概率论(仅供参考)

、八—
前言
由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点内部使用，仅供参考，不承当任何后果。

参考：
课本
课件
该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解
第一节
重点：德摩根律公式
交换律：AU B=BU A, AB=BA
结合律(AU B)U C=AU (BU C)
(An B) n c=An (B n)c
分配律：An (BU C) = (A n B)( A n c )
AU (B n C) = (A B) n (AJ C)
德摩根律
AU B AI B AI B AU B
第二节
频率性质
1 .
2 . 样本任意一事件概率不小于0 （非负性）样本事件概率和为1 （规范性）
3
.
如果AB 互斥f n(AUB) f n(A) f n(B)
4
.
如果AB 不排斥f n(AUB) f n(A) f n(B) f n(A B)
5
.
P(A) 1 P(A).
第三节古典概型
样本空间中样本点有限，既事件有限
样本点概率等可能发生
p A k A 中所含的基本事件数 ()n 基本事件总数—
例题 例1将一枚均匀硬币抛掷三次.
⑴设事件出为“恰有一次出现正面‘‘，求PU1)；
(2)设事件如为“至少有一次出现正面”.求P{A^. 解(1)记H 表示出现正面，丁表示出现反面，则样
本空间可表示为
Q = {HHH, HHT, HTH, THH, UTT ： THT, TTH,
ITT}
由对称性知M 中每个基本事件发生的可能性相同. 又 A,^{HTTJHT,TTH}.由此知 P(4)-3/8.
排列组合问题(要是考应该不会太难)
性质
1. 2. 3.
例2 —口袋装有6个球,其中4个白球，2个红球，从 袋中取球两次,每次随机地取一个.考虑两种取球方式: 何放回抽样，(b)不放回抽样•试分别亂t 面两种情况求
(1) 取到的两个球都是白球的概率；
(2) 取到的两个球颜色相同的概率；
(3) 取到的两个球中至少有一个是白球的概率. 几何概型
例6 (约会问题)甲.乙两人相约在某一段时间F 内在 预定地点会面•先到者等候另一人，经过时间山＜7)后
时刻到达预定点是等可能的).
求法:
zfl
r 内任
1. 求出状态方程
2
根据定义域画图
.
求概率=阴影面积/总面积
例2设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30 年内发生特大洪水的概率为80%,在40年内发生特大洪 水的概率为85%,问现己无特大洪水过去了30年的该地 区，
在未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？
解
则所求概率为P （鮎叭由于叽4*由条件概率的计 算公式有巴⑼二空尘型二匹“75
P （B ） P （B ） 0.2
再由条件概率的性质少可得
尸（刁 I £） = 1一尸（卫 I 5） = 1-0.75
= 0.25
第四节条件概型
条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性 例题
P(AB)
P(B)
49
全概率公式
n n
P(B)
P(BA i ) P(A i ) P(B|A i ) i 1 i 1
例题书p25 例6播种用的一等种子中混合2%的二等种子,1.5% 的三等种子,1%的四等种子.用一等、二等、三等、四 等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5,0.15, 0.1,0.05,求这批种子所结的穰含有50颗以上麦粒的概率.
解设从这批种子中枉选一颗，记
如=“任选的一颗种子是i 等种子’,= 123,4)
B 表示事件-在这批种子中任选一颗歩且这颗种子所
结的麦穗含有50颗以上麦粒”
4 (/=1,2,3,4)构成完备事件组.
/Iji “任选的一颗种子是f 等种子"(z=l, 2,3,4)
〃表示事件“在这批种子中任选一颗,且这颗种子所
结的麦穗含有50颗以上麦粒"
£(21,2,3,4)构成完备事件组.又由题意知
尸⑷=95.5% FC 主)二 2% )=1.5% P(A, ) = 1%
P(S |4)= 0占 P(5 I 去)=0J5 P(B I 4)= 0.1 P(R i| 心)=0.05 由全概率公式得
4 p ⑻=乞玖4)卩0|4)
1=1
= 95,5%x0,5 + 2%x0.I5 + 1.5%x0.Ul%x0.05 = 0.4825
49
贝叶斯公式
P(A) P(B|A)
P(A|B) n e
P(A) P(B|A)
i 1
例7设在8支枪中有3支未经过试射校正,5支已经
试射校正■—射手用校正过的枪射击时,击中目标的概 率为08而用未经过校正的枪射击时，击中目标的概率 为03现该射手从8支枪中任取一支进行射击,结果击 中目标，求所用这支枪是己经校正过的概率.
解 设A 表示事件 A 表示事件 B 表示事件
尸⑷== P(A)二 0 ?(5|.4) = 0.8 P(B I A)二 0.3
8 8
由题意知
P{A} = - P ㈤刃“用 P(B\A)=O3
8 S
由贝叶斯公式得所求的概率为
-X 0,8 8 :所取的枪是校正过的
‘‘ “所取的枪是未校正
过的‘‘ '“射击击中目
由题意知
卩僅I B ）二PW I 幻
P(B) P(A)P(B \ A) + P(A)P(B
\ A)
40
-x0,8 + -x03
8 8
第五节独立性
如果AB事件独立
P(AB) P(A) P(B)
若多事件相互独立，理论仍然成立
冽5甲.乙两射手射击同一目标,他们击中目标
的概率分别为Q 9与0.8沫在一次射击中(每人各射一次) 目标被击中的概率.
解设M表示事件"甲射中目标",〃表"乙射中目标‘‘C表示網标被击中” O
则C 由独立性，有
P(C)^P(A US) -尸(/) +尸(5)-尸(£5)
二尸(/) +
=0.9 + 0.8 = 0.9 X 0.8 = 0.98 或者?(C) = l-P(C) = 1-P(A^) = \-P(A)P(B)
-l = (l-0.9)x(l = 0.8)-0.98
贝努利概型
既服从二项分布模型
例7设有N件产品，其中有M件次品，现进行《次旨放回的抽样检查，问共抽得*件次品的概率是多少？
解由于抽样是有放回的，每次抽样产品成份不发生变化7囚此这是找重贝努利试验，若以A记各次试验中出现次品这一事件，则由二项概率公式可得
M V r M Y"
r^J
k二0,12min{M/}.
抽取n次的组合次数
第二章
重点章节，几大分布都是后几章的基础
第二节离散型随机变量及其分布律
1.
2.
3. 两点分布、0 - 1分布
既随机变量X只可能取0或1两个值，事件执行一次只有两种情况，例如抛硬币
记为X~b （1, p）P表示事件的概率，样本点个数为1,并且1-p表示相反事件概率二项分布（应用于上章的贝努利概型）
与0-1分布类似，事件执行n次，记为X~b （n, p）p表示事件的概率样本点个数为泊松分布
P{X k} 一e
k!
k 0,1,2,
4. 记为X~n （入）如果出题，应该会标明是泊松分布，或者给出明确的
二项分布X~b （n, p）当n充分大，P充分小时，对于任意固定的非负整数k,与泊松分布概率近视相等，并且
几何分布
既抽取问题中可放回情况，
=nb （数学期望相等）
该分布具有无记忆性
P{X k} (1 p)k-1 p,k 1,2,L
5. 超几何分布
既抽取问题不放回情况
C k C n k
P{X k}
C N^
C
k 0,1,2,L
第三节随机变量及其分布
随机变量分布（感觉这个知识点必考，虽然不知道会是什么题）求事件概率
公式，p51
1.已知分布函数求分布律，并求事件概率（习题2第一题）
根据公式P{X X o} F(X o 0) F(X o 0)
求出各个点的概率，并画出分布表，求事件概率可以不会套公式，可以直接看表。

2.已知分布律求发布函数（p52,例题）
x
经常用来描述寿命问题
第四节 连续型随机变量及其概率密度
连续型分布函数几何意义：为连续型概率密度函数的面积 所以两者转化与积分有关 题型：
1. 已知概率密度函数，求常数 c （ p55例题）
根据公式
F （x ）
2. 3.
分布函数求密度函数（习题 2
8
题）
对分布函数求导
F(x) f(t)dt
均匀分布
密度函数
f(x)
b 0
其他,
记为X~U
(a , b )
0,
a, 分布函数
F(x)
b 1
x b, b.
指数分布
密度函数:
f(x)
x 0,
记为 X~E （入）
分布函数
F(x)
0,
x 0,
0,
其他-
正态分布（必考）（高斯分布）
1 害密度函数：f（X）品—e
记为X~N （卩,2）cr
正态分布密度函数性质书上p60也了解
根据公式：F（x）可进行查表来求分布律
P（a X b） F（b） F（a）
根据事件概率公式可求：例如 b a
正态分布可以看出许多分布的近似分布
第五节随机变量函数的分布
1.离散型
Il求F =（疋-厅的分布律，其中iw工的分布律为
X -1 0 1 2
P R 0.2 0.3 0.1 0.4
P{Y ^Q}=P{(X-ly =0}= P{A" = l}=0.1 尸{y
= ]}=/>{(/-1)2 =1}
二P{X-l = 1} + P{X-1 = -1} -P{X = 2}十
尸{X=f)}=(H
p{r = 4} = 1—尸{丫 = 0}- = 1}= 0.2
即y的分布律为Y
Pk 0.1 0.7 0.2
2.连续型
公式：f Y (y) | h (y) | f x (h(y)) ( p67 例题) 例如：已知密度函数
求 Y=X+1
|h(y)|的正负于Y=X+1单调性有关，严格单调递增为
+,严格单调递减为
第三章多维随机变量及其分布
第一节二维随机变量
二维变量的联合发布函数
F(x,y) P{X x,Y y}
性质：
对于固定的
X ，y
F( ,y) lim F(x,y) 0
X
F(x,) lim F (X, y) 0 F(, )lim F (X, y) 0 X
y
F(,
J
)lim F(x,y) 1
X y
二维离散型随机变量
可以根据其分布规律，用表格表示
f x (X ),求Y=X+1的密度函数
的反函数：h ( y )=Y-1
1. 2. 套用公式 f Y (y) |h(y)| f x (h(y))
3. 公式：
F(X 2,y 2)
F(X i ,y 2)F(x 2,y i ) F(X i ,X i ) P(X i X x ?, % 丫 y ?) 0
二维连续型随机变量
F(x,y) x y f (u,
v)dvdu
性质:
(l)f(x,y) 0;
f (x, y)dxdy 1;该性质用于求函数
f(x,
y)；
⑷ P{(X,Y) G} f(x, y)dxdy. ( G为平面的一区域)
G
⑶区域如图所示，则
P{(A\r)GG} = Jj7CT,v)dxd>
二J；&寸；2尸
Jpy
V I
O
_______ R__
亠血■= (1 一
e~")".
Jo Jo "
二维均匀分布
1 f(x,y) A
(x,y) G
其他
区域公式：P{(X,Y) D) f (x, y)dxdy ^dxdy
D D A A
既把x 或者y 边缘化 耳(Q = P{X <x} = P{X < x,Y< +00}
二 lim 尸{X £ 工』< y) - liin 尸(兀 y) - F(x,
+oc) TT-X
1'—►-too
■
耳(F)= P{F< v} =
y}
=IiraF{X<iF<y}=limf(x 」) = FGocj)
JC —X
工
二维离散型随机变量的函数的分布 书p84 例题 二维连续型随机变量的函数分布 例4:设二维随机变量（X,D 的联合概率密度为
Q 严,0 < ?r < y
a 其他
（1）试求常数H ；
⑵关于X 的边缘概率密度心（X ）; （3）概率F{X + y<l}. 解
⑵忑的边缘概率密度为
/（3）二
y
y = x
X
/(.V v)d>'
= (■+X
J e '⑪，X >0 0, 其他
巳=二 X >
0,
0,其他.
P89例题
离散型随机变量的条件分布律
P{X X i iY y j }
豈i 12L
既
联合分布律的固定样本点/边缘分布的固定样本点
P90例题
连续型随机变量的条件分布密度 求法；
1. 2. 3. P92页例题
求出X , Y 的边缘密度函数
根据条件分布公式，求出条件密度函数 求分布密度
第四节相互独立的随机分布
若X , Y 相互独立，由定义知
F(x,y) F x (x)F Y (y), x, y R ，既边缘分布之积
求法：书p95例题
例3已知随机向量(兀耳的联合密度为 r 、 Jef
V >0M >0;
心r 0,其他.
(1)问X 与F 是否独立？(2)求概率P0N 环 解(1)先求边缘密度函数
显然
/(兀尹)= ZvW 人
所以随机变量龙与 瑚互独立.
第五节 两个随机变量函数的分布
离散型二维随机变量的函数分布 求法：
1. 列表
2. 对应概率值合并 P97页例题
的屮沪
0,
X < 0.
,
V <
0.
连续型二维随机变量的函数分布 没懂
P99
第四章 随机变量的数组特征
第一节数学期望（必考）
既样本的平均值
'cx 3dx 1
1/4 *c = 1
解得
'x4x 3
dx
=4/5
注意不是所有的匕V.都有数学期望
例如：柯西（Cauchy ）分布的密度函数为
离散型随机变量的数学期望
EX
X k P k
1
连续型随机变量的数学期望 EX xf (x)dx
考试真题
样本满足概率密度分布函数
1. 求c
2. E （ x ）
f （ X ）
=cx 3
0<x<1 解：第一问
f(x)dx 1 第二问
E （ x ）=
xf(x)dx
随机变量函数的数学期望 例如E （ 3X+1）的数学期望
数学期望性质：.
EC=0 (c 为常数) E(CX) C EX.
E(X Y) EX EY. E(XY) EX EY.
第二节方差
对数学期望的偏差值 求法：
DX = E （X - EX
T DX 为标准差或者叫均方差
常用公式:
DX EX 2 (EX)2
真题
样本满足概率密度分布函数
f 3. 求 D （x ）
解：
=2/75
离散型：
(3X i 1) P i
1
连续型:
(3x 1)f(x)dx
1.
2. 4. 常见数学期望：
二项分布 几何分布 指数分布 正太分布 泊松分布 1. 2. 35. X~b （n , p ）数学期望为 np 数学期望为1/p
X~E （入）数学期望为1/ X~N （卩2
）. 数学期望为卩 X~ n （圈学期望为
(X)=4x 3
0<x<1
D (X )=DX
EX 2
(EX)2
1
2
3
x
*
4x dx
1
(0
X *
4
x 3
dx)2
二项分布 方差性质：
D(aX+b ) = X D X D(c)=0
第三节协方差与关系系数
协方差
对于二维随机变量(x,y ),当X , y 不相互独立
D(X Y) D(X) D(Y) 2cov(X,Y)
协方差公式：
cov(X, Y) E(X
协方差性质：
cov(X Y,Z) cov(X,Z) cov(Y,Z)
常用方差 泊松分布 X ~ n)(方差: 正态分布 X - N ( , 2)方差
均匀分布 X~U(a, b)方差
(b a)
12
指数分布
1
X~E (入 方差—.
4
. cov(X,X) DX
5.
2
cov(X,Y)| DX DY
X - b( n , p)方差 np(1 p)
特别地, 若相互独立，则
时，xy 之间用协方差来描述其中关系
EX )(Y EY)
1. cov(X,Y) cov(Y,X) E(XY) EX*EY
2. cov(aX,bY) abcov(X,Y)
3.
若其为0表示xy 不相关
cov(y,y)= pg, = 1
X , y 的相关系数公式：
XY
cov(X,Y)
J D (X )7DG
[X E(X)][y E(Y)]f(x,y)dxdy
E{X)=p, £(r)=p, '1
X 1
i 1 j 1
连续型求相关系数：
cov(X ,Y) 离散型求相关系数：cov( X ,Y)
[X i E(X)][y j E(Y)] P ij
D(x)= pq. D(r)= pq,
第四节矩与协方差矩阵
矩:
k
对于随机变量x k EX (k 1,2,L )存在，称3 k为X的k阶原点矩
k
mi k E(X EX) (k 2,3,L )存在，称m k为X的k阶中心矩
下一章要用到
第五章大数定理与中心极限定理
第一节大数定理
切比雪夫不等式
P{ X
或者：P{ X
不太懂，记下公式，例题p145
大数定理
书上一箩筐看不懂的大数定理证明
就是说明了一个东西，在 n (样本基数)足够大的时候，算术平方根几乎是一个常数，无限 趋近于数学期望
书上和ppt 上都没例题，基本上不要考
中心极限定理
多个独立随机变量满足同一分布，
并且具有相同的方差和数学期望，
其极限近似与正态分布
n
X k n
k 1
例题
例1炮火轰击敌方防御工事100次,每次轰击命中 的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5, 若各次
轰击命中的炮弹数是相互独立的，求100次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率； (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
解设X R 表示第A:次轰击命中的炮弹数
E{X,) = 2, D{X,} = \.5\ "1,2,…,100
依题意知HI,r 「血。

相互独立.
第二节 中心极限定理
n n
X k E( X k )
k 1 k 1
J D ( X k )
V k 1
Y n
公式:
解设X 盘表示第直次轰击命中的炮弹数
E(XQ 二 2, Z)(A ；.) = 1.5\ t = 12 」00 依题意知兀L 」他相互独立.
设X 表示WO 次轰击命中的炮弹数' 则
X 二》X 上，E(X) = 200, £)(X) = 225, km 由独立同分布中心极限定理'有
近似
X - 7/(200,225)
X 列 N(200,225) [80-200]
二
1 = 0(=1.3333)二①(L3333) = 0,9088
二①
(0)-①(-13・33)二0产
德莫佛-拉普拉斯定理 该定理表明，正态分布是二项分布的极限分布
n
~ b(n, P),对于充分大的 n 近似有n~N(np, np(1 p))的状态分布
既数学期望和与方
差和
例3某计算机系统有120个终端，每个终端有5%的 时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有 10个或更多终端在使用的概率.
(1) P(X >130)^1-^
(2) P (0<X<200)^0)
(200-200) < 15丿
(0-200、
解设X表示在某时刻使用的终端数，则X服从参数为/7-120, p = 0.05的二项分布，由棣莫弗我普拉斯定理可得
尸｛10<XW120｝二1-尸｛X <10｝
厂10-6
.U120x0.05x0.95 丿
= 1=0(1.65) = 0.047
第六章样本及抽样分布
第一节
简单随机抽样（代表性与独立性） 若总体的分布密度函数为
f （X ）,则样本的联合密度函数为
n
f （X ）.
（表示累乘）
i 1
例1设总体X- X"…,兀为取自总体 X 的样本，求样本X” X"…,M 的联合分布（称为 样本分布）-
所以样本X-禺，…F 禺的联合分布律为 P{%1 =入1兀二;Vw ，K =兀讣
用
n
程 D
丹-Z 幵
=YI P ^(1 - " J P"(1 - P)
j=i
经验分布函数
3经聆分布函数
设壷…j 「儿是一个随机样本，先，…小二为其 组观察值.将共从小到人扌雅列成兀⑴< S <…< 义 —
称7^…（,v ）为样本分布函数咸经验分布函第
f(X i ,X 2,L ,X n )
解X 的分布律为
p{x 二工
X = 0,1
<)
,
k
7 咗 X V x(u ；
P161例题
7
样本X1, X2,…,X 的 r 阶矩为
A
X i r
1
经典例题
例丫设总弹天•〜『/(昭可, 矩法估计量.
解由于
7
a, h 未知，求参数厲方的 *1
A ： = Eg ）二 DX 十（月”）：
tz + b = 2 ,
b-Q = J12（化一工丄
由此解得
d =
—』3（尹2 - 4）b — //j + ^3（ — //j ）
第二节抽样分布
这节课逃了，没听，好烦，根本看不懂
第七章参数估计
第一节矩估计
参数是刻画总体某方面概率特性的数量 .
例如，X ~N ( , 2),
若，2未知，通过构造样本的函数，给出它们 的估计值或取值范围就是参数估计的内容
点估计，估计未知参数的值 区间估计，范围
设总体的r 阶矩存在，记为 E(X
r
)
由此解得
a =从- J3（心-加）- A1 +』3（“2 -戸:）
分别以*“去代替得到碍A的矩法估计为
= 4 - J3（& -Q 二才-£斗3 -初2 ,
$ =热+73（匸药= F + （兀-Q2.
例题
例2设总体'X的二阶矩存在且未知，X,…;t；为来自总体的样本。

求"EQO& = D{X的估计量.
解：由于D 二n = E（x）,/二二+ b'
fiY
1 fl
a亠+cr二—工工
n；=i
解此方程组得从/的矩估计分别为
_ 1川_
&=工宀-Sty
若总体忑〜NiTL"均未知，则"的矩估计分别为
_ 1用_
B二X, &2—£（工一乔
理7=1
第二节极大似然估计
求法
设P (X)为概率函数
n
似然函数：P（X i X,, X2 X2丄,X n X n）P（X i；）
i 1
对数似然函数：既在其左右加对数然后令其为0,求极大值
例题：
例2设总体,丫的概率分布为
其中^(0<^<1/2)足未知参数，試用总体X的样本观察值3,0,3,1,33,2,3求参数〃的最大似然估讣值.
解由£(日)二n/u；&)得
41
£(创二/to；6)■尸(1:圳-f(2; &) /(3:60
=伊・[2班1一6")「/(1-前)斗
二4护(1-日『(1-20丄
M础=4沪(1 6)^(1 26*)'
对数似然函数为
Ini(tf) =ln4^61n^? + 21n(l-tf) + 41n(l-26?)
令兰申硏」丄丄=4±竺1=0
de 0 13 14 M(1 召)(1 2(?)
解之得％2=违驴-
又因务讥⑹-弓-占-占^<0
所以址]均为ln£{0)的极丿、值、由対.0 的暈人似然估计值为0=専.
第三节估计量的评选标准
设总体服从任意分布， 既得
样本平均值：X , 既X 为□的无偏估计量, 根据性质：
Ex （平均值）=卩 E §需
Dx （平均值）=Dx / n
第四节区间估计
置信度：1 置信区间求法
求出，根据置信度 查正态分布表求出
如果0未知，用方差
S 来代替，然后查t 表
- S — S
X 屮4）石，X 屮0石
第八章假设检验
看书
计算公式：X
u
■2
Ex=a, Dx= * 方差为S 2 S 2为 02
的无偏估计量
求1.在丫=1的情况下，X 的分布律 2.X=2的条件下，丫的分布规律 0 06 + 0 014-0 00K + 0002 =
00fi> O.OO S —尸{龙“ 7 = 1) = — = 1 . ^^{^ = 217 = 1} = ----- =— 003 4 I
」0,0& 4
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尸3胡空空.丄.
I '
0 OS 40
由此得存条件y = 1下*分布律琳"
f{.V = O|J =1} =
3门
0.7刘
Q.8
0"
0 025*
P {y = 2} = 0 02+0 00'R,+n 厲4 二
o 032 .屮
由此可得屮
OCP 5
尸「0盍"户蔬=亍戸{F = l ］才=2}= 需Hdww 器十
押
O P 1P
2门
0.52
知
0.25-
0 1®
由此得刮当X-2^iY 的分布從为』
P143 21 题
200 EX EX i 200 100 20000, DX
i 1
-2 0 0.25 证明XY 不相关也不独立 求出边缘分布规律 X 边缘分布： -1 -1 0.25 0 0.25
0 0.25
1 i
2 0.25 1 0.25
—-2- Px I 0.25 I 0.25 求得 Ex = -2*0.25+ (-1) *0.25 + 0.25 +0.5=0 Y 的边缘分布 Y I 1 ] 4 Py 0.5 \ 0.5 Ey = 0.5+4*0.5 = 2.5 有 E (yx ) = -0.25+0.25 -2 +2 = 0 有根据相关系数 COV (x,y ) =E (xy ) -E(x)*E 既可以证明，XY 不相关 (y ) =0 1 又 P{X 2,Y 1} 0 P{X 2} P{ 1}- 4 1
1 可以怎么XY 不独立
8 P153 3 题 每袋茶的期望值为100g ，标准差为10g ，一盒有200袋茶,
求一盒茶重 20.5kg 的概率 以X i ( i 1,2，…,200)表示一袋茶叶的净重，由已知EX i 100, DX i 102
.记 X 为一盒 茶叶的净重，则X 200
X i ,因各袋茶叶的净重可以认为相互独立
1
1,2,…,200)相互独立， 从而有
,即随机变量X i ( i
200
DX i i 1
200 100 20000,
由独立同分布中心极限定理知
,X 近似服从正态分布 N （20000,20000）,由此知 P X 20500 1 P X 20500
1
20500 20000
1 (3.536) 1 0.9998 0.0002.
720000
2题 给出一组样本，求平均值，和方差 :全部相加
（所有的 53.001 53.003 53.001 53.005 53.000 52.998 53.002 53.006
服从正态分布，求平均值和方差的矩估计值，然后求其小于
53.004的概率
别是:
2 2 2
0.004) 0 0.004 ] =0.000006
P214 例题
每袋大米标准重量为100kg ，重量服从正态分布，标准差为
100.5 98.6 105.0 98.4 102.5
101.2 99.5
问大米机是否正常
解：首先标准差已经知道，并且由题可知，服从标准重量，大米机就工作
正常 所以，提出两个对立的假设
由此知零件长度
X 服从的分布为: N(53.002,0.000006).故
P {X 53.004}
①(空竺)
<0.000006
①(0.82)
0.7939 .
P171 平均值 方差：
/样本个数
（（样本个体-平均值）的平方））/样本个数
P 208
一批零件抽取8个
长度如下
由矩法估计知:
X , ?2 S n 2
-(X i n i 1
X)2
2
.从而和2
的矩估计值分
-1
X - (53.001
8 53.002
53.003 53.001 53.005 53.000 52.998 53.002 53.006)
?2
1i1 (X i X)2 1 2 2 -[(0.001)2 0.0012
( 8 0.001)2 0.0032 ( 0.002)2 0.9kg ，随机取9袋大米为 98.9 99.3
H 0： u=U 0
H i : u ！ =U 0
解出|u| = 22 >1.96（查表得到），既拒绝H o ,大米机工作不正常
P237 2 题 正常人脉搏72/min ，铅中毒的患者中有10个人脉搏如下
54
67
68
78
70
66 67
70
65
69
为正态分布，在 a=0.05下，铅中毒与正常患者的脉搏有没有显著的区别
故拒绝H o ，即铅中毒者与正常人的脉搏有显著差异
设 x~B （ 50， P ），平均数=30, 求P 的矩估计p1 （填空题）
该分布满足二项分布，
E （ x ）=np=50*p
有因为E （X ）的矩估计值我为 30 从而P 的矩估计值为 P=30/50 = 3/5
U
根据公式
|X 0| / V n
本题是在未知方差
2
的条件下，检验总体均值
=72,取检验统计量为
检验假设可设为
H 。

： 在H 。

为真时，检验统计量T ~t （n 1）, 计量，得统计量的观测值为
72, H i : 72.
由已知数据计算可得：X 67.4, s 5.93，代入检验统
67.4 72 5.93/710 t
窃
又 0.05,查t 分布表得t 0.025 （9）
2.262,由此知 上 2.45, 1.88 I t 2.447 2.262
t
0.025
(9).
样本满足概率密度分布函数 f （x）=cx3
0<x<1
1.求c
2.E（x）
3.D（x）
解：1 .根据概率密度函数定义
f (x)dx 1
1cx3dx
1/4 *c
1 /
-E(x)= 0
4xdx
04x4dx
=4/5
3 . D (X)= E (x2) -E (X)2
1
2 3
-x2 *4 x3dx =0
=2/75=4
；x*4 x3dx)2
参考文献:
■ V •。