矩阵理论试卷集锦
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上 海交通大学 2015-2016 学 年 第 一 学 期 《 矩 阵 理 论 》 试 卷 (A)
姓名 学号 教师姓名 成绩
一 . 单 项选 择 题 (每 题 3 分 , 共 15 分 ) 1. 设 V = R[x]2016 是 次数 小 于 2016 的实 多项 式 构成 的 实线 性 空间 . 设 n ≥ 0, f (n) (x) 表 示 f (x) ∈ V 的 n 阶 导数 , f (0) (x) = f (x). 给 定 V 的两 个子 空 间 U, W 如下 : U = {f (x) ∈ V | f (n) (0) = 0, n ≤ 1949}, W = {g (x) ∈ V | g (x) = x1896 (x − 1)60 h(x), ∀h(x) ∈ V }. 则 V 的子 空 间 U + W 的 维 数 dim (U + W ) =( ). (A) 120 (B) 119 (C) 118 (D) 117 2. 设 A 是 m × n 阶 非 零 复 矩 阵 , R(A), N (A) 分 别 表 示 A 的 列 空 间 与 零 空 间 . 设 A = LR 是 A 的 一 个满 秩 分解 . 考虑 下 述 8 个 等式 : R(A) = R(L), R(A∗ ) = R(L∗ ), R(A) = R(R), R(A∗ ) = R(R∗ ), N (A) = N (L), N (A∗ ) = N (L∗ ), N (A) = N (R), N (A∗ ) = N (R∗ ). 则上述等式恒成立的个数为 ( ). (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 ( 3. 设 两 个 5 阶 复矩 阵 A 与 B 的 最小 多 项式 分别 为 x3 (x − 1) 与 x2 (x − 1)2 , 则矩 阵 ) 2A − B B − A 的 Jordan 标 准形 所 含 Jordan 块 的个 数为 ( ) 2A − B 2B − A (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 4. 设 A 为 n 阶 正规 矩 阵, ||| • |||F 是 矩 阵的 F- 范数 , 则 ( ). 2 2 2 ∗ (A) ||| A |||F = |||A|||F (B) |||A |||F = |||A A|||F ∗ ∗ ∗ sup x Ax sup x A Ax (C) ||| A|||F =x=0 ∗ (D) ||| A|||2 = F x=0 x x x∗ x 5. 设 A 是 m × n 阶 复 矩 阵 , A† 是 A 的 Moore-Penrose 广 义 逆 , A∗ 表 示 矩 阵 A 的 共 轭 转置. 考虑下述 4 个等式: A∗ AA† = A∗ ; A† AA∗ = A∗ (A∗ A)† A∗ = A† (A∗ A)† A∗ = A∗ 则上述等式恒成立的个数为 ( ). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二 . 填 空题 (每 题 3 分 , 共 15 分) 6. 设 σ 是 R2 上 的 线 性 变 换, e1 = (1, 0, )T , e2 = (0, 1)T , σ (e1 ) = e1 , σ (e1 + e2 ) = 2e1 , 则 σ 关 于 基 e1 + e2 , e1 − e2 的 矩阵 为 ( ). 7. 设 e1 = (1, 0, 0)T , e2 = (0, 1, 0)T , A = (e1 , e1 ). 则 Ax = e2 的最 优解 为 ( 0 1 1 8. 设 A = 0 0 1 , 则 cos 2 (At) − sin 2 (At) =( 0 0 0 9. 设 A 是 秩 为 2 的 3 阶 投 影 矩 阵 , 3B = I − A, C = 为 ( √ ). 10. 设 α, β ∈ Cn (n ≥ 2), || • ||2 是 向 量 的 2- 范 数 (即 欧 几 里 德 范 数 ), ||α||2 = 1, ||β ||2 = 10, α∗ β = 3. 则 矩阵 αβ ∗ +βα∗ 的 Moore-Penrose 广义 逆 为 ( ).
,矩阵 sinA的 Jordan 标准形J 1 2 ， A 的 Cholesky 分解 A 3 2 1 0 ，B 2 1 2
L .
5. 设给定矩阵A 换 T 为 : T X kX
0 , 矩阵空间R 1
上线性变
AXB , ∀X ∈ R
来自百度文库
. T 是可逆变换当且仅当参数 k
满足条件 . 三. 设V是有限维欧氏空间, u ∈ V是一个单位向量, V上线性变换σ定 义为: 对任意x ∈ V, σ x x a x, u u.
(1) 试求非 0 实数 a,使得σ是V上正交变换. (2) 多项式空间 R x 中的内积定义如下 : 对任意 f x , g x ∈ R x , f x ,g x f x g x dx . 试求 R x 中向量 α 1和β x 的长度 ;
(3)计算e ; (4)设x 0 六. 设 σ是由线性空间R 到线性空间 R 上的线性变换 , 其中 m n. (1)试证: 存在R 到R 上的幂等变换τ,及R 到R 上的单变换φ,使 得σ φ ∙ τ 2, n 4 , 线性变换 σ 为 : σ x, y x, y, 2x, y . 试求 1 2 3 . 求定解问题x t Ax t 的解.
(2) 令 m
R 上一组标准正交基 , 及 R 上一组标准正交基 , 使得线性变换 σ 在这
两组基下的矩阵为对角线元素均非负的4
2矩阵.
七. 证明变换tr: X → tr X 是线性空间M R 到R的满足性质: σ XY σ YX 及σ I n的唯一的线性变换.
þ°
6¶
Ï Œ Æ 2013-2014 Æ c 1 ˜Æ Ï 5 Ý
并求正实数k和单位向量u ∈ R x , 使得上述正交变换σ将向量α变成 kβ. 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 0
四. 设A
(1) 求矩阵 A的一个满秩分解 LR ,使得 L的第一列为矩阵A 的最后一 列, 并给出A的列空间R A 的一组基; (2)求A的左零化空间N A 的一组基; 1 1 , 求向量 b 在线性空间R A 上的最佳近似. 1 1
随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定
2. 设 是 n 维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不 同的是( A. σ是单映射 C. σ是一一对应 ) B. dim Im σ D. σ适合条件σ n 0
3. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是( ) A. e 是实的反对称矩阵 B. e 是正交矩阵 C. cos A是实的反对称矩阵 D. sin A是实的对称矩阵 4. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法 ① |B| ③ AB 0 ②B是幂等矩阵 BA B ④r A r B
∞ ∑ n=1
).
).
B n , 则 eCt 的 Jordan 标 准 形
1
三 . 计算 题 与证 明题 (11-14 题每 题 15 分 , 15 题 10 分, 共 70 分 ) 11. 设 U = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x + y + z + w = 0}, W = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x − y + z − w = 0} 是 通常 欧氏 空 间 R4 的两 个 子空 间 . 设 I 是 R4 上的 恒 等变 换. ∩ ∩ (1) 求 U 与 U W 的正 交 补 (U W )⊥ 的各 一 组标 准 正交 基; (2) 试求 出 R4 上 的所 有 正交 变换 σ 使 得线 性变 换 I − σ 的 核 Ker(I − σ ) = U .
2
12. 设 n ≥ 2, x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ∈ Cn . 定 义线 性 变换 σ : Cn → Cn 如下 : σ (x) = (x2 , x3 , ..., xn , x1 )T . 设 σ 在 标 准基 e1 , e2 , ..., en 下的 矩 阵为 A, 其 中 ei (1 ≤ i ≤ n) 为 n 阶单 位 矩阵 的第 i 列 . (1) 求 A; (2) 求 σ 的 特征 值与特 征 向量 ; (3) 求 A 的谱 分 解 (请 写 出乘法 形式 与 加法 形式 ).
ÆÒ 15 ©) “6¶
nØ6Áò
¤1
˜ . ü ‘ À J K (z K 3 © , 1.
V ´ N 3 ¢Ý ¤ ¢‚5˜m. U = {A = (aij ) ∈ V | a12 + a23 + a31 + a32 = 0}, W = {A ∈ V | AT − A = 0}. K dim (U W ) =( ). (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 2. U, W, X ´‚ 5˜m V ?¿n ‡f˜m . • Äe ª: `. (U + W ) X = (U + X ) (W + X ); ¯. (U + W ) X = (U Z. X + (U W ) = (X + U ) (X + W ); ¶. X + (U W ) = (X Kþão‡ ªð¤á ‡ê•( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. α ´ n (n ≥ 2) ‘ ü • þ, `. A •3n ©) Z. A •3 QR ©) Kþão‡·Kð¤á ‡ê•( (A) 1 (B) 2 A = αα∗ . •Äe ·K µ ¯. A •3Ì©) ¶. A •3ÛÉŠ©) ). (C) 3 (D) 4
5
15. 设 A 为 n 阶 复 矩阵 . (1) 证明 : 存 在酉 矩 阵 U 和 半 正定 矩阵 P , 使得 A = U P . (此分 解称 为 A 的 极分 解 .) (2) 给出 U 与 P 唯 一的 充 分必 要条 件 .
6
2014‐2015 学年度上学期《矩阵理论》期末试题
一. 选择题: 1. n 2 阶实奇异矩阵 A 的特征多项式与最小多项式相等 , 则 A 的伴
3
2 2 −1 13. 设 A = −1 −1 1 . −1 −2 2 (1) 求 A 的 Jordan 标准 形 J ; (2) 计算 eAt ; (3) 设 x(0) = (1, 0, 0)T . 求 定 解问 题 x (t) = Ax(t) 的 解.
4
14. 已知 n 阶 Hermite 矩 阵 A 的秩 为 r, 其谱分 解为 A = U DU ∗ , 其 中 U 为 酉矩 阵 , D = diag (a1 , · · · , ar , 0, · · · , 0) 是 对 角矩阵 . 记 I 为 n 阶 单 位矩 阵 . (1) 判 断 矩 阵 C = eA 是 否 存 在 正 交 三 角 分 解 (即 U R 分 解)? 如 果 判 断 是 , 请 求 出 C 的 一个正交三角分解; 如果判断不是, 请说明理由; ( ) (2) 求分 块矩 阵 M = A sin A 的 奇异 值 分解 .
2. 设 n阶方阵 A的最小多项式为 λ λ 2, λ , λ , … , λ 3. 设A 4. 矩阵 A 1 0 0
全不为 0, 则 dim R A
= ; . LL ，下三角矩阵
1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2
(3)设b
(4) 设 σ 是 线 性 空 间 R 上 的 正 交 投 影 变 换 , 且 满 足 σ 的 像 空 间 Im σ 五. 设矩阵A 1 1 1 2 2 1 2 1 . 2 R A ,试求σ在标准基e , e , e , e 下的矩阵.
(1)求矩阵A的 Jordan 标准形J; (2) 试求一个可对角化矩阵 D和一个幂零矩阵 N ,且DN A D N. ND, 使得
正确的有( )个 A. 1 5. 设 n 维向量x B. 2
√
C. 3 1 1 ⋯ ) 1 C. ‖B‖ 1 1 ,n 2, B I
D. 4 xx ,其中I为单位
矩阵,则下列选项正确的是( A. ‖B‖ 1 B. ‖B‖
D. ‖B‖
1
二. 填空题: 1.设e e ,则A e e 0 e . λ ⋯ λ λ , 其中 n k
姓名 学号 教师姓名 成绩
一 . 单 项选 择 题 (每 题 3 分 , 共 15 分 ) 1. 设 V = R[x]2016 是 次数 小 于 2016 的实 多项 式 构成 的 实线 性 空间 . 设 n ≥ 0, f (n) (x) 表 示 f (x) ∈ V 的 n 阶 导数 , f (0) (x) = f (x). 给 定 V 的两 个子 空 间 U, W 如下 : U = {f (x) ∈ V | f (n) (0) = 0, n ≤ 1949}, W = {g (x) ∈ V | g (x) = x1896 (x − 1)60 h(x), ∀h(x) ∈ V }. 则 V 的子 空 间 U + W 的 维 数 dim (U + W ) =( ). (A) 120 (B) 119 (C) 118 (D) 117 2. 设 A 是 m × n 阶 非 零 复 矩 阵 , R(A), N (A) 分 别 表 示 A 的 列 空 间 与 零 空 间 . 设 A = LR 是 A 的 一 个满 秩 分解 . 考虑 下 述 8 个 等式 : R(A) = R(L), R(A∗ ) = R(L∗ ), R(A) = R(R), R(A∗ ) = R(R∗ ), N (A) = N (L), N (A∗ ) = N (L∗ ), N (A) = N (R), N (A∗ ) = N (R∗ ). 则上述等式恒成立的个数为 ( ). (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 ( 3. 设 两 个 5 阶 复矩 阵 A 与 B 的 最小 多 项式 分别 为 x3 (x − 1) 与 x2 (x − 1)2 , 则矩 阵 ) 2A − B B − A 的 Jordan 标 准形 所 含 Jordan 块 的个 数为 ( ) 2A − B 2B − A (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 4. 设 A 为 n 阶 正规 矩 阵, ||| • |||F 是 矩 阵的 F- 范数 , 则 ( ). 2 2 2 ∗ (A) ||| A |||F = |||A|||F (B) |||A |||F = |||A A|||F ∗ ∗ ∗ sup x Ax sup x A Ax (C) ||| A|||F =x=0 ∗ (D) ||| A|||2 = F x=0 x x x∗ x 5. 设 A 是 m × n 阶 复 矩 阵 , A† 是 A 的 Moore-Penrose 广 义 逆 , A∗ 表 示 矩 阵 A 的 共 轭 转置. 考虑下述 4 个等式: A∗ AA† = A∗ ; A† AA∗ = A∗ (A∗ A)† A∗ = A† (A∗ A)† A∗ = A∗ 则上述等式恒成立的个数为 ( ). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二 . 填 空题 (每 题 3 分 , 共 15 分) 6. 设 σ 是 R2 上 的 线 性 变 换, e1 = (1, 0, )T , e2 = (0, 1)T , σ (e1 ) = e1 , σ (e1 + e2 ) = 2e1 , 则 σ 关 于 基 e1 + e2 , e1 − e2 的 矩阵 为 ( ). 7. 设 e1 = (1, 0, 0)T , e2 = (0, 1, 0)T , A = (e1 , e1 ). 则 Ax = e2 的最 优解 为 ( 0 1 1 8. 设 A = 0 0 1 , 则 cos 2 (At) − sin 2 (At) =( 0 0 0 9. 设 A 是 秩 为 2 的 3 阶 投 影 矩 阵 , 3B = I − A, C = 为 ( √ ). 10. 设 α, β ∈ Cn (n ≥ 2), || • ||2 是 向 量 的 2- 范 数 (即 欧 几 里 德 范 数 ), ||α||2 = 1, ||β ||2 = 10, α∗ β = 3. 则 矩阵 αβ ∗ +βα∗ 的 Moore-Penrose 广义 逆 为 ( ).
,矩阵 sinA的 Jordan 标准形J 1 2 ， A 的 Cholesky 分解 A 3 2 1 0 ，B 2 1 2
L .
5. 设给定矩阵A 换 T 为 : T X kX
0 , 矩阵空间R 1
上线性变
AXB , ∀X ∈ R
来自百度文库
. T 是可逆变换当且仅当参数 k
满足条件 . 三. 设V是有限维欧氏空间, u ∈ V是一个单位向量, V上线性变换σ定 义为: 对任意x ∈ V, σ x x a x, u u.
(1) 试求非 0 实数 a,使得σ是V上正交变换. (2) 多项式空间 R x 中的内积定义如下 : 对任意 f x , g x ∈ R x , f x ,g x f x g x dx . 试求 R x 中向量 α 1和β x 的长度 ;
(3)计算e ; (4)设x 0 六. 设 σ是由线性空间R 到线性空间 R 上的线性变换 , 其中 m n. (1)试证: 存在R 到R 上的幂等变换τ,及R 到R 上的单变换φ,使 得σ φ ∙ τ 2, n 4 , 线性变换 σ 为 : σ x, y x, y, 2x, y . 试求 1 2 3 . 求定解问题x t Ax t 的解.
(2) 令 m
R 上一组标准正交基 , 及 R 上一组标准正交基 , 使得线性变换 σ 在这
两组基下的矩阵为对角线元素均非负的4
2矩阵.
七. 证明变换tr: X → tr X 是线性空间M R 到R的满足性质: σ XY σ YX 及σ I n的唯一的线性变换.
þ°
6¶
Ï Œ Æ 2013-2014 Æ c 1 ˜Æ Ï 5 Ý
并求正实数k和单位向量u ∈ R x , 使得上述正交变换σ将向量α变成 kβ. 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 0
四. 设A
(1) 求矩阵 A的一个满秩分解 LR ,使得 L的第一列为矩阵A 的最后一 列, 并给出A的列空间R A 的一组基; (2)求A的左零化空间N A 的一组基; 1 1 , 求向量 b 在线性空间R A 上的最佳近似. 1 1
随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定
2. 设 是 n 维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不 同的是( A. σ是单映射 C. σ是一一对应 ) B. dim Im σ D. σ适合条件σ n 0
3. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是( ) A. e 是实的反对称矩阵 B. e 是正交矩阵 C. cos A是实的反对称矩阵 D. sin A是实的对称矩阵 4. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法 ① |B| ③ AB 0 ②B是幂等矩阵 BA B ④r A r B
∞ ∑ n=1
).
).
B n , 则 eCt 的 Jordan 标 准 形
1
三 . 计算 题 与证 明题 (11-14 题每 题 15 分 , 15 题 10 分, 共 70 分 ) 11. 设 U = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x + y + z + w = 0}, W = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x − y + z − w = 0} 是 通常 欧氏 空 间 R4 的两 个 子空 间 . 设 I 是 R4 上的 恒 等变 换. ∩ ∩ (1) 求 U 与 U W 的正 交 补 (U W )⊥ 的各 一 组标 准 正交 基; (2) 试求 出 R4 上 的所 有 正交 变换 σ 使 得线 性变 换 I − σ 的 核 Ker(I − σ ) = U .
2
12. 设 n ≥ 2, x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ∈ Cn . 定 义线 性 变换 σ : Cn → Cn 如下 : σ (x) = (x2 , x3 , ..., xn , x1 )T . 设 σ 在 标 准基 e1 , e2 , ..., en 下的 矩 阵为 A, 其 中 ei (1 ≤ i ≤ n) 为 n 阶单 位 矩阵 的第 i 列 . (1) 求 A; (2) 求 σ 的 特征 值与特 征 向量 ; (3) 求 A 的谱 分 解 (请 写 出乘法 形式 与 加法 形式 ).
ÆÒ 15 ©) “6¶
nØ6Áò
¤1
˜ . ü ‘ À J K (z K 3 © , 1.
V ´ N 3 ¢Ý ¤ ¢‚5˜m. U = {A = (aij ) ∈ V | a12 + a23 + a31 + a32 = 0}, W = {A ∈ V | AT − A = 0}. K dim (U W ) =( ). (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 2. U, W, X ´‚ 5˜m V ?¿n ‡f˜m . • Äe ª: `. (U + W ) X = (U + X ) (W + X ); ¯. (U + W ) X = (U Z. X + (U W ) = (X + U ) (X + W ); ¶. X + (U W ) = (X Kþão‡ ªð¤á ‡ê•( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. α ´ n (n ≥ 2) ‘ ü • þ, `. A •3n ©) Z. A •3 QR ©) Kþão‡·Kð¤á ‡ê•( (A) 1 (B) 2 A = αα∗ . •Äe ·K µ ¯. A •3Ì©) ¶. A •3ÛÉŠ©) ). (C) 3 (D) 4
5
15. 设 A 为 n 阶 复 矩阵 . (1) 证明 : 存 在酉 矩 阵 U 和 半 正定 矩阵 P , 使得 A = U P . (此分 解称 为 A 的 极分 解 .) (2) 给出 U 与 P 唯 一的 充 分必 要条 件 .
6
2014‐2015 学年度上学期《矩阵理论》期末试题
一. 选择题: 1. n 2 阶实奇异矩阵 A 的特征多项式与最小多项式相等 , 则 A 的伴
3
2 2 −1 13. 设 A = −1 −1 1 . −1 −2 2 (1) 求 A 的 Jordan 标准 形 J ; (2) 计算 eAt ; (3) 设 x(0) = (1, 0, 0)T . 求 定 解问 题 x (t) = Ax(t) 的 解.
4
14. 已知 n 阶 Hermite 矩 阵 A 的秩 为 r, 其谱分 解为 A = U DU ∗ , 其 中 U 为 酉矩 阵 , D = diag (a1 , · · · , ar , 0, · · · , 0) 是 对 角矩阵 . 记 I 为 n 阶 单 位矩 阵 . (1) 判 断 矩 阵 C = eA 是 否 存 在 正 交 三 角 分 解 (即 U R 分 解)? 如 果 判 断 是 , 请 求 出 C 的 一个正交三角分解; 如果判断不是, 请说明理由; ( ) (2) 求分 块矩 阵 M = A sin A 的 奇异 值 分解 .
2. 设 n阶方阵 A的最小多项式为 λ λ 2, λ , λ , … , λ 3. 设A 4. 矩阵 A 1 0 0
全不为 0, 则 dim R A
= ; . LL ，下三角矩阵
1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2
(3)设b
(4) 设 σ 是 线 性 空 间 R 上 的 正 交 投 影 变 换 , 且 满 足 σ 的 像 空 间 Im σ 五. 设矩阵A 1 1 1 2 2 1 2 1 . 2 R A ,试求σ在标准基e , e , e , e 下的矩阵.
(1)求矩阵A的 Jordan 标准形J; (2) 试求一个可对角化矩阵 D和一个幂零矩阵 N ,且DN A D N. ND, 使得
正确的有( )个 A. 1 5. 设 n 维向量x B. 2
√
C. 3 1 1 ⋯ ) 1 C. ‖B‖ 1 1 ,n 2, B I
D. 4 xx ,其中I为单位
矩阵,则下列选项正确的是( A. ‖B‖ 1 B. ‖B‖
D. ‖B‖
1
二. 填空题: 1.设e e ,则A e e 0 e . λ ⋯ λ λ , 其中 n k