多元线性回归分析
多元线性回归分析
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二、多元线性回归模型的建立
由于二元线性回归方程是最典型的多元线性回归方程， 通过观察求解二元线性回归方程的参数的过程，就可了 解其他类型的多元线性回归方程参数的求解方法。设有 二元线性回归方程： yc a b1x1 b2 x2
统计学
一、多元线性回归分析的意义
粮食亩产量受播种量、施肥量、降雨量等 因素的影响；又如，彩电的销售额受彩电 价格、广告费支出、消费者购买力等因素 的影响；再如，企业产品成本受原材料价 格、原材料消耗、产量、质量、工艺技术 水平等因素的影响。
对于上述情况，如果只用一个自变量来进 行回归分析，分析的结果就存在问题，如 果将影响因变量的多个因素结合在一起进 行分析，则更能揭示现象内在的规律。
2
二、多元线性回归模型的建立
多元线性回归分析研究因变量和多个自变量间的线性关 系因，变这 量种 Y与线自性变关量系可用数学模型x来1, 之x表2,间x示3,存。,在设xn线因性变关量系为，Y,可 用多元线性回归方程来表示这种关系。设多元线性回归 方程为：yc a b1 x1 b2 x2 b3 x3 bn xn
要确定该回归方程，须先求解a、b1、b2三个参数。用最
小二乘法求解得x1方y y程a组nax如1 b1下b1：x1x12b2
x2 b2
x1x2
x2 y a
x2 b1
x1x2 b2
x22
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统计学Biblioteka
多元线性回归分析
简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。
它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。
这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。
在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。
我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。
最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。
多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。
这些假设包括。
1）线性。
自变量和因变量之间的关系必须是线性的。
2）无多重共线性。
自变量之间不应高度相关。
3）无自相关性。
数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。
4）同质性。
残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。
5）正态性。
残差应遵循正态分布。
6）误差的独立性。
残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。
7）没有异常值。
数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。
多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。
这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。
系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。
例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。
同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。
多元线性回归分析
S /(n k 1) 或 t ˆi / cii
S /(n k 1)
c 式中 ii 是矩阵 (X ' X )1对角线上的第 i 个元素，S 表示残
差平方和 。 当检验统计量的值大于给定显著性下的临界值时，拒绝 原假设，认为回归系数是显著的
（六）利用已通过检验的回归方程进行预测。
市场调查
多元线性回归分析
多元线性回归是在简单线性回归基础上推广而来。是 用来分析多个自变量对多个因变量如何产生影响的，最常见 的是分析多个自变量对一个因变量的影响方向和影响程度。
一、多元线性回归分析在市场调查中的应用
（一）确定市场调查中因变量与自变量之间的关系 是否存在，若存在，还要分析自变量对因变量的影 响程度是多大，影响方向如何。
Yt
因变量
X it (i 1,2,, k)
自变量
i (i 1,2,, k)
总体回归系数
ut
随机误差项
作为总体回归方程的估计，样本回归方程如下：
Yˆt ˆ1 ˆ2 X 2t ˆ3 X3t ˆk X kt et
ˆi (i 1,2,, k)
总体回归系数的估计
t 1,2,, n
样本数
et 是 Yt与其估计 Yˆt之间的离差，即残差
（二）确定因变量和自变量之间的联系形式，关 键是要找出回归系数。
（三）利用已确定的因变量和自变量之间的方程 形式，在已知自变量的情况下，对因变量的取值 进行预测。
（四）在众多影响因变量的因素中，通过评价其 对因变量的贡献，来确定哪些自变量是重要的或 者说是比较重要的，为市场决策行为提供理论依 据。
（五）回归的显著性检验
包括对回归方程的显著性检验和对回归系数的显著性检验。
多元线性回归分析案例
多元线性回归分析案例1. 引言多元线性回归分析是一种用于探究多个自变量与一个连续型因变量之间关系的统计分析方法。
本文将以一个虚构的案例来介绍多元线性回归分析的应用。
2. 背景假设我们是一家电子产品制造公司，我们想了解哪些因素会对产品销售额产生影响。
为了解决这个问题，我们收集了一些数据，包括产品的价格、广告费用、竞争对手的产品价格和销售额。
3. 数据收集我们采集了100个不同产品的数据，其中包括以下变量：- 产品价格（自变量1）- 广告费用（自变量2）- 竞争对手的产品价格（自变量3）- 销售额（因变量）4. 数据分析为了进行多元线性回归分析，我们首先需要对数据进行预处理。
我们检查了数据的缺失情况和异常值，并进行了相应的处理。
接下来，我们使用多元线性回归模型来分析数据。
模型的方程可以表示为：销售额= β0 + β1 × 产品价格+ β2 × 广告费用+ β3 × 竞争对手的产品价格+ ε其中，β0、β1、β2、β3是回归系数，ε是误差项。
5. 结果解释我们使用统计软件进行回归分析，并得到了以下结果：- 回归系数的估计值：β0 = 1000, β1 = 10, β2 = 20, β3 = -5- 拟合优度：R² = 0.8根据回归系数的估计值，我们可以解释模型的结果：- β0表示当产品价格、广告费用和竞争对手的产品价格都为0时，销售额的估计值为1000。
- β1表示产品价格每增加1单位，销售额平均增加10单位。
- β2表示广告费用每增加1单位，销售额平均增加20单位。
- β3表示竞争对手的产品价格每增加1单位，销售额平均减少5单位。
拟合优度R²的值为0.8，说明模型可以解释销售额的80%变异程度。
这意味着模型对数据的拟合程度较好。
6. 结论根据我们的多元线性回归分析结果，我们可以得出以下结论：- 产品价格、广告费用和竞争对手的产品价格对销售额有显著影响。
多元线性回归分析spss
多元线性回归分析spss
多元线性回归分析是一种常用的统计分析技术，用于对各因素之间的相互关系进行研究。
使用多元线性回归分析，可以检验一个或多个自变量对因变量具有统计学显著性的影响，从而推断出实际世界存在的不同因素可能带来的影响。
在spss中，我们使用下拉菜单选择“分析”>“回归”>“多元”来开始多元线性回归分析。
在多元线性回归窗口中，我们可以在右边的“可用变量”列中选择变量，拖拽到“因变量”和“自变量”栏中。
接下来，我们可以选择要使用的模型类型，其中包括多元线性回归，截距，变量中心以及相关的其他预测结果。
在进行模型拟合之前，我们可以在“多重共线性”复选框中对共线性进行调整，进行预测和显著性检验，并调整“参数估计”和“残差”复选框，自由地绘制结果。
在运行了多元线性回归分析之后，在spss中，我们可以在输出窗口中查看多元回归方程的系数和检验的结果，以及它们对回归系数的影响，残差分布情况，多重共线性分析和其他一些输出参数。
总而言之，spss中多元线性回归分析是一种有效的统计分析方法，可以用来检验多个自变量对回归方程的影响。
它具有许多内置功能，可以容易地针对回归系数和其他参数进行各种分析，提供了可信的结果，帮助人们深入了解各类因素对研究结果的影响。
统计学中的多元线性回归分析
统计学中的多元线性回归分析多元线性回归分析是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
本文将介绍多元线性回归分析的基本原理、应用场景以及分析步骤。
1. 多元线性回归的基本原理多元线性回归分析是建立在线性回归的基础上的。
线性回归分析是研究一个自变量对一个因变量的影响关系，而多元线性回归分析则是研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
在多元线性回归中，我们假设因变量Y与自变量X1、X2、...、Xn之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中β0、β1、β2、...、βn为回归系数，ε为误差项。
我们的目标是通过样本数据来估计回归系数，以便预测因变量Y。
2. 多元线性回归的应用场景多元线性回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、社会学、医学等。
以下是一些常见的应用场景：2.1 经济学领域在经济学领域，多元线性回归可以用于分析各种经济变量之间的关系。
例如，研究GDP与劳动力、资本投入等因素之间的关系，或者研究物价与通货膨胀、货币供应量等因素之间的关系。
2.2 社会学领域在社会学领域，多元线性回归可以用于分析社会现象与各种因素之间的关系。
例如，研究教育水平与收入、社会地位等因素之间的关系，或者研究犯罪率与社会福利、失业率等因素之间的关系。
2.3 医学领域在医学领域，多元线性回归可以用于分析疾病或健康状况与各种因素之间的关系。
例如，研究心脏病发病率与吸烟、高血压等因素之间的关系，或者研究生存率与年龄、治疗方法等因素之间的关系。
3. 多元线性回归的分析步骤进行多元线性回归分析时，通常需要按照以下步骤进行：3.1 数据收集首先，需要收集相关的自变量和因变量的数据。
这些数据可以通过实地调查、问卷调查、实验等方式获得。
3.2 数据预处理在进行回归分析之前，需要对数据进行预处理。
这包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
多元线性回归分析案例
多元线性回归分析案例多元线性回归分析是统计学中常用的一种分析方法，它可以用来研究多个自变量对因变量的影响，并建立相应的数学模型。
在实际应用中，多元线性回归分析可以帮助我们理解变量之间的关系，预测未来的趋势，以及制定相应的决策。
本文将通过一个实际案例来介绍多元线性回归分析的基本原理和应用方法。
案例背景。
假设我们是一家电子产品制造公司的市场营销团队，我们想要了解产品销量与广告投入、产品定价和市场规模之间的关系。
我们收集了过去一年的数据，包括每个月的产品销量（千台）、广告投入（万元）、产品定价（元/台）和市场规模（亿人）。
数据分析。
首先，我们需要对数据进行描述性统计分析，以了解各变量的分布情况和相关性。
我们计算了产品销量、广告投入、产品定价和市场规模的均值、标准差、最大最小值等统计量，并绘制了相关性矩阵图。
通过分析发现，产品销量与广告投入、产品定价和市场规模之间存在一定的相关性，但具体的关系还需要通过多元线性回归分析来验证。
多元线性回归模型。
我们建立了如下的多元线性回归模型：\[Sales = \beta_0 + \beta_1 \times Advertising + \beta_2 \times Price + \beta_3 \times MarketSize + \varepsilon\]其中，Sales表示产品销量，Advertising表示广告投入，Price表示产品定价，MarketSize表示市场规模，\(\beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3\)分别为回归系数，\(\varepsilon\)为误差项。
模型验证。
我们利用最小二乘法对模型进行参数估计，并进行了显著性检验和回归诊断。
结果表明，广告投入、产品定价和市场规模对产品销量的影响是显著的，模型的拟合效果较好。
同时，我们还对模型进行了预测能力的验证，结果表明模型对未来产品销量的预测具有一定的准确性。
决策建议。
如何理解和使用多元线性回归分析
如何理解和使用多元线性回归分析多元线性回归分析是一种统计分析方法，用于探索自变量与因变量之间的关系。
它基于线性假设，假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小二乘法估计未知参数。
多元线性回归可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，相比于一元线性回归，具有更多的灵活性和应用场景。
以下是关于多元线性回归分析的理解和使用。
一、理解多元线性回归分析：1.模型表达：多元线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1～Xn是自变量，β0～βn是回归系数，ε是误差项。
2.线性假设：多元线性回归假设自变量和因变量之间的关系是线性的，即因变量的期望值在给定自变量的条件下是一个线性函数。
3.参数估计：根据最小二乘法原理，通过使残差平方和最小化来估计回归系数。
最小二乘估计量是使得残差平方和最小的回归系数。
4.假设检验：在多元线性回归中，常用的假设检验包括回归系数的显著性检验、模型整体的显著性检验和多重共线性检验等。
二、使用多元线性回归分析：1.确定研究目标：明确研究目标，确定自变量和因变量。
了解问题背景、变量间关系，并结合实际情况选择合适的方法进行分析。
2.数据收集与整理：收集需要的数据，包括自变量和因变量的观测值。
对数据进行验证和清洗，排除缺失值、异常值等。
3.变量选择：根据研究目标和变量间的相关性，进行自变量的筛选。
可以通过相关分析、方差膨胀因子(VIF)等指标来评估自变量间的共线性。
4.模型建立与估计：根据选定的自变量和因变量，使用统计软件进行模型建立和回归系数的估计。
多元线性回归可以通过扩展一元线性回归的方法来计算。
5.模型诊断与改善：对建立的模型进行诊断，检验残差的正态性、独立性、同方差性等假设。
若存在违反假设的情况，则需要考虑进一步改善模型。
6.模型解释与预测：解释回归系数的含义，明确变量间的关系。
利用模型进行预测和决策，对未知因变量进行估计和预测。
7.模型评价与报告：评估模型的拟合程度，包括R方、调整R方、残差分析等指标。
多元线性回归分析简介
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
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定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
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一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
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定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
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定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
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误差方差的估计：
多元线性回归分析
多元线性回归分析预测法概述在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。
而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。
例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。
这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。
多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。
当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。
[编辑]多元线性回归的计算模型[1]一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。
设y 为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：其中，b 0为常数项，为回归系数，b 1为固定时，x1每增加一个单位对y 的效应，即x 1对y 的偏回归系数；同理b 2为固定时，x 2每增加一个单位对y 的效应，即，x 2对y 的偏回归系数，等等。
如果两个自变量x 1,x 2同一个因变量y 呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为：其中，b 0为常数项，为回归系数，b 1为固定时，x 2每增加一个单位对y 的效应，即x 2对y 的偏回归系数，等等。
如果两个自变量x 1,x 2同一个因变量y 呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b 0 + b 1x 1 + b 2x 2 + e建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：(1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关；(2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；(3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度；(4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。
多元线性回归分析基础
03
伪逆矩阵
当自变量和因变量之间存在不完全的线性关系时，最小二乘法的解可能
不唯一。在这种情况下，可以使用伪逆矩阵来求解参数，它能够给出参
数的一个稳定解。
多元线性回归模型的假设检验
总结词
利用多元线性回归分析，可以预测一个地区或国家的人口数量变化趋势，为政策制定提 供依据。
详细描述
人口数量受到多种因素的影响，如出生率、死亡率、移民率等。通过收集这些因素的数 据，并利用多元线性回归分析建立模型，可以预测未来一段时间内的人口数量变化趋势。 这种预测结果可以为政府制定相关政策提供依据，例如资源分配、教育医疗等公共服务
多元线性回归模型的基本形式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
多元线性回归模型的参数估计
01 02
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化预测值与实际值之 间的残差平方和来估计参数。这种方法基于一系列观测数据，通过数学 优化技术求解参数值。
梯度下降法
医学研究
在生物医学领域，多元线性回归分析可用于研究疾病的发生和发展与 多个基因和环境因素之间的关系。
02
多元线性回归模型
多元线性回归模型的概述
多元线性回归模型的定义
多元线性回归模型是一种用于探索和预测多个自变量与因变量之间关系的统计方法。通过将多个自变量纳入模型， 可以分析它们对因变量的联合影响。
的规划等。
05
多元线性回归分析的注意事项
数据质量与预处理
多元线性回归分析
多元线性回归模型（二）
设因变量为y，自变量为xi（i= 1,….,m），m元线 性回归方程为： ŷ=a+b1*x1+b2*x2+….+bm*xm， 或y=ŷ+e。 ŷ 是y的估计值或预测值； e是残差，不能由现有的自变量决定的部分； a为常数项或截距； bi为样本偏回归系数，即在其它自变量固定不变 情况下，xi改变一个单位，因变量平均改变bi 个单 位。对应的总体偏回归系数为βi，若βi =0，则该 自变量xi与因变量y之间无线性关系，即xi对因变 量y无影响 。
自变量的贡献（一）
偏回归系数反映了自变量对应变量的作用大小；但在多元 回归方程中，偏回归系数是随自变量所带单位的不同而改 变。所以，要比较不同自变量对应变量的作用大小，不能 直接比较它们的偏回归系数大小，必须将其标准化，使之 成为无量纲的标准偏回归系数，直接比较大小。 bi’：标准化偏回归系数，比较度量衡单位不同的自变量对 因变量的贡献大小。 bi’ = bi *(ιii1/2 / ιyy1/2 )。 标准偏回归系数反映的是自变量对因变量y的直接作用。
回归分析的步骤
1、建立线性回归方程； 2、回归方程的假设检验； 3、偏回归系数的假设检验与区间估计； 4、比较自变量对因变量的作用大小； 5、因变量的区间估计； 6、残差分析。 Analyze→Regression → Linear
建立线性回归方程（一）
即计算截距a和回归系数bi ，应用最小二乘 法原理，即要求残差平方和达到最小。 以 PAN.sav为例，作身高、体重对肺活量影 响的多元线性回归分析。 选择变量的方法有强迫引入法(系统默认)、 强迫剔除法、向前引入法、向后剔除法、 逐步回归法。
回归方程有统计学意义，并不等于方程中每个变 量都有统计学意义，因此要分别检验每个偏回归 系数是否均为0，用t检验： H0： βi =0 ，H1： βi≠0 ；α = 0.05。 t i= bi / s bi ，得P值大小，若P≤ 0.05，则拒绝H0， 接受H1，说明该变量有统计学意义；若P＞ 0.05， 则不拒绝H0，说明该变量无统计学意义。 对应SPSS的结果中标题为“Coefficients”的表格， 经t检验，身高变量无统计学意义，而体重变量有 统计学意义。
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。
本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。
具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。
通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。
多元线性回归分析的第一步是建立模型。
我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。
在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。
同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。
建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。
回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。
通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。
拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。
模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。
回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。
而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。
解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。
如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。
接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。
此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。
标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。
另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。
R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。
但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。
多元线性回归分析
' j
=
X
j
− X Sj
j
标准化回归方程
标准化回归系数 bj ’ 的绝对值用来比较各个自变量 Xj 对 Y 的影响程度大小； 绝对值越大影响越大。标准化回归方程的截距为 0。 标准化回归系数与一般回归方程的回归系数的关系：
b 'j = b j
l jj l YY
⎛ Sj ⎞ = b j⎜ ⎜S ⎟ ⎟ ⎝ Y⎠
R = R2
^
�
说明所有自变量与 Y 间的线性相关程度。即 Y 与 Y 间的相关程度。联系了回归和相关
-5-
�
如果只有一个自变量，此时
R=r 。
3) 剩余标准差（ Root MSE ）
SY |12... p =
∑ (Y − Yˆ )
2
/( n − p − 1)
= SS 残 （n − p − 1 ） = MS 残 = 46.04488 = 6.78564 反映了回归方程的精度，其值越小说明回归效果越好
（SS 残） p Cp = − [n − 2(p + 1)] （ MS 残） m p≤m
2
P 为方程中自变量个数。 最优方程的 Cp 期望值是 p+1。应选择 Cp 最接近 P+1 的回归方程为最优。
5、决定模型好坏的常用指标和注意事项：
• 决定模型好坏的常用指标有三个：检验总体模型的 p-值，确定系数 R2 值和检验每一 个回归系数 bj 的 p-值。 • 这三个指标都是样本数 n、模型中参数的个数 k 的函数。样本量增大或参数的个数增 多，都可以引起 p-值和 R2 值的变化。但由于受到自由度的影响，这些变化是复杂 的。 • 判断一个模型是否是一个最优模型，除了评估各种统计检验指标外，还要结合专业知 识全面权衡各个指标变量系数的实际意义，如符号，数值大小等。 • 对于比较重要的自变量，它的留舍和进入模型的顺序要倍加小心。
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种使用多个自变量来预测因变量的统计方法。
它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在这篇文章中，我们将讨论多元线性回归的基本概念、假设和模型，以及如何进行参数估计、模型拟合和预测。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε在这个方程中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，ε是误差项。
假设1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2.独立性：样本数据是独立采样的。
3.多重共线性：自变量之间不存在高度相关性。
4.正态分布：误差项服从正态分布。
5.同方差性：误差项的方差是常数。
参数估计为了估计回归系数，我们使用最小二乘法来最小化残差平方和。
残差是观测值与模型估计值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值的残差平方和最小化。
模型拟合一旦估计出回归系数，我们可以使用它们来拟合多元线性回归模型。
拟合模型的目标是找到自变量的最佳线性组合，以预测因变量的值。
我们可以使用拟合后的模型来预测新的观测值，并评估模型的拟合程度。
预测在实际应用中，多元线性回归模型可以用于预测因变量的值。
通过给定自变量的值，我们可以使用估计的回归系数来计算因变量的预测值。
预测值可以帮助我们了解自变量对因变量的影响，并作出决策。
总结多元线性回归分析是一种重要的统计方法，它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在进行多元线性回归分析时，我们需要考虑模型的假设，进行参数估计和模型拟合，并使用拟合后的模型进行预测。
通过多元线性回归分析，我们可以获得有关变量之间关系的重要见解，并为决策提供支持。
多元线性回归分析
求解后得 b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
各变量均值分别为： X1 5.8126 ， X 2 2.8407 ， X 3 6.1467 ， X 4 9.1185 ，Y 11.9259 ， 则常数项：
b0 11.9259 0.1424 5.8126 0.3515 2.8407 0.2706 6.1467 0.6382 9.1185
sY 123 m 表示。
公式为： sY123 m
MS剩余
SS剩余 n m 1
剩余标准差越小，说明回归效果越好
3、剩余标准差
剩余标准差除与剩余平方和有关外，还与自由度 有关，因此剩余标准差与决定系数对回归效果优 劣的评价结果有时不一致。研究者通常希望用尽 可能少的自变量来最大限度地解释因变量的变异， 从这个意义上来说，用剩余标准差作为评价回归 效果的指标比决定系数更好。
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
1、对模型的假设检验—F检验
SS总=lyy=222.5519；ν总=n-1=26 SS剩余= SS总- SS回归=222.5519-133.7107=88.8412 ν剩余=n-m-1=22
= = MS回归 SS回归/ν回归； MS剩余 SS剩余/ν剩余；
标准化偏回归系数b’j
0.07758 0.30931 -0.33948 0.39774
bj b j
l jj lYY
bj
l jj /(n 1) lYY /(n 1)
bj
Sj SY
偏回归系数
偏回归系 数标准误
标准偏回归系数
（三）计算相应指标，对模型的拟合效果进行评价
多元线性回归模型分析
多元线性回归模型分析多元线性回归模型是一种用于分析多个自变量对于一个目标变量的影响的统计模型。
在多元线性回归模型中，通过使用多个自变量来预测目标变量的值，可以帮助我们理解不同自变量之间的关系，以及它们与目标变量之间的影响。
在多元线性回归模型中，假设有一个目标变量Y和k个自变量X1，X2，...，Xk。
我们的目标是通过找到一个线性函数来描述目标变量Y与自变量之间的关系。
这个线性函数可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，β0,β1,β2,...，βk是回归系数，代表自变量对于目标变量的影响程度。
ε是误差项，表示模型不能完全解释的未观测因素。
1.数据收集：收集自变量和目标变量的数据。
这些数据可以是实验数据或观测数据。
2.数据预处理：对数据进行清洗和处理，包括处理缺失值、异常值和离群值等。
3.变量选择：通过相关性分析、方差膨胀因子(VIF)等方法选择最相关的自变量。
4.拟合模型：使用最小二乘法或其他方法，拟合出最佳的回归系数。
5. 模型评估：通过各种统计指标如R-squared、调整R-squared等评估模型的拟合程度。
6.模型解释与推断：通过解释回归系数，了解各自变量对于目标变量的影响程度，并进行统计推断。
在多元线性回归模型中，我们可以利用回归系数的显著性检验来判断自变量是否对目标变量产生重要影响。
如果回归系数显著不为零，则表明该自变量对目标变量具有显著的影响。
此外，还可以利用F检验来判断整体回归模型的拟合程度，以及各自变量的联合影响是否显著。
同时，多元线性回归模型还可以应用于预测和预测目的。
通过使用已知的自变量值，可以利用回归模型来预测目标变量的值，并计算其置信区间。
然而，多元线性回归模型也有一些限制。
首先，模型的准确性依赖于所选择的自变量和数据的质量。
如果自变量不足或者数据存在误差，那么模型的预测结果可能不准确。
此外，多元线性回归模型还假设自变量之间是线性相关的，并且误差项是独立且具有常量方差的。
多元线性回归分析在统计学中的应用
多元线性回归分析在统计学中的应用引言：在统计学中，多元线性回归分析是一种重要的方法，用于探究多个自变量与一个因变量之间的关系。
它不仅可以揭示变量之间的相互作用，还可以预测和解释因变量的变异。
本文将介绍多元线性回归分析在统计学中的应用，并探讨其优势和不足之处。
1. 多元线性回归分析的基本原理多元线性回归分析是一种建立因变量与多个自变量之间关系的数学模型的技术。
该方法假定因变量与自变量之间存在线性关系，并利用最小二乘法估计回归方程的系数。
在多元线性回归分析中，我们希望找到最佳拟合直线，使得因变量的预测值与观测值之间的残差平方和最小。
2. 多元线性回归分析的应用领域多元线性回归分析在统计学中被广泛应用于各种科学、社会科学和经济学领域的研究中。
下面将介绍一些常见的应用领域：2.1 经济学和金融学在经济学和金融学领域，多元线性回归分析用于研究不同因素对经济或金融变量的影响。
例如，研究GDP增长率与投资、消费、政府支出和净出口之间的关系。
通过分析这些因素的影响，可以为政府制定经济政策和投资策略提供决策依据。
2.2 教育研究在教育研究中，多元线性回归分析可用于探究学生的学业成绩与多个影响因素之间的关系，如：学生背景、家庭环境、学习时间等。
这些因素的影响可以帮助学校和教育政策制定者优化教学方法和资源分配，提高学生的学业成绩。
2.3 医学和健康研究多元线性回归分析在医学和健康研究中也被广泛应用。
例如，研究心脏病发病率与各种生活习惯、遗传因素和环境因素之间的关系。
通过分析这些因素对心脏病发病率的影响程度，可以制定预防心脏疾病的健康政策和建议。
3. 多元线性回归分析的优势和不足多元线性回归分析具有以下优势和不足：3.1 优势多元线性回归模型可用于探究多个自变量与因变量之间的关系，即使存在多个自变量之间的相互影响。
此外，多元线性回归分析还可以进行变量筛选，识别出哪些自变量对因变量的解释最为有效。
3.2 不足多元线性回归分析在使用过程中也存在一些不足之处。
第三章 多元线性回归分析
CONSP：人均居民消费（以居民消费价格指数（1990=100）缩减）。
表 2.5.1 中国居民人均消费支出与人均 GDP（元 /人） 年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 人均居民消费 CONSP 395.8 437.0 464.1 501.9 533.5 572.8 635.6 716.0 746.5 788.3 836.4 779.7 人均 GDP GDPP 675.1 716.9 763.7 792.4 851.1 931.4 1059.2 1185.2 1269.6 1393.6 1527.0 1565.9 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 人均居民消费 CONSP 797.1 861.4 966.6 1048.6 1108.7 1213.1 1322.8 1380.9 1460.6 1564.4 1690.8 人均 GDP GDPP 1602.3 1727.2 1949.8 2187.9 2436.1 2663.7 2889.1 3111.9 3323.1 3529.3 3789.7
解该k个方程组成的线性代数 方程组，即可以得到 k个 待估参数的估计值
正规方程组的矩阵形式
n X 1i X ki
X X
1i 2 1i
X X X
ki
X
ki
X 1i
ˆ 1 0 ˆ X 11 1i ki 1 2 ˆ X ki k X k 1
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10
一、最小二乘估计
参数估计也是多元线性回归模型的基本 步骤。 最小二乘法也是多元线性回归的基本方 法。 对于多元线性回归模型 Y 0 1 X1 K X K
11
ˆ b b X b X 得到样本回归方程： Y 0 1 1 K K
回归残差平方和V ei2 Yi b0 b1 X 1i bK X Ki 2 i i 当 V 对b0 , b1 ,bK的一阶偏导数都等于0，得到 正规方程组：b Y b X b X
b2
( yi x2i )( x12i ) ( yi x1i )( x1i x2i )
i 2 2 ( x12i )( x2 ) ( x x ) 1i 2i i i i i i i i
14
最小二乘估计的向量、矩阵形式
向量表示
b0 b B 1 bK
1 X 11 X K 1 X l , X 1 , , X K 1 X 1n X Kn
Y 0 1 X 1 2 X 2 K X K X
9
第二节 参数估计
一、最小二乘估计 二、投资函数模型参数估计 三、参数估计的性质和方差估计
7
对假设的进一步分析
上述六条假设中（2）、（3）、（4）和（6） 与两变量模型相同。 第（1）条是关于模型基本变量关系的。 第（5）条不仅针对的解释变量数目增加了， 而且多了一个要求解释变量之间没有线性关系 的假设，这是多元线性回归模型的重要特点。
8
多元线性回归模型的矩阵表示
Y1 0 1 X 11 K X K 1 1 Yn 0 1 X 1n K X K n
20
要进一步对多元线性回归模型进行统计 推断和检验，同样需要先估计参数估计 量的方差。 据最小二乘估计公式和模型假设，可以 导出两个解释变量的多元回归模型各个 参数的最小二乘估计量的方差。
21
2 2 2 X12 x2 X x i 2 1i 2 X 1 X 2 x1i x2i 1 2 i i i Var (b0 ) 2 2 2 n x x ( x x ) 1i 2i 1i 2i i i i
Var (b1 )
2 x 2i 2 x 1i x ( x1i x2i ) i i i
2 x 1i 2 x 1i x ( x1i x2i ) i i i i 2 2i
i 2 2i
2 2
Var(b2 )
2 2
22
上述参数估计量方差中的 2是模型误差 项 i 的方差，一般可以用多元线性回归 最小二乘估计的残差序列：
Y1 Y Yn
X i1 X i Xin
0 1 l 1 K
1 n
第四章 多元线性回归分析
1
本章主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节
多元线性回归模型 参数估计 回归拟合度评价和决定系数 统计推断和预测
2
第一节 多元线性回归模型
一、模型的建立 二、模型的假设
3
一、模型的建立
多元线性回归模型就是研究多因素关系，有多 个解释变量的线性回归模型。一般形式是：
i
YY BXY YXB BXXB
15
当 V 对 b0 , b1 ,bK 的一阶偏导数都等于0
V b 0 BV V bK 2 XY 2 XXB 0
XXB XY
1 B XX XY
Prob. 0.0000 0.0000 0.0000 0.203750 0.033061 -6.849241 -6.704381 149.6088 0.000000
19
三、参数估计的性质和方差估计
只要变量关系符合多元回归模型的假设， 多元回归分析参数的最小二乘估计量也 有优良的性质，也是BLUE估计和一致估 计。 因此在模型假设成立的前提下，最小二 乘估计也是多元线性回归分析基本的参 数估计方法，并能为相关统计推断和预 测分析提供基础。
26
第四节 统计推断和预测
一、参数估计量的标准化
二、统计推断和检验 三、预测
27
一、参数估计量的标准化
在满足模型假设的情况下，多元线性回归模型 参数的最小二乘估计量是线性无偏估计。 参数估计量服从以参数真实值为中心的正态分 布： bk ~ N[k , var(bk )] bk可以通过下列变换转化为标准正态分布的统 计量：
5
虽然一个经济指标受到其他几个经济指标线性 影响在现实经济中是存在的，但更多的情况下 多变量关系往往是非线性的，需要经过数学变 换才能转化为多元线性回归模型的标准形式。
例：
Y A X i e ln Y ln A i ln X i
i 1 i 1
p
p
Z 0 1S1 p S p
Y 0 1 X1
K X K
K 2
X1,, X K 是K个认为对Y有 其中Y是被解释变量， 显著影响的解释变量（K 2）， 0 ,, K 是K+1个待定参数，是计量经济分析首先要估 是随机误差项。 计的对象，
4
多元线性回归模型的建立也需要有理论 和现实的根据。 多元线性回归模型中包括哪些变量、因 素，哪个指标是被解释变量，有几个解 释变量或哪几个指标作为解释变量，既 要考虑理论分析和研究目的的需要，也 应该根据所研究问题的具体情况、相关 经济理论，以及以往研究经验等确定。
ˆ Y b b X b X ei Yi Y i i 0 1 1i K Ki
2 e i i
加以估计，公式是：
S ＝
2
n3
23
第三节 回归拟合度评价和决定 系数
分析两变量线性回归决定系数公式
R2 1
2 e i
Y
i
i
i
Y
2
可以发现，该决定系数只与被解释变量的观测 值以及回归残差有关，而与解释变量无直接关 系。 多元模型解释变量的数目有多有少，该决定系 数是解释变量数目的增函数，意味着不管增加 的解释变量是否真是影响被解释变量的重要因 素，都会提高决定系数的数值，解释变量个数 越多，决定系数一定会越大。
ˆ Y 1 ˆ Y Y ˆ n
e1 e en
ˆ XB 回归方程的向量表示 Y ˆ Y XB 回归残差向量 e Y Y 残差平方和 V ei2 ee Y XB Y XB
0 1 1 K K
S11b1 S12b2 S1K bK S10 S K 1b1 S K 2b2 S KK bK S K 10
其中 Sk 0 X ki X k Yi Y , Skj X kj X k X ji X j , k , j 1,K
16
二、投资函数模型参数估计
作为例子，我们估计[例4-1]的投资函数 多元线性回归模型的参数。 假设已获得该地区1968-1983年期间实际 投资和实际GNP数据。
17
表4.1 某地区投资和GNP数据
年份 1968 1969 1970 1971 1972 1973 实际投资 0.161 0.172 0.158 0.173 0.195 0.217 实际GNP 1.058 1.088 1.086 1.122 1.186 1.254 年份 1976 1977 1978 1979 1980 1981 实际投资 0.195 0.231 0.257 0.259 0.225 0.241 实际GNP 1.298 1.370 1.439 1.479 1.474 1.503
6
二、模型的假设
(1)、变量 Y 和 X 1 , X K 之间存在多元线性随 机函数关系 Y 0 1 X 1 K X K ； (2)、E i 0 对任意 i 都成立； (3)、Var i 2 ,与 i 无关； E i j 0 (4)、误差项不相关，当 i j 时， (5)、解释变量都是确定性的而非随机变量， 且解释变量之间不存在线性关系； (6)、误差项 i 服从正态分布。
i i
12
该正规方程组有K+1个方程，未知数也 是K+1个。只要满足模型假设（5），解 释变量之间不存在严格线性关系，就可 以解出 b0 ,, bK 的唯一一组解。 该解就是 0 ,, K 的最小二乘估计。
13
特别地，对于两个解释变量的线性回归模型： Y 0 1 X1 2 X 2 ˆ b b X b X 样本回归方程是： Y
0 1 1 2 2
可推导出参数最小二乘估计的公式如下：
b0 Y b1 X 1 b2 X 2 b1
i i 2 1i 2 ( yi x1i )( x2 i ) ( yi x2 i )( x1i x2 i ) 2 2 ( x )( x2 ) ( x x ) i 1i 2 i i i i i i
24
克服决定系数上述缺陷的方法，是对决 定系数进行适当的调整，采用如下“调 整的决定系数”：
n 1 R 1 (1 R 2 ) n K 1 2 e i n 1 i ＝1 n K 1 (Yi Y ) 2
2
i