对 数学相容性、严格性和确定性的信念，但他们为 达到这一目标所选择的道路则是很不相同的。 • 20世纪初
• 1908年他又说：“今后的几代人来源于人的直觉，而数学的确定性仅限 于有限论证的严格界限内，要证明什么东西存在， 那就要具体造出来。
集合论悖论
• 罗素悖论（1902） • 集合分成两类：
集合是它本身的元素， 称为“非正常集合”； 集合不是它本身的元素， 称为“正常集合”。 • 设“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。” 问： “Ｒ包含不包含Ｒ自身？”
集合论悖论
理发师悖论（1918） • “在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：
——G.Cantor
集合论的历史地位
• 康托创立的超穷集合论赋予实无穷的观念以数学 内容，为抽象集合论奠定了基础，并为微积分的 基本原理和实数连续统的分析作出了重大贡献。 • 康托的最引人注目的成就是从数学上严密地证明 了“无穷”并不是铁板一块的不可分的概念。并 非所有的无穷集合都具有相同的大小，因而它们 之间是可以互相比较的。
“我只给村里所有那些不给自己理发的人理 发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发 师顿时无言以对。
有关集合论的争论
克罗内克（Kronecker ） • 他在许多场合大骂康托是“败类、臭虫”，“我 们科学的敌人”。他对外尔斯特拉斯的学生柯瓦 列夫斯卡娅（1850～1891）说，康托的集合论同 任何一门数学毫无共同之处，同另外一些人说康 托的集合论空洞无物。
• 如今，“集合”这个词已经成为数学中最重要和 最基本的术语之一，大部分数学的相容性已经被
奠基于集合论的相容性之上，集合论在某种意义
上已经成为整个数学最坚实的基础。
悖论的解决和集合论的发展
• 所有的人都渴望能解决悖论的问题以重建先前对 数学相容性、严格性和确定性的信念，但他们为 达到这一目标所选择的道路则是很不相同的。 • 20世纪初
• 1908年他又说：“今后的几代人来源于人的直觉，而数学的确定性仅限 于有限论证的严格界限内，要证明什么东西存在， 那就要具体造出来。
集合论完整课件PPT
对称差 AB = (AB)(BA)
绝对补 A = EA
2021/3/10
7
2．文氏图表示
A
B
A
B
AB
AB
A
B
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AB
图2
A
B
A–B
B A
~A
8
3．几点说明： 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即 A1A2…An = {x|xA1xA2…xAn} A1A2…An = {x|xA1xA2…xAn} AB A A B AB = （后面证明） AB = AB = A
第二部分 集合论
一、本部分的主要内容 集合代数----集合的概念和基本运算 关系----二元关系的表示、运算、性质、特殊的关系 函数----函数定义、性质、运算
二、本部分的基本要求 掌握集合及其相关的基本概念 熟练掌握集合以及关系、函数的基本运算 了解和使用基本的证明方法
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第六章 集合代数
| ABC |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
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第三节 集合恒等式
一、集合算律 1．只涉及一个运算的算律
交换 结合 幂等
AB=BA (AB)C=A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C=A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C=A(BC)
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命题演算证明法的书写规范 (以下的 X 和 Y 代表集合公式) （1）证 XY
1in
1i jn
|
A i
Aj
Ak
|
人教版高中数学选修3-1数学史选讲《集合论的进一步发展与完善》
这样不管从哪个假定出发都会推出矛盾的结果，这就是一个悖论。
罗素悖论
康托尔定理：任意集合的所有子集构成的集合（即 幂集）的元素个数大于原来集合的元素个数。
考虑“所有集合构成的集合”的元素个数，这个集 合是最大的集合，因为任何集合都只能与它的一个子 集对等，所以它具有最大的基数，但康托尔定理，它 的所有子集构成的集合，应该具有更大的基数
消除悖论的初步成功
后来经过许多人，特别是德国数学家弗兰克尔 和挪威数学家斯科朗的修改和完善，成为了比较严 格的形式化公理体系。改造后的公理集合论通常成 为ZF或者ZFS系统。
ZF系统的无矛盾性保证了数学的无矛盾性。但是， ZF系统自身的无矛盾性并没有得到证明，所以还不 能保证它永远不会出现悖论。因此庞加莱形象地评 论到：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来，但却 不知道圈内有没有狼。”
集合论的进一步发展与完善
在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这 一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度 的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立 起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数 学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。 1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的。 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论 使集合论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合 论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与 逻辑学界内引起了极大震动。这就是数学史上的第三次危机。 德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付 印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很 久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著 作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在 他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
罗素悖论
康托尔定理：任意集合的所有子集构成的集合（即 幂集）的元素个数大于原来集合的元素个数。
考虑“所有集合构成的集合”的元素个数，这个集 合是最大的集合，因为任何集合都只能与它的一个子 集对等，所以它具有最大的基数，但康托尔定理，它 的所有子集构成的集合，应该具有更大的基数
消除悖论的初步成功
后来经过许多人，特别是德国数学家弗兰克尔 和挪威数学家斯科朗的修改和完善，成为了比较严 格的形式化公理体系。改造后的公理集合论通常成 为ZF或者ZFS系统。
ZF系统的无矛盾性保证了数学的无矛盾性。但是， ZF系统自身的无矛盾性并没有得到证明，所以还不 能保证它永远不会出现悖论。因此庞加莱形象地评 论到：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来，但却 不知道圈内有没有狼。”
集合论的进一步发展与完善
在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这 一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度 的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立 起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数 学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。 1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的。 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论 使集合论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合 论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与 逻辑学界内引起了极大震动。这就是数学史上的第三次危机。 德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付 印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很 久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著 作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在 他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
人教A版必修第一册1.1集合的概念课件(1)
a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.
如何用符号表示a，b与集合A之间的关系?
3.元素a与集合A的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A ；
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
03
学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其
记法：
常用的数集 自然数集
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
01
结构导图
第一章内容
知识框图
导
02
引
问题情境
情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:
许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语
言，是一种工具。集合的知识是现代数学的基础。
康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国数学家，集
举法表示
描述法
把集合中元素所具有的
性质描述出来，具有抽
象性、概括性、普遍性
的特点
不易看出集合的具体元素
课堂总结
今天学习了哪些新知识？新方法？
05
1．集合的概念;
2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性；
3．数集及有关符号；
4. 集合的表示方法.
5. 元素与集合的关系.。
结
05
结构再望
学完了集合的含义、接下来我们将要学习什么呢？
（1） 集合中的元素都小于10.
（2） 集合中的元素都是实数．
描述法
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，
写作:
x R
x 10.
{ x I | p( x )}
代表元素
取值范围
如何用符号表示a，b与集合A之间的关系?
3.元素a与集合A的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A ；
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
03
学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其
记法：
常用的数集 自然数集
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
01
结构导图
第一章内容
知识框图
导
02
引
问题情境
情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:
许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语
言，是一种工具。集合的知识是现代数学的基础。
康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国数学家，集
举法表示
描述法
把集合中元素所具有的
性质描述出来，具有抽
象性、概括性、普遍性
的特点
不易看出集合的具体元素
课堂总结
今天学习了哪些新知识？新方法？
05
1．集合的概念;
2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性；
3．数集及有关符号；
4. 集合的表示方法.
5. 元素与集合的关系.。
结
05
结构再望
学完了集合的含义、接下来我们将要学习什么呢？
（1） 集合中的元素都小于10.
（2） 集合中的元素都是实数．
描述法
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，
写作:
x R
x 10.
{ x I | p( x )}
代表元素
取值范围
1.1集合的概念第一课时课件高一上学期数学人教A版(1)
内心和外心，则P U，Q U.（填“∈”或“ ∉”）
之
数分
U是以C为圆心、以2为半径的圆内(含边界)的点
形 结 合
的集合(点集). 由已知及图形分析得：CP=
析
CQ=2.5>2, 故P ∈ U、Q ∉ U.
<2，
方 点集问题解决策略：数形结合 法 1）将条件中的符号语言翻译成文字语言和图形语言； 总 2）结合图形，确定点集对应的区域； 结 3）点与点集的关系，取决于点到关键点或线的距离.
问题1：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？
高一学生全体
高一学生的全体构成一个集合，下面我们就具体地研究集 合的相关知识.
抽象概念，内涵辨析
上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形 成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.
新知1：元素与集合的概念
1. 元素：一般把研究对象统称为元素，元素可为数、 点、函数等，
养
(2) A能否只包含一个元素？为什么？
之
数
据 分 析
分 析
不能! 因为方程a=
4
2-a
无实数解.
+
逻
辑
递
方
推 法 这里将元素个数问题转化为方程是否有解的问题．
总 结
用到了方程思想．
问 变题 设A是一些实数组成的集合，若a∈A，则
核
心 素
题
a∈N , 且 ∈Z. 则A中元素最5多有 5 个.
养
之
先定量判断：-4≤2-a≤4 且 a≥0
Q
含义 全体实数
非负整数(含0)
大于0的整数 (不含0) 全体整数 (正/负/0)
全体有理数 (整数/分数)
N*
之
数分
U是以C为圆心、以2为半径的圆内(含边界)的点
形 结 合
的集合(点集). 由已知及图形分析得：CP=
析
CQ=2.5>2, 故P ∈ U、Q ∉ U.
<2，
方 点集问题解决策略：数形结合 法 1）将条件中的符号语言翻译成文字语言和图形语言； 总 2）结合图形，确定点集对应的区域； 结 3）点与点集的关系，取决于点到关键点或线的距离.
问题1：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？
高一学生全体
高一学生的全体构成一个集合，下面我们就具体地研究集 合的相关知识.
抽象概念，内涵辨析
上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形 成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.
新知1：元素与集合的概念
1. 元素：一般把研究对象统称为元素，元素可为数、 点、函数等，
养
(2) A能否只包含一个元素？为什么？
之
数
据 分 析
分 析
不能! 因为方程a=
4
2-a
无实数解.
+
逻
辑
递
方
推 法 这里将元素个数问题转化为方程是否有解的问题．
总 结
用到了方程思想．
问 变题 设A是一些实数组成的集合，若a∈A，则
核
心 素
题
a∈N , 且 ∈Z. 则A中元素最5多有 5 个.
养
之
先定量判断：-4≤2-a≤4 且 a≥0
Q
含义 全体实数
非负整数(含0)
大于0的整数 (不含0) 全体整数 (正/负/0)
全体有理数 (整数/分数)
N*
人教A版高中数学必修第一册集合的含义课件PPT
集合中元素的三个特性
确定性 无序性 互异性
人教A版（2019）高中数学必修第一册 1.1.1 集合的 含义课 件(共24 张PPT)
集合中元素是确定的，即对任何一个对象， 它是或不是某个集合的元素是确定的，且 二者必居其一.
确定性是判断一组对象能否构成集合的标准. 集合中的元素没有前后顺序.
主要用来判断两集合是否相等
共同特点：都指“所有”，即研究对象的全体.
②上述每个问题中的研究对象分别是什么？
③我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？
人教A版（2019）高中数学必修第一册 1.1.1 集合的 含义课 件(共24 张PPT)
一、探究新知
（一）概念
元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。 集合：把一些元素组成的总体叫集合（集）。
若 a2 4 3 ，则a 1 或 a 1 （舍去） ， 当 a 1 时，A中有三个元素-2，1，-3 ，满足元素的互异性 a 0 或 a 1
练习3、
已知集合 A 中含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A， 则实数 a 的值为________．
【解析】 若 1∈A，则 a＝1 或 a2＝1， 即 a＝±1. 当 a＝1 时，集合 A 中有重复元素， 所以 a≠1； 当 a＝－1 时，集合 A 含有两个元素 1，－1，符合元素的互异 性，所以 a＝－1. 【答案】 －1
练习2、
已知集合 A 含有三个元素 a－3，2a－1，a2－4，
若－3∈A，求实数 a.
思考：-3与三个元素 存在怎样的关系？
解：若 a 3 3 ，则 a 0 ，此时A中有三个元素-3，-1,-4 ，满足元素的互异性
若 2a 1 3 ，则 a 1 ，此时A中有元素-3重复 ，不满足元素的互异性
确定性 无序性 互异性
人教A版（2019）高中数学必修第一册 1.1.1 集合的 含义课 件(共24 张PPT)
集合中元素是确定的，即对任何一个对象， 它是或不是某个集合的元素是确定的，且 二者必居其一.
确定性是判断一组对象能否构成集合的标准. 集合中的元素没有前后顺序.
主要用来判断两集合是否相等
共同特点：都指“所有”，即研究对象的全体.
②上述每个问题中的研究对象分别是什么？
③我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？
人教A版（2019）高中数学必修第一册 1.1.1 集合的 含义课 件(共24 张PPT)
一、探究新知
（一）概念
元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。 集合：把一些元素组成的总体叫集合（集）。
若 a2 4 3 ，则a 1 或 a 1 （舍去） ， 当 a 1 时，A中有三个元素-2，1，-3 ，满足元素的互异性 a 0 或 a 1
练习3、
已知集合 A 中含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A， 则实数 a 的值为________．
【解析】 若 1∈A，则 a＝1 或 a2＝1， 即 a＝±1. 当 a＝1 时，集合 A 中有重复元素， 所以 a≠1； 当 a＝－1 时，集合 A 含有两个元素 1，－1，符合元素的互异 性，所以 a＝－1. 【答案】 －1
练习2、
已知集合 A 含有三个元素 a－3，2a－1，a2－4，
若－3∈A，求实数 a.
思考：-3与三个元素 存在怎样的关系？
解：若 a 3 3 ，则 a 0 ，此时A中有三个元素-3，-1,-4 ，满足元素的互异性
若 2a 1 3 ，则 a 1 ，此时A中有元素-3重复 ，不满足元素的互异性
数学人教A版《集合的概念》ppt专家课件1
数学人教A版《集合的概念》精品课件 1
数学人教A版《集合的概念》精品课件 1
1、你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗? 利用集合中元素所具有的共同特 征来描述
{x︱x<10}
不能
数学人教A版《集合的概念》精品课件 1
数学人教A版《集合的概念》精品课件 1
3、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件） 表示出来，写成{x︱p(x)}的形式
集合是数学的一个基本分支， 可以说，现代数学各个分支的几乎所 有成果都构筑在严格的集合理论上。 如果把现代数学比作一座无比辉煌的 大厦，那么可以说集合论正是构成这 座大厦的基石，由此可见它在数学中 的重要性。其创始人康托尔也以其集 合论的成就被誉为对下十世纪数学发 展影响最深的学者之一。
初中已接触过“集合”这一概念
数学人教A版《集合的概念》精品课件 1
问题3：一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、衬
衣、闹钟共计4个品种，第二批进货是MP4、皮鞋、水杯、 衬衣、台灯共计5个品种，问一共进了多少个品种的货？
结论:7种.对于一个给定的集合,集合中的元素一定 是不同的(或说是互异的)，相同的几个对象归于同 一个集合时只能算作一个元素.这体现了集合中元
1数.1学集人合教的A版概《念-集【合新的教概材念】》人精教品A版 课（ 件 21019） 高中数 学必修 第一册 课件
29
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作业：5页，复习巩固第1 34页，复习巩固第1
思考题: 若{2，x，y}={2，2x，y2}， 求x,y的值。
思考：上述6个问题的共同特征是什么？
数学人教A版《集合的概念》精品课件 1
1、你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗? 利用集合中元素所具有的共同特 征来描述
{x︱x<10}
不能
数学人教A版《集合的概念》精品课件 1
数学人教A版《集合的概念》精品课件 1
3、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件） 表示出来，写成{x︱p(x)}的形式
集合是数学的一个基本分支， 可以说，现代数学各个分支的几乎所 有成果都构筑在严格的集合理论上。 如果把现代数学比作一座无比辉煌的 大厦，那么可以说集合论正是构成这 座大厦的基石，由此可见它在数学中 的重要性。其创始人康托尔也以其集 合论的成就被誉为对下十世纪数学发 展影响最深的学者之一。
初中已接触过“集合”这一概念
数学人教A版《集合的概念》精品课件 1
问题3：一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、衬
衣、闹钟共计4个品种，第二批进货是MP4、皮鞋、水杯、 衬衣、台灯共计5个品种，问一共进了多少个品种的货？
结论:7种.对于一个给定的集合,集合中的元素一定 是不同的(或说是互异的)，相同的几个对象归于同 一个集合时只能算作一个元素.这体现了集合中元
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1数.1学集人合教的A版概《念-集【合新的教概材念】》人精教品A版 课（ 件 21019） 高中数 学必修 第一册 课件
作业：5页，复习巩固第1 34页，复习巩固第1
思考题: 若{2，x，y}={2，2x，y2}， 求x,y的值。
思考：上述6个问题的共同特征是什么？
人教A版必修第一册1.1集合的概念课件
（1）小于10的所有自然数组成的集合.
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.
（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.
新知探索3 集合的表示方法有哪些？
思
问题6 不等式 − < 的解该如何表示？
呢？
议、展、评下列的3组例子，每一组的两个例子都是集合吗？为什么？
并总结出集合中元素的性质。
定
序
性
第一组：
第二组：
性
（1）立德中学今年入学的全体高一学生；
（1）集合 = {0,1,2}
（2）立德中学帅的高一学生。
（2）集合 = {2,1,0}
第三组：
（1）集合C= {0,1,2,4,7,9}
我们可以利用解集中元素的共同特征，即：是实数，且 < 10,把解集表示为
{ ∈ | < 10}.
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法{ ∈ |()}.
注：(1)先看竖线前的代表元素，明确研究的对象；再看竖线后的共同特征;
(2)若需要多层次描述属性，可选用“且”“或”连接；
可以，所有的正方形
可以，与平行的所有直线
可以，1，2
概念生成
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体
叫做集合（简称为集）.
我们通常用大写拉丁字母, , ,…表示集合
用小写拉丁字母, , ,…表示元素.
同时，元素可以是点，可以是人，也可以是问题！
追问：集合
中的元素有
怎样的特点
重点
理解集合相关的概念与性质
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.
（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.
新知探索3 集合的表示方法有哪些？
思
问题6 不等式 − < 的解该如何表示？
呢？
议、展、评下列的3组例子，每一组的两个例子都是集合吗？为什么？
并总结出集合中元素的性质。
定
序
性
第一组：
第二组：
性
（1）立德中学今年入学的全体高一学生；
（1）集合 = {0,1,2}
（2）立德中学帅的高一学生。
（2）集合 = {2,1,0}
第三组：
（1）集合C= {0,1,2,4,7,9}
我们可以利用解集中元素的共同特征，即：是实数，且 < 10,把解集表示为
{ ∈ | < 10}.
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法{ ∈ |()}.
注：(1)先看竖线前的代表元素，明确研究的对象；再看竖线后的共同特征;
(2)若需要多层次描述属性，可选用“且”“或”连接；
可以，所有的正方形
可以，与平行的所有直线
可以，1，2
概念生成
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体
叫做集合（简称为集）.
我们通常用大写拉丁字母, , ,…表示集合
用小写拉丁字母, , ,…表示元素.
同时，元素可以是点，可以是人，也可以是问题！
追问：集合
中的元素有
怎样的特点
重点
理解集合相关的概念与性质
人教版高中数学选修3-1第八讲 对无穷的深入思考 第三节 集合论的进一步发展和完善
解决悖论的意义
（1）从数学上看，悖论迫使人们从逻辑 和哲学的角度对数学基础问题重新进行了 全面而深入的研究 . （2）从哲学上看，人们在解决悖论的努力 中使自己的认识不断深化 .
课堂小结
罗素悖论的提出 . 罗素悖论与康托尔悖论的影响. 科学家们消除悖论的初步成功.
随堂练习
1900年前后,在数学的集合论中出现了三个 著名悖论，（理发师悖论）就是罗素悖论的一 种通俗表达方式.此外还有（ 康托尔悖论 ）、 布拉利—福尔蒂悖论 .
难点
罗素悖论的定义.
内容解析
罗素简介
伯特兰•罗素（Bertrand Russell，1872-1970）系第三代 罗素伯爵是二十世纪英国哲学 家、数学家、逻辑学家、历史 学家，无神论或者不可知论者， 也是上世纪西方最著名、影响 最大的学者和和平主义社会活 动家.
1950年，罗素获得诺贝尔 文学奖.
想想会有什么原则
“这些原则必须足够狭窄，以保证 排除一切矛盾；另一方面又必须充分广 阔，使康托尔集合论中一切有价值的内 容得以保存下来.”
综上所述，解决这一悖论在本质上存在 两种选择：the Zermelo-Fraenkel alternative 和 the von Neumann-Bernays alternative .
1919年，罗素为他的悖论发表了一个 通俗版，这就是著名的“理发师悖论”. “理发师悖论”就是罗素悖论的一种 通俗表达方式. 你听说过吗？
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样
写的：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸”.
可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡 子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给
数学家的努力
1908年，德国数学家策梅罗（Ernst Zermelo，1871—1953）在自己这一原则基 础上提出第一个公理化集合论体系，后来这 一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔 朴素集合论的缺陷 .
高中数学新人教版A版精品学案《集合论的进一步发展与完善》
集合论的进一步发展与完善【学习目标】1．了解无穷集合论的进一步发展和完善的过程。
2．进一步理解集合论的内涵3．激发自我的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度。
【学习重难点】重点：了解集合论的进一步发展和完善的过程难点：理解集合论完善的过程中的各个科学家的贡献。
【学习过程】一、新课学习1．罗素悖论（1）1901年，罗素提出了一个悖论：________________________________________________________________________。
（2）1895年，康托尔发现过一个悖论：_______________________________________________________________________________________________________________。
（3）1919年，罗素为他的悖论发表了一个通俗版，这就是著名的“理发师悖论”，其内容是___________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
2．消除悖论的初步成功（1）消除悖论的策略有两个：要么________，要么________。
（2）1908年，德国数学家__________首先提出了公里集合论的思想，其方法是：_______ _______________________________________________________，从而排除矛盾。
（3）1931年，奥地利数学家哥德尔证明了后所称的“哥德尔不完全性定理”，该定理表面：_________________________________________________________________________________________________________。
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康托儿(1845—1918)
康托儿的个人简历
1、1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。 2、10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。 3、18岁康托进入了柏林大学 。 4、 23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。 5、 24岁(1869年)的康托取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教 授。 6、1874年29岁的康托在克列勒的数学杂志上发表了关于无穷集合理论的 第一篇革命性文章。这篇文章的发表标志着集合论的诞生。 7、34(1879年)岁的康托被升为正教授。 8、52岁的康托由于过度的思维劳累以及强烈的外界刺激使康托患了精神分裂症。 9、1918年1月6日，享年73岁的康托在哈勒大学的精神病院中去世。
人教A版《集合论的进一步发展与完善 》PPT 公开课 课件1
最能显示出康托儿独创性的是：
他对无穷集元素个数问题的研究。
他提出用“一一对应”准则来比较 无穷集元素的个数。他把元素间能建立 “一一对应”的集合称为个数相同的集 合，用他自己的概念是“等势”。
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自然数集合N，非负偶数集合 都是无限集。
两个集合所含元素个数谁多谁少呢？
N={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…, n ,… } 非负偶数集={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …, 2n,…}
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数学界的潘多拉盒子
数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布 满了陷阱。因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家 们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概 念。但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷 阱的不归路。他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了 一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界。对 无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒 子。下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么。
集合论的进一步发展与完善
集合
这门研究集合的数学理论 在现代数学中被恰当地称为集 合论。
为科学而疯的人
---康托儿（Kangtuoer）
康托儿简介
康托儿(1845—1918)，
生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统 的富商家庭，10岁随家迁居德国， 自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获 博士学位，以后一直从事数学教 学与研究。他所创立的集合论已 被公认为全部数学的基础。
向“无限”迈进
在中学数学中我们所学习的只是集合论的最基 本知识。学习过程中，同学们或许觉得一切都是很 自然与简单的，根本无法想象它在诞生之日遭到激 烈反对的情景，也体会不到康托尔的功绩之所在。 前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说： “康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”。 因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究 竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值 之所在和众多反对之声之由来。
集合论产生前的背景
集合论是德国著名数学家康托尔于 19世纪末创立的。十七世纪数学中出现 了一门新的分支：微积分。在之后的一 二百年中这一崭新学科获得了飞速发展 并结出了丰硕成果。其推进速度之快使 人来不及检查和巩固它的理论基础。十 九世纪初，许多迫切问题得到解决后， 出现了一场重建数学基础的运动。正是 在这场运动中，康托尔开始探讨了前人 从未碰过的实数点集，这是集合论研究 的开端。到1874年康托尔开始一般地提 出“集合”的概念。
1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概 念。他对集合所下的定义是：
把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽 象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一 个集合，其中各事物称为该集合的元素。
我们学习的集合的概念：
集合 一般地，指定的某些对象的全体称为
。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
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ห้องสมุดไป่ตู้
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“无限思想”的碰撞
“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。”学 过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生。但同学们在接受这句 话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作。 在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东 西来解释。无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。 这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限。十八世纪数学王子高斯就持这 种观点。用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学 中是从来不允许 的。所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把 全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东 西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思 想。由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的 实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的。然而康托尔 并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷。他在实无限 观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理 论。这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界。
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几个关于无限集合的问题
1、自然数的无穷与实数的无穷一样吗？ 2、无穷集合与无穷集合所含元素一样多吗？
3、如果无穷集合所含元素个数一样多，怎 么证明；如果不一样多，又怎么证明呢？
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康托儿的个人简历
1、1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。 2、10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。 3、18岁康托进入了柏林大学 。 4、 23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。 5、 24岁(1869年)的康托取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教 授。 6、1874年29岁的康托在克列勒的数学杂志上发表了关于无穷集合理论的 第一篇革命性文章。这篇文章的发表标志着集合论的诞生。 7、34(1879年)岁的康托被升为正教授。 8、52岁的康托由于过度的思维劳累以及强烈的外界刺激使康托患了精神分裂症。 9、1918年1月6日，享年73岁的康托在哈勒大学的精神病院中去世。
人教A版《集合论的进一步发展与完善 》PPT 公开课 课件1
最能显示出康托儿独创性的是：
他对无穷集元素个数问题的研究。
他提出用“一一对应”准则来比较 无穷集元素的个数。他把元素间能建立 “一一对应”的集合称为个数相同的集 合，用他自己的概念是“等势”。
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自然数集合N，非负偶数集合 都是无限集。
两个集合所含元素个数谁多谁少呢？
N={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…, n ,… } 非负偶数集={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …, 2n,…}
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数学界的潘多拉盒子
数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布 满了陷阱。因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家 们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概 念。但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷 阱的不归路。他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了 一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界。对 无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒 子。下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么。
集合论的进一步发展与完善
集合
这门研究集合的数学理论 在现代数学中被恰当地称为集 合论。
为科学而疯的人
---康托儿（Kangtuoer）
康托儿简介
康托儿(1845—1918)，
生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统 的富商家庭，10岁随家迁居德国， 自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获 博士学位，以后一直从事数学教 学与研究。他所创立的集合论已 被公认为全部数学的基础。
向“无限”迈进
在中学数学中我们所学习的只是集合论的最基 本知识。学习过程中，同学们或许觉得一切都是很 自然与简单的，根本无法想象它在诞生之日遭到激 烈反对的情景，也体会不到康托尔的功绩之所在。 前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说： “康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”。 因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究 竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值 之所在和众多反对之声之由来。
集合论产生前的背景
集合论是德国著名数学家康托尔于 19世纪末创立的。十七世纪数学中出现 了一门新的分支：微积分。在之后的一 二百年中这一崭新学科获得了飞速发展 并结出了丰硕成果。其推进速度之快使 人来不及检查和巩固它的理论基础。十 九世纪初，许多迫切问题得到解决后， 出现了一场重建数学基础的运动。正是 在这场运动中，康托尔开始探讨了前人 从未碰过的实数点集，这是集合论研究 的开端。到1874年康托尔开始一般地提 出“集合”的概念。
1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概 念。他对集合所下的定义是：
把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽 象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一 个集合，其中各事物称为该集合的元素。
我们学习的集合的概念：
集合 一般地，指定的某些对象的全体称为
。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
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“无限思想”的碰撞
“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。”学 过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生。但同学们在接受这句 话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作。 在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东 西来解释。无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。 这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限。十八世纪数学王子高斯就持这 种观点。用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学 中是从来不允许 的。所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把 全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东 西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思 想。由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的 实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的。然而康托尔 并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷。他在实无限 观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理 论。这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界。
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几个关于无限集合的问题
1、自然数的无穷与实数的无穷一样吗？ 2、无穷集合与无穷集合所含元素一样多吗？
3、如果无穷集合所含元素个数一样多，怎 么证明；如果不一样多，又怎么证明呢？
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