大学物理第2章质点动力学

第2章 质点动力学

2．1 牛顿运动定律

一、牛顿第一定律

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。

二、牛顿第二定律

物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，

方向与合外力的方向相同。表示为 a m f = 说明:

⑴ 物体同时受几个力n f f f Λ21,的作用时，合力f 等于这些力的矢量和。

∑=+++==n

i n i f f f f f 121Λ 力的叠加原理

⑵ 在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式 x x ma f =，y y ma f =，z z ma f =。

⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式 t t ma f = n n ma f =

⑷ 动量：物体质量m 与运动速度的乘积，用表示。 v m p =

动量是矢量，方向与速度方向相同。

由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成 dt

p d dt v d m

a m f === 当0=f 时，

0=dt

p

d ，=p d 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。此结论成为质点动量守恒定律。

三、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。

说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。

四、国际单位制量纲

基本量与基本单位

导出量与导出单位

五、常见的力

力是物体之间的相互作用。

力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。

按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。

六、牛顿运动定律的应用

用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：

（1）隔离物体，受力分析。

（2）建立坐标，列方程。

（3）求解方程。

（4）当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。

例题

例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知31=m kg ，22=m kg ，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a 及绳子的张力T F （重力加速度g 取9.80m ·s 2-）。

解 分别取1m 和2m 为研究对象，受力分析如上图。利用牛顿第二定律列方程： a m F g m T 22=- a m g m F o T 1130sin =-' 绳子张力T T F F '=

代入数据解方程组得加速度98.0=a m ·s 2-，张力64.17=T F N 。

例2-2 如图所示，长度为l 的柔软细绳一端固定于天花板上的0点，另一端拴一个质量为m 的小球。先使绳保持水平，小球静止，然后小球自由下落。求小球的速率和绳的张力。

l

0 • m α T

α v mg

解：dt

d l

v α= 牛顿方程的切向和法向分量式

dt

dv

m ma mg t ==αcos （切向） l v m ma mg T n 2sin ==-α（法向）

把牛顿方程的切向分量式两边分别乘以dt d l α和v ，即

αcos g ·dt

dv

dt d l

=

α·v 约去dt 得 vdv d gl =ααcos

对上式积分，注意角度从0增大到α的同时，速率从0增大到v ，有

⎰⎰=v vdv d gl 00cos ααα， 22

1

sin v gl =α

得小球的速率为 αsin 2gl v =

代入牛顿方程的法向分量式，得绳的张力

ααsin 3sin 2

mg mg l

v m T =+=

可看出,当2πα=时，即小球运动到最低点时绳子的张力最大。

例2-3 质量为m 的小球在水中由静止开始下沉，设水对小球的粘滞阻力与其运动速率成正比，即kv f =τ，其中k 为比例常数，水对小球的浮力为B,求小球在水中任一时刻的沉降速度（设t =0时，v =0）。

y

解、小球受重力P 、粘滞力τf 及水的浮力B 的作用，取竖直向下为坐标轴正方向。如图所示，根据牛顿第二定律得

ma B f P =--τ 即 dt

dv

m

ma B kv mg ==-- 或

m dt B kv mg dv =-- 两边取定积分 ⎰⎰

=--t v

m dt B kv mg dv 00 得 m B mg B kv mg k 1)]ln()[ln(1=-----

由此求得：)1(t m k

e k

B

mg v ---= 当∞→t 时，k

B

mg v -→ ------小球的终极速度，匀速下降。 2．2

动量和动量守恒定律

一、质点和质点系的动量定理

1．冲量和质点动量变化定理

● 冲量：力的时间累积，即力对时间的积分，称为力的冲量。 ⎰=2

1t t fdt I

● 质点动量变化定理

根据牛顿第二定律，上式可写为 p d dt f I d ==

表明，在dt 时间内质点所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增量。

将上式从1t 到2t 对时间积分，得 ⎰⎰-===2

1

2

1

12t t p p p p p d dt f I

表明，质点在一段时间内所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增