数值分析论文

数值分析论文

数值分析课程总结

姓名：吴玉武学号：13121524 班级：数研1301

目录

第一章数值分析的历史背景 (2)

1、背景 (2)

2、发展历程 (3)

第二章数值积分的主要方法 (3)

1、牛顿-柯特斯求积公式 (3)

2、梯形求积公式 (5)

（1）梯形公式 (5)

（2）复合梯形公式 (5)

3、辛普森求积公式 (6)

（1）辛普森公式 (6)

（2）复合辛普森公式 (6)

4、龙贝格求积公式 (6)

（1）算法的基本思想 (6)

（2）递推公式 (7)

5、高斯求积公式 (7)

（1）高斯型求积公式 (7)

（2）常用的高斯型求积公式 (7)

6、自适应求积方法 (8)

7、振荡函数的积分方法 (8)

8、奇异函数的积分 (9)

（1）一个奇异点的函数 (9)

（2）多个奇异点的函数积分方法10 第三章数值积分的应用 (10)

第四章在学习过程中遇到的问题 (12)

参考文献 (14)

第一章 数值分析的历史背景 1、背景

数值积分方法发展的前提是在17世纪以牛顿和莱布尼茨为首的一批数学家发展起来的微积分。在最初的研究中，求解积分的方法便是找到求解原函数的方法，得到原函数，以此为基础解决其他问题。但是在深入的研究中，逐渐发现一些函数的原函数求解极其困难，甚至无法表示出来，是超越函数，还有的根本没有原函数，比如对于延拓函数：

sin ,0()1,0

x

x f x x

x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩

无法求出它的原函数，这时要求它的积分就无法使用牛顿-莱布尼茨公式了，解决积分的问题便受到阻碍。这种情况下就需要寻求一种新的求积分的方法来解决这些问题了。数值积分方法便在数学家们的需求下发展起来。

2、发展历程

等距节点的多项式插值求积法的观点最早是1676年出现在Newton 给Leibniz 的一封信

中。1711年，Cotes在总结了牛顿的观点后，系统归纳了小于10个节点的插值求积方法，并发表了一篇相关论文。1743年，Simpson发表他所研究的求积方法。但是从历史上看，对于辛普森的方法，数学家Cavalieri和Gregory似乎研究的更早，而且Cotes也早就得到了这种方法。1814年，数学王子Gauss在研究这个问题时，通过优化那些求积节点得到一种更高精度的数值求积分方法，随后便发表了他的第一篇关于数值求积分的论文。时间过了100多年，数学家Fejer于1933年，将Chebyshev点作为节点应用于数值求积分中，得到了一种新的方法。1960年，数学家Clenshaw和Curtis研究得到一种更为高效的数值求积公式。Kronrod在1964年发表了他自己的数值求积方法，4年后的Patterson对这种方法进行了推广，得到的方法也为世人所知。值得一提的是Richardson在1927年发现的外推法，当时并没有用来做数值积分问题。而数学家Romberg在1955年将它应用到数值积分上，取得不小的成果。

第二章 数值积分的主要方法 1、牛顿-柯特斯求积公式

设将积分区间[],a b 划分为n 等份，步长

n

a b h -=

，选取等距节点kh

a x

k

+=构造出的插值型求

积公式：

()0

()()

n

n n k k k I b a C f x ==-∑

称为牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)公式，式

中

()

n k C 柯特斯系数.引进变换th a x +=，则有

()0000

(1)()!()!n k

n n n n n k

j j j k

j k

h t j C

dt t j dt b a k j nk n k -==≠≠--==----∏∏⎰⎰

由于是多项式的积分，柯特斯系数的计

算不会遇到实质性的困难.

当n=1时 ，

11(1)000210

1

(1)(1)10!1!

11()(1)222

C t dt t dt t t -=

-=--⋅⋅=--=--=⎰⎰

211(1)11

00011(0)()11!0!22

t C

t dt tdt =-===⋅⋅⎰⎰

这时的求积公式就是我们所熟悉的梯形公式.

当n ＝2时，这时的柯特斯系数为

22

(2)000322220011(1)(2)(1)(2)20!2!4

113181(32)(2)(64)4432436

C t t dt t t dt t t t dt t t =

--=--⋅⋅=-+=-+=⨯-+=⎰⎰⎰

22

(2)100322011(2)(2)21!1!2

1182()(4)23233

C t t dt t t dt t t --=

-=-⋅⋅=--=-⨯-=

⎰⎰

22

(2)2

00

322220011(1)(1)22!0!411181()()(2)4432436C t t dt t t dt

t t t t dt =-=-⋅⋅=-=-=⨯-=⎰⎰⎰

当n ＝3时，

33(3)2

0004332

3230

011(1)(2)(3)(32)(3)30!3!18

1111(6116)(26)181842181111(227963)18428

c t t t dt t t t dt t t t t dt t t t -=

---=--+-⋅⋅=--+-=--+-=--⨯+⨯-⨯=⎰⎰⎰

33

(3)1003323

2004323011(2)(3)(2)(3)31!2!6

11(2)(3)(56)661518153(3)(2739)6436438

c t t t dt t t t dt t t t dt t t t dt t t t =

--=--⋅⋅=--=-+=-+=⨯-⨯+⨯=⎰⎰⎰⎰

33

(3)2003323

2004323011(1)(3)(1)(3)32!1!6

11()(3)(43)66143181433()(279)643264328

c t t t dt t t t dt t t t dt t t t dt

t t t -=

--=---⋅⋅=---=--+=--+=-⨯-⨯+⨯=

⎰⎰⎰⎰

33

(3)3003323

2004323011(1)(2)(1)(2)33!0!18

11()(2)(32)181811811()(279)1841848

c t t t dt t t t dt t t t dt t t t dt t t t =

--=--⋅⋅=--=-+=-+=⨯-+=⎰⎰⎰⎰