最新高教版数学教案——换底公式与自然对数

换底公式与自然对数

教学目标：

1.理解对数换底公式的意义，掌握其推导方法，并能应用公式进行恒等变形，提高解题能力.

2.通过一题多解，培养学生的发散思维.

3.通过多思、多解、多变的引导，培养学生的综合能力，全面提高学生的素质.

教学重点：

1.换底公式的证明.

2.应用公式的能力.

教学难点：

证明思路的发现.

教学方法：

启发式讲授法.

教学过程：

一、新课引入

在对数式的计算与含对数式的证明过程中，常需要把不同的对数化为同底的对数，所以我们现在引进对数的换底公式，即＝(、、均为正数，≠1，≠1).

二、讲授新课

为了加深对换底公式的记忆与理解，下面我们用多种方法加以证明：

证明一：利用指数式与对数式互化(通过一题多解，达到灵活，综合应用的目的，同时，也可打开学生的证明思路).

令，＝，则＝，两边数以(＞0，且≠1)为底的对数，得＝ .

∵ ≠1，∴ ≠0. ∴ ＝，即＝.

证明二：利用对数恒等式令＝，则＝，由对数恒等式，得

＝(＞0，≠1).

∴ ＝()＝.

∵ ≠1，∴ ≠0.

化为对数式，得＝·

＝，

即＝.

证明三：利用对数恒等式由对数恒等式知＝(＞0，且≠1).

两边同时取以为底的对数，得

＝＝·，

∵ ≠1，∴ ≠0.

∴ ＝.

证明四：利用对数恒等式的换元法.由对数恒等式知：＝，＝，＝(＞0，且≠1，＞0，且≠1).

∵ ＝＝()＝，

∴ ＝·.

∴ ＝.

证明五：设＝，

∴ ＝·＝.

∴ ＝，

＝，

即＝.

证明六：令＝＝，

＝＝，

∴ ()＝＝.

∴ ＝·＝·，

即＝.

注学生还可运用更多的方法证明，这个公式也可根据情况，略讲证明一、二.

在科学技术中，常使用以＝2.718 28…为底的对数，以为底的对数叫做自然数，通常记作，根据换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：

≈2.30 26.

练习：利用换底公式证明(这组题均可视为换底公式的推广)：

(1)＝；

(2).

证明：(1)(变形·＝1)；

(2).

熟悉这些由换底公式变形得来的公式，在求对数值，进行对数的恒等变换、解对数方程时，可简化计算过程.

例1 求的值.

解法一：

＝

解法二：

例2 已知，求.(可以先分析证明思路，后让学生以课外作业的形式完成它.)

解法一：(分析，观察已知条件，对数与幂的底均为18，因此联想换底公式，把换成以18为底的对数，沟通条件与结论的联系.)

∵ ＝5，∴ .

∴ .

解法二：(分析，比较题中所求各式中的底数，真数、指数值分别为18、9、5、36、45将它们分解质因数得2、3、5，进而有4、6、9、10、12、15、18等为因数，因此在换底时，可以分别选择它们做对数的底数.)

统一换成以2为底，

.

由＝5.

∴ ，代入值，得

＝.

可以因底的不同选择而有多种不同解法.

解法三：(分析：两已知条件中一个为对数形式，一个为指数形式，将其统一为对数形式，应用对数的运算法则进行计算.)

＝5∴ ，

∴ ＋＝＋,

即＝＋

或＝＋,

(＋)·＝＋,

(2－)·＝＋.

∴ ＝.

解法四：统一为指数式

∵ ＝＝9 已知＝5，

∴ 45＝·＝.

两边取36为底的对数，

∴ .

＝.

以上各种解法，可根据实际情况选用，讲思路后，让学生以课外作业的形式完成.

三、小结

1.对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具.

2.利用对数换底公式，可以把一个对数换成以1之外的任何正数为底数的对数.

3.在使用公式时应注意公式成立的条件：

＞0，≠1，＞0，≠1，＞0.

四、作业

第120页练习第3，4，5题，练习第1，4题.