new(1-2)稳恒磁场—1资料
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当S为闭合曲面时： BBdS
对闭合面的法线方向规定：
n
SS
B 0
源自文库
自内向外为法线的正方向。
B线从曲面内向外穿出： 而从曲面外向内穿进：
B的单位： 韦伯 Wb =Tm2
B 0 B 0
1T=1Wb/m2
B 0
2.真空中稳恒磁场的高斯定理
1）高斯定理：通过任意闭合曲面S的磁通量恒等于零。
BdS0 （毕奥 — 萨伐尔定律的直接推论）
大学物理
College Physics
主讲
华中科技大学物理学院
傅华华
真空中的磁场
回顾：
电容器储存的静电能
W
1 Q2 2C
1 2
CV
2
1 2
QV
静电场的能量及能量密度
we
W
1 2
DE
1
1 2
D
E 2dV
E
1
D
EdV
2
2
磁感应强度 B 的定义
定义：
B
Fmax qv
或：F
qv
B
S
高斯定理表明： 稳恒磁场是无源场（对变化的磁场亦成立）
2）推论： （1）稳恒磁场的磁场线是连续的闭合曲线。
即：在磁场的任何一点上磁场线既不是起点也不是终点。
（2）磁场中以任一闭合曲线L为边界的所有曲面的
磁通量相等。 曲面S1、S2均以L为边界，
L
S1
S2
对S1、 S2构成 的 闭合曲面 有 ： BdS BdS BdS0
x
P
(P点距导线足 够近时亦然)
(1) 载流长直导线周围B与R成反比。
(2) 磁力线是沿着垂直导线平面内的同心圆，
y Rctg
其方向与电流方向成右手螺旋关系。
例: 有一正n边形线圈，外接圆半径为R，通有电流I，求 其中心O点的磁感应强度，并讨论n→∞的情形。
解： 2
Ir
1
P
B
0 I 2 r
cos
/
2
方向沿 x 轴正向.
B
0 IR2 2(x2 R2)3/ 2
IR
B
o
讨论： 1) 无论 x>0 或 x<0, B与X轴同向
2）当 x = 0时，圆心处：B 0I 3）轴线以外的磁场较复杂，2R
可定性给出磁场线
磁S
P.
B
x
N
若定4)有义B电xN：流>匝>磁与R线2P0磁偶时Imx圈R场3极：2，线矩N仍总I2服S磁0n从Ix矩PS3右m为N手p：螺比mI即S旋较n:关B：系E。2偶极子02Pxm3P0Sxn成3与右延I的手长方关线向系上 N
;F=qvB
sin
毕奥 — 萨伐尔定律 ——电流激发磁场的规律
dB
0 4
Idl r
r3
dB
方大向小为为：：dIdBl4r0
Idl sin
r2
右手螺旋
例: 求一段载流直导线的磁场。
2
解：任意一个电流元在P点产生的
磁感应强度的方向均垂直向
里，故
BP dB
dB
0 4
Idl r
r3
Idl l
通电电流为I。
Idl
解：先讨dB论B4的0 方Id向rl3.r
I Rr
o
x
dB
P.
x
dB与 dB 是对x轴对称的
dB
dB 0 x
Idl
B dB dBcos
又dl
x
r
Idlr Idlr
cos
R r
B
0
4
I
cos
r2
dl
2R
4
(
IR 0
x2 R2)3
/
2
dl
0
B
IR2 0
2(x2 R2)3
θr
R
P
I 1
0 4
Idl sin
r2
代入积分式可得：
而 l rcos( ) rcos R rsin( ) rsin
由此两式得
BP
0 4
2 Isind
1
R
0 4
I R
(cos
1
cos2
)
l Rctg
dl
Rd sin2
,
r
R
sin
导线无限长，1 0 , 2
B
0 2
I R
(P点距导线足 够近时亦然)
电流为I，求离铜片中心线正上方y处P点的 B ?
解：把铜片划分成无限个宽为dx
的细长条，每条有电流：dI 该电流在P点产生的磁场为：
I a
dx
dB
0
2 r
dI
I 0
2ay / cos
dx
由对称性知：dB 0
y
dB dBcos x
I cos2 0 2 ay
dx
I
a
y
dB
P.
dx
dB
yr
x
1
2
0
(3)半无限长螺线管端头
B
1 2
nI 0
在整个管内空间成立
四、高斯定理
1. 磁通量 定义：通过磁场中任一给定面的磁感应线的总根数，
就是该面的磁通量B。
规定：
B
N S
1）B为均匀场
（磁通密度）
S面的磁通 量： B B S
2）B为非均匀场 dBBdS
S面上的总通量：B dB sB dS
例: 求一段载流直导线的磁场。
y
另解：对任意电流元，
dB
0 4
Idl r
r3
0 4
Idyj r ( y2 R2)3 / 2
0 4
Idyj (Ri yj) ( y2 R2)3/ 2
0 4
IRdyk ( y2 R2)3 / 2
tg(
)
R y
2
d若y1B导142s线0Ri,n0d无RI42d20限B(IRck长oss，in1BdcoIysdIl22)0kθRI1 Rrk
1
0 I 2 r
sin
2
R
O
I
BP
0 4
I r
(cos
1
cos
2
)
0 I 2 r
sin
n
这里，对任意一条边，
1
2
2
Bo
n
0I 2 r
s in n
2
n
0 I
2R
cos
n
sin
n
n
2 1
B
0I 4 r
(cos 1
cos1 )
lim
n
Bo
lim
n
0 I
2R
cos
n
sin
n
n
0 I
2R
例. 一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为a，厚度忽略，
l 2 R2ctg2
B 2(
L/ 2
讨论:
xP 2点0 IB不RR 22同)3 /L，2/ 2B不l 同则。：BdBd02nBI02nIco12sisn02n1Idscionsd2 管外空间B0
(1) L>>R管内有很大一部分场是均匀的。 管内为均匀场
(2) L, 0, ,B nI
x
无
B
0I 2 r
限 大
其中：x ytan dx ysec2d
B
dB x
I cos2 0 2 ay
y sec2 d
m
m
20Iad
o I a
m
oI a
arctan
a 2y
方向平行X轴
当y >>a 时 载
B
o 2
I y
(m
流 a平 面y/ 2)
当y <<a 时
B
oI
2a
oi
2
例. 求载流圆线圈轴线上的磁场B，已知半径为R，
n1 n2
S S1 S2
BdS BdS
S1
S2
五、安培环路定理
例. 一长螺线管轴线上的磁场 B ?
已知：导线通有电流I，单位长度上匝数为n。
解：在管上取一小段dl，电流为dI=nIdl ，
该电流在P点的磁场为：
......d..l.... ........... ...
1
. r
2
lP
dB
R2nIdl 0
2 l2 R2 3 2
l
Rctg
dl
Rd sin2
对闭合面的法线方向规定：
n
SS
B 0
源自文库
自内向外为法线的正方向。
B线从曲面内向外穿出： 而从曲面外向内穿进：
B的单位： 韦伯 Wb =Tm2
B 0 B 0
1T=1Wb/m2
B 0
2.真空中稳恒磁场的高斯定理
1）高斯定理：通过任意闭合曲面S的磁通量恒等于零。
BdS0 （毕奥 — 萨伐尔定律的直接推论）
大学物理
College Physics
主讲
华中科技大学物理学院
傅华华
真空中的磁场
回顾：
电容器储存的静电能
W
1 Q2 2C
1 2
CV
2
1 2
QV
静电场的能量及能量密度
we
W
1 2
DE
1
1 2
D
E 2dV
E
1
D
EdV
2
2
磁感应强度 B 的定义
定义：
B
Fmax qv
或：F
qv
B
S
高斯定理表明： 稳恒磁场是无源场（对变化的磁场亦成立）
2）推论： （1）稳恒磁场的磁场线是连续的闭合曲线。
即：在磁场的任何一点上磁场线既不是起点也不是终点。
（2）磁场中以任一闭合曲线L为边界的所有曲面的
磁通量相等。 曲面S1、S2均以L为边界，
L
S1
S2
对S1、 S2构成 的 闭合曲面 有 ： BdS BdS BdS0
x
P
(P点距导线足 够近时亦然)
(1) 载流长直导线周围B与R成反比。
(2) 磁力线是沿着垂直导线平面内的同心圆，
y Rctg
其方向与电流方向成右手螺旋关系。
例: 有一正n边形线圈，外接圆半径为R，通有电流I，求 其中心O点的磁感应强度，并讨论n→∞的情形。
解： 2
Ir
1
P
B
0 I 2 r
cos
/
2
方向沿 x 轴正向.
B
0 IR2 2(x2 R2)3/ 2
IR
B
o
讨论： 1) 无论 x>0 或 x<0, B与X轴同向
2）当 x = 0时，圆心处：B 0I 3）轴线以外的磁场较复杂，2R
可定性给出磁场线
磁S
P.
B
x
N
若定4)有义B电xN：流>匝>磁与R线2P0磁偶时Imx圈R场3极：2，线矩N仍总I2服S磁0n从Ix矩PS3右m为N手p：螺比mI即S旋较n:关B：系E。2偶极子02Pxm3P0Sxn成3与右延I的手长方关线向系上 N
;F=qvB
sin
毕奥 — 萨伐尔定律 ——电流激发磁场的规律
dB
0 4
Idl r
r3
dB
方大向小为为：：dIdBl4r0
Idl sin
r2
右手螺旋
例: 求一段载流直导线的磁场。
2
解：任意一个电流元在P点产生的
磁感应强度的方向均垂直向
里，故
BP dB
dB
0 4
Idl r
r3
Idl l
通电电流为I。
Idl
解：先讨dB论B4的0 方Id向rl3.r
I Rr
o
x
dB
P.
x
dB与 dB 是对x轴对称的
dB
dB 0 x
Idl
B dB dBcos
又dl
x
r
Idlr Idlr
cos
R r
B
0
4
I
cos
r2
dl
2R
4
(
IR 0
x2 R2)3
/
2
dl
0
B
IR2 0
2(x2 R2)3
θr
R
P
I 1
0 4
Idl sin
r2
代入积分式可得：
而 l rcos( ) rcos R rsin( ) rsin
由此两式得
BP
0 4
2 Isind
1
R
0 4
I R
(cos
1
cos2
)
l Rctg
dl
Rd sin2
,
r
R
sin
导线无限长，1 0 , 2
B
0 2
I R
(P点距导线足 够近时亦然)
电流为I，求离铜片中心线正上方y处P点的 B ?
解：把铜片划分成无限个宽为dx
的细长条，每条有电流：dI 该电流在P点产生的磁场为：
I a
dx
dB
0
2 r
dI
I 0
2ay / cos
dx
由对称性知：dB 0
y
dB dBcos x
I cos2 0 2 ay
dx
I
a
y
dB
P.
dx
dB
yr
x
1
2
0
(3)半无限长螺线管端头
B
1 2
nI 0
在整个管内空间成立
四、高斯定理
1. 磁通量 定义：通过磁场中任一给定面的磁感应线的总根数，
就是该面的磁通量B。
规定：
B
N S
1）B为均匀场
（磁通密度）
S面的磁通 量： B B S
2）B为非均匀场 dBBdS
S面上的总通量：B dB sB dS
例: 求一段载流直导线的磁场。
y
另解：对任意电流元，
dB
0 4
Idl r
r3
0 4
Idyj r ( y2 R2)3 / 2
0 4
Idyj (Ri yj) ( y2 R2)3/ 2
0 4
IRdyk ( y2 R2)3 / 2
tg(
)
R y
2
d若y1B导142s线0Ri,n0d无RI42d20限B(IRck长oss，in1BdcoIysdIl22)0kθRI1 Rrk
1
0 I 2 r
sin
2
R
O
I
BP
0 4
I r
(cos
1
cos
2
)
0 I 2 r
sin
n
这里，对任意一条边，
1
2
2
Bo
n
0I 2 r
s in n
2
n
0 I
2R
cos
n
sin
n
n
2 1
B
0I 4 r
(cos 1
cos1 )
lim
n
Bo
lim
n
0 I
2R
cos
n
sin
n
n
0 I
2R
例. 一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为a，厚度忽略，
l 2 R2ctg2
B 2(
L/ 2
讨论:
xP 2点0 IB不RR 22同)3 /L，2/ 2B不l 同则。：BdBd02nBI02nIco12sisn02n1Idscionsd2 管外空间B0
(1) L>>R管内有很大一部分场是均匀的。 管内为均匀场
(2) L, 0, ,B nI
x
无
B
0I 2 r
限 大
其中：x ytan dx ysec2d
B
dB x
I cos2 0 2 ay
y sec2 d
m
m
20Iad
o I a
m
oI a
arctan
a 2y
方向平行X轴
当y >>a 时 载
B
o 2
I y
(m
流 a平 面y/ 2)
当y <<a 时
B
oI
2a
oi
2
例. 求载流圆线圈轴线上的磁场B，已知半径为R，
n1 n2
S S1 S2
BdS BdS
S1
S2
五、安培环路定理
例. 一长螺线管轴线上的磁场 B ?
已知：导线通有电流I，单位长度上匝数为n。
解：在管上取一小段dl，电流为dI=nIdl ，
该电流在P点的磁场为：
......d..l.... ........... ...
1
. r
2
lP
dB
R2nIdl 0
2 l2 R2 3 2
l
Rctg
dl
Rd sin2