选修4-1 几何证明选讲

知识与方法
热点与突破
所以EC平分∠DEF.
知识与方法
热点与突破
[规律方法] (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点 共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形 的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内
对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
知识与方法
热点与突破
【训练4】 如图所示，已知AP是⊙O的切线，P 为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C 两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的
所以∠ABC＝∠CAE. 又因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠CAD.
从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD. 因为∠ADE＝∠ABC＋∠BAD， ∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，
知识与方法 热点与突破
所以∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED.
因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知， EA2＝EC· EB. 而EA＝ED，所以ED2＝EC· EB.
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[规律方法] 在证明角或线段相等时，要注意等量代
换．在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆
的切割线定理．
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热点与突破
【训练2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直
线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB. 证明：(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
2．(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
知识与方法 热点与突破
3．(1)圆内接四边形的性质定理： ①圆的内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那 么这个四边形的四个顶点共圆． 4．(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
若DB＝9，则BM＝________． 解析 ∵ E 是 AB 的中点，∴ AB＝2EB. ∵AB＝ 2CD，∴CD＝EB. 又 AB∥CD，∴四边形 CBED 是平行四边形．
∠ DEM＝∠ BFM， ∴CB∥ DE，∴ ∠ EDM＝∠ FBM，
DM DE ＝ . ∴△ EDM∽△ FBM.∴ BM BF ∵F 是 BC 的中点，∴ DE＝2BF. 1 ∴DM＝ 2BM，∴ BM＝ DB＝3. 3 答案 3
5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中 给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线 段替换或等比替换．
6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等
的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定 理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题
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中的应用.
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热点与突破
于D点，CM⊥AB，垂足为点M.
证明：(1)DC是⊙O的切线； (2)AM· MB＝DF· DA.
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证明
(1)如图，连接OC，∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC.又∵AC是∠BAF的平分 线，∴∠DAC＝∠OAC. ∴∠DAC＝∠OCA.∴AD∥OC.又CD⊥AD， ∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切线． (2)∵AC是∠BAF的平分线，∠CDA＝∠CMA＝90°， ∴CD＝CM. 由(1)知DC2＝DF· DA，又CM2＝AM· MB， ∴AM· MB＝DF· DA.
热点与突破
[规律方法] (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质 灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边． (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等； 可间接证明线段相等．
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【训练1】 如图，在梯形ABCD中， AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是
AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.
知识与方法
热点与突破
[真题感悟]
[考题分析]
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1．(1)相似三角形的判定定理
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两
个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似． 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，
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于是∠EHD＝∠AHC＝120°.
因为∠EBD＋∠EHD＝180°， 所以B、D、H、E四点共圆．
(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，
得∠HBD＝30°. 由(1)知B、D、H、E四点共圆， 所以∠CED＝∠HBD＝30°. 又∠AHE＝∠EBD＝60°，
由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.
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证明
(1)如图，因为D，E分别为AB，AC的
中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边 形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD. 而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平
行四边形，故CD＝AF. 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF. 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.
∴∠BGD＝∠BDG，由BC＝CD知，∠CBD＝∠CDB.
又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC， 故△BCD∽△GBD.
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热点二
“四定理”——相交弦定理、割线定 理、切割线定理、切线长定理的应用
【例3】 如图，AB是⊙O的直径，C，F
为⊙O上的点，AC是∠BAF的平分 线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线
那么这两个三角形相似．
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三 条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个
三角形相似．
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(2)相似三角形的性质
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分 线的比都等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方． (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角 边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜 边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
(2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半
径的直线是圆的切线． (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段
长的积相等． (5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这
点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
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[规律方法] 已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连
线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或 线段的积时要考虑切割线定理．
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【训练3】 如图，设△ABC的外接圆的切
线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC 的平分线与BC交于点D.求证：ED2＝
EC· EB. 证明 因为AE是圆的切线，
中点．
(1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小． (1)证明 连接OP、OM， ∵AP与⊙O相切于P，∴OP⊥AP，
又∵M是⊙O的弦BC的中点，
∴OM⊥BC， 于是∠OMA＋∠OPA＝180°， 由圆心O在∠PAC的内部，
知识与方法 热点与突破
可知四边形 APOM 的对角互补， ∴A，P，O，M 四点共圆． (2)解 由(1)得 A，P，O，M 四点共圆，可知∠OAM ＝∠OPM，又∵OP⊥AP，由圆心在∠PAC 的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， ∴∠OAM＋∠APM＝90°.
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热点三
四点共圆的判定
【例4】 如图，已知△ABC的两条角平分线 AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC 上，且AE＝AF.证明：(1)B、D、H、E
四点共圆；
(2)EC平分∠DEF. 证明 (1)在△ABC中，因为∠B＝60°，
所以∠BAC＋∠BCA＝120°.
因为AD、CE是角平分线， 所以∠HAC＋∠HCA＝60°， 故∠AHC＝120°.
热点一
相似三角形的判定及性质
【例1】如图，BD、CE是△ABC对应边上 的高． 求证：△ADE∽△ABC.
证明 ∵BD、CE 是△ABC 的高， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°.又∵∠A＝∠A， AD AB ∴△ADB∽△AEC，∴ ＝ .又∵∠A＝∠A， AE AC ∴△ADE∽△ABC.
知识与方法
知识与方法 热点与突破
︵ ︵ 【例 2】 如图，已知圆上的弧AC＝BD，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点．
证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE· CD.
︵ ︵ 证明 (1)因为AC＝BD，所以∠ABC＝∠BCD. 又因为 EC 与圆相切于点 C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， BC CD 所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC ，即 BC2＝BE· CD.