2018年高考数学(理科)二轮复习：寒假作业(十一) 数列的通项与数列求和(注意命题点的区分度)含解析

寒假作业(十一) 数列的通项与数列求和(注意命题点的区分度)一、选择题1．(2017·安溪质检)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )A ．9B ．8C ．17D ．16解析：选A S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1a 1＋a 2＋…＋a n，则数列{b n }的前n 项和为( )A.n ＋12(n ＋2)B.34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2) C.n －1n ＋2D.34－2n ＋3(n ＋1)(n ＋2)解析：选B 易得a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)，所以b n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，故T n＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).3．(2018届高三·湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3， ∴数列{a n }是公差d ＝3的等差数列， 又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21， ∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92. 法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝92. 4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值31解析：选B S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2<－5，∴2n ＋2<2－5，∴n ＋2>26，∴n >62.又n ∈N *，∴n 有最小值63.5．设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足4S n ＝(a n －1)·(a n ＋3)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选D 由4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)， 得4S n －1＝(a n －1－1)·(a n －1＋3)，n ≥2， 两式相减得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 又{a n }是正项数列， ∴a n －a n －1－2＝0(n ≥2)，则数列{a n }是公差为2的等差数列，a 1＝3， ∴a n ＝2n ＋1.6．已知数列2 015,2 016,1，－2 015，－2 016，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 017项和S 2 017等于( )A ．2 018B ．2 015C ．1D ．0解析：选B 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1，故数列的前8项依次为2 015,2 016,1，－2 015，－2 016，－1,2 015,2 016.由此可知数列为周期数列，且周期为6，S 6＝0.∵2 017＝6×336＋1，∴S 2 017＝2 015.7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1(n 为奇数)，n (n 为偶数)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝( )A ．4 800B ．4 900C ．5 000D ．5 100解析：选C 由题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100＝2×49×(2＋98)2＋100＝5 000. 8．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是( )A ．[12,16]B.⎣⎡⎦⎤8，323C.⎣⎡⎭⎫8，323D.⎣⎡⎦⎤163，323解析：选C 因为{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，所以q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12，a 1＝4，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 2(1－q 2n )1－q2＝323(1－q 2n )∈⎣⎡⎭⎫8，323，故选C. 9．(2017·宁波二模)已知在数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1，则a n ＝( ) A.32n －23n B.23n －32n C.12n －23n D.23n －12n 解析：选A 法一：a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1两边同时乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1， 令b n ＝2n ·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，即b n ＋1－3＝23(b n －3)，所以数列{b n －3}是以b 1－3＝－43为首项，23为公比的等比数列，所以b n －3＝－43×⎝⎛⎭⎫23n －1，b n＝3－2⎝⎛⎭⎫23n ， 所以a n ＝b n 2n ＝32n －23n .法二：a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1两边同时乘以3n ＋1， 得3n ＋1·a n ＋1＝3n ·a n ＋⎝⎛⎭⎫32n ＋1， 令b n ＝3n ·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝⎛⎭⎫32n ＋1，可得b n －b n －1＝⎝⎛⎭⎫32n ，b n－1－b n －2＝⎝⎛⎭⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝⎛⎭⎫322， 以上各式累加可得b n －b 1＝⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫32n ， 又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫32n ＝2×⎝⎛⎭⎫32n ＋1－2，a n ＝b n3n ＝32n －23n . 10．(2017·福州二模)已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 6＝6332，且a 2，a 4，a 3成等差数列，若数列{b n }满足b n ＝na n ，则数列{b n }的前10项和T 10为( )A.6348B.5348C.5338D.7348解析：选A 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝6332，a 2＋a 3＝2a 4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 6)1－q ＝6332，a 1q ＋a 1q 2＝2a 1q3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－12⇒a n ＝3⎝⎛⎭⎫－12n －1.于是b n ＝3n ⎝⎛⎭⎫－12n －1. T 10＝3×⎝⎛⎭⎫－120＋3×2×⎝⎛⎭⎫－121＋3×3×⎝⎛⎭⎫－122＋…＋3×10×⎝⎛⎭⎫－129，① －12T 10＝3×⎝⎛⎭⎫－121＋3×2×⎝⎛⎭⎫－122＋3×3×⎝⎛⎭⎫－123＋…＋3×10×⎝⎛⎭⎫－1210，② ①－②得32T 10＝3×⎝⎛⎭⎫－120＋3×⎝⎛⎭⎫－121＋3×⎝⎛⎭⎫－122＋…＋3×⎝⎛⎭⎫－129－30×⎝⎛⎭⎫－1210， 整理得T 10＝43－⎝⎛⎭⎫20＋43×11 024＝6348. 11．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1(2n ＋1)a n 的前n 项和T n ＝( ) A ．－n2n ＋1 B.n 2n ＋1 C ．－2n2n ＋1D.2n 2n ＋1解析：选C 设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a 3－a 12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152.因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以⎝⎛⎭⎫32a 1－542＝⎝⎛⎭⎫a 1－152a 1， 整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，解得a 1＝－52或a 1＝－12. 当a 1＝－52时，公差d ＝0，不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以1(2n ＋1)a n ＝－2(2n －1)(2n ＋1)＝－⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以其前n 项和T n ＝－⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝－⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝－2n 2n ＋1，故选C. 12．(2017·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n＝122n 1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，故等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞，选D. 二、填空题13．(2017·衡水调研)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________. 解析：令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)．与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2，∴a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也满足该式． ∴a n ＝4(n ＋1)2， ∴a n n ＋1＝4n ＋4， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是以8为首项，4为公差的等差数列，∴a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝n (8＋4n ＋4)2＝2n 2＋6n . 答案：2n 2＋6n14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，②∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋2×(1－21 009)1－2＝3×21 009－3.答案：3×21 009－315．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －4(n ∈N *)，数列{log 2a n }的前n 项和为T n ，则不等式2T n >a n 的解集为________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －4－2a n －1＋4，∴a n ＝2a n －1；当n ＝1时，a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列， 则a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.设b n ＝log 2a n ，则b n ＝n ＋1， ∴T n ＝2＋3＋…＋n ＋1＝n 2＋3n2.若2T n >a n ，则n 2＋3n >2n ＋1，解得n ＝2或n ＝3，∴不等式的解集为{2,3}． 答案：{2,3}16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.解析：∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1(n ≥2)，∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n－1a n －1＋12n (n ≥2)．当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，a n －1＝12n －1，从而可得a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128，a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝⎛⎭⎫12＋123＋…＋1299－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12100 ＝13⎝⎛⎭⎫12100－1.答案：13⎝⎛⎭⎫12100－1 三、解答题17．(2017·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)由已知得a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是首项为1，公差d ＝2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)由(1)知数列{a n }的前n 项和S n ＝(1＋2n －1)n2＝n 2. 等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以公比q ＝3，b n ＝3n －1.所以数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.若T n ≤S n ，即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.18．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧q (2＋d )＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43，q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，即1S n＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，。