1-1-3第三讲 不等式、线性规划、计数原理与二项式定理
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[例4]
(2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选 )
两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(
A．24
C．12
B．18
D．6
[解析] 根据所选偶数为0和2分类讨论求解． 当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C 种方法，然后从选中的2 个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有C C＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C 种方法，然后 从选中的2个数字中选1个排在末位有C 种方法，其余2个数字全排列， 共有C C A ＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个) 奇数． [答案] B
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[解析] 利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围． 如图，
根据题意得C(1＋ ，2)． 作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移， 过点B(1，3)和C(1＋ ，2)时， z＝－x＋y取范围的边界值， 即－(1＋ )＋2<z<－1＋3，∴1－<z<2.
析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分 步”问题．
2．排列数
m An ＝
n！ . （n－m）！
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
组合数 Cm＝ n
n！ . m！（n－m）！
3．组合数性质
m (1)Cn ＝Cn m； n m (2)Cn ＋Cm－1＝Cm＋1. n n
[答案] (1)D (2)9
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[例1] ① >
(1)(2012年高考湖南卷)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是(
A．① C．②③
)
B．①② D．①②③ 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
(2)(2012年高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域 为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的 值为________．
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
求目标函数最值的一般步骤
(1)作出可行域； (2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值． (2012年高考课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)， 山 东 B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y 金 太 的取值范围是( ) 阳 书 A．(1－ ，2) B．(0，2) 业 有 C．( －1，2) D．(0，1＋ ) 限 公 司 [例2]
∴z＝－x＋y的取值范围是(1－ ，2)．
[答案] A
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C．0
D．1
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
【真题】
(2012年高考江苏卷)已知正数a，b，c满足：5c－ 的取值范围是________．
3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，则
【解析】
由题意知
作出可行域(如图所示)．
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
(2012年郑州模拟)在二项式(x2－
)n的展开式中，所有二项式系 )
数的和是32，则展开式中各项系数的和为( A．32 B．－32
山 东 解析：依题意得所有二项式系数的和为2n＝32， 金 解得n＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于(12－ )5＝0，太 阳 选C. 书 业 答案：C 有 限 公 司
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，
即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
(2)通过值域求 a，b 的关系是关键． a2 a2 2 由题意知 f(x)＝x ＋ax＋b＝(x＋ ) ＋b－ . 2 4 a2 a2 ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－ ＝0，即 b＝ . 4 4 a ∴f(x)＝(x＋ )2. 2 a 又∵f(x)<c，∴(x＋ )2<c， 2 a a 即－ － c<x<－ ＋ c. 2 2
a＋b＝4c， 由 3a＋b＝5c，
c 7 得 a＝ ，b＝ c. 2 2
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
b 此时( )max＝7. a
a＋b＝4c， 4c 4ce 由 得 a＝ ，b＝ . a e＋1 e＋1 b＝cec ，
(2012年高考福建卷)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成 立，则实数a的取值范围是________．
解析：利用“三个二次”之间的关系．
∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立， ∴Δ＝a2－4×2a<0， ∴0<a<8. 答案：(0，8) 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
1．二项展开式的通项：Tk＋1＝Ck an kbk(k＝0，1，…，n)． n 2．二项式系数为 C0 ，C1 ，…，Cr ，…，Cn(r＝0，1，…n)． n n n n
3．用赋值法研究展开式中各项系数之和． [例5] ( ) A．－3 C．2 B．－2 D．3 (2012年高考安徽卷)(x2＋2)( －1)5的展开式的常数项是 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
A.
C．5
B.
D．6
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[解析] 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．
11 3 ∵x>0，y>0，由 x＋3y＝5xy 得 ( ＋ )＝1. 5y x 1 1 3 1 3x 12y ∴3x＋4y＝ (3x＋4y)( ＋ )＝ ( ＋4＋9＋ ) 5 y x 5 y x 13 1 3x 12y 13 1 ＝ ＋ ( ＋ )≥ ＋ × 2 5 5 y x 5 5 3x 12y · ＝5 y x
(当且仅当 x＝2y 时取等号)，∴3x＋4y 的最小值为 5.
[答案] C
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
已知x>0，y>0，若
围是( )
>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[解析] (1)根据不等式的性质构造函数求解．
∵a>b>1，∴ 又c<0，∴ > < . ，故①正确．
构造函数y＝xc. ∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数． 又a>b>1，∴ac<bc，故②正确． ∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1. ∵a>b>1， 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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第三讲
不等式、线性规划、计数原理 与二项式定理
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[解析] 利用二项展开式的通项求解． 1 二项式( 2－1)5 展开式的通项为： x
1 － － Tr＋1＝Cr ( 2)5 r· (－1)r＝Cr ·2r 10· x (－1)r. 5 5 x
4ce e＋1 b b 此时( )min＝ ＝e.所以 ∈[e，7]． a 4c a e＋1
【答案】 [e，7]
【名师点睛】 本题主要考查了不等式的性质、线性规划的应用
等知识，命题角度创新，难度较大，解决此题的关键是将问题转化为
线性规划问题，通过数形结合思想来解决．
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1．不等式的同向可加性
2．不等式的同向可乘性
3．不等式的解法 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)．若Δ>0，其解集可简记为： 同号两根之外，异号两根之间．
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
根据题意，作出可行域， 如图所示， 由图知 最大值是 答案：B
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的最小值是 ＝5，故选B.
，
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[例3] (2012年高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋ 4y的最小值是( )
(2012年高考山东卷)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝
色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜 色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )
A．232
C．472
B．252
D．484 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
解析：利用分类加法计数原理和组合的概念求解． 分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C C ＝ 264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C －3C ＝220 －12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝ 472(种)． 答案：C
A．m≥4或m≤－2 C．－2<m<4
B．m≥2或m≤－4 D．－4<m<2 ≥2 ＝8. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
解析：因为x>0，y>0，所以
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要使原不等式恒成立，只需m2＋2m<8， 解得－4<m<2. 答案：D
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4 当 2r－10＝－2，即 r＝4 时，有 x2· 4x－2· C5 (－1)4＝C4× 5 (－1) ＝5；
当 2r－10＝0，即 r＝5 时，有 2· 5x0· C5 (－1)5＝－2.
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. [答案] D 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
(2012年泰安高三模考)设变量x，y满足约束条件 则z＝ 的取值范围是( )
，
A．[0，4]
C．[ 解析： ，6]
B．[
，5]
D．[2，10] 表示过点(x，y)与点(－1，－1)的直线的斜率． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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[例4]
(2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选 )
两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(
A．24
C．12
B．18
D．6
[解析] 根据所选偶数为0和2分类讨论求解． 当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C 种方法，然后从选中的2 个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有C C＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C 种方法，然后 从选中的2个数字中选1个排在末位有C 种方法，其余2个数字全排列， 共有C C A ＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个) 奇数． [答案] B
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[解析] 利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围． 如图，
根据题意得C(1＋ ，2)． 作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移， 过点B(1，3)和C(1＋ ，2)时， z＝－x＋y取范围的边界值， 即－(1＋ )＋2<z<－1＋3，∴1－<z<2.
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1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分 步”问题．
2．排列数
m An ＝
n！ . （n－m）！
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组合数 Cm＝ n
n！ . m！（n－m）！
3．组合数性质
m (1)Cn ＝Cn m； n m (2)Cn ＋Cm－1＝Cm＋1. n n
[答案] (1)D (2)9
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[例1] ① >
(1)(2012年高考湖南卷)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是(
A．① C．②③
)
B．①② D．①②③ 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
(2)(2012年高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域 为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的 值为________．
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求目标函数最值的一般步骤
(1)作出可行域； (2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值． (2012年高考课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)， 山 东 B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y 金 太 的取值范围是( ) 阳 书 A．(1－ ，2) B．(0，2) 业 有 C．( －1，2) D．(0，1＋ ) 限 公 司 [例2]
∴z＝－x＋y的取值范围是(1－ ，2)．
[答案] A
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C．0
D．1
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【真题】
(2012年高考江苏卷)已知正数a，b，c满足：5c－ 的取值范围是________．
3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，则
【解析】
由题意知
作出可行域(如图所示)．
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(2012年郑州模拟)在二项式(x2－
)n的展开式中，所有二项式系 )
数的和是32，则展开式中各项系数的和为( A．32 B．－32
山 东 解析：依题意得所有二项式系数的和为2n＝32， 金 解得n＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于(12－ )5＝0，太 阳 选C. 书 业 答案：C 有 限 公 司
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，
即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．
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(2)通过值域求 a，b 的关系是关键． a2 a2 2 由题意知 f(x)＝x ＋ax＋b＝(x＋ ) ＋b－ . 2 4 a2 a2 ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－ ＝0，即 b＝ . 4 4 a ∴f(x)＝(x＋ )2. 2 a 又∵f(x)<c，∴(x＋ )2<c， 2 a a 即－ － c<x<－ ＋ c. 2 2
a＋b＝4c， 由 3a＋b＝5c，
c 7 得 a＝ ，b＝ c. 2 2
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b 此时( )max＝7. a
a＋b＝4c， 4c 4ce 由 得 a＝ ，b＝ . a e＋1 e＋1 b＝cec ，
(2012年高考福建卷)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成 立，则实数a的取值范围是________．
解析：利用“三个二次”之间的关系．
∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立， ∴Δ＝a2－4×2a<0， ∴0<a<8. 答案：(0，8) 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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1．二项展开式的通项：Tk＋1＝Ck an kbk(k＝0，1，…，n)． n 2．二项式系数为 C0 ，C1 ，…，Cr ，…，Cn(r＝0，1，…n)． n n n n
3．用赋值法研究展开式中各项系数之和． [例5] ( ) A．－3 C．2 B．－2 D．3 (2012年高考安徽卷)(x2＋2)( －1)5的展开式的常数项是 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
A.
C．5
B.
D．6
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[解析] 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．
11 3 ∵x>0，y>0，由 x＋3y＝5xy 得 ( ＋ )＝1. 5y x 1 1 3 1 3x 12y ∴3x＋4y＝ (3x＋4y)( ＋ )＝ ( ＋4＋9＋ ) 5 y x 5 y x 13 1 3x 12y 13 1 ＝ ＋ ( ＋ )≥ ＋ × 2 5 5 y x 5 5 3x 12y · ＝5 y x
(当且仅当 x＝2y 时取等号)，∴3x＋4y 的最小值为 5.
[答案] C
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已知x>0，y>0，若
围是( )
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[解析] (1)根据不等式的性质构造函数求解．
∵a>b>1，∴ 又c<0，∴ > < . ，故①正确．
构造函数y＝xc. ∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数． 又a>b>1，∴ac<bc，故②正确． ∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1. ∵a>b>1， 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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[解析] 利用二项展开式的通项求解． 1 二项式( 2－1)5 展开式的通项为： x
1 － － Tr＋1＝Cr ( 2)5 r· (－1)r＝Cr ·2r 10· x (－1)r. 5 5 x
4ce e＋1 b b 此时( )min＝ ＝e.所以 ∈[e，7]． a 4c a e＋1
【答案】 [e，7]
【名师点睛】 本题主要考查了不等式的性质、线性规划的应用
等知识，命题角度创新，难度较大，解决此题的关键是将问题转化为
线性规划问题，通过数形结合思想来解决．
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1．不等式的同向可加性
2．不等式的同向可乘性
3．不等式的解法 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)．若Δ>0，其解集可简记为： 同号两根之外，异号两根之间．
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根据题意，作出可行域， 如图所示， 由图知 最大值是 答案：B
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的最小值是 ＝5，故选B.
，
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[例3] (2012年高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋ 4y的最小值是( )
(2012年高考山东卷)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝
色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜 色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )
A．232
C．472
B．252
D．484 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
解析：利用分类加法计数原理和组合的概念求解． 分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C C ＝ 264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C －3C ＝220 －12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝ 472(种)． 答案：C
A．m≥4或m≤－2 C．－2<m<4
B．m≥2或m≤－4 D．－4<m<2 ≥2 ＝8. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
解析：因为x>0，y>0，所以
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要使原不等式恒成立，只需m2＋2m<8， 解得－4<m<2. 答案：D
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高考新课标专题复习 ·数学（理）
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4 当 2r－10＝－2，即 r＝4 时，有 x2· 4x－2· C5 (－1)4＝C4× 5 (－1) ＝5；
当 2r－10＝0，即 r＝5 时，有 2· 5x0· C5 (－1)5＝－2.
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. [答案] D 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
(2012年泰安高三模考)设变量x，y满足约束条件 则z＝ 的取值范围是( )
，
A．[0，4]
C．[ 解析： ，6]
B．[
，5]
D．[2，10] 表示过点(x，y)与点(－1，－1)的直线的斜率． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司