概率论试题2011(A)

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2011-2012-1概率统计试题(A)答案

（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1．1/4；2.0.4；3． 1/3；4. 2/3；5. 2/3。

二、选择题（每小题3分，共15分）1． D ；2. B ；3.A ；4.A ；5.C 。

三、计算下列各题（每小题12分，共24分）1.解：(1)A={第一次取到白球}，B={第二次取到白球}，则A A 和是样本空间的一个划分，且32(),()55P A P A ==，25(|),(|)66P B A P B A ==…………………2分由全概率公式，有P(B)()(|)()(|)P A P B A P A P B A =+ ……………..………5分32258565615=⨯+⨯= ……………..………7分 (2) )()|()()()()|(B P A B P A P B P AB P B A P == …………..………10分 3283/56158=⨯= …………..………12分 2. （1）0()cos 12x f x dx A dx π∞-∞==⎰⎰，……..………2分即02sin |212x A A π==得：12A =…………..………4分（2）()()xF x f x dx -∞=⎰ …………..………6分00,01cos ,0221,x x x dx x x ππ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩⎰ …………..………10分 0,0sin ,021,x x x x ππ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩ …………..………12分四（共28分）1．（6分）解：1,2,X k = ，…………..………1分{1},{2}(1),P X p P X p p ====-…………..……4分X 的分布律为 1{}(1),1,2,k P X k p p k -==-= …………..……6分2.（8分）解：X 的概率密度为1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他 …………..……2分函数22ln ,0,y x y x '=-=-<单调减，且0y >，反函数221(),()2yy x h y e h y e --'===- …………..……4分 2ln Y X =-.的概率密度为：[()]|()|,0()0,0X Y f h y h y y f y y '>⎧=⎨≤⎩…………..……6分 21,020,0y e y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩…………..……8分 3．(14分)解：（1）2012,01()(,)0,x X y dy x f x f x y dy ∞-∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他…………2分34,010,x x ⎧≤≤=⎨⎩其他.............4分 1212,01()(,)0,y Y y dx y f y f x y dx ∞-∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 .............6分 212(1),010,y y y ⎧-≤≤=⎨⎩其他 ..........8分（2）因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X 与Y 不独立. ..............10分（3）1300()(,)12xE XY xyf x y dx xdx y dy ∞∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰..............12分 12= ..............14分五、计算下列各题（每小题6分，共18分）1．解：因为10~(0,1)2X N -10)~(0,1)X N -.........1分所以{911}10)10)10)}P X P X ≤≤=-≤-≤-(21=Φ-Φ=Φ-........3分由题意，2(10.992Φ-≥，即(0.995(2.58)2Φ≥=Φ 所以得到2.582≥ .........5分即26.63n ≥，样本容量n 至少应取27 。

概率论期末考试试卷A

（×
）
求 (1) ( X , Y ) 的联合概率分布律；
③设 n 次独立重复试验中，事件 A 出现的次数为 X，则 5 n 次独立重复试验中，事件 A 出现的次数未必为 5X. （ √ ） ④如果 P( A B) P( A) P( B), ，则事件 A 与 B 互不相容. ⑤如果 P( A) P( B) 1 ，则事件 A 与 B 必定相容. （× （ √ ）（√））
1 , y - 2 x 0, f ( x, y) 4、（本题 18 分）设 X , Y 在由直线 y x 2, x y 2 及 y 轴所围成的区域内服从均（4）当 2 y 0 时， f X |Y ( x y ) 2 y fY ( y ) 其它， 0, 2 匀分布．（1）求 X , Y 的联合概率密度函数 f ( x, y ) ， P{Y X } ； 1 , y-2 x 0, f ( x, y) （2）求 X 、 Y 的边缘概率密度函数 f X ( x) ， fY ( y) ；当 0 y 2 时， f X |Y ( x y) 2 y f Y ( y) 其它， 0, X Y （3）判断与是否相互独立，为什么？
解：（1）由题知平面区域 G 的面积为 SG dx
2
0
x+2
x 2
dy 4,
1 , x-2 y x-2, 2 x<0, 所以 f ( x, y) 4 其它. 0,
P{Y X 2 } dx 2
1 x 0 x2 0 1 1 13 dy ( x 2 x 2 )dx 1 4 4 24
Ae x , x ( >0,A 为常数)，则概率 P{ X< +a }（a>0） 0, x

2010-2011(1)《概率论》(A)和答案2011-1-8

专业、班级：姓名：学号：共8 页第2 页共8页第5页共8页第 6 页共8页第7 页共8页第8 页一、单项选择题(每题3分共30分) （1）B （2）D （3）A（4）B （5）D （6）C （7）C （8）A （9）C （10）B二、（8分）解：()()()0.60.50.40.4P AB P B P AB =-=-⨯=......................4分()()()()0.7P A B P A P B P AB =+-= ......................8分三、（6分）解：设i A 表示第)3,2,1(=i i 台车床需要维修，则所求概率为)(1321A A A P P -= ......................2分利用独立性有 )()()(1321A P A P A P P -= ......................4分997.0)85.01)(8.01)(9.01(1=----= ......................6分四、（8分）解：[1,),()()()...........31()01()(ln )(ln )....................................5X X Y Y Y X Y e Y F y P Y y P e y y F y y F y P X y F y =+∞=≤=≤<≥≤=可能取值范围为的分布函数为分当时，＝当时，＝分[(ln )]'1() (60)1XY Y F y y f y y ≥⎧=⎨<⎩则的密度函数为分分分8 (1)0117...............................................10112.ln ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-y y y y y y ey五、（8分）解：设X 表示一年内死亡的人数，则~(1000000,0.0001)X B ………3分于是保险公司亏本的概率为(200002001000000)(10000)1P X P X P X >⨯=>=-≤ ……….5分=1P -≤……….6分=1P -≤10≈-Φ≈ …………8分六、（18分）解：()0()00(1)()(,) (200)()(,) (30)x y x X x y y Y edy e x f x f x y dy x edx e y f y f x y dx y +∞-+-+∞-∞+∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰⎰⎰分分（2）因为 (,)()()X Y f x y f x f y =所以X 与Y 是否相互独立........................8分(3) 0()()(,)()()()0xX Y Y Y e x f x f y f x y f x y f y f y x -⎧>===⎨≤⎩........................11分(4) {}111()100011()12x x y x P X Y dx e dy e e dx e --+---+≤==-=-⎰⎰⎰ ........................14分(5)()0.()(,) (150)00000Z z x z x z Z X Yf z f x z x dxe dx z ze z z z +∞-∞-+--=+=-⎧⎧>>⎪=⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰分= ........................18分七、（14分）解:(1) 1130063()()55E X dx x xy dy =+=⎰⎰ ........................3分 11220063()()55E Y dx x y y dy =+=⎰⎰ ........................5分 11320067()()520E XY dx x y xy dy =+=⎰⎰ ........................8分 (2) 7331cov(,)()()()02055100X Y E XY E X E Y =-=-∙=-≠ ........................10分所以，X Y 与是相关的 ........................11分（3）21cov(29,)2cov(,)cov(9,)10050X Y X Y Y +=+=-=- ........................14分八、（8分）解：设),(Y X L 为一天中该厂获得的利润，由题意分2.......................)(100300300),(⎩⎨⎧>-+≤=X Y X Y X X Y Y Y X L而),(Y X 的联合概率密度为分其它，，4.......................0,201030102001),(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=y x y x f则一天中该厂可取得的平均利润是分6.............................................),(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x L L E =⎰⎰⎰++20101030]300)100200([2001dy ydx dx y x y y =314333（元）分8.......................................................。

中南大学11级概率论A试卷

中南大学考试试卷2012——2013学年第一学期（2012.11）时间：100分钟《概率论A 》课程 48学时 3 学分考试形式：闭卷专业年级：2011级(第三学期) 总分：100分一、填空题（本题16分，每题4分）1、设B A ,为随机事件，已知,)|(,)(b A B P a A P ==，则=)(B A P ________；2、对同一目标进行三次独立射击，设三次命中目标的概率分别为7.0,5.0,4.0，则三次射击中至少有一次命中目标的概率为________；3、设随机变量)211010(~),(；，；，N Y X ，则=-)23(Y X D ________； 4、现有一大批种子，其中优良种子占61，现从中随机抽取6000粒，试用切比雪夫不等式估计6000粒种子中优良种子所占比例与61之差的绝对值不超过01.0的概率不小于。

二、选择题（本题16分，每题4分）1、下列各函数中，可以作为连续型随机变量的概率密度函数的是（）（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他023,sin )(ππx x x f （B ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他023,sin )(ππx x x f（C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他023,cos )(ππx x x f （D ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他023,cos 1)(ππx x x f2、设随机变量X 服从二项分布，且44.1)(4.2)(==X D X E ，，则二项分布中的参数p n ,的值为（）（A ）4.0,6==p n ；（B ）3.0,8==p n ；（C ）6.0,6==p n ；（D ）1.0,24==p n 。

3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，，则随机变量X e Y 21-=（）（A ）服从)1,0(上的均匀分布；（B ）仍服从指数分布；（C ）服从参数为2的泊松分布；（D ）服从正态分布。

4、随机变量X 、Y 和Y X +的方差满足)()()(Y D X D Y X D +=+是X 和Y （）（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；（B ）不相关的必要条件，但不是充分条件；（C ）独立的必要条件，但不是充分条件；（D ）独立的充分必要条件。

2011-2012(1)概率统计试题(A)解答

概率论与数理统计参考解答与评分标准一．选择题(每小题3分，本大题满分15分)1．一射手向目标射击 3 次，i A 表示第i 次射击中击中目标这一事件(1,2,3)i =，则3次射击中至多2次击中目标的事件为( C ).(A) 123A A A ⋃⋃; (B) 123A A A ; (C) 123A A A ⋃⋃; (D) 123A A A . 2．袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3个白的，不放回地依次从袋中随机取一球. 则第一次和第二次都取到黄球的概率是( A ).(A) 7/15; (B) 49/100; (C) 7/10; (D) 21/50. 3．设随机变量X 的概率密度为,01,()0,a bx x f x +<≤⎧=⎨⎩其它. 且13{}28P X ≤=，则有( C ).(A) 0,2a b ==; (B) 1,0a b ==;(C) 1,12a b ==; (D) 11,22a b ==4．设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，则( C ). (A) 0()1f x ≤≤; (B) lim ()1x f x →+∞=;(C)()1f x dx +∞-∞=⎰; (D) {}()()P a X b f b f a <≤=-.5．设~(2,18)X N ，若Y =( B )，则~(0,1)Y N. (A)218X -; (C) 218X +; (D) 2X +.二．填空题(每小题3分，本大题满分15分)1．设,X Y 相互独立，且同服从于参数为λ的指数分布，max(,)Z X Y =，则Z 的分布函数为2(1)z e λ--．2．设X 服从参数为λ的泊松分布，则{}P X k ==!kek λλ- (0,1,k = ).3．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码. 则X 的数学期望()E X = 4.5. 4．设()2E X =，()3E Y =，则(325)E X Y +-=7.5．每次试验中A 出现的概率为p ，在三次试验中A 出现至少一次的概率是2627, 则p =23.三．(本题满分15分)三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求：（1）没有一台机器要看管的概率；（2）至少有一台机器不要看管的概率；（3）至多一台机器要看管的概率.解：以j A 表示“第j 台机器需要人看管”，1,2,3j =，则 1()0.1P A =，2()0.2P A =，3()0.15P A =. 由各台机器间的相互独立性可得（1） ()()()()123123P A A A P A P A P A =0.90.80.850.612=⨯⨯=...(5分)（2） ()()1231231P A A A P A A A ⋃⋃=- 10.10.20.150.997=-⨯⨯=...(10分)（3） ()123123123123P A A A A A A A A A A A A()()()()123123123123P A A A P A A A P A A A P A A A =+++ 0.10.80.850.90.20.850.90.80.150.90.80.85=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯00680153010806120941=+++=..... ...(15分)四．(本题满分7分)甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球. 今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球. 问此球为白球的概率是多少？解：以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”，W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，则所求概率为()()()()P W P W W R W P W W P R W ==+ 乙甲乙甲乙甲乙甲乙()()()()P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲 ...(4分)11111111111n N m N n m N M n m N M C C C C C C C C +++++++=⋅+⋅ ()()()11n N mN n m N M ++=+++ ...(7分)五．(本题满分8分)某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的25％，25％，50％，每个车间的次品率分别为5％,3％，2％. 现从全厂产品中任取一件产品，如果取到的为次品，问该次品来自甲车间的概率. 解：设123,,A A A 分别表示事件“取到的产品为甲、乙、丙车间生产的”,B 表示事件“取到的产品为次品”，则 123()25%,()25%,()50%P A P A P A ===123(|)5%,(|)3%,(|)2%P B A P B A P B A === ...(3分)由全概率公式31()()(|)i i i P B P A P B A ==∑25%5%25%3%50%2%=⨯+⨯+⨯ 3%= ...(6分)所求概率为111()(|)5(|)()12P A P B A P A B P B == ...（8分）六．(本题满分8分)设~(0,1)X N ，求2Y X =的概率密度.解：2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤， ...(2分) 当0y ≤时，()0Y F y =，()0Y f y =. ...(3分) 当0y >时，(){Y F y P X =≤≤22t dt -=⎰220t dt -= ...(6分)2()y Y f y -= ...(8分)Y的密度函数为2,0,()0,0.y y f y y -⎧>=≤⎩七．(本题满分10分)设随机变量X 的概率密度为1,01()20,x x f x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它（1）求数学期望()E X ；（2）求方差()D X .解：(1) ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰120()2x x dx =+⎰712= ...(4分)(2) 22()()E X x f x dx -∞+∞=⎰13201()2x x dx =+⎰512= ...(8分)22()()[()]D X E X E X =-11144=...(10分)八．(本题满分12分)已知X（1）求（2）求X 的数学期望；（3）设Y 与X 相互独立且同分布，求(,)X Y 的分布律. 解：(1) X 的分布函数(){}F x P X x =≤0,10.2,110.7,121,2x x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ ...(4分)(2) X 的数学期望()10.210.520.30.9E X =-⨯+⨯+⨯= ...(7分)(3) 由ij i j p p p ⋅⋅=⋅ ...(9分) 可得(,)X Y 的分布律为分)九．(本题满分10分)一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于03的概率为13p =，若船舶遭受800次波浪冲击，问其中有240~300次纵摇角大于03的概率是多少？2t x -解：以X 表示在船舶遭受800次波浪冲击中，纵摇角大于03的次数，则~(,)X b n p ，其中1800,3n p == ...(2分) 由棣莫弗-拉普拉斯定理，Y =近似服从(0,1)N ...(4分)所求概率为{240300}P X ≤≤{2 2.5}P Y =-≤≤(2.5)(2)≈Φ-Φ- ...(7分) (2.5)(2)1=Φ+Φ-0.99380.97721=+-0.9710= ...(10分)。

2011《概率论与数理统计》A卷答案

¹
s
2 0
=
7.52 ;
第4页共5页
c2
=
(n -1)s2
s
2 0
=
24´9.52 7.52
= 38.51
在a
=
0.05
时，
c
2 0.025
(24)
=
28.24
<
c2
=
38.51 <
40.646
=
c
2 0.975
(24)
，
故在a = 0.05 时，接受 H0 认为新产品的强力的标准差无显著变化。
7. 在 Mendel 的豌豆试验问题中，豌豆被分成了四类:黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的．按照 Mendel 的理论，这四类豌豆个数之比为 9 : 3 : 3 :1。一次实验中观察者
观察 n = 556 颗豌豆中四类的实际频数分别为 315, 108, 101, 32 ，请通过此数据检验
Mendel 的理论是否正确。(α = 0.05 ) 解：假设 Mendel 的理论是正确的，
则在被观察的 n = 556 颗豌豆中，属于这四类的“理论频数”分别为
556× 9 = 312.75, 556× 3 = 104.25, 556× 3 = 104.25, 556× 1 = 34.75 ．
；（2）E( X
)
；（3）D( X
)
．
⎩
4
∫ ∫ 解 (1)
+∞
π
π
−∞
f (x)d x =1,
即
4 −π
Acos xdx =
Asin |−4π =
4
4
2A =1, A = 2 2

2011级《概率论与数理统计》本科(11级 )A

第 1 页共 4 页河南理工大学成人业余学历教育 2011年下半年考试试卷（A ）年级 11级专业会计学层次本科科目概率论与数理统计一、选择题（每小题5分,共25分）1、设A 、B 为两个事件，且已知概率P （A ）>0,P(B)>0,若事件A,B 互斥,则下列等式中( )恒成立(a) P(A+B)= P(A)+P(B) (b) P(A+B)=P(A)P(B) (c) P(AB)= P(A)+P(B) (d) P(AB)= P(A) P(B) 2、设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它，，00)(r x x x ϕ，则常数r=（） (a)21 (b) 1 (c)2 (d) 23、设X 为随机变量，若方差D （2X ）=2，则方差D （X ）=（） (a)21 (b) 1 (c)2 (d) 44、若离散型随机变量X ～B （100，0.1）,则离散型随机变量Y=-3X 的数学期望,方差分别为( )(a) E(Y)= -30, D(Y)=27 (b) E(Y)= 30, D(Y)=27 (c) E(Y)= -30, D(Y)=81 (d) E(Y)= 30, D(Y)=81 5、已知连续型随机变量X ～N(3,2),则方差D(2X+3)=( )a) 4 (b) 7 (c) 8 (d) 11 二、填空(每小题5分,共25分)1、邮政大厅有5个邮筒，现将两封信逐一随机投入邮筒，那么第一个邮筒内恰好有一封信的概率为_________.2、设A 、B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.6，P(B)=0.8，P(A|B)=0.7，则概率P(A+B)=__________.3、已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，020sin )(πϕx x x ，则数学期望E(x )=________.4、已知随机变量x 的方差D(x )=5，则方差D(-2x +5)=__________.5、已知连续型随机变量X 服从标准正态分布,函数Φ0(1)=0.8413,则概率P{-1＜X ＜0}=____________三、计算题(共50分)1、甲、乙两人相互独立向同一目标各射击一次, 甲击中目标的概率为0.4, 乙击中目标的概率为0.3,求(1) 甲、乙两人中恰好有一人击中目标的概率;(2) 甲、乙两人中至少有一人击中目标的概率.2、市场上供应的某种商品只由甲厂与乙厂生产,甲厂占80%,乙厂占20%,甲厂产品的次品率为4%,乙厂产品的次品率为9%,求(1)从市场上任买1件这种商品是次品的概率;(2) 从市场上已买1件次品是乙厂生产的概率第 2 页共 4 页第 3 页共 4 页3、设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它，，020)(x cx x ϕ，试求: (1)常数c 值(2)概率P{-1＜X ＜1}; (3)数学期望E(X ); (4)方差D(X).4、投掷一枚均匀硬币6次，求：（1）恰好出现2次正面的概率；（2）至少出现5次正面的概率；（3）出现正面次数的均值；（4）出现正面次数的方差.的时间在使用,求同一时间使用终端个数在60个～70个之间的概率.（查表Φ0(1.67)=0.9525）第 4 页共 4 页。

北交大2011-2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北京交通大学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参考答案一．（本题满分8分）在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率．解：设=A “任取一个家庭拥有汽车”，=B “任取一个家庭拥有房产”．由题设得 ()6.0=A P ，()3.0=B P ，()2.0=AB P ．因此有 ()()()()4.02.06.0=-=-=-=AB P A P AB A P B A P ； ()()()()1.02.03.0=-=-=-=AB P B P AB B P B A P ．所求概率为()()()5.01.04.0=+=+=⋃B A P B A P B A B A P ．二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A，{}次感冒某人一年中患2=B ．由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有()()()()()∑==31111k kkA BP A P A B P A P B A P2206.02441.02337.02122.02122.042321212=⨯+⨯+⨯⨯=----eeee ．三．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从41=λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率．解：X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex p xX ．设=A “候车时间超过5分钟”，则()4554415-+∞-==≥=⎰edx eX P p x ．设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,5~，因此所求概率为()()()()41155005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥4438.0151144545545=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---e e e ．四．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤+=其它5.002x xcx x f ．⑴ 求常数c ；⑵ 求X 的分布函数()x F ．解：⑴ 由密度函数的性质()1=⎰+∞∞-dxx f ，得()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-++==5.05.0001dxx f dx x f dx x f dxx f ()81242135.00235.002+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰c x x c dx x cx ，解方程，得21=c ．⑵ 当0≤x 时，()()0==⎰∞-xdtt f x F ；当5.00<<x 时，()()()()()27212320xx dt t tdt t f dt t f dtt f x F xx x+=+=+==⎰⎰⎰⎰∞-∞-；当5.0≥x 时，()()()()()15.05.00=++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-xxdtt f dt t f dt t f dtt f x F ．综上所述，随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤=5.015.0027023x x x x x x F ．五．（本题满分8分）设n 个随机变量n X X X ,,,21 相互独立，都服从区间()1,0上的均匀分布，令()n X X X Y ,,,max 21 =，⑴ 求随机变量Y 的密度函数()x p Y ；⑵ 求数学期望()Y E ．解：⑴ 随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它101x x p X ，分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000x x xx x F X ．随机变量Y 的密度函数为 ()()()()⎩⎨⎧<<==--其它01011x nx x p x F n x p n X n X Y ．⑵ ()()111+=⋅==⎰⎰-+∞∞-n n dx nxx dx x xp Y E n Y ．六．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=其它10421,22y x y x y x p⑴ 求随机变量Y 的边际密度函数；（5分）⑵ 求条件密度函数()y x p YX ．（3分）解：当0≤y ，或者1≥y 时，()0=y p Y ；当10<<y 时，()()⎰⎰⎰--+∞∞-===yyyyY dxx yydx x dx y x p y p 22421421,253022731221221y xy dx xyyy=⋅==⎰所以，随机变量Y 的边际密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yy p Y ．当10<<y 时，()02725>=y y p Y ，因此当10<<y 时，X 关于Y 的条件密度函数为()()()y p y x p y x p Y Y X ,=2322522327421-==yx y yx即当10<<y 时，条件密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-其它10232232y x y x y x p Y X ．七．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．再令bY aX U+=，bY aX V -=，其中a 与b 是不全为零的常数，求随机变量U 与V 的协方差()V U ,cov 与相关系数V U ,ρ．解：由于随机变量X 与Y 都服从正态分布()2,σμN ，所以()()μ==Y E X E ，()()2σ==Y D X D ．()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E U E +=⋅+⋅=+=+=； ()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E V E -=⋅-⋅=-=-=．再由于随机变量X 与Y 相互独立，故有()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D U D +=⋅+⋅=+=+=， ()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D V D +=⋅+⋅=+=-=， ()()bY aX bY aX V U -+=,cov ,cov ()()()()()2222222,c o v,c o v σb a Y D b X D a Y Y b X X a -=-=-=，所以，()()()2222,,cov ba b a VD UD VU V U +-==ρ．八．（本题满分8分）某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为8.0．医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言．试用中心极限定理计算，⑴ 如果实际上对这种疾病的治愈率确为8.0，问拒绝这一断言的概率是多少？⑵ 如果实际上对这种疾病的治愈率为7.0，问接受这一断言的概率是多少？（附，标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值：解：设X ：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则()p B X ,100~．⑴ 当8.0=p 时， ()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤=2.08.01008.0100752.08.01008.010075X P XP P 拒绝断言()()1056.08944.0125.1125.125.12.08.01008.0100=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-≤⨯⨯⨯-=X P ． ⑵ 当7.0=p 时， ()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯--=>=3.07.01007.0100753.07.01007.0100175X P XP P 接受断言()1379.08621.0109.1109.13.07.01007.01001=-=Φ-≈⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯--=X P ．九．（本题满分8分）设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U．计算统计量()UY Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）．解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ，所以有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-．又由()∑=-=9722221i iY XU ，得()2~2222χσU．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ．十．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pqk X P () ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量．解：似然函数为 (){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,,()()()()nx nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=pnxpn p L dpd nk k，解方程，得xp 1=．因此p 的极大似然估计量为Xp 1ˆ=．十一．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3，，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求N 的极大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的极大似然估计值．（3分）解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1 =．所以似然函数为 (){}nni i i Nx X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21 ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ．⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ．十二．（本题满分10分）三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止．求：⑴ 抛掷硬币次数X 的数学期望；（5分）⑵ 进行了3次还没确定付账人的概率．（5分）解：⑴ X 的取值为 ,3,2,1．并且()43411⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P ， () ,3,2,1=k ．即随机变量X 服从参数43=p 的几何分布，因此()341==pX E ．⑵ ()()015625.0641414313333==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>=X P P 次还未确定付账人进行了．。

2011年6月概率统计A答案

《概率论与数理统计》试卷答案（A ）适用专业：经贸院本科生考试日期：2011年6月考试时间：120分钟考试方式：闭卷总分100分一、填空题. （每空2分，共20分）1 （1）C AB （2）C B A ⋃⋃（3）ABC U -2 0.5 3、 7 ，16/3 4、 ()()2118z f z +-=5、 06、()t n7、 3 8 ⎪⎭⎫⎝⎛⨯±1315.242022.675.503或(500.4,507.1) 二、选择题（7小题，每小题3分，共21分）1、C2、 C3、 C4、 A5、B6、B7、C三、解：（1）42.07.06.0=⨯ ………4分（2）88.03.04.01=⨯-………8分四解：根据离散型随机变量独立的充要条件，得到等式分分8..........91,181311814.............92,913191=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯==⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=ββαα五解：()()⎰⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧<<===其他01066,0x X x x dy dy y x f x f …4分()()⎰⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧<<-===其他010)1(66,1Y yy y dx dx y x f y f …8分六、解⑴ ⎰-=2221dx cx ，得到163=c （6分）（2）()0163322==⎰-dx x X E ………(8分) ()5121634222==⎰-dx x X E ，所以()()()51222=-=)(X E X E X D （12分）七.解:似然函数()1111nnn i i i i L x x θθθθθ--==⎛⎫== ⎪⎝⎭∏∏ (3)取对数()()1ln 1ln n i i LnL n x θθθ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∏ (5)令()1ln ln 0ni i d L n x d θθθ==+=∑……………8 得θ的最大似然估计值为 1ln nii nxθ==-∑ (11)八.解:()()22222213.25 3.27 3.24 3.26 3.24 3.252510.0020.0180.0120.0080.0120.0001740.013x S S =++++==++++== (4)01: 3.25,: 3.25H H μμ=≠ (6)则此问题的拒绝域为()21t t n α=≥-………8 现在()0.0055, 3.252,0.013,4 4.6041,0.343 4.6041n x s t t ======<得......10 故t 未落在拒绝域中,故接受0H ,即认为这批矿砂的镍含量为3.25 (12)。

概率论与数理统计试卷(A)

贵州大学2010-2011学年第二学期考试试卷(A)概率论与数理统计注意事项：1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。

2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。

3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。

4. 满分100分，考试时间为120分钟。

一、选择题（10个小题，每小题2分，共20分）1.已知(5,4)XN ,其均值与标准差分别为( ).①5，2 ②4，5 ③5，4④2，5 2．若假设检验为0H ,则下列说法正确的是（）.①0H 为真时拒绝0H 是犯第二类错误 ②0H 为假时接受0H 是犯第一类错误 ③0H 为真时拒绝0H 是犯第一类错误 ④以上说法都不对3．设随机变量X 与Y 独立且()(0),()4E X a a E XY =≠=，则()E Y =( ). ①4a ②4a③4a ④4a - 4．设两个相互独立随机变量ξ和η的方差分别为4和2，则32ξη-的方差为( ). ① 8 ② 16 ③ 28 ④ 44 5.已知1,2,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本,其中μ已知，0σ>未知,则下列关于1,2,,n X X X 的函数中，( )不能作为统计量.①211n i i X n =∑②12max{,,}n X X X ③2211ni i X σ=∑④12min{,,}n X X X6．“事件发生的频率趋于事件发生的概率”的是( ).① 切比雪夫不等式②贝努利大数定律③中心极限定理④贝叶斯公式7．设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,123,,X X X 为取自X 的容量为3的样本，则μ的三个估计量1123111333X X X μ=++, 2123255X X μ=+, 3123111236X X X μ=++ ①三个都不是μ的无偏估计②三个都是μ的无偏估计，1μ最有效③三个都是μ的无偏估计，2μ最有效④三个都是μ的无偏估计，3μ最有效 8．若A 与自身独立，则( ).①()0P A =②()1P A =③0()1P A <<④()0()1P A P A ==或 9．已知X 服从泊松分布，则()D X 与()E X 的关系为（）. ①()()D X E X >②()()D X E X <③()()D X E X =④以上都不是 10．下列说法错误的是 ( ).①,X Y 相互独立，则,X Y 一定不相关 ②,X Y 不相关，则,X Y 不一定相互独立 ③对正态分布而言，不相关和独立性是一致的 ④,X Y 不相关，则,X Y 一定相互独立二、填空题（10小题，每小题2分，共20分）1. 假设检验可分为两类，它们是（）和（）.2. 若检验的观察值落入拒绝域内，则应（）.3.出勤率和缺勤率之和等于(）. 4．随机变量主要分为（）和（）.5. 设随机变量ξ服从泊松分布，且(1)(2)P P ξξ===,则 (6)()P ξ==.6.某车床一天生产的零件中所含次品数ξ的概率分布如下表所示，则平均每天生产的次品数为（）.（题6表格）7．设ξ服从0-1分布，且(1)P ξ=是(0)P ξ=的三分之一，则(1)P ξ==（）． 8. 已知()0.3P A =，()0.5P B =，则当A 与B 互不相容时，则()P A B ⋃=()．9．已知()0.4P A =,()0.6P B A =,则()P AB =()． 10．设随机事件A 、B 满足关系B A ⊂,则()P A B ⋃=( )．三、简答题（5个小题，每小题4分，共20分）1.请写出贝努利大数定律的意义.2. 计算连续型随机变量的数学期望,它的密度函数为 (请写出详细过程),1,10()1,010x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它3．已知2,01()0.y y Yf y <<⎧=⎨⎩其它 ,求().F y4．随机事件的定义域与值域分别是什么？5．设总体X 的概率分布为X 1 2 3k P 2θ2(1)θθ-2(1)θ-其中θ为未知参数.现抽得一个样本1231,2,1X X X ===,求θ的极大似然估计量.四、计算题（3个小题，每小题10分，共30分）1.设随机变量X 满足22[(1)]10,[(2)]6E X E X -=-=。

2011级概率A卷及解答

重庆工商大学派斯学院试卷考试科目：概率论试卷适用专业（班）： 2011级会计、管理、经济本科考核方式：开卷（）闭卷（√）2012~2013 学年度 1 学期套别： A套（√ ） B套（）题号一二三四五六七八总计分值241858100得分阅卷人注意：请把填空选择答案，填在下面表格答题处，否则以零分计算！填空题答题处12345678选择题答题处1234567一、填空题（每空2分，共22分）1.设A、B、C为三个事件，则“A、B、C中至少有两个事件发生”可表示为．2．已知，，，则(1)＝；(2)＝；(3)＝ .3.设，，，则A、B、C中至少有一个事件发生的概率为．4．4个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能译出的概率是 .5．设随机变量，则．6.设随机变量服从参数的泊松分布，服从参数的指数分布，服从区间的均匀分布.若、、相互独立，则= ； = .7．设随机变量X的期望和方差分别为和4，则由切比雪夫不等式可得．8．若二维随机变量服从二维均匀分布, 密度函数是，则常数 .二、单项选择题（每小题2分，共14分）1．袋中有5个黑球3个白球,大小相同,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为【】2．对于事件A、B，下列说法正确的是【】(A)若A、B互不相容，则、也互不相容(B)若A、B相互独立，则、也相互独立(C)若A、B相容，则、也相容(D) 若，则A、B为对立事件3．如果随机变量，则【】4．设表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为0.4，则【】5．设,且,则【】6．设和是概率密度函数，则【】必为概率密度函数必为概率密度函数必为概率密度函数必为概率密度函数7．若与不相关，则【】(D)X与Y相互独立三、解答题（1~6，每题9分，第7题10分，共64分，将解答过程写在相应的空白处）1．有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车和飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1和0.4．如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、、，而乘飞机来不会迟到．求：(1)朋友迟到的概率；(2)如果朋友迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少?2.设随机变量服从参数的指数分布，求随机变量概率密度函数．3.设求:(1)a的值;(2);(3).4．设联合分布列如下表所示：(1)求(2)求；(3)判断X与Y的独立性.5．设的联合概率密度为求：(1)；(2)(X,Y)关于X的边缘概率密度函数；(3)．6．设．(1)问、、、和各等于什么？(2)求．7．某车间有同型号的机床2400台，它们独立地工作着，每台机床开动的概率均为0.6，每台机器开动时耗电量均为2千瓦.问电厂至少要供给该车间多少电力，才能以99.9％的概率保证用电需要？附标准正态分布函数查表派斯2011级《概率论》（A卷）参考答案一、填空题（每空2分，共22分）1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8. .二、单项选择题（每题2分，满分14分）1~7：DBCAD CA三、解答题（第1~6题各9分，7题10分，共64分）1．解设={朋友乘火车来}，={朋友乘轮船来}，={朋友乘汽车来}，={朋友乘飞机来}；Ｂ= {朋友迟到了}．根据题设有，，，；，，，． ……………………3分（1）朋友迟到的概率为．………………6分（2）如果朋友迟到了，则他是乘火车来的概率为． ………………………9分2．解 . ……………………………3分……………………………6分 ……………………………9分3．解(1)由规范性 ………3分(2) ………5分(3) ……7分……………………………9分4．解(1)……………3分(2) ……………………………6分(3)∴X,Y不相互独立 ……………………………9分5．解（1）……………………2分……………………3分（2）……………………4分…………6分(3)……………………7分……………………9分6．解（1），，，，； ……………5分（2）． ……………………9分7．解设表示2400台机床工作的个数，则． ……………………2分……………………4分设至少需要供给n千瓦电力，才能以99.9％的把握满足需要，则……………………6分. ………………8分. ………………10分。

2011秋概率统计期末考试试卷A参考答案

理工大学理学院2011年秋《概率论与数理统计》试题参考答案一、填空题（本题共5小题,每小题4分,满分20分）1．61 2．0。

3．2517 4．45．21 二、选择题（本题共5小题,每小题4分,满分20分）1．(D)2．(B)3．(C)4．(B)5．(A)三、（8分）一门大炮不断地对目标进行轰击，在各次轰击中是否击中目标是相互独立的，目标被击中3次时才被击毁。

设每次轰击击中目标的概率是0.6，X 表示目标被摧毁时总共轰击的次数，求X 的分布律。

【解】{}==i X “前1-i 次中恰有两次击中目标，且第i 次击中目标”（2分）故所求分布律为{}6.04.06.03221⨯⨯⨯==--i i C i X P （6分） 23310.60.4,3,4,i i C i --=⨯⨯= （8分）四、（8分）设随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为21，求μ。

【解】因为042=++X y y 无实根，故有0416<-=∆X ，（4分）即4>X ，再由 {}214=>X P ，（6分）知4=μ。

（8分）五、（14分）一电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+--=+---其他 ,00,0,1,)(5.05.05.0y x e e e y x F y x y x 问：(1) X 和Y 是否独立？(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率。

【解】(1) 当0≥x 时，有x X e x F x F 5.01),()(--=+∞=，（2分）当0≥y 时，有 y Y e y F y F 5.01),()(--=+∞=，（4分）从而当0≥x 且0≥y 时，有),(1)()()(5.05.05.0y x F e e e y F x F y x y x Y X =+--=+---，（6分）所以X 和Y 相互独立。

2011-2012学年冬季学期《概率论与数理统计A》试卷-A参考答案

2） P( −1 < X < 2) = ∫ 2e
1
2
−2( x −1)
dx = F (2) − F ( −1) = 1 − e 。
（ 2 分）
x − 1500 = 1.875 ∈ W ， 200 / 25
（2 分）
结论：拒绝原假设，接受备选假设，即认为新工艺确实提高了产品的寿命。（2 分）
⎧0, 3） FY ( y ) = ⎨ ⎩ P(ln X < y ),
上海大学 2011～2012 学年冬季学期试卷（A 卷）绩课程名: 概率论与数理统计 A 课程号：学分： 5
6、已知随机事件 A 和 B 的概率分别为 P( A) = 0.7 和 P( B ) = 0.5 ，且这两个事件独立，那
么， P( B − A) = P( B ) − P( AB ) = 0.5 − 0.35 = 0.15 。应试人声明：我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。 7、设随机变量 X 服从区间 [0,1] 上的均匀分布，则随机变量 Y = e X 的数学期望应试人应试人学号应试人所在院系 1 1 1 1 EY = ∫ e x dx = e − 1 ；方差 DY = ∫ e 2 x dx − ( EY ) 2 = (e 2 − 1) − (e − 1) 2 = (e − 1)(3 − e) 。 2 2 0 0 题号一二三四五得分 5 8、把 5 只球随机放入三个盒中，则每个盒子中至少有一球的概率为 1 − 得分评卷人一．是非题（每小题 2 分，5 题共 10 分） 9 、设 X 1 ,K, X 10 是来自总体 X ~ N ( μ , σ 2 ) 的简单样本，当常数 c = 1、事件 A 与 B 互不相容，若 A 不发生，那么 B 一定发生。 2、事件 A U B 表示事件 “ A 与 B 都没有发生” 。（错）

2011-2012《概率论》试卷答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011-2012学年第 1 学期考试科目：概率论考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1、一位运动员投篮四次，已知四次中至少投中一次的概率为0.9984，则该运动员投篮的命中率为________ 0.8_________ .2、若事件,,A B C 相互独立，且()0.25,()0.5,()0.4,P A P B P C ===，则()P A B C = _____0.775________________.3、设随机变量X 的分布函数0,0.4,()0.8,1,F x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 111133x x x x <--≤<≤<≥，则{13}P X ≤≤=__0.6__. 4、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到黄球的概率是______0.4______. 5、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则参数λ=____1__________.6、若随机变量ξ在[0，5]上服从均匀分布，则方程210X X ξ++=有实根的概率为_3/5___.7、已知()0.5,(\)0.3,P B P A B ==则()P AB =________0.2__________.8、设随机变量X 的密度函数23,02()80,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，则21E X ⎛⎫= ⎪⎝⎭____3/4____.二、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、对于事件,A B ，不正确的命题是（ D ） (A) 若,A B 相容，则,A B 也相容 (B) 若,A B 独立，则,A B 也独立 (C) 若,A B 对立，则,A B 也对立 (D) 若,A B 对立，则,A B 独立2、下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为：( B )(A) sin ,[0,]()0,x x f x π∈⎧=⎨⎩其他 (B) 1,0()00,0xe xf x x θθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩（）(C) 22()2,0()0,0x x f x x μσ--⎧≥=<⎩(D) ⎪⎩⎪⎨⎧<=其他,02,21)(x x f3、设随机变量2(,)X N μσ ,则随着σ的增大，概率(||)P X μσ-<（ C ） (A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定4、已知1,(1,2,)!kPX k c k k λ-=== （）为随机变量X 的概率分布列，其中0λ>为常数，则c =( D ).(A) e λ- (B) e λ (C) 1e λ-- (D) 1e λ-5、已知随机变量X 的分布函数为30,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则()E X =（ A ）(A) 1303x dx ⎰ (B)1401x dx xdx +∞+⎰⎰(C) 123x dx ⎰(D)40x dx +∞⎰三、解答题（本大题共 6 小题，共 61 分）1、测量某一目标的距离，测量误差X (cm)服从正态分布250,100N （），求：（1）测量误差的绝对值不超过150cm 的概率；（5分）（2）测得的距离不少于真实距离的概率.（5分）（已知(0.5)=0.6915(1)=0.8412(2)0.9772ΦΦΦ=；；）解：（1）由题设可得：1505015050{150}{150150}()()100100(1)(2)10.84120.977210.8184P X P X ---<=-<<=Φ-Φ=Φ+Φ-=+-=…………5分（2）由题设可得：50{0}1{0}1()(0.5)0.6915100P X P X ≥=-<=-Φ-=Φ=.…5分 2、已知玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1、0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回. 求：（1）顾客买下该箱的概率α？（2）在顾客买下一箱中，确实没有残次品的概率β？（10分）解：设B={顾客买下该箱玻璃杯}，012A A A 、、分别表示该箱中含有0、1、2件残次品，则由题可知 …………………………………………………………1分012()0.8;()0.1,()0.1.P A P A P A ===4200420(|)1;C P B A C ==41914204(|);5C P B A C ==418042012(|).19C P B A C == ……………4分（1）由全概率公式有001122()()(|)()(|)()(|)4124480.810.10.10.94.519475P B P A P B A P A P B A P A P B A α==++=⨯+⨯+⨯=≈ …………7分（2）由贝叶斯公式有 000()(|)0.8(|)0.85.()0.94P A P B A P A B P B β==== …………………10分3、设随机变量X 服从标准正态分布，求2Y X =的概率密度函数().Y f y （10分）解：22(0,1),(),.x X N x x ϕ-=-∞<<∞ Y 的分布函数为 2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤ ……………………3分当0y ≤时，()()0Y F y P Y y =≤=，从而()0.Y f y = ……………………5分当0y >时，2()(){(((Y F y P X y P X P X P X =≤=≤≤=≤-≤=Φ-Φ ………………7分从而2()()(((Y Y y f y F y ϕϕϕϕ-'''==Φ-Φ=-=+=……………9分所以20()0,0yY y f y y -⎧≥=<⎩……………………………………………10分 4、设一只昆虫所生的虫卵数X 服从参数为λ的泊松分布，而每个虫卵发育为幼虫的概率为p ，且各个虫卵是否发育为幼虫相互独立，试求一只昆虫所生的幼虫数Y 的数学期望和方差.（6分）解：由题可知(),0,1,2,!n e P X n n n λλ-===(|)(1),0,1,2,,.k k n k n P Y k X n C p p k n -===-= ……1分由全概率公式，得0()()(|).n P Y k P X n P Y k X n ∞======∑…………2分因为当n k <时，()(|)0,P X n P Y k X n ====所以(1)()()(|)!(1)!!()!()[(1)]!()!()!(),0,1,2,!n k n k n k n kk n k n kk p k p P Y k P X n P Y k X n e n p p n k n k p e p k n k p e ek p e k k λλλλλλλλλλ∞=-∞-=--∞=---======---=-===∑∑∑………………4分即，一只昆虫所生的幼虫数Y 服从参数为p λ的泊松分布，故(),().E Y p D Y p λλ==…………………………………………6分5、设X 与Y 的联合概率密度函数为(2)e ,0,0,(,)0,x y A x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.求：(1)常数A ；（2分） (2)分布函数(,)F x y ；（3分） (3){}P X Y <；（5分） (4)判断X 与Y 是否独立.（5分）解 (1) 由(2)01d (,)d d e d x y x f x y y x A y +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰20e d e d 2xy AAx y +∞+∞--==⎰⎰．得2A =． …………………………………………………………………………2分(2) (,)d (,)d xy F x y x f x y y -∞-∞=⎰⎰2002e d e d ,0,0,0,x yx y x y x y --⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其它.2(1e )(1e ),0,0,0,x y x y --⎧-->>=⎨⎩其它.………………………………5分图1 图2(3)如图1所示，{(,)|0}G x y x y =<<，故{}{}(,)(,)d d GP X Y P X Y G f x y x y <=∈=⎰⎰220230d 2e ed 2e (1e )d 2ed 2e d 211.33yx yy y yy y x yy y+∞+∞----+∞+∞--==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰……………………10分(4) X 与Y 的边沿密度分别为(2)02,0,0()()0,00,0x y x X edy x e x f x f x y dy x x +∞-+-+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰，(2)202,02,0()()0,00,0x y y Y edx y e y f y f x y dx y y +∞-+-+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰，显然, (,)()()X Y f x y f x f y =成立,故X 与Y 独立. ……………………15分 6、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布，问：(1)将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（5分） (2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0．90？（5分）（已知0.9099,(1.645)0.95Φ=Φ=）解: 假设i X 表示每i 次计算时,所得到的误差,则~(0.5,0.5)i X U -,1,2,,1500i = ,……………………1分15001i i X X ==∑表示1500个数相加,所得到误差总和,则15000,12512EX DX ===,根据中心极限定理, X 近似服从标准正态分布.………………3分 (1){}{}1511515222(10.9099)0.1802.P X P X >=--<<≈-Φ=-=……………………5分(2)假设最多可有n 个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90，则1100.90n i i P X =⎧⎫<>⇒⎨⎬⎩⎭∑11010nin i i XP X P =⎧⎫⎪⎪⎧⎫-<<=<<⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭∑∑210.9=Φ->……………………………………9分解得443n =.…………………………………………………10分。

2011_概率论与数理统计试题及答案 3

)0.9B=πλ,且则λ=()2Nσ,则(P X<~(2,Eλ,X()2(,Nμσ的置信区间为分）设一仓库中有(0,1)U,袋中装有标号为1,2,2的分别表示第一、第二次取到的球上的号码数。

求陕西理工学院教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称概率论与数理统计（ A 卷）一、填空题（每空3分,共30分） 1.58 2.0.1 3.16 4. 13 5.2 6.0.3 7.12 8.20092010 9. 1X10.22(X u X u αα-+ 二、解：{}B =取的产品是正品, 1{}A =取的是甲厂的产品, 2{}A =取的是乙厂的产品, 3{}A =取的是丙厂的产品,易见123,,A A A Ω是的一个划分。

123()0.5,()0.3()0.2P A P A P A ===，123(|)0.9,(|)0.8(|)0.7P B A P B A P B A ===，由全概率公式,得31()()(|)0.83i i i P B P A P B A ===∑从而 1111()(|)()0.50.945(|)0.542()()0.8383P A B P B A P A P A B P B P B ⨯====≈ 三、解： ①22()cos 21f x dx a xdx a ππ+∞-∞-===⎰⎰,故a =0.5②10024412(100)()cos 424P X f x dx xdx ππππ<<===⎰⎰ ③()()F x P X x =≤。

当2x π<-时,()0F x =;当22x ππ-≤≤时,211()()cos (sin 1)22xxF x f t dt tdt x π-∞-===+⎰⎰；当2x π>时,()1F x =。

故0,21()(sin 1),2221,2x F x x x x ππππ⎧<⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩四、解：因为(0,1)XU ，所以X 的密度函数为1,(0,1)()0,.x f x ∈⎧=⎨⎩其他先求Y 的分布函数()()()3ln ln 3Y y F y Y y X y X ⎛⎫=P ≤=P -≤=P ≥- ⎪⎝⎭3y X e -⎛⎫=P ≥ ⎪⎝⎭当0y ≤时，()0Y F y =；当0y >时，3313()()11y y yY X eeF y f x dx dx e ---+∞===-⎰⎰；再求Y 的密度函数()()31,030,yY Y dF y e y f y dy y -⎧>⎪==⎨⎪≤⎩五、解：(,)X Y 联合分布律和边缘分布律见下表：X 和Y 不相互独立。

2011A卷答案

海南大学2010-2011学年度第2学期试卷科目：《线性代数与概率论》试题(A 卷)参考答一．选择题（每题3分，共24分）1、若三阶行列式M a a a a a a a a a =333231232221131211，则111213212223313233333333333a a a a a a a a a ---------=（ D ）。

(A) －9M (B) 9M (C) 27M (D) －27M2、设矩阵A 和C 分别是m n ⨯和s t ⨯，若要使ABC 有意义，则矩阵B 应是（ B ）。

(A) m t ⨯阵 (B) n s ⨯阵 (C) m s ⨯阵 (D) n t ⨯阵3、齐次线性方程120n x x x +++= 的基础解系中解向量的个数为（ C ）。

(A) 0 (B) 1 (C) 1n - (D) n4、在线性方程组Ax b =中，A 是86´阵，如果系数矩阵A 与增广矩阵(,)A b 的秩均为6，则Ax b =有( A ) .(A) 有唯一解 (B) 有无穷解 (C) 无解 (D) 无法确定是否有解5、一名射手连续向某目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标(1,2,3)i =，则三次射击至少有一次击中目标表示为：（ B ）（A ） 121323A A A A A A ++ （B ） 123A A A ++（C ） 123A A A ++ （D ）123A A A 6、已知离散型随机变量X 的概率分布为：X -1 0 1 2 4P101 51 101 51 52则下列概率计算结果中（ D ）正确.（A ）1}4{=<X P （B ）0}0{==X P （C ）1}1{=->X P （D ）103}21{=<<-X P 7、设离散型随机变量),,(~p n B X 若数学期望,2.1)(=X E 方差,08.1)(=X D 则参数,n p 的值为（ A ）.（A ） 16,0.1n p == （B ） 4,0.4n p == （C ） 8,0.2n p == （D ） 2,0.8n p ==8、设随机变量X 的概率密度为()X f x ，则23Y X =-+的概率密度为（ B ）（A ）13()22X y f --- （B ） 13()22X y f --（C ）13()22X y f +-- （D ） 13()22X y f +-二、填空题：（每题3分，共24分）1、已知171201,423132201A B 骣-÷ç骣÷-ç÷÷çç÷=?çç÷÷ç÷ç÷桫ç÷÷ç桫，则()T AB =_____0171413310骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç-桫________. 2、设行列式1428211012341021D -=，则1113142A A A ++=________0______. 3、n 维向量组12(1,1,,1),(2,2,,2),,(,,,)m m m m a a a === 的秩为____1______.4、已知矩阵111121231A l 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç+桫的秩为()2,R A =则l =____1______. 5、设随机变量X 和Y 相互独立，且()()1E X E Y ==，()2D X =，()3D Y =，则()D XY =____11______.()()()D XY E X Y E XY =-222[]()()()()E X E Y E X E Y =? 222()()()()E X E Y E X E Y =? 2222(()())(()())D X E X D Y E Y =+?-221()()=++-21311=11.6、设事件,,,A B C A B È发生的概率分别为0.4,0.3,0.6，则()P AB =____0.3_______.7、设随机变量123,,X X X 相互独立，其中1X 在[0,6]上服从均匀分布，2X 服从正态分布2(0,2)N ，3X 服从参数为3l =的泊松分布，记12323Y X X X =-+，则()D Y =______46_________.依题意21()()12b a D X -=，22()4D X s ==，3()3D X l ==，123123()(23)()4()9()46D Y D X X X D X D X D X =-+=++=.8、已知二维随机变量(,)X Y 的密度函数为4,01,01(,)0,xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩，其它.则{}P X Y ≤=___12_________. 111{}(,)42xx yP X Y f x y dxdy xdx ydy ≤≤===⎰⎰⎰⎰ 三、计算题（每题6分，共42分）1、计算行列式 3111131111311113D =. 解：3111131111311113D ==6666131111311113……………(3分) =61111131111311113=611110200002002=48. ……………(6分)2、解矩阵方程AX B X +=，其中01011111,2010153A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.解：由AX B X +=得()I A X B -=。

安徽大学概率论试题A卷

安徽大学2011—2012学年第一学期《概率论》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级专业姓名学号一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、设,A B 为两个随机事件，且(),()0.3,()0.7P A a P B P A B === 。

若事件,A B 相互独立，则a 的值为（）。

(A) 310 (B) 37 (C) 12 (D) 232、设X 的概率密度函数为()x ϕ，且()()x xϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，下列选项正确的是（）.(A) ()()F a F a -= (B) ()2()1F a F a -=-(C) 0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰ (D) 01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰3、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，下列给定各组数值中可取（）。

(A) 32,32==b a (B) 52,53-==b a(C) 23,21=-=b a (D) 23,21-==b a4、设随机变量12,,(1)n X X X n > 独立同分布，且其方差为20σ>，令11n i i Y X n ==∑，则下列选项正确的是（）.(A)21cov(,)X Y n σ=(B) 21cov(,)X Y σ= (C) 212()n D X Y n σ++= (D) 211()n D X Y nσ+-= 5、假设随机变量序列12,,X X 相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下列随机变量序列中不满足Chebyshev 大数定律条件的是（）.(A) 12,,,,n X X X (B) 121,2,,,n X X X n +++(C) 12,2,,,n X X nX (D) 1211,,,,2n X X X n二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）6、设一批产品共有a 件正品，b 件次品，每次抽取一件，抽出后不再放回，则第k 次)1(b a k +≤≤抽到次品的概率为___________.7、设连续型随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<-=其他,010),1(6x x x x f 则关于t 的一元二次方程02=++X t t 有实根的概率为____________.8、设101~,1,2111424i X i -⎛⎫ ⎪=⎪⎝⎭，且12{0}1P X X ==，则12{}P X X ==____________. 9、设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其它，010,2)(x x x f ，以Y 表示对X 进行n 次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则=DY ___________.10、设随机变量X 的特征函数为()X f t ，令Y a X b =+（,a b 为常数），则随机变量Y 的特征函数为()Y f t = 。

完整word版,北交大2011-2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北京交通大学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参考答案一．（本题满分8分）在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率．解：设=A “任取一个家庭拥有汽车”，=B “任取一个家庭拥有房产”．由题设得 ()6.0=A P ，()3.0=B P ，()2.0=AB P ．因此有 ()()()()4.02.06.0=-=-=-=AB P A P AB A P B A P ； ()()()()1.02.03.0=-=-=-=AB P B P AB B P B A P ．所求概率为()()()5.01.04.0=+=+=⋃B A P B A P B A B A P ．二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A ， {}次感冒某人一年中患2=B ．由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有 ()()()()()∑==31111k kkA BP A P A B P A P B A P2206.02441.02337.02122.02122.042321212=⨯+⨯+⨯⨯=----ee e e．三．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从41=λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率．解：X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex p xX ．设=A “候车时间超过5分钟”，则()4554415-+∞-==≥=⎰e dx e X P p x．设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,5~，因此所求概率为()()()()41155005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥4438.0151144545545=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---e e e ．四．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤+=其它05.002x x cx x f ．⑴ 求常数c ；⑵ 求X 的分布函数()x F ．解：⑴ 由密度函数的性质()1=⎰+∞∞-dx x f ，得()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-++==5.05.001dx x f dx x f dx x f dx x f ()81242135.00235.002+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰c x x cdx x cx ，解方程，得21=c ． ⑵ 当0≤x 时，()()0==⎰∞-xdt t f x F ；当5.00<<x 时，()()()()()27212320x x dt t t dt t f dt t f dt t f x F xx x +=+=+==⎰⎰⎰⎰∞-∞-；当5.0≥x 时，()()()()()15.05.00=++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-xxdt t f dt t f dt t f dt t f x F ．综上所述，随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤=5.015.0027023x x x x x x F ．五．（本题满分8分）设n 个随机变量n X X X ,,,21Λ相互独立，都服从区间()1,0上的均匀分布，令()n X X X Y ,,,m ax 21Λ=，⑴ 求随机变量Y 的密度函数()x p Y ；⑵ 求数学期望()Y E ．解：⑴ 随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它0101x x p X ，分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000x x x x x F X ．随机变量Y 的密度函数为 ()()()()⎩⎨⎧<<==--其它01011x nx x p x F n x p n X n X Y ．⑵ ()()111+=⋅==⎰⎰-+∞∞-n ndx nx x dx x xp Y E n Y ．六．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=其它010421,22y x y x y x p⑴ 求随机变量Y 的边际密度函数；（5分）⑵ 求条件密度函数()y x p Y X ．（3分）解：当0≤y ，或者1≥y 时，()0=y p Y ；当10<<y 时， ()()⎰⎰⎰--+∞∞-===yyyyY dx x y ydx x dx y x p y p 22421421,2503022731221221y x y dx x y yy=⋅==⎰ 所以，随机变量Y 的边际密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yy p Y ．当10<<y 时，()02725>=y y p Y ，因此当10<<y 时，X 关于Y 的条件密度函数为()()()y p y x p y x p Y Y X ,=2322522327421-==y x y y x即当10<<y 时，条件密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-其它10232232y x y x y x p Y X ．七．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．再令bY aX U +=，bY aX V -=，其中a 与b 是不全为零的常数，求随机变量U 与V 的协方差()V U ,cov 与相关系数V U ,ρ．解：由于随机变量X 与Y 都服从正态分布()2,σμN ，所以()()μ==Y E X E ，()()2σ==Y D X D ．()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E U E +=⋅+⋅=+=+=； ()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E V E -=⋅-⋅=-=-=．再由于随机变量X 与Y 相互独立，故有()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D U D +=⋅+⋅=+=+=， ()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D V D +=⋅+⋅=+=-=， ()()bY aX bY aX V U -+=,cov ,cov ()()()()()2222222,cov ,cov σb a Y D b X D a Y Y b X X a -=-=-=，所以，()()()2222,,cov ba b a V D U D V U VU +-==ρ．八．（本题满分8分）某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为8.0．医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言．试用中心极限定理计算，⑴ 如果实际上对这种疾病的治愈率确为8.0，问拒绝这一断言的概率是多少？⑵ 如果实际上对这种疾病的治愈率为7.0，问接受这一断言的概率是多少？（附，标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值：解：设X ：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则()p B X ,100~．⑴ 当8.0=p 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤=2.08.01008.0100752.08.01008.010075X P X P P 拒绝断言()()1056.08944.0125.1125.125.12.08.01008.0100=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-≤⨯⨯⨯-=X P ．⑵ 当7.0=p 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯--=>=3.07.01007.0100753.07.01007.0100175X P X P P 接受断言()1379.08621.0109.1109.13.07.01007.01001=-=Φ-≈⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯--=X P ．九．（本题满分8分）设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X Λ是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U ．计算统计量()U Y Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）．解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ，所以有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-．又由()∑=-=9722221i i Y X U ，得()2~2222χσU ．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ．十．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pq k X P ()Λ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21Λ是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量．解：似然函数为 (){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ========ΛΛ22112211,,,()()()()n x nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111Λ 所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=p nx p n p L dp d nk k ，解方程，得xp 1=．因此p 的极大似然估计量为Xp1ˆ=．十一．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3，Λ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21Λ是取自该总体中的一个样本．试求N 的极大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的极大似然估计值．（3分）解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1Λ=．所以似然函数为 (){}nni i i N x X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21Λ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ． ⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ．十二．（本题满分10分）三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止．求：⑴ 抛掷硬币次数X 的数学期望；（5分）⑵ 进行了3次还没确定付账人的概率．（5分）解：⑴ X 的取值为Λ,3,2,1．并且()43411⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P ， ()Λ,3,2,1=k ．即随机变量X 服从参数43=p 的几何分布，因此()341==p X E ．⑵ ()()015625.0641414313333==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>=X P P 次还未确定付账人进行了．。