九年级数学上册 第六章 反比例函数 6.2 反比例函数的图象与性质 第2课时 反比例函数的性质作业
九年级数学上册第六章反比例函数2反比例函数的图象与性质第2课时反比例函数的性质作业课件新版北师大版
解：(2)∵A，B两点在函数y＝kx(x＞0)的图象上， ∴A(1，k)，B(k，1)， ∴AO＝ 12＋k2.延长CA，DB交于点E，则E(k，k)， ∴AE＝k－1，BE＝k－1，∠AEB＝90°， ∴AB＝ （k－1）2＋（k－1）2. ∵AO＝AB， ∴ 12＋k2＝ （k－1）2＋（k－1）2，解得k＝2＋ 3或k＝2－ 3. ∵k＞1，∴k＝2＋ 3
∴S＝m(n－3)＝mn－3m＝92，解得m＝32，∴n＝6，
∴点P的坐标是(32，6)；
②当点P在点B的右侧时，∵P(m，n)在函数y＝kx的图象上， ∴mn＝9，∴S＝n(m－3)＝mn－3n＝92，解得n＝32，∴m＝6， ∴点P的坐标是(6，32)．综上所述，点P的坐标为(6，32)或(32，6) (3)当0＜m＜3时，点P在点B的左边，此时S＝9－3m； 当m＝3时，点P与点B重合，S＝0；当m＞3时，点P在点B的右边，
15．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点A，
与反比例函数y＝mx (x＞0)的图象交于点B(2，n)， 过点B作BC⊥x轴于点C，点P(3n－4，1)是该反比例函数图象上的一点， 且∠PBC＝∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
解：将B(2，n)，P(3n－4，1)代入反比例函数y＝mx 中，
第六章 反比例函数
6．2 反比例函数的图象与性质
第2课时 反比例函数性质
1．(2018·衡阳)对于反比例函数y＝－2x，下列说法不正确的是（ D ） A．图象分布在第二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点(1，－2) D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
九年级数学北师大版(上册)《6.2反比例函数的图象》(共15张PPT)
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反比例函数的图象和性质
1.形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的， 因此称反比例函数的图象为双曲线.
2.位置 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.
归纳：反比例函数的图象和性质： 图象性质见下表：
y= k
K>0
K<0
x
图 象
6.2反比例函数的图象与性质
y
O
x
1．什么是反比例函数？ k
一般地，形如 y = —x( k是常数, k ≠0 ) 的函数叫做反比例函数．
2．反比例函数的定义中需要注意什么？
（1）k 是非零常数.
（2）xy = k．
3．还记得一次函数的图像与性质吗？
函数 正比例函数 反比例函数
解析式
y=kx(k是常数，k≠0） y =
【典例解析】
-4 1．画出函数y = — 的图x 象
【解析】1．列表：
x
… -8 -4 -3 -2 -1 1 … 1 1 2 3 4 8
2
2
y 4 … 1 1
x
2
4 3
2
4 8 … -8 -4 -2 4 -1 1
3
2
2．描点：以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标 系内描出相应的点.
3．连线：用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到图象.
函数图象画法 描点法
列 表
描 点
连 线
提问：反比例函数的图像与性质又如何呢？ 这节课开始我们来一起探究吧。
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一 些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确． 2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把 点的位置描错． 3.连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连 线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接． 4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点． 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
九年级数学上册6.2反比例函数的图象与性质第二课时全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
当 k>0 时,y 的值随 x 值的增大而减小;当 k<0 时,y 的值随 x 值的
增大而增大.你觉得这种说法对吗?
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1.回答“问题导引”中问题.
不对.因为反百分比函数图象是两条曲线,分布在两个不一样
象限,而函数增减性是针对一条曲线而言,故讨论反百分比函
数增减性时,需添加“在每一象限内”条件.
于点B,连接BO交AP于点C,设△AOP面积是S1,梯形BCPD面积为S2,
>
则S1与S2大小关系是S1_____S2.(填“>”“<”或“=”)
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第六章
6.2
反百分比函数
反百分比函数图象与性质
第2课时
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1.熟练掌握反百分比函数图象画法,并经过观察图象,能
概括出反百分比函数主要性质.
2.经过数形结合,探索反百分比函数中系数k几何意义.
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学完反比例函数的图象后,某数学兴趣小组得出了这样的结
论:类比正比例函数的增减性,我们可以得出ห้องสมุดไป่ตู้对于反比例函数 y= ,
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2.已知点 P 是 x 轴正半轴的一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线 PA 交
双曲线 y= 于点 A,连接 OA.
(1)如图甲,当点P在x轴正方向上运
动时,Rt△AOP 面积大小是否改变?
不改变
答:_________(填“改变”或“不改变”).
(2)如图乙,在x轴上点P右侧有一点D,过点D作x轴垂线交双曲线
北师大版九年级数学上册反比例函数的图象和性质教学课件
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是___________(填序号).
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(2)S△AOB
y C
A
O
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B
D
x
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9. 如图，反比例函数 y 8 与一次函数 y =－x + 2 x
3.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,过点P分别
y
pN M ox
向x轴、y轴作垂线,若阴影
部分面积为1,则这个反比 y 1
例函数的关系式是 .
x
北师大版九年级数学上册反比例函数 的图象 和性质 教学课 件
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4.如图所示，P1、P2、P3是双曲线上的三 个点，过这三点分别作y轴的垂线，得三
x
坐标轴的垂线（或平行线），与坐标轴所围成
的矩形的面积S矩形= |k|1．8
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数y 2
x
上,且y1<y2<0,(1)则x1___x2
(2)画出函数的大致图像，根据图像得，
若y＞1, 则x的取值范围_______
若2＜x＜ 4，则y的取值范围________
若-2＜y＜ 4，则x的取值范围__________
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A.S=1 B.1S2 C.S=2 D.S2
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6. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P
分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，
北师版九年级数学上册教案：第6章 反比例函数2 反比例函数的图象与性质(2课时)
2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象一、基本目标1．进一步熟悉画函数图象的主要步骤,会画反比例函数的图象． 2．能够利用反比例函数的图象解决一些实际问题． 二、重难点目标 【教学重点】 反比例函数的图象． 【教学难点】 双曲线的特征．环节1 自学提纲、生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P152～P153的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．类比一次函数的作图象法,作反比例函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 2．反比例函数的图象是双曲线.3．在反比例函数y ＝kx (k ≠0,k 为常数)中,当k >0时,两支曲线位于第一、三象限内；当k＜0时,两支曲线位于第二、四象限内．4．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有：直线y ＝x 和y ＝－x ,对称中心是原点.5．写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式y ＝－2x (答案不唯一).6．已知反比例函数y ＝m －1x 的图象的一支位于第一象限,则常数m 的取值范围是m ＞1.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】作出反比例函数y ＝12x的图象,并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时,求y 的值； (2)当y ＝－2时,求x 的值．【互动探索】(引发学生思考)(1)画函数图象的基本步骤是什么？(2)已知自变量的值(或函数值),将其代入函数表达式,即可求出对应的函数值(或自变量的值)．【解答】列表：x … －6 －4 －3 －2 2 3 4 6 y…－2－3－4－66432描点、连线,如图所示．(1)当x ＝4时,y ＝124＝3.(2)当y ＝－2时,x ＝12－2＝－6.【互动总结】(学生总结,老师点评)画函数图象时,应注意：(1)连线时不能连成折线,应该用光滑的曲线连结各点．(2)所选取的点越多,画的图越准确．(3)画图时注意其对称性及延伸性．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知点(1,1)在反比例函数y ＝kx (k 为常数,k ≠0)的图象上,则这个反比例函数的大致图象是( C )2．当x ＞0时,函数y ＝－5x 的图象在( A )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．对于反比例函数y ＝3x 图象的对称性,下列叙述错误的是( D )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于x 轴对称活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】若ab <0,则正比例函数y ＝ax 和反比例函数y ＝bx 在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的( )【互动探索】如果只看题干,不看选项,可以得出几种结果？如果只看选项,能否判断a 、b 的正负？【分析】∵ab <0,∴a ,b 为异号．分两种情况：①当a >0,b <0时,正比例函数y ＝ax 的图象过原点、第一、三象限,反比例函数图象在第二、四象限内,无此选项；②当a <0,b >0时,正比例函数的图象过原点、第二、四象限,反比例函数图象在第一、三象限内,选项C 符合．故选C.【答案】C【互动总结】(学生总结,老师点评)这类题既可以用分析法,也可以用排除法．用分析法时,根据题干逐一分析,得出不同条件下的结果,再与选项对比得出答案．用排除法时,每个选项逐一分析,看是否满足题干条件．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应训练！第2课时 反比例函数的性质一、基本目标1．掌握反比例函数y ＝kx(k ≠0)随着k 值的不同在不同象限的增减性．2．在探索反比例函数图象性质的过程中,积极展开思考,理解并掌握反比例函数图象的性质．二、重难点目标 【教学重点】 反比例函数的性质． 【教学难点】反比例函数中比例系数的几何意义．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P154～P155的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．当k >0时,函数图象位于第一、三象限内,在每个象限内,y 的值随x 值的增大而减小.当k <0时,反比例函数图象位于第二、四象限内,在每个象限内,y 的值随着x 值的增大而增大.2．在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上任取一点,过这一点分别作x 轴、y 轴的平行线,与坐标轴所围成的矩形面积始终等于|k |.3．下列函数：①y ＝1x ；②y ＝3x ；③y ＝12x ；④y ＝7x 中．(1)图象位于第二、四象限的有②④；(2)在每一象限内,y 随x 的增大而增大的有②④； (3)在每一象限内,y 随x 的增大而减小的有①③.4．若点(－1,y 1),(－3,y 2),(2,y 3)在反比例函数y ＝－1x 的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系怎样？解：由y ＝－1x ,k ＝－1<0知函数的图象在第二、四象限内．在每个象限内,y 随x 的增大而增大,画草图如图所示．∵－3<－1<0,∴y 1>y 2>0.而点(2,y 3)在第四象限内,∴y 3<0,∴y 1>y 2>y 3.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】若点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)都是反比例函数y ＝－1x 图象上的点,并且y 1＜0＜y 2＜y 3,判断x 1、x 2、x 3的大小关系．【互动探索】(引发学生思考)要根据函数值的大小判断自变量的大小,需考虑函数的增减性．特别要注意的是,只有在同一象限,反比例函数的增减性才适用．【解答】∵反比例函数y ＝－1x中k ＝－1＜0,∴此函数的图象在第二、四象限,且在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∵y 1＜0＜y 2＜y 3,∴点(x 1,y 1)在第四象限,(x 2,y 2)、(x 3,y 3)两点均在第二象限, ∴x 2＜x 3＜x 1.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小：(1)看k 的符号,明确函数的增减情况；(2)看两点是否在同一个象限内；若不在同一个象限内,借助图象即可判断函数值或自变量的大小,若在同一个象限内,则比较两个横(纵)坐标的大小,根据函数的增减情况,得出函数值(自变量)的大小．活动2 巩固练习(学生独学)1．对于反比例函数y ＝2x ,下列说法不正确的是( C )A ．点(－2,－1)在它的图象上B ．当x ＜0时,y 随x 的增大而减小C ．当x >0时,y 随x 的增大而增大D ．它的图象在第一、三象限2．函数y ＝－1x 的图象上有两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),若0＜x 1＜x 2,则( A )A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1、y 2的大小不确定3．已知反比例函数y ＝1－2mx的图象上两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),当x 1＜0＜x 2时,有y 1＜y 2,则m 的取值范围是m ＜12.4．如图,点P 是反比例函数图象上的一点,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是y ＝－3x.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,A 、B 两点在双曲线y ＝4x 上,分别经过A 、B 两点向轴作垂线段,已知S阴影＝1,求S 1＋S 2的值．【互动探索】过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积都等于反比例函数的比例系数的绝对值,阴影部分是两个矩形的重叠部分,所以S 1＋S 2可以转化为两个矩形的面积之和减去阴影部分的面积．【解答】由于点A 、B 是双曲线y ＝4x 上的点,分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段,则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k |＝4,∴S 1＋S 2＝4＋4－1×2＝6.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用反比例函数中比例系数k 的几何意义,可以求得与双曲线有关的矩形的面积或三角形的面积,还可以利用矩形或三角形的面积,求得反比例函数的表达式．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应训练！。
数学北师大版九年级上册 《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案
数学北师大版九年级上册《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案第六章反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第2课时一、教学目标1．复习巩固反比例函数图象与性质．2．理解和掌握反比例函数图象的增减性．二、教学重点及难点重点：反比例函数图象的增减性．难点：运用反比例函数图象的增减性．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源动画，知识卡片.五、教学过程【复习导入】1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．2．反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；反比例函数的图象也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．设计意图：通过对反比例函数图象与性质的复习，为接下来学习反比例函数图象的增减性做好铺垫．【探究新知】议一议1．观察反比例函数，，的图象（如下图所示），你能发现它们的共同特征吗？（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内。
随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：（1）函数图象均位于第一、三象限内．（2）在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小；理由：在每一象限的图象上任意取两点A（x1，y1），B（x2，y2），当k＞0，x2＞x1时，y2-y1=＜0，即y2＜y1．因此，在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小．2．观察当k=-2，-4，-6时，反比例函数的图象（如下图所示），它们有哪些共同特征？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：它们的图象均位于第二、四象限；在每一象限内，随着x值的增大，y的值增大；它们的图象都不与x轴、y轴相交．教师总结：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大．想一想在一个反比例函数图象上任取两点P，Q．过点P分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2．S1与S2有什么关系？为什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同得出答案．答：S1=S2；由：在反比例函数(k≠0)的图象上任意取一点，过这个点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总等于常数．设计意图：引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的语言表达能力与数学语言的组织能力．【典例精析】例1 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），，D（2，5）是否在这个函数的图象上？师生活动：师生共同分析，教师引导并提出下列问题：（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？（2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？（3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？（4）某点不在图象上的含义是什么？学生解答，在小组里讨论，互相检查，小组代表展示解答过程．解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．（2）设这个反比例函数的解析式为．因为点A（2，6）在这个函数的图象上，所以点A的坐标满足，即．解得k=12．所以这个反比例函数的解析式为．把点B，C，D的坐标代入，可知点B，点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B，点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．设计意图：从学生已有的数学知识出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数解析式．通过解析式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程，初步体会数形结合的数学思想．例2 如图，点P是反比例函数图象上一点，作PM⊥y轴于点M，若图中阴影部分的面积为3，则该反比例函数的解析式为．(xyPOM)师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表回答，讲解出现的问题．解析：设点P的坐标为（x，y）．⊥S⊥POM=3，S⊥POM=PM·OM，⊥PM·OM=6，即．设该反比例函数的解析式为，⊥xy=k．⊥k＜0，⊥k=-6．⊥．设计意图：让学生理解k的几何意义．【课堂练习】1．对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）．A．点（-2，-1）在它的图象上B．它的图象在第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小2．如图，函数y1=x-1和函数y2=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是（）．A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2 3．下列函数中，其图象位于第一、三象限的有______________；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有_____________．（1）；（2）；（3）；（4）．4．已知反比例函数，当m_____________时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m_____________时，其图象在每个象限内y随x 的增大而增大．5．在函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是___________．师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．6．反比例函数y=(k＞0)在第一象限的图象如下图所示，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P．如果⊥MOP的面积为1，那么k的值是_______．7．设函数，当m取何值时，它是反比例函数？它的图象位于哪个象限？参考答案1．C．2．D．3．（1）（2）（3）；（4）．4．，．5．y2＜y1＜y3．6．2．7．解：由题意，得解得m=3．所以当m=3时，函数是反比例函数．当m=3时，代入可得．因为k=1＞0，所以它的图象位于第一、第三象限．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．2．反比例函数(k为常数，k≠0)中k的几何意义如图．（1）过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，两条垂线与x轴、y轴围成的长方形的面积等于．（2）若点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作x轴（或y轴）的垂线，则所作垂线、x轴（或y轴）与线段OA围成的三角形的面积等于．注意：因为反比例函数(k为常数，k≠0)中的k有正负之分，所以在利用解析式表示长方形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计6.2 反比例函数的图形与性质（2）1．反比例函数图象的增减性2．反比例函数中k的几何意义。
第六章反比例函数6.2反比例函数的图象与性质第2课时反比例函数的性质
第2课时 反比例函数的性质知识点 1 反比例函数的增减性与系数的关系1．下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝2xC ．y ＝－3x(x>0) D ．y ＝4x(x<0)2．在反比例函数y ＝k －1x 的图象的每一条曲线上，y 的值都随x 值的增大而增大，则k的取值范围是( )A ．k ＞1B ．k ＞0C ．k ≥1D ．k ＜13．2017·上海如果反比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而________．(填“增大”或“减小”)知识点 2 利用反比例函数的增减性比较函数值的大小4．2017·赤峰点A (1，y 1)，B (3，y 2)是反比例函数y ＝9x的图象上的两点，则y 1，y 2的大小关系是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定5．2017·天津若点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)在反比例函数y ＝－3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 3知识点 3 反比例函数中比例系数k 的几何意义6．2017·黔南州反比例函数y ＝－3x(x ＜0)的图象如图6－2－8所示，则矩形OAPB 的面积是( )A ．3B ．－3 C.32 D ．－326－2－86－2－97．2017·永州如图6－2－9，已知反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象经过点A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B .若△AOB 的面积为1，则k ＝________．8．已知反比例函数y ＝m x的图象如图6－2－10所示，以下结论：①m ＜0；②在每个分支上，y 的值随x 值的增大而增大；③若点A (－1，a )，点B (2，b )在该图象上，则a ＜b ；④若点P (x ，y )在该图象上，则点P 1(－x ，－y )也在该图象上．其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6－2－10 6－2－119．2017·贵阳模拟如图6－2－11，A ，B ，C 为反比例函数y ＝k x图象上的三个点，分别过点A ，B ，C 向x 轴、y 轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系是( )A ．S 1＝S 2＞S 3B ．S 1＜S 2＜S 3C ．S 1＞S 2＞S 3D ．S 1＝S 2＝S 310．[2016·内江] 如图6－2－12，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8x上，且AB∥x 轴，则△OAB 的面积为________．6－2－12 6－2－1311．2017·贵阳期末如图6－2－13，点A 在双曲线y ＝2x 上，点B 在双曲线y ＝kx 上，且AB∥x 轴，点C ，D 在x 轴上．若四边形ABCD 为矩形，且它的面积为3，则k ＝________．12．如图6－2－14，已知反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象经过点A(－2，8)．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)若(2，y 1)，(4，y 2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y 1，y 2的大小，并说明理由．图6－2－1413．[2016·西宁] 如图6－2－15，一次函数y ＝x ＋m 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A ，B 两点，且与x 轴交于点C ，点A 的坐标为(2，1)．(1)求m 及k 的值；(2)求点C 的坐标，并结合图象直接写出不等式组0＜x ＋m≤kx的解集．图6－2－1514．已知反比例函数y ＝m －8x (m 为常数)的图象经过点A(－1，6)．(1)求m 的值；(2)如图6－2－16，过点A 作直线AC 与反比例函数y ＝m －8x 的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标．图6－2－1615．如图6－2－17，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 和C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且AB∥y 轴，AB ＝3，△ABC 的面积为32.(1)求点B 的坐标；(2)将△ABC以点B为旋转中心按顺时针方向旋转90°得到△DBE，一反比例函数的图象恰好经过点D，求此反比例函数的表达式．图6－2－171．D [解析] 在反比例函数中，只有当系数k ＞0，且在具体的象限中时，才有y 的值随x 值的增大而减小的情况．2．D [解析] 根据题意，在反比例函数y ＝k －1x的图象的每一支曲线上，y 的值都随x 值的增大而增大，即k －1<0，解得k <1.故选A.3．减小4．A [解析] ∵反比例函数y ＝9x中的k ＞0，∴其图象经过第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．又∵点A (1，y 1)，B (3，y 2)都位于第一象限，且1＜3， ∴y 1＞y 2. 5．B6．A [解析] ∵点P 在反比例函数y ＝－3x(x ＜0)的图象上，∴可设P (x ，－3x )，∴OA ＝－x ，PA ＝－3x，∴S 矩形OAPB ＝OA ·PA ＝－x ·(－3x)＝3.7．－2 8.B9．D [解析] 设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，点C 的坐标为(x 3，y 3)， ∵S 1＝x 1·y 1＝k ，S 2＝x 2·y 2＝k ，S 3＝|x 3|·|y 3|＝k ， ∴S 1＝S 2＝S 3. 故选D. 10.3211．5 [解析] 延长BA 交y 轴于点E ，如图，∵S 矩形BCOE ＝|k |，S 矩形ADOE ＝2， 而矩形ABCD 的面积为3， ∴S 矩形BCOE －S 矩形ADOE ＝3， 即|k |－2＝3，而k ＞0，∴k ＝5. 故答案为5.12．解：(1)把(－2，8)代入y ＝k x ，得8＝k－2，解得k ＝－16.∴这个反比例函数的表达式为y ＝－16x.(2)y 1＜y 2.理由如下： ∵k ＝－16＜0，∴在每一个象限内，函数值y 随x 值的增大而增大． ∵点(2，y 1)，(4，y 2)都在第四象限，且2＜4， ∴y 1＜y 2.13．解：(1)由题意可得点A (2，1)在函数y ＝x ＋m 的图象上， ∴2＋m ＝1，即m ＝－1.∵点A (2，1)在反比例函数y ＝k x的图象上，∴k2＝1， ∴k ＝2.(2)∵一次函数的表达式为y ＝x －1，令y ＝0，得x ＝1， ∴点C 的坐标是(1，0)．由图象可知不等式组0＜x ＋m ≤k x的解集为1＜x ≤2.14．解：(1)∵反比例函数y ＝m －8x 的图象过点A (－1，6)，∴m －8－1＝6， ∴m －8＝－6，∴m ＝2.(2)如图，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E . 由题意，得AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ， ∴△CBE ∽△CAD ，∴BC AC ＝BEAD.∵AB ＝2BC ，∴BC AC ＝13，∴13＝BE 6， ∴BE ＝2，即点B 的纵坐标为2.当y ＝2时，x ＝－3，由A (－1，6)，B (－3，2)易求得直线AB 的函数表达式为y ＝2x ＋8，∴点C 的坐标为(－4，0)． 15．(1)∵AB ∥y 轴，∴S △ABC ＝12AB ·OA ＝12×3×OA ＝32，∴OA ＝1，∴点B 的坐标为(1，3)． (2)设DB 与y 轴相交于点F . ∵AB ＝BD ＝3，∠ABD ＝90°， ∴DB ∥x 轴，DF ＝3－1＝2，∴点D 的坐标为(－2，3)． 设该反比例函数的表达式为y ＝k x，∴3＝k－2，∴k ＝－6.∴此反比例函数的表达式为y ＝－6x.。
6.2反比例函数的图象与性质》2课时教案
在今天的教学中，我重点关注了反比例函数的图象与性质这一章节。我尝试通过生活实例导入新课，让学生感受到反比例函数在现实生活中的应用，以此激发他们的学习兴趣。在教学过程中，我注意观察学生的反应，发现他们在理解反比例函数的定义和图象性质方面存在一些困难。
在理论介绍环节，我意识到需要更生动、形象地解释反比例函数的概念，以帮助学生更好地理解。在讲解图象性质时，我使用了动态演示和图象分析，希望让学生直观地感受到反比例函数图象的变化规律。但我也发现，对于一些学生来说，这部分内容仍然较难理解，尤其是双曲线在第一、三象限的渐近线特点。
举例：针对难点b，教师可以通过动态演示或图象分析，说明当x从正数变为负数时，y值的变化规律，以及当x接近0时，y值趋向于无穷大或无穷小的现象。对于难点c，教师可以设计具体的案例分析，如“一个水池的排水问题”，帮助学生理解如何将实际情况转化为反比）导入新课（用时5分钟）
a.当k > 0时，图象位于第一、三象限；
b.当k < 0时，图象位于第二、四象限；
c.反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大（或减小）而增大（或减小）；
d.反比例函数图象与坐标轴无交点；
4.实际应用：结合实际情境，解释反比例函数的意义及其应用。
二、核心素养目标
《6.2反比例函数的图象与性质》
1.培养学生的数感与符号意识，使其理解反比例函数的一般形式，并能运用数学符号进行表达；
2.教学难点
a.反比例函数图象的双曲线形状的理解，尤其是双曲线在第一、三象限的渐近线特点；
b.反比例函数性质中，对于y随x的变化规律的理解，尤其是当x接近0时，y的极端变化；
c.学生在构建反比例函数模型时，对于自变量和因变量的辨识，以及如何将实际问题转化为数学表达式的难点；
《反比例函数的图像与性质》第二课时
北师大版初中数学九年级上册第六章第二节《反比例函数的图像与性质》第二课时教学设计黄河中学李霞一、学情分析：函数是研究现实世界变化规律的一个重要数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概念和研究函数的方法有了初步的认识和了解．特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图像和性质做好知识上和方法上的铺垫．二、教学任务分析：1. 通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力，进一步巩固作反比例函数的图象.2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质，训练学生的识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.教学重点：通过观察图象，归纳概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.三、教学过程分析：本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：巩固新知；第四环节：探求新知；第五环节：随堂练习; 第六环节：归纳与概括；第七环节，布置作业。
第一环节：创设问题情境，引入新课活动目的 复习上节内容,,并引导学生类比一次函数图象性质引出反比例函数图象其他性质。
活动过程：1、上节课已经初步认识了反比例函数的图像，并能根据图像研究反比例函数的性质。
请同学们根据所学知识，完成下面几个反比例函数图像： （1）y= 2x （2）y=−2x （3）y=−4x（4）y= 4x（5）y= −6x （6）y= 6x(分小组完成作图)2、你能想到其他的图象吗？它是什么形状？有什么特点？ 第二环节 新课讲解活动目的 通过观察反比例函数的图像,归纳概括K>0时反比例函数图象的共同特征,探索反比例函数的主要性质。
专题6_2 反比例函数的图象和性质(第2课时)-九年级数学上册教材配套教学课件(北师大版)
归纳：
k
对于反比例函数 y ，
x
点 Q 是其图象上的任意一
点，作 QA 垂直于 y 轴，作
QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= |k| .
y
A
•Q
O B
x
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
k
S△QAO=S△QBO=
.
2
反比例函数的
面积不变性
练一练
3
A． 2
ABC
1
，则 k 的值是（
B．3
5
C． 2
）
D．2
k
k
【详解】解： 如图，反比例函数 y= x （k≠0，x＞0）与反比例函数 y=− x （k≠0，x＜0）的
图象关于 y 轴对称，延长 GF 交 x 轴于 M，设 AB 交 y 轴于 N．
1
3
5
∴ AN BN 2 AB 2 ，NH=OM= 2 ，
k
∵点 A、C 在反比例函数 y= x 的图象上，
3 2k
5 2k
∴A ( 2 , 3 ) ，C ( 2 , 5 ) ，
又∵ S
ABC
1
，
∴ 2 AB•CH=1，
1
∵AB=3，
∴CH= 3 ，
2
∵点 A、C 纵坐标的差是 CH，
2k
2k
即35
2
3
，
5
解得 k= 2 ，
故选 C．
k
5．如图，P 是反比例函数 y = x 图象上一点，过 P 作 x 轴的垂线 PA，若 S
直角坐标系中是怎样一种情况呢？可以试着动手画一画．
北师大版数学九年级上册反比例函数的图象与性质课件
同特征？
y y 2
x
y y 4 x
y y 6 x
O
x
O
x
O
x
概念归纳
反比例函数 y k 的图象,当k>0时，在每一象限内，y随x的增大
x
而减小；当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大.
典例精析
例1：已知反比例函数 y k 的图象过点(-2，-3)，函数图象上 x
有两点A( 2 7, y1),B(5,y2) ,C(-8,y3) ,则y1与y2、y3的大小关系为
(C )
A.y1> y2 > y3 C.y2 > y1 >y3
B.y1< y2 < y3 D.不能确定
解析：已知反比例函数过点（-2，-3），所以可知k > 0 ,可判断 y1>0， y2 > 0， y3 ＜ 0. 由概念可知,当k >0时，在每个象限内，y随 x的增大而减小，所以y2>y1>0>y3.
为: y 8 . x
(3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画 出另一支，图象略．
课堂小结
反比例函数的性质
性质
当k＞0时，在每一象限内，y的值随x 的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，y的值随x 的增大而增大.
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
y
B
A
A. y 1
2x
O
B. y 1
x
x
C. y 2
x
D. y 1
4x
2.下列关于反比例函数 y 12 的三个结论： x
(1)它的图象经过点（-1,12）和点（10，-1.4）；
(2)它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；
北师大版九年级上册数学 6.2 第2课时 反比例函数的性质 优秀教案
第2课时反比例函数的性质1.理解并掌握反比例函数图象的性质；（重点）2.能利用反比例函数的图象与性质解决问题.（难点）一、情景导入在一个平面直角坐标系中，根据所提供的两组数据描绘出相应的反比例函数图象.6 16 －1解析式，看看它们之间是否存在着某些关系？二、合作探究探究点一：反比例函数图象的性质【类型一】利用反比例函数的性质确定字母的取值范围在反比例函数y＝1－kx的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（）A.－1B.0C.1D.2解析：反比例函数y＝1－kx的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，根据反比例函数的性质可知，该图象的两个分支分别在第二、四象限内，所以该函数的比例系数1－k＜0，解得k>1.故只有D项符合题意.故选D.方法总结：反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.【类型二】比较函数值的大小在反比例函数y＝－1x的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（）A.y3＞y1＞y2B.y3＞y2＞y1C.y1＞y2＞y3D.y1＞y3＞y2解析：本题方法较多，一是根据x1，x2，x3的大小即可比较；二是画出草图，根据反比例函数图象的性质比较；三是利用特殊值法.（方法一）比较法：由题意，得y1＝－1x1，y2＝－1x2，y3＝－1x3，因为x1＞x2＞0＞x3，所以y3＞y1＞y2.如图，在直角坐标系中作出y＝－1x的草图，描出符合条件的三个点，观察图象直接得到y3＞y1＞y2.（方法三）特殊值法：设x1＝2，x2＝1，x3＝－1，则y1＝－12，y2＝－1，y3＝1，所以y3＞y1＞y2.故选A.方法总结：此题的三种解法中，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.探究点二：反比例函数图象中比例系数k的几何意义如图，四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数y＝kx的图象经过点B （x0，y0），则k的值为.解析：∵四边形OABC 是边长为1的正方形，∴它的面积为1，且BA ⊥y 轴.又∵点B （x 0，y 0）是反比例函数y ＝kx 图象上的一点，则有S 正方形OABC ＝|x 0y 0|＝|k |，即1＝|k |.∴k ＝±1.又∵点B 在第二象限，∴k ＝－1.方法总结：利用正方形或矩形或三角形的面积确定|k |的值之后，要注意根据函数图象所在位置或函数的增减性确定k 的符号.三、板书设计反比例函数的性质⎩⎪⎨⎪⎧性质⎩⎪⎨⎪⎧当k ＞0时，在每一象限内，y 的值随x 的值的增大而减小当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 的值的增大而增大反比例函数图象中比例系数k 的几何意义通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，概括反比例函数的有关性质，进行语言表述，训练学生的概括、总结能力，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力.让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.。
6.2反比例函数图象与性质(二) 教学设计
6.2反比例函数图象与性质（二）教学设计一、教学内容分析：反比例函数是初中数学中的一个重要内容，学生在初中阶段就开始接触并学习反比例函数。
在6.2反比例函数图象与性质（二）这一教学内容中，主要是对反比例函数的图象与性质进行深入的学习和探讨。
通过本节课的学习，学生将能够更加深入地理解反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象特点，并能够运用所学知识解决相关问题。
二、教学目标：1. 知识与技能：掌握反比例函数的图象特点和性质，能够绘制反比例函数的图象，并能够利用反比例函数解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生的观察、分析和解决问题的能力，培养学生的动手能力和合作意识。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，提高学生的学习积极性。
三、教学重点与难点：重点：反比例函数的图象特点和性质难点：利用反比例函数解决实际问题四、教学过程：1.导入新课老师可以通过一个有趣的实例引入本节课的主题。
讲述一个关于反比例函数的生活实例，让学生通过生活中的场景来理解反比例函数的图象特点和性质。
2.呈现新知识在呈现新知识环节，老师可以通过课件或者板书向学生介绍反比例函数的图象特点和性质，包括反比例函数的图象穿过第一、第二象限，并且不经过原点。
要让学生掌握反比例函数的图象是一条经过原点的反比例函数的图象。
3.引导学生发现规律4.巩固训练在这一环节，老师可以设计一些练习题让学生巩固所学知识。
通过练习题，让学生掌握绘制反比例函数图象的方法，同时培养学生解决问题的能力。
5.拓展应用在本节课的拓展应用中，老师可以设计一些生活中的实际问题，让学生利用所学知识解决问题。
通过反比例函数解决物体放大缩小的问题，或者解决两个物体的关联问题等。
通过这些拓展应用的例子，帮助学生更好地理解反比例函数的实际应用。
6.课堂总结在本节课的总结环节，老师可以对本节课的重点内容做一个简要的总结，并对学生在学习中可能存在的问题进行解答和讨论。
九年级数学上 反比例函数 6.2 反比例函数的图象与性质 第2课时 反比例函数的性质备课素材
第六章 反比例函数2 反比例函数的图象与性质 第2课时 反比例函数的性质素材一 新课导入设计 情景导入置疑导入类比导入悬念激趣同桌二人分工，一位同学在坐标纸上分别画出y ＝2x ，y ＝4x ，y ＝6x的图象，另一位同学在坐标纸上分别画出y ＝－2x ，y ＝－4x ，y ＝－6x的图象．[说明与建议] 说明：一是让学生进一步熟悉作反比例函数图象的步骤，规范学生的作图，在作图的过程中反馈校正；二是为本节课动手操作，继续探究反比例函数图象的性质做准备．建议：通过展示，学生间相互找问题，能够将反比例函数图象画得标准规范．这样做能够暴露出画图中存在的问题，比直接展示课件图象效果要好得多，同时也节省了上课画图所用的时间．回答下列问题：问题1 下列函数中，哪些是反比例函数？ (1)y ＝1x ＋1；(2)y ＝－3x ；(3)y ＝1x 2；(4)y ＝2x. 问题 2 反比例函数y ＝2x 的图象是什么形状的？位于第几象限？有什么特点？y ＝－3x 呢？问题3 你知道反比例函数的图象还有哪些特点吗？反比例函数还有其他的性质吗？ [说明与建议] 说明：反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．建议：问题1由学生口答，并说出理由，借以复习反比例函数的定义；问题2让学生凭空间想象能力回顾反比例函数y ＝2x ，y ＝－3x 的图象，并说出每个函数的图象特点，在具体问题中加深对反比例函数图象的再认知．教师及时给予指导纠错，再通过问题3引入本节课的内容．素材二 考情考向分析[命题角度1] 比较反比例函数值的大小比较大小的方法有两种，一是直接将点的横坐标代入关系式，计算出y 的值，然后比较大小；二是根据反比例函数的性质比较．注意利用性质比较简单．例 [安顺中考] 如果点A(－2，y 1)，B(－1，y 2)，C(2，y 3)都在反比例函数y ＝kx (k>0)的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是(B )A ．y 1<y 3<y 2B ．y 2<y 1<y 3C ．y 1<y 2<y 3D ．y 3<y 2<y 1[命题角度2] 一次函数与反比例函数的数形结合应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．图6－2－16例 [聊城中考] 如图6－2－16，一次函数y 1＝k 1x ＋b 的图象和反比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y 1<y 2，则x 的取值范围是(D )A ．x<1B ．x<－2C ．－2<x<0或x>1D ．x<－2或0<x<1[命题角度3] 反比例函数与图形面积的关系由双曲线y ＝kx 上的任意一点向两坐标轴引垂线，这一点与垂足及原点所确定的三角形的面积均为定值12|k|.图6－2－17例 [娄底中考] 如图6－2－17，M 为反比例函数y ＝kx 的图象上的一点，MA 垂直于y轴，垂足为A ，△MAO 的面积为2，则k 的值为__4__．[命题角度4] 一次函数与反比例函数的综合应用 反比例函数是中考命题的主要考点，近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程(组)等综合的解答题．其中，将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向．图6－2－18例 [遂宁中考] 已知：如图6－2－18，反比例函数y ＝kx 的图象与一次函数y ＝x ＋b的图象交于点A(1，4)、点B(－4，n)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△OAB 的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．[答案：(1)一次函数的表达式为y ＝x ＋3 反比例函数的表达式为y ＝4x(2)152 (3)－4<x<0或x>1]素材三 教材习题答案1．(1)已知点(－6，y 1)，(－4，y 2)在反比例函数y ＝－6x 的图像上，试比较y 1与y 2的大小．你是怎么做的？(2)已知点(4，y 3)，(6，y 4)在反比例函数y ＝－6x 的图像上，试比较y 3和y 4的大小．(3)已知点(－4，y 5)，(6，y 6)在反比例函数y ＝－6x 的图像上，试比较y 5和y 6的大小．解：(1)∵－6<0，∴反比例函数y ＝－6x 的图像在第二象限内，y 随x 的增大而增大．∵－6<－4，∴y 1<y 2.(2)y ＝－6x 的图像在第四象限内，y 随x 的增大而增大．∵4<6，∴y 3<y 4.(3)∵反比例函数y ＝－6x的图像在第二象限内，y>0，在第四象限内．y<0，∴y 5>y 6.2．下列函数中，其图像位于第一、三象限的有________；在其图像所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有________．(1)y ＝12x ； (2)y ＝0.3x ；(3)y ＝10x ； (4)y ＝－7100x.[答案] (1)(2)(3) (4)[解析] 当k 分别为0.5，0.3，10时，反比例函数的图像在第一、三象限内．当k ＝－0.07时，反比例函数的图像在第二、四象限内，y 的值随x 值的增大而增大．P 157习题6.31．下列函数中，图像位于第一、三象限的有________；在图像所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有________．(1)y ＝23x ；(2)y ＝0.1x ；(3)y ＝5x ；(4)y ＝－275x .[答案] (1)(2)(3) (4)2．已知点(2，y 1)，(1，y 2)，(－1，y 3)，(－2，y 4)都在反比例函数y ＝1x 的图像上，比较y 1，y 2，y 3与y 4的大小．解：由题意得，y 1＝12， y 2＝1, y 3＝－1, y 4＝－12，所以y 3< y 4<y 1< y 2.3．已知点P(3，2)、点Q(－2，a)都在反比例函数y ＝kx 的图像上．过点P 分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S 2.求a ，S 1，S 2的值．解：将点P(3.2)代入y ＝kx ，得k ＝6.S 1＝3×2＝6.将点Q(－2，a)代入y ＝6x 得a ＝－3.S 2＝|－2|×|－3|＝6.4．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都在反比例函数y ＝1x 的图像上，且x 1＞x 2，比较y 1与y 2的大小．解：当x 1>x 2>0时，y 1<y 2；当x 1>0> x 2时，y 1>y 2；当0>x 1>x 2时，y 1<y 2. 5．已知矩形的面积为9，试用图像表示出这个矩形两邻边之间的关系． 解：如图所示：素材四 图书增值练习1.直角三角形两直角边的长分别为x ，y ，它的面积为3，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）2. 已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y =5x的图象上的两点，若x 1<0<x 2，则 有（ ）A. y 1<0<y 2B. y 2<0<y 1C. y 1<y 2<0D. y 2<y 1<03． 已知反比例函数1k y x-=（k 为常数，1k ≠）． （1）若点2A (1 )，在这个函数的图象上，求k 的值；（2）若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围； （3）若13k =，试判断点34B ( )，，25C ( )，是否在这个函数的图象上，并说明 理由．4. 如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数b x y +-=1的图象与反比例函数xky =2的图象相交于点A （5，1）和1A . （1）求这两个函数的关系式； （2）由反比例函数xky =2的图象的特征可知：点A 和1A 关于直线x y =对称.请 你根据图象，填写点1A 的坐标及21y y <时x 的取值范围.5. 如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．x y O A xyO C x y OB xyO D6. 若一次函数y=kx +1的图象与反比例函数y =x1的图象没有公共点，则实数k 的取值 范围是 .7. 如图，直线y=x +2与双曲线y=xm 3-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ）8. 如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （-3，0）. (1)求点D 的坐标；(2)求经过点C 的反比例函数解析式.9. 如图，已知反比例函数)0(≠=k x k y 的图象经过点（21，8），直线b x y +-=经 过该反比例函数图象上的点Q (4，m )．(1)求上述反比例函数和直线的函数关系式；xyABO1S2S(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积．10. 如图所示，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，且点A、B•的横坐标分别为a、2a（a>0），AC⊥x轴于点C，且△AOC的面积为2．（1）求该反比例函数的解析式．（2）若点（-a，y1）、（-2a，y2）在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．（3）求△AOB的面积．【知识要点】1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象，体会反比例函数的三种表示方法的互相转换，对函数进行认识上的整合．2．会根据反比例函数图象的某些特征，分析并掌握反比例函数的性质，感受数形结合的数学思想方法.3.能运用反比例函数图象与对应的函数关系之间的内在联系及其几何意义解决有关问题．【温馨提示】1.反比例函数的画法的应注意：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；②选取的点越多画的图越准确；③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）.2.反比例函数图象的位置和增减性都与比例系数k 的符号有关；反之，由双曲线的位置或函数的增减性也可以判断k 的符号，反比例函数的增减性只能在同一个象限内讨论．如点A （-1，y 1），B （-2，y 2），C （1，y 3）在双曲线y=-2x 上，求y 1、y 2、y 3的大小时，必须考虑这三点是不是在一个象限，不在一个象限时不能使用反比例函数的性质。
北师版初中九年级上册数学精品教学课件 第六章6.2.2 反比例函数的性质
P (x1,y1)
4
–6
–4
–2 O
S2 –2
轴的平行线，与坐标轴围成的矩 (x2,y2) Q
形面积为S2，S1与S2有什么关系？
S1=|x1|•|y1|=|k|, S2=|x2|•|y2|=|k|, S1=S2=|k|.
–4
–6
S1
2
x
4
6
反比例函数 = (k≠0)中 k的几何意义包括以下两种：
6.2.2 反比例函数的图
象和性质
初中数学
九年级上册 BSD
学习目标
1.能够应用反比例函数的图象和性质解题.
2.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运
用于坐标系中图形的面积计算.
3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的
思想方法.
知识回顾
反比例函数
k
k>0
y
k
x
(k≠0)
k<0
x
x
2x
5
3.如图所示，点 A 在双曲线 = 上，点 B 在双曲线
8
= 上，且 AB//x 轴，则△OAB 的面积=.
5
点 A 在 = 上
8
点 B在 = 上
5
S△AOC= 2
S△OBC=4
3
S△OAB=
2
CБайду номын сангаас
课堂小结
画法
列表、描点、连线
形状
双曲线
图象
反比例
函数的
图象和
性质
图象位置
图象
图象位置
性质
图象位于第一、
图象位于第二、第
6.2+反比例函数的图象与性质+第2课时+课件+++2023-2024学年北师大版九年级上册数学
；②S1
S2(填“＞”、
“＜”“＝”)；
(2)当S1＋S2＝2时，求k的值及点D、E的坐标.
解:(1)①(4，2)；②＝.
合作探究
(2)当S1＋S2＝2时，∵S1＝S2，
∴S1＝S2＝1＝ k，∴k＝2.
∵S1＝ AD·AO＝ AD×2＝1，∴AD＝1.
∵S2＝ CO·EC＝ ×4·EC＝1，∴EC＝ ，
大小关系为
变式训练
y1＜y2 .
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都是反比例
函数y＝－ 的图象上的点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3由小
到大的顺序是
y2＜y3＜y1 .
合作探究
方法归纳交流 解决此类问题，可以利用反比例函数的增
减性，也可以在反比例函数的图象上找到相应的点，从而更直
S矩形OAPB＝OA·AP＝∣m∣·∣n∣＝k.
这时矩形的面积与k有关，说明k是有几何意义的，这就是今
天我们要研究的主要内容.
预习导学
反比例函数图象的增减性
阅读教材本课时“想一想”之前的内容，回答以下问题.
反比例函数y＝ (k≠0)的图象是
＞0时，双曲线分别位于第
双曲线 ，当k
一、三 象限内，同时在每一
第六章 反比例函数
2 反比例函数的图象与性质
第2课时
素养目标
1.掌握反比例函数图象在每一象限内的变化情况.
2.通过数形结合探索反比例函数中系数k的几何意义，并能
应用其解决实际问题.
◎重点:知道反比例函数的增减性及系数k的几何意义.