独立重复试验与二项分布课件优秀课件
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独立重复试验与二项分布 课件
k_=__0_,1_,_2_,·_··_，__n________．
此时称随机变量X服从_二__项__分__布_，记作__X_～__B_(_n_，__p_) ，并 称p为__成__功____概率．
例如：某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他射击4 次恰好击中3次的概率是
_P_(_X_＝__3__)＝__C__340_._9_3_(1_－___0_.9_)_4_－_3＝__0_._2_9_1_6_.____________________
所求概率为 P＝C35×353×1－352＝261265.
(3)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而 其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把 3 次连续击 中目标看成一个整体可得共有 C13种情况．
故所求概率为 P＝C13·353·1－352＝3312245.
二项分布
将一枚均匀硬币随机掷100次，求正好出现50次正 面的概率．
点评：独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验结
果的概率不受其他次结果的概率的影响，每次试验有两个可
能结果：成功和失败，n次试验中A恰好发生了k次的概率为
C
k n
pk(1－p)n－k，这k次是n次中的任意k次．若是指定的k次，则概 率为pk(1－p)n－k.
解析：(1)该射手射击了 5 次，其中只在第一、三、五次 击中目标，是在确定的情况下击中目标 3 次，也就是在第二、 四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的
结果互不影响，故所求概率为 P＝35×1－35×35×1－35×35＝ 108 3125.
(2)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次击中目标．根据排 列组合知识，5 次当中选 3 次，共有 C35种情况，因为各次射 击的结果互不影响，所以符合 n 次独立重复试验概率模型．故
此时称随机变量X服从_二__项__分__布_，记作__X_～__B_(_n_，__p_) ，并 称p为__成__功____概率．
例如：某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他射击4 次恰好击中3次的概率是
_P_(_X_＝__3__)＝__C__340_._9_3_(1_－___0_.9_)_4_－_3＝__0_._2_9_1_6_.____________________
所求概率为 P＝C35×353×1－352＝261265.
(3)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而 其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把 3 次连续击 中目标看成一个整体可得共有 C13种情况．
故所求概率为 P＝C13·353·1－352＝3312245.
二项分布
将一枚均匀硬币随机掷100次，求正好出现50次正 面的概率．
点评：独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验结
果的概率不受其他次结果的概率的影响，每次试验有两个可
能结果：成功和失败，n次试验中A恰好发生了k次的概率为
C
k n
pk(1－p)n－k，这k次是n次中的任意k次．若是指定的k次，则概 率为pk(1－p)n－k.
解析：(1)该射手射击了 5 次，其中只在第一、三、五次 击中目标，是在确定的情况下击中目标 3 次，也就是在第二、 四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的
结果互不影响，故所求概率为 P＝35×1－35×35×1－35×35＝ 108 3125.
(2)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次击中目标．根据排 列组合知识，5 次当中选 3 次，共有 C35种情况，因为各次射 击的结果互不影响，所以符合 n 次独立重复试验概率模型．故
独立重复试验与二项分布课件(人教A选修2-3)(
独立重复试验与二项分布课件
contents
目录
• 独立重复试验 • 二项分布 • 二项分布的应用 • 独立重复试验与二项分布的关系 • 实例分析 • 总结与思考
01
独立重复试验
定义与特点
独立重复试验是指在相同的条件下，独立地重复进行n次试验 ，每次试验只有两种可能结果（成功或失败），并且每次试 验中成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
概率密度函数
二项分布的概率密度函数可以用 于描述在n次独立重复试验中成功 的次数，从而帮助我们理解随机 事件的分布情况。
决策制定
决策依据
在风险决策中，二项分布可以用于评 估不同决策的风险和收益，帮助我们 做出最优决策。
风险评估
通过二项分布，我们可以评估不同决 策的风险，从而选择风险较小的方案 。
数据分析与预测
二项分布的期望是np，方差是np(1-p)。
二项分布的期望是np，其中n是试验次数，p是每次试验成功的概率；方差是np(1-p)，表示实际观测值与期望值之间的偏离 程度。
03
二项分布的应用
概率计算
概率计算
二项分布可以用于计算在独立重 复试验中成功的概率。例如，在 抛硬币试验中，可以计算连续出 现三次正面的概率。
二项分布的性质
二项分布具有可加性、独立性、对称性和均匀性等性质。
二项分布具有可加性，即如果将两个独立的二项分布相加，结果仍然服从二项分 布；独立性，即各次试验是独立的；对称性，即成功的次数和失败的次数是对称 的；均匀性，即随着试验次数的增加，成功次数和失败次数的概率趋于相等。
二项分布的期望与方差
06
总结与思考
独立重复试验与二项分布在生活中的意义
概率思维
预测未来
contents
目录
• 独立重复试验 • 二项分布 • 二项分布的应用 • 独立重复试验与二项分布的关系 • 实例分析 • 总结与思考
01
独立重复试验
定义与特点
独立重复试验是指在相同的条件下，独立地重复进行n次试验 ，每次试验只有两种可能结果（成功或失败），并且每次试 验中成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
概率密度函数
二项分布的概率密度函数可以用 于描述在n次独立重复试验中成功 的次数，从而帮助我们理解随机 事件的分布情况。
决策制定
决策依据
在风险决策中，二项分布可以用于评 估不同决策的风险和收益，帮助我们 做出最优决策。
风险评估
通过二项分布，我们可以评估不同决 策的风险，从而选择风险较小的方案 。
数据分析与预测
二项分布的期望是np，方差是np(1-p)。
二项分布的期望是np，其中n是试验次数，p是每次试验成功的概率；方差是np(1-p)，表示实际观测值与期望值之间的偏离 程度。
03
二项分布的应用
概率计算
概率计算
二项分布可以用于计算在独立重 复试验中成功的概率。例如，在 抛硬币试验中，可以计算连续出 现三次正面的概率。
二项分布的性质
二项分布具有可加性、独立性、对称性和均匀性等性质。
二项分布具有可加性，即如果将两个独立的二项分布相加，结果仍然服从二项分 布；独立性，即各次试验是独立的；对称性，即成功的次数和失败的次数是对称 的；均匀性，即随着试验次数的增加，成功次数和失败次数的概率趋于相等。
二项分布的期望与方差
06
总结与思考
独立重复试验与二项分布在生活中的意义
概率思维
预测未来
独立重复试验与二项分布 课件
设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,
则
P(X=3)=C53
×
1 3
3
4
1
P(X=4)=C54 ×
3
1 5
P(X=5)=C55 ×
3
×
2
× =
3
×
2 2
3
10
=
=
243
,
243
2 0
1
3
40
243
.
所以至少有3次发芽成功的概率
P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
=
40
243
+
10
243
+
1
243
=
51
243
=
17
81
.
,
(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
1
P(ξ=1)= ,
3
2
1
2
3
2
2
9
1
4
3
1
27
8
3
81
P(ξ=2)= × = ,
3
P(ξ=3)=
P(ξ=4)=
P(ξ=5)=
3
2 3
3
2 4
3
× =
× =
,
,
16
×1= .
81
所以ξ的分布列为
ξ
P
1
1
3
2
2
9
3
4
27
4
8
81
5
16
81
反思感悟1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A
恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→
则
P(X=3)=C53
×
1 3
3
4
1
P(X=4)=C54 ×
3
1 5
P(X=5)=C55 ×
3
×
2
× =
3
×
2 2
3
10
=
=
243
,
243
2 0
1
3
40
243
.
所以至少有3次发芽成功的概率
P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
=
40
243
+
10
243
+
1
243
=
51
243
=
17
81
.
,
(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
1
P(ξ=1)= ,
3
2
1
2
3
2
2
9
1
4
3
1
27
8
3
81
P(ξ=2)= × = ,
3
P(ξ=3)=
P(ξ=4)=
P(ξ=5)=
3
2 3
3
2 4
3
× =
× =
,
,
16
×1= .
81
所以ξ的分布列为
ξ
P
1
1
3
2
2
9
3
4
27
4
8
81
5
16
81
反思感悟1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A
恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→
2.2.3独立重复试验与二项分布课件人教新课标B版
ξ
0
1
2
3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其散布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
二项散布的应用
甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和 34，假设两人每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
第二章 随机变量及其散布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
采用有放回的取球，每次取得红球的概率都
相等，均为35，取得红球次数 X 可能取的值为 0,1,2,3,4.
由以上分析，知随机变量 X 服从二项分布，
4分
P(X＝k)＝Ck435k·1－354－k(k＝0,1,2,3,4).
6分
数学 选修2-3
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
[问题2] 3次中恰有1次针尖向上，有几种情况？
[提示 2] 共有 3 种情况：A1 A2 A3 ，A1 A2 A3 ，A1 A2 A3. [问题3] 它们的概率分别是多少？ [提示3] 概率都是0.61×(1－0.6)2.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其散布
第二章 随机变量及其散布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
(2)3 局比赛相当于进行 3 次独立重复试验，因为顺序一定， 所以在前 3 局比赛中，直至第 3 局甲才胜 1 局的概率为：
P＝1－123－1121＝18. (3)4 局比赛相当于进行 4 次独立重复试验，但甲在第 4 局 比赛一定取胜，而前 3 局为 2 胜 1 负，故甲打完 4 局取胜的概 率为： P＝C23122×1－121×12＝136.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其散布
二项分布公开课课件
某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。 某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 口袋内装有5个白球、3个黑球，放回地抽取5个球。
包含了n个相同的试验； 每次试验相互独立； 5次、10次、6次、5次
创设情景
创设情景
投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。 某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。 某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 口袋内装有5个白球、3个黑球，放回地抽取5个球。 问题 上面这些试验有什么共同的特点？ 每次试验只有两种可能的结果：A或
请举出生活中碰到的独立重复试验的例子。
2).某人射击,击中目标的概率P是稳定的,他连续射击 了10次,其中6次击中; (YES)
3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 抽取5个球,恰好抽出4个白球; (NO)
4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球. (YES)
某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在10次射击中， 恰有8次击中目标的概率； 至少有8次击中目标的概率。 （结果保留两个有效数字）
01
某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留两个有效数字）： 5次预报中恰有4次准确的概率； 5次预报中至少有4次准确的概率
02
跟踪练习：
变式5.填写下列表格：
2.2.3独立重复试验与二项分布
添加副标题
汇报人姓名
复习旧知识
1、条件概率： 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。 2、条件概率的概率公式： P(B|A)= = 3、相互独立事件： 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这时我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。 4、相互独立事件的概率公式： P（AB）=P（A）P（B）
包含了n个相同的试验； 每次试验相互独立； 5次、10次、6次、5次
创设情景
创设情景
投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。 某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。 某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 口袋内装有5个白球、3个黑球，放回地抽取5个球。 问题 上面这些试验有什么共同的特点？ 每次试验只有两种可能的结果：A或
请举出生活中碰到的独立重复试验的例子。
2).某人射击,击中目标的概率P是稳定的,他连续射击 了10次,其中6次击中; (YES)
3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 抽取5个球,恰好抽出4个白球; (NO)
4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球. (YES)
某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在10次射击中， 恰有8次击中目标的概率； 至少有8次击中目标的概率。 （结果保留两个有效数字）
01
某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留两个有效数字）： 5次预报中恰有4次准确的概率； 5次预报中至少有4次准确的概率
02
跟踪练习：
变式5.填写下列表格：
2.2.3独立重复试验与二项分布
添加副标题
汇报人姓名
复习旧知识
1、条件概率： 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。 2、条件概率的概率公式： P(B|A)= = 3、相互独立事件： 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这时我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。 4、相互独立事件的概率公式： P（AB）=P（A）P（B）
独立重复试验与二项分布 课件
件分拆成若干个互斥事件的和,其次要将分拆后的每个事件再分拆
为若干个相互独立事件的乘积.这两个步骤做好了,问题的思路就
清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了.如果某
(1)3 台都未报警的概率为
P(X=0)= C30 × 0.90 × 0.13 = 0.001;
(2)恰有 1 台报警的概率为
P(X=1)= C31 × 0.91 × 0.12 = 0.027;
(3)恰有 2 台报警的概率为
P(X=2)= C32 × 0.92 × 0.1 = 0.243;
(4)3 台都报警的概率为
发生k次的概率为 P(X=k)=C pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,此时称随机变
量X服从二项分布,简记为X~B(n,p),并称p为成功概率.
知识拓展 1.在 n 次试验中,有些试验结果为 A,有些试验结果为,
所以总结果是几个 A 同几个的一种搭配,要求总结果中事件 A 恰好
发生 k 次,就是 k 个 A 同 n-k 个的一种搭配,搭配种类为C ;其次,每
1
分布,故该空填C32
20
C25 C195
答案:(1)
C3100
2 19 1
20
.
1
(2)C32
20
2
19 1
20
【示例2】 某厂生产的电子元件,其次品率为5%,现从一批产品
中任意连续地抽取2件,其中次品数ξ的概率分布列为
ξ
P
,请完成此表.
0
1
2
解析:由于本题中工厂生产的电子元件数量很大,从中抽取2件时,
(X=1)或不发生(X=0);二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发
生的次数X的分布列,试验次数为n(每次试验的结果也只有两种:事
为若干个相互独立事件的乘积.这两个步骤做好了,问题的思路就
清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了.如果某
(1)3 台都未报警的概率为
P(X=0)= C30 × 0.90 × 0.13 = 0.001;
(2)恰有 1 台报警的概率为
P(X=1)= C31 × 0.91 × 0.12 = 0.027;
(3)恰有 2 台报警的概率为
P(X=2)= C32 × 0.92 × 0.1 = 0.243;
(4)3 台都报警的概率为
发生k次的概率为 P(X=k)=C pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,此时称随机变
量X服从二项分布,简记为X~B(n,p),并称p为成功概率.
知识拓展 1.在 n 次试验中,有些试验结果为 A,有些试验结果为,
所以总结果是几个 A 同几个的一种搭配,要求总结果中事件 A 恰好
发生 k 次,就是 k 个 A 同 n-k 个的一种搭配,搭配种类为C ;其次,每
1
分布,故该空填C32
20
C25 C195
答案:(1)
C3100
2 19 1
20
.
1
(2)C32
20
2
19 1
20
【示例2】 某厂生产的电子元件,其次品率为5%,现从一批产品
中任意连续地抽取2件,其中次品数ξ的概率分布列为
ξ
P
,请完成此表.
0
1
2
解析:由于本题中工厂生产的电子元件数量很大,从中抽取2件时,
(X=1)或不发生(X=0);二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发
生的次数X的分布列,试验次数为n(每次试验的结果也只有两种:事
高二数学人选修课件独立重复试验与二项分布
1. 根据组合数公式计 算成功次数为2的组合 方式数量：C(10, 2)。
2. 计算成功和失败的 概率：p=0.05，1p=0.95。
3. 将上述结果代入二 项分布概率公式进行 计算，得到恰好抽到2 个次品的概率为： P(X=2) = C(10, 2) * 0.05^2 * 0.95^(102)。
生活中独立重复试验与二项分
其他领域应用举例
产品质量检验
在生产线上，为了保证产品质量，会 对每个产品进行多次独立的重复检验 。每次检验的结果为合格或不合格， 符合二项分布的特点。
市场营销调查
在市场营销中，为了了解消费者对某 种产品的接受程度，会进行多次独立 的重复调查。每次调查的结果为购买 或不购买，也符合二项分布的特点。
谢谢聆听
递推关系式应用举例
通过已知的初始条件$P(A_0)=q^n$和递推关系式，可以逐步求出 $P(A_1),P(A_2),ldots,P(A_n)$的值。
案例分析：射击比赛问题
问题描述
某射手进行射击比赛，每次射击的命中率为0.8，若命中则得10分，否则扣4分。设该射 手射击10次，求其总得分的数学期望和方差。
VS
二项分布的概率计算
二项分布描述了在n次独立重复试验中成 功k次的概率。其概率计算公式为C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)表示从 n个不同元素中取出k个元素的组合数，p 表示每次试验成功的概率。
案例分析：投掷硬币问题
问题描述
假设我们有一个均匀的硬币，正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为1-p。现在我们 进行n次投掷，求正面朝上k次的概率。
概率模型建立
该射手每次射击得分是一个随机变量，取值为10或-4，且命中得10分的概率为0.8，未命 中扣4分的概率为0.2。因此，该射手10次射击的总得分也是一个随机变量，服从二项分 布。
独立重复试验与二项分布(上课用)课件
二项分布的偏态和峰态描述了概率分布的不对称性和 尖锐程度。
偏态（Skewness）和峰态（Kurtosis）是描述概率分 布形态的两个重要统计量。偏态用于衡量概率分布的 不对称性，峰态则用于描述概率分布的尖锐程度。在 二项分布中，偏态和峰态的计算公式分别为 Skewness=(3(p-0.5))/(np) 和 Kurtosis=3(p0.5)^2/(n*p*(1-p))。通过计算偏态和峰态，可以进 一步了解二项分布的概率分布特征。
独立重复试验与二项 分布课件
目 录
• 独立重复试验 • 二项分布 • 独立重复试验与二项分布的关系 • 实例分析 • 总结与思考
CHAPTER 01
独立重复试验
பைடு நூலகம்
定义与特点
定义
独立重复试验是指在每次试验中 ，事件发生的概率都不受其他试 验结果影响，每次试验都是独立 的。
特点
每次试验都有两个可能的结果， 互不影响，多次独立重复同一试 验。
风险评估
通过二项分布，我们可以评估一系列独立事 件的风险，从而制定有效的风险管理策略。 例如，在金融领域，二项分布被用于评估股 票价格涨跌的概率。
对未来的展望
扩展应用领域
随着科技的发展和研究的深入，独立重复试 验和二项分布在各个领域的应用将更加广泛 。例如，在人工智能、大数据分析、生物信 息学等领域，二项分布的应用前景非常广阔 。
在二项分布中，期望（E）和方差（Var）是两个重要的统计量，用于描述随机事件发生的概率。期望值是随机变量取值的平 均数，而方差则描述了随机变量取值分散的程度。在二项分布中，期望和方差的计算公式分别为 E=np 和 Var=np(1-p)，其 中 n 是试验次数，p 是事件发生的概率。
独立重复试验与二项分布 课件
独立重复试验与二项分布
1．n 次独立重复试验 一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重 复试验．
2．二项分布 前提
X 字母事件 A 发生的次数
每次试验中事件 A 发生的概率 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝ 0，1，2，…，n
8 729
解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必须 在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对 立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复 性，即试验是独立重复地进行了 n 次．
Y01 2
P
77 15 15
1 15
二项分布实际应用问题的解题策略 (1)根据题意设出随机变量． (2)分析出随机变量服从二项分布． (3)找到参数 n(试验的次数)和 p(事件发生的概率)． (4)写出二项分布的分布列．
另一枚的点数为点 P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次， 点 P 在圆 x2＋y2＝16 内的次数 X 的分布列． 【解】 由题意可知，点 P 的坐标共有 6×6＝36(种)情况，其 中在圆 x2＋y2＝16 内的有点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)， (2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共 8 种，则点 P 在圆 x2＋y2＝ 16 内的概率为386＝29.
结论 记法
随机变量 X 服从二项分布 记作 X～B(n，p) ，并称 p 为
成功概率
探究点 1 独立重复试验的概率 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，
假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分 数作答) (1)求甲射击 3 次，至少 1 次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率．
1．n 次独立重复试验 一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重 复试验．
2．二项分布 前提
X 字母事件 A 发生的次数
每次试验中事件 A 发生的概率 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝ 0，1，2，…，n
8 729
解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必须 在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对 立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复 性，即试验是独立重复地进行了 n 次．
Y01 2
P
77 15 15
1 15
二项分布实际应用问题的解题策略 (1)根据题意设出随机变量． (2)分析出随机变量服从二项分布． (3)找到参数 n(试验的次数)和 p(事件发生的概率)． (4)写出二项分布的分布列．
另一枚的点数为点 P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次， 点 P 在圆 x2＋y2＝16 内的次数 X 的分布列． 【解】 由题意可知，点 P 的坐标共有 6×6＝36(种)情况，其 中在圆 x2＋y2＝16 内的有点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)， (2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共 8 种，则点 P 在圆 x2＋y2＝ 16 内的概率为386＝29.
结论 记法
随机变量 X 服从二项分布 记作 X～B(n，p) ，并称 p 为
成功概率
探究点 1 独立重复试验的概率 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，
假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分 数作答) (1)求甲射击 3 次，至少 1 次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率．
独立重复试验与二项分布课件
3
【解析】P X
2
C62
(
1 3
)
2
(
2 )4 3
80 . 243
答案：80
243
3.任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为_____.
【解析】
P
X
2
C（32
1 2
）2 1 2
3. 8
答案：3
8
1.n次独立重复试验的特征 (1)每次试验的条件都完全相同,有关事件的概率保持不变. (2)每次试验的结果互不影响,即各次试验相互独立. (3)每次试验只有两种结果,这两种可能的结果是对立的.
【解析】1.设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n
次，记事件A＝“射击一次，击中目标”，则P(A)=0.25．
∵射击n次相当于n次独立重复试验，
∴事件A至少发生1次的概率为P=1-0.75n．
由题意，令 1 0.75n 0.75，( 3)n 1，
lg 1
44
∴ n 4 ∴4n.8至2，少取5．
=0.84+0.85≈0.410+0.328≈0.74. 故5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．
二项分布问题
解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式 PX k Cknpk 1 p nk (k 0，1，2，，n) 必须在满足
“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式. (2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点：一是对 立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一；二是重复性, 即试验是独立重复地进行了n次.
称__随__机__变__量__X_服从二项分布. (2)表示：记作_X_～__B_(_n_，__p_). (3)p的名称：成__功__概率.
独立重复试验与二项分布 课件
独立重复试验与二项分布
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
独立重复试验与二项分布 课件
1
4
4
k k
11 4 7 4
7 4
k
11 4
k 2.
P2 (2)
C
2 10
( 1 )2 4
(3)8 4
0.28
例2.有译电员若干员,每人独立 破到译 译密 出码密的码概 的率 概均 率为 为013.9,若9,至要少达 要配备多少人?
(lg2=0.3010,lg3=0.4771)
袋中有12个球,其中白球4个，
则：C13P（1 P）2 C23P（2 1 P） C33P3 19 27
3P（1 P）2 3P（2 1 P） P3 19 27
P3 3P（1 P） 19 ， P 1
27
3
例2.甲、乙两个篮球运动员投篮 命中率为0.7及0.6,若每人各投3次, 试求甲至少胜乙2个进球的概率
P(甲胜3个球) （0.7）（3 1 0.6）3 0.021952
P( 3) P( 0) 1 3 3 3 3 5 5 25
例4.有10道单项选择题,每题有4个选支,某人随机选定 每题中其中一个答案,求答对多少题的概率最大?并求 出此种情况下概率的大小.
解：设“答对k题”的事件为A，用P1（0 k）表示其概率，由
P10 (k )
P10 (k 1)
可以发现
P(Bk ) C3k pkq3k，k＝0，1，2，3
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数 为X，在每次试验中事件A发生的概率是P，那么在n次 独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率
A
P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0,1,2,, n
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)， 并称p为成功概率。
独立重复试验与二项分布教学课件
成功次数的概率计算
在二项分布中，成功的次数可以通过概率计算得出，这有助 于理解概率的基本概念和计算方法。
04
二项分布的期望和方差
二项分布的期望
定义
二项分布的期望值是所有可能事件概率的加 权和，即E(X)=np，其中X是二项随机变量， n是试验次数，p是单次试验成功的概率。
计算方法
二项分布的期望值可以通过公式E(X)=np计 算得出，也可以通过Excel等工具进行计算。
随着独立重复试验次数的增加，成功的概率会趋近于预期的成功率，而失败的 概率则会趋近于1减去预期的成功率。
试验次数对二项分布形状的影响
试验次数越多，二项分布的形状越接近正态分布，这有助于理解中心极限定理 。
独立重复试验成功次数与二项分布的关系
成功次数是二项分布的参数
在独立重复试验中，成功的次数决定了二项分布的具体形态 ，如期望值和方差。
独立重复试验的特点包括各次试验结果相互独立，即一次试验的结果不会影响到其他试验的结果；每次试验只 有两种可能的结果，通常表示为成功或失败；每次试验的成功概率相同，即每次试验成功的概率都是恒定的。 这些特点使得独立重复试验在概率统计中具有广泛的应用。
独立重复试验的应用场景
独立重复试验的应用场景包括遗传学、保险、统计学等 领域。
独立重复试验的应用场景包括遗传学、保险、统计学等 领域。
02
二项分布的介绍
二项分布的定义
二项分布是一种离散概率分布，描述了在独 立重复试验中成功的次数。
在n次独立重复试验中，成功的概率为p，失 败的概率为q=1-p。
二项分布记为B(n,p)，其中n表示试验次数， p表示单次试验成功的概率。
二项分布的参数
二项分布累积概率图
在二项分布中，成功的次数可以通过概率计算得出，这有助 于理解概率的基本概念和计算方法。
04
二项分布的期望和方差
二项分布的期望
定义
二项分布的期望值是所有可能事件概率的加 权和，即E(X)=np，其中X是二项随机变量， n是试验次数，p是单次试验成功的概率。
计算方法
二项分布的期望值可以通过公式E(X)=np计 算得出，也可以通过Excel等工具进行计算。
随着独立重复试验次数的增加，成功的概率会趋近于预期的成功率，而失败的 概率则会趋近于1减去预期的成功率。
试验次数对二项分布形状的影响
试验次数越多，二项分布的形状越接近正态分布，这有助于理解中心极限定理 。
独立重复试验成功次数与二项分布的关系
成功次数是二项分布的参数
在独立重复试验中，成功的次数决定了二项分布的具体形态 ，如期望值和方差。
独立重复试验的特点包括各次试验结果相互独立，即一次试验的结果不会影响到其他试验的结果；每次试验只 有两种可能的结果，通常表示为成功或失败；每次试验的成功概率相同，即每次试验成功的概率都是恒定的。 这些特点使得独立重复试验在概率统计中具有广泛的应用。
独立重复试验的应用场景
独立重复试验的应用场景包括遗传学、保险、统计学等 领域。
独立重复试验的应用场景包括遗传学、保险、统计学等 领域。
02
二项分布的介绍
二项分布的定义
二项分布是一种离散概率分布，描述了在独 立重复试验中成功的次数。
在n次独立重复试验中，成功的概率为p，失 败的概率为q=1-p。
二项分布记为B(n,p)，其中n表示试验次数， p表示单次试验成功的概率。
二项分布的参数
二项分布累积概率图
独立重复试验与二项分布课件
第恭1关喜你，闯第关2关成功 第3关
1、每次试验的成功率为 p(0p1),重复进行10次试验，其中前
7次都未成功后3次都成功的概率为（C ）
A． C130 p31p7
B． C130 p31p3
C． p31p7
D． p71p3
2、已知随机变量服从二项分布， ~ B(6，３１）则 p(2)等D于
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球 命中率为0.8，假设他每次命中率相同, 请问他11投7中的概率是多少?
高二数学 选修2-3
2.2.3独立重复试验 与二项分布
形成概念 姚明罚球一次,命中的概率是0.8,
引例1:他在练习罚球时，投篮11次,恰好全都投中 的概率是多少?
引例2:他投篮11次,恰好投中7次的概率是多少?
P(X3)C 3 3 (1 3 )3 C 3 2 (1 3 )2 (3 2 ) 1 3 C 4 2 (1 3 )2 (3 2 )2 1 3 1 87 1
②随机变量X的取值为0，1，2， 3
P(X0)C50(11 3)523423
P(X1)C5 11 3(11 3)42 84 03
（其中k = 0，1，2，···，n ）
公式理解
1).公式适用的条件
2).公式
一次试验中事件A 发生的概率
P (X k ) C n kp k(1 p )n k
（其中k = 0，1，2，···，n ） 试验总次数
事件 A 发生的次数 此时称随机变量X服从二项分布，记X~B(n,p)
判断下列试验是不是独立重复试验：
1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; 不是
2).某射击手每次击中目标的概率是0.9，他进行了4
次射击，只命中一次； 是
独立重复试验与二项分布 课件
独立重复试验与二项分布
1．n次独立重复试验的概念 一般地,在__相__同____条件下重复做的n次试验称为n次 独立重复试验． 想一想 甲、乙、丙三人分别射击同一个目标,都是“中”与“ 不中”两种结果,是三次独立重复试验吗？ 提示:不是,因三人射击水平不同,而不是在相同条件下 进行的重复试验．
2．二项分布
ξ
0
1
2
3
P
27 125
54 125Leabharlann 36 1258 125
【名师点评】 解决此类问题首先判断随机变量是否服从二
项分布:一般地,如果几个相互独立的试验具备相同的条件,在 这相同的条件下只有两个结果(A 和－A ),且 P(A)相同,那么即可 建立二项分布的概率模型;其次计算 P(ξ＝k)＝Cknpk(1－p)n－ k,k＝0,1,2,…,n;最后根据每次试验都是相互独立的,求出相应 的概率即可．
所以,甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为287, 以 3∶2 胜利的概率为247.5 分
(2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 由题意,各局比赛结果相互独立,所以
P(A4)＝C241－232×232×1－12＝247.6 分
由题意,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3.7 分 根据事件的互斥性得
是25,设 ξ 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 ξ 的分布列．
【解】 由题意 ξ～B3，25,则 P(ξ＝0)＝C03520533＝12275,P(ξ＝1)＝C13251352＝15245, P(ξ＝2)＝C23522531＝13265, P(ξ＝3)＝C33523＝1825.
所以离散型随机变量 ξ 的分布列为
题型一 独立重复试验概率的求法
1．n次独立重复试验的概念 一般地,在__相__同____条件下重复做的n次试验称为n次 独立重复试验． 想一想 甲、乙、丙三人分别射击同一个目标,都是“中”与“ 不中”两种结果,是三次独立重复试验吗？ 提示:不是,因三人射击水平不同,而不是在相同条件下 进行的重复试验．
2．二项分布
ξ
0
1
2
3
P
27 125
54 125Leabharlann 36 1258 125
【名师点评】 解决此类问题首先判断随机变量是否服从二
项分布:一般地,如果几个相互独立的试验具备相同的条件,在 这相同的条件下只有两个结果(A 和－A ),且 P(A)相同,那么即可 建立二项分布的概率模型;其次计算 P(ξ＝k)＝Cknpk(1－p)n－ k,k＝0,1,2,…,n;最后根据每次试验都是相互独立的,求出相应 的概率即可．
所以,甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为287, 以 3∶2 胜利的概率为247.5 分
(2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 由题意,各局比赛结果相互独立,所以
P(A4)＝C241－232×232×1－12＝247.6 分
由题意,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3.7 分 根据事件的互斥性得
是25,设 ξ 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 ξ 的分布列．
【解】 由题意 ξ～B3，25,则 P(ξ＝0)＝C03520533＝12275,P(ξ＝1)＝C13251352＝15245, P(ξ＝2)＝C23522531＝13265, P(ξ＝3)＝C33523＝1825.
所以离散型随机变量 ξ 的分布列为
题型一 独立重复试验概率的求法
独立重复试验与二项分布公开课课件
03
独立重复试验与二项分布的关系
独立重复试验对二项分布的影响
独立重复试验是二项分布的前提条件
独立重复试验保证了每次试验的独立性，使得试验结果之间相互独立，不受其他试验结 果的影响。
独立重复试验决定了二项分布的概率
在独立重复试验中，每次试验成功的概率是相同的，并且这个概率不会受到其他试验结 果的影响。
05
二项分布的参数估计
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
最大似然估计法
最大似然估计法是一种通过最大化样本数据的似然函数来估 计参数的方法。
最大似然估计法是一种统计推断方法，其基本思想是选择参 数使得样本数据出现的概率最大。对于二项分布，最大似然 估计法可以通过求解似然方程来得到参数的估计值。
独立重复试验的实例
抛硬币、掷骰子、摸奖
抛硬币是一个典型的独立重复试验，每次抛硬币都是独立的，出现正面或反面的可能性相同，而且结果随机。掷骰子也是一 个例子，每次掷骰子都是独立的，出现1到6点的可能性相同。摸奖则是另一种形式的独立重复试验，每次摸奖都有相同的可 能性中奖或不中奖。
02
二项分布
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
二项分布具有可加性和可乘性，即当两个独 立的二项随机变量X和Y分别服从B(n,p)和 B(m,p)时，X+Y和X×Y分别服从B(n+m,p) 和B(n,p)B(m,p)。此外，当试验次数n为偶 数时，二项分布具有对称性，即X=n-X。
Байду номын сангаас项分布的实例
生活中的很多现象都可以用二项分布来描述，例如抛 硬币、抽奖等。
04
二项分布的数学期望和方差
独立重复试验与二项分布的关系
独立重复试验对二项分布的影响
独立重复试验是二项分布的前提条件
独立重复试验保证了每次试验的独立性，使得试验结果之间相互独立，不受其他试验结 果的影响。
独立重复试验决定了二项分布的概率
在独立重复试验中，每次试验成功的概率是相同的，并且这个概率不会受到其他试验结 果的影响。
05
二项分布的参数估计
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
最大似然估计法
最大似然估计法是一种通过最大化样本数据的似然函数来估 计参数的方法。
最大似然估计法是一种统计推断方法，其基本思想是选择参 数使得样本数据出现的概率最大。对于二项分布，最大似然 估计法可以通过求解似然方程来得到参数的估计值。
独立重复试验的实例
抛硬币、掷骰子、摸奖
抛硬币是一个典型的独立重复试验，每次抛硬币都是独立的，出现正面或反面的可能性相同，而且结果随机。掷骰子也是一 个例子，每次掷骰子都是独立的，出现1到6点的可能性相同。摸奖则是另一种形式的独立重复试验，每次摸奖都有相同的可 能性中奖或不中奖。
02
二项分布
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
二项分布具有可加性和可乘性，即当两个独 立的二项随机变量X和Y分别服从B(n,p)和 B(m,p)时，X+Y和X×Y分别服从B(n+m,p) 和B(n,p)B(m,p)。此外，当试验次数n为偶 数时，二项分布具有对称性，即X=n-X。
Байду номын сангаас项分布的实例
生活中的很多现象都可以用二项分布来描述，例如抛 硬币、抽奖等。
04
二项分布的数学期望和方差
N次独立重复试验与二项分布课件
13
3．在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题．如果不放回地依次 抽取 2 道题，则在第 1 次抽到文科题的条件下，第 2 次抽到理科题的 概率为( )
1233 A.2 B.5 C.5 D.4 D [根据题意，在第 1 次抽到文科题后，还剩 4 道题，其中有 3 道理科题；则第 2 次抽到理科题的概率 P＝34，故选 D.]
29
(2019·全国卷Ⅱ)11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分， 当某局打成 10∶10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜， 该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分 的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立．在 某局双方 10∶10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束．
33
②假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未 击中目标的概率；
③假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中 目标得 0 分．在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中， 则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分．记 ξ 为射手射击 3 次 后的总分数，求 ξ 的分布列．
26
②由题意可得，ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3，
则 P(ξ＝0)＝P(A B C)＝13×14×25＝310；
P(ξ＝1)＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝23×14×25＋13×34×25
＋13×14×35＝6103；
P(ξ＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×34×25＋23×14×35＋13×34
A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56
24
3．在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题．如果不放回地依次 抽取 2 道题，则在第 1 次抽到文科题的条件下，第 2 次抽到理科题的 概率为( )
1233 A.2 B.5 C.5 D.4 D [根据题意，在第 1 次抽到文科题后，还剩 4 道题，其中有 3 道理科题；则第 2 次抽到理科题的概率 P＝34，故选 D.]
29
(2019·全国卷Ⅱ)11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分， 当某局打成 10∶10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜， 该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分 的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立．在 某局双方 10∶10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束．
33
②假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未 击中目标的概率；
③假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中 目标得 0 分．在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中， 则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分．记 ξ 为射手射击 3 次 后的总分数，求 ξ 的分布列．
26
②由题意可得，ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3，
则 P(ξ＝0)＝P(A B C)＝13×14×25＝310；
P(ξ＝1)＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝23×14×25＋13×34×25
＋13×14×35＝6103；
P(ξ＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×34×25＋23×14×35＋13×34
A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56
24
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要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是 一样的．
2．在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为
③__P__X_＝___k_＝__C__knp_k__1_－__p_n_－_k(p 为事件 A 发生的概率)，事件 A
发生的次数是一个随机变量，其分布列为二项分布，记为 ④_X__～__B__n_，__p__.
p)2
⇒
p
＝
12.∴P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)3＝87.
答案：87
5．100 件产品中有 3 件不合格品，每次取一件，有放 回地抽取三次，求来自得不合格品件数 X 的分布列．
解：X 可能取的值为 0,1,2,3.由于是有放回地每次取一
件，连续取三次，所以这相当于做 3 次独立重复试验，一次
(3)由二项分布的定义，若 X～B(n，p)，则 P(X＝k)＝Cnk pk(1－p)n－k.这里各个符号的意义要弄清．
(4)由于在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的 概率 P(X＝k)＝Cknpkqn－k 恰好是二项展开式(q＋p)n＝C0np0qn＋ C1np1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0 中的第 k＋1 项(这里 k 可取 0,1,2，…，n 中的各个值)，所以，称这样的随机变量 X
3．二项分布 (1)二项分布实际上只是对 n 次独立重复试验从概率分 布的角度作了进一步的阐述，与 n 次独立重复试验恰有 k 次 发生的概率呼应，是概率论中最重要的几种分布之一． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其 一是对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一．其 二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n 次．
进 k 球)·P(乙进 k 球)，由于甲、乙进球与否相互独立，故 P(A)
3
3
＝ P(甲进 k 球)·P(乙进 k 球)＝ C3k 0.7k 0.33－k·Ck30.6k0.43－k
k 0
k 0
3
＝ (C3k )2 (0.42)k·(0.12)3 － k ＝ 0.123 ＋ 32×0.42×0.122 ＋
独立重复试验与二项分布课件优秀课件
自主学习
课标导学
理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一 些简单的实际问题.
教材导读
1. 独 立 重 复 试 验 是 ①___在__相__同__条__件__下__重__复__做_____ 的 一 种 试验，在这种试验中每一次试验只有②___两_____种结果，即
A．64 只 B．65 只 C．74 只 D．87 只
解析：因为 1－(1－0.04)n≥0.95⇒n≥74，所以选 C.
答案：C
4．设随机变量 ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若 P(ξ≥1)＝
34，则 P(η≥1)＝________.
解
析
：
3 4
＝
P(ξ≥1)
＝
1
－
P(ξ
＝
0)
＝
1
－
(1
－
k 0
32×0.422×0.12＋0.423≈0.321.
3
(2)记事件“甲比乙进球多”为 B，则 B＝ P(甲至少进
2．n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
在 n 次试验的总结果中，有些试验结果是 A，有些试验 结果是 A ，所以总结果是几个 A 同几个 A 的一种搭配，要求 总结果中事件 A 恰好发生 k 次，就是 k 个 A 同 n－k 个 A 的 一种搭配，搭配种数为 Ckn.其次，每一种搭配发生的概率都 是 pk(1－p)n－k，所以有 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k.
服从二项分布.
思维激活
➢独立重复试验中恰有 k 次发生的概率
例 1 甲、乙两个篮球运动员投篮命中率分别为 0.7 和 0.6， 每人投篮 3 次，求：
(1)二人进球数相等的概率； (2)甲比乙进球多的概率．(结果保留三位有效数字)
3
[解] (1)记事件“二人进球相等”为 A，则 A＝ P(甲
k 0
抽取到不合格品的概率 p＝0.03.因此，
P(X＝0)＝C03·0.030·(1－0.03)3＝0.912673， P(X＝1)＝C13·0.031·(1－0.03)2＝0.084681， P(X＝2)＝C23·0.032·(1－0.03)1＝0.002619， P(X＝3)＝C33·0.033·(1－0.03)0＝0.000027. 所以 X 的分布列为
基础自测
1.独立重复试验应满足的条件是( ) ①每次试验之间是相互独立的 ②每次试验只有发生与不发生两种结果 ③每次试验中发生的机会是均等的 ④每次试验发生的事件是互斥的 A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
解析：由独立重复试验的概念，选 C.
答案：C
2．一头猪服用某药品后被治愈的概率是 90%，则服用
这种药的 5 头猪中恰有 3 头被治愈的概率为( )
A．0.93
B．1－(1－0.9)3
C．C35×0.93×0.12 D．C35×0.13×0.92
解析：P5(3)＝C35×0.93×0.12.
答案：C
3．已知某产品的次品率为 0.04，现要抽取这种产品进 行检验，则要检查到次品的概率达到 95%以上，至少要选 ()
思考探究 二项分布与两点分布有何异同点？ 提示：二项分布和两点分布的异同点 (1)相同点：试验结果都只有两种可能结果——成功或失 败，随机变量 X 取不同值所对应的事件之间都是互斥的，均 满足分布列的性质． (2)不同点：两点分布是针对一次试验而言，而二项分布 则是对 n 次独立重复试验来说的．二项分布是两点分布的一 般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即 n＝1 时的二 项分布．
X0
1
2
3
P 0.912673 0.084681 0.002619 0.000027
合作学习
思维聚焦
1.对 n 次独立重复试验的理解 (1)独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的； 第二：各次试验中的事件是相互独立的； 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么 不发生． (2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题， 但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验， 可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用 广泛．
2．在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为
③__P__X_＝___k_＝__C__knp_k__1_－__p_n_－_k(p 为事件 A 发生的概率)，事件 A
发生的次数是一个随机变量，其分布列为二项分布，记为 ④_X__～__B__n_，__p__.
p)2
⇒
p
＝
12.∴P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)3＝87.
答案：87
5．100 件产品中有 3 件不合格品，每次取一件，有放 回地抽取三次，求来自得不合格品件数 X 的分布列．
解：X 可能取的值为 0,1,2,3.由于是有放回地每次取一
件，连续取三次，所以这相当于做 3 次独立重复试验，一次
(3)由二项分布的定义，若 X～B(n，p)，则 P(X＝k)＝Cnk pk(1－p)n－k.这里各个符号的意义要弄清．
(4)由于在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的 概率 P(X＝k)＝Cknpkqn－k 恰好是二项展开式(q＋p)n＝C0np0qn＋ C1np1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0 中的第 k＋1 项(这里 k 可取 0,1,2，…，n 中的各个值)，所以，称这样的随机变量 X
3．二项分布 (1)二项分布实际上只是对 n 次独立重复试验从概率分 布的角度作了进一步的阐述，与 n 次独立重复试验恰有 k 次 发生的概率呼应，是概率论中最重要的几种分布之一． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其 一是对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一．其 二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n 次．
进 k 球)·P(乙进 k 球)，由于甲、乙进球与否相互独立，故 P(A)
3
3
＝ P(甲进 k 球)·P(乙进 k 球)＝ C3k 0.7k 0.33－k·Ck30.6k0.43－k
k 0
k 0
3
＝ (C3k )2 (0.42)k·(0.12)3 － k ＝ 0.123 ＋ 32×0.42×0.122 ＋
独立重复试验与二项分布课件优秀课件
自主学习
课标导学
理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一 些简单的实际问题.
教材导读
1. 独 立 重 复 试 验 是 ①___在__相__同__条__件__下__重__复__做_____ 的 一 种 试验，在这种试验中每一次试验只有②___两_____种结果，即
A．64 只 B．65 只 C．74 只 D．87 只
解析：因为 1－(1－0.04)n≥0.95⇒n≥74，所以选 C.
答案：C
4．设随机变量 ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若 P(ξ≥1)＝
34，则 P(η≥1)＝________.
解
析
：
3 4
＝
P(ξ≥1)
＝
1
－
P(ξ
＝
0)
＝
1
－
(1
－
k 0
32×0.422×0.12＋0.423≈0.321.
3
(2)记事件“甲比乙进球多”为 B，则 B＝ P(甲至少进
2．n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
在 n 次试验的总结果中，有些试验结果是 A，有些试验 结果是 A ，所以总结果是几个 A 同几个 A 的一种搭配，要求 总结果中事件 A 恰好发生 k 次，就是 k 个 A 同 n－k 个 A 的 一种搭配，搭配种数为 Ckn.其次，每一种搭配发生的概率都 是 pk(1－p)n－k，所以有 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k.
服从二项分布.
思维激活
➢独立重复试验中恰有 k 次发生的概率
例 1 甲、乙两个篮球运动员投篮命中率分别为 0.7 和 0.6， 每人投篮 3 次，求：
(1)二人进球数相等的概率； (2)甲比乙进球多的概率．(结果保留三位有效数字)
3
[解] (1)记事件“二人进球相等”为 A，则 A＝ P(甲
k 0
抽取到不合格品的概率 p＝0.03.因此，
P(X＝0)＝C03·0.030·(1－0.03)3＝0.912673， P(X＝1)＝C13·0.031·(1－0.03)2＝0.084681， P(X＝2)＝C23·0.032·(1－0.03)1＝0.002619， P(X＝3)＝C33·0.033·(1－0.03)0＝0.000027. 所以 X 的分布列为
基础自测
1.独立重复试验应满足的条件是( ) ①每次试验之间是相互独立的 ②每次试验只有发生与不发生两种结果 ③每次试验中发生的机会是均等的 ④每次试验发生的事件是互斥的 A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
解析：由独立重复试验的概念，选 C.
答案：C
2．一头猪服用某药品后被治愈的概率是 90%，则服用
这种药的 5 头猪中恰有 3 头被治愈的概率为( )
A．0.93
B．1－(1－0.9)3
C．C35×0.93×0.12 D．C35×0.13×0.92
解析：P5(3)＝C35×0.93×0.12.
答案：C
3．已知某产品的次品率为 0.04，现要抽取这种产品进 行检验，则要检查到次品的概率达到 95%以上，至少要选 ()
思考探究 二项分布与两点分布有何异同点？ 提示：二项分布和两点分布的异同点 (1)相同点：试验结果都只有两种可能结果——成功或失 败，随机变量 X 取不同值所对应的事件之间都是互斥的，均 满足分布列的性质． (2)不同点：两点分布是针对一次试验而言，而二项分布 则是对 n 次独立重复试验来说的．二项分布是两点分布的一 般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即 n＝1 时的二 项分布．
X0
1
2
3
P 0.912673 0.084681 0.002619 0.000027
合作学习
思维聚焦
1.对 n 次独立重复试验的理解 (1)独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的； 第二：各次试验中的事件是相互独立的； 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么 不发生． (2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题， 但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验， 可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用 广泛．