高考数学(理)二轮练习【专题7】(第3讲)统计与统计案例(含答案)

第3讲 统计与统计案例

考情解读 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．

1．随机抽样

(1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．

(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．

(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．

2．常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×

频率

组距

＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；

③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1

组距.

(2)茎叶图

在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数

(2)方差：s 2＝1

n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．

标准差： s ＝

1

n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 4．变量的相关性与最小二乘法

(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．

(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝∑i ＝1

n

(y i

－a －bx i )2

最小时，得到线性回归方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

的方法叫做最小二乘法． 5．独立性检验

对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是

则K 2

(χ2

)＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．

热点一 抽样方法

例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14

(2)(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． 思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例． 答案 (1)B (2)200

解析 (1)由840

42＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为

720－48020＝240

20

＝12. (2)本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x ，所以

1603 200＝160－150

x

，所以x ＝200.

思维升华(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．

(1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为()

A．15 B．16 C．17 D．18

(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()

A．200,20 B．100,20

C．200,10 D．100,10

答案(1)C(2)A

解析(1)由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17，故选C.

(2)该地区中、小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，

则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.

热点二用样本估计总体

例2(1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()

A．6 B．8 C．12 D．18

(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是()

A．甲B．乙

C．甲乙相等D．无法确定

甲乙

20.04123 6

930.059

6210.0629

3310.079

640.087

70.09246

思维启迪(1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；(2)直接根据公式计算方差．

答案(1)C(2)A

解析(1)志愿者的总人数为

20

(0.16＋0.24)×1

＝50，

所以第三组人数为50×0.36＝18，

有疗效的人数为18－6＝12.

(2)x甲＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097)÷12≈0.068 9，

x乙＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096)÷12≈0.067 5，

s2＝1

12[(0.042－0.068 9)

2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋(0.097－0.068 9)2]≈0.000 212.

s2＝1

12[(0.041－0.067 5)

2＋(0.042－0.067 5)2＋…＋(0.096－0.067 5)2]≈0.000 429.

所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地．

思维升华(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高