圆的方程求法分类解析
第三节 圆的方程
第三节圆的方程1．圆的定义及方程如果没给出r＞0，则圆的半径为|r|.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点⎝⎛⎭⎫－D2，－E2；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[熟记常用结论](1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1．圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D. 2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B.(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B.(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－1，15 D.⎝⎛⎭⎫－15，1 解析：选D 由(2a )2＋(a －2)2＜5，得－15＜a ＜1.4．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________． 解析：若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是________．解析：根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：x 2＋(y －2)2＝1考点一 求圆的方程[师生共研过关][典例精析][例1] 已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254[解析] 法一：(待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F＞0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 法二：(几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝ ⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. [答案] C[例2] 圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________________________．[解析] 法一：(几何法)设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10[解题技法]1．求圆的方程的两种方法[提醒] 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[过关训练]1．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 分别代入A ，B ，C 三点坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7. 答案：72．已知圆心在直线y ＝－x ＋1上，且与直线x ＋y －2＝0相切于点(1,1)的圆的方程为________________________．解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则⎩⎨⎧b ＝－a ＋1，(a －1)2＋(b －1)2＝|a ＋b －2|2，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.所以r ＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＝22. 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 答案：⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12考点二 与圆有关的最值问题 [全析考法过关][考法全析]考法(一) 斜率型最值问题[例1] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.考法(二) 截距型最值问题[例2] 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，求x ＋y 的最大值与最小值．[解] (转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.考法(三) 距离型最值问题[例3] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 考法(四) 利用对称性求最值[例4] 已知A (0,2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|P Q |的最小值是________．[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )， 故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知|PA |＋|P Q |＝|A ′P |＋|P Q |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.[答案] 2 5[规律探求][过关训练]1．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是()A．2,2－52B．2＋52，2－52C.5，4－ 5D.52＋1，52－1解析：选B由题意知|AB|＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB：2x－y＋2＝0，由题意知圆C的圆心坐标为(1,0)，∴圆心到直线l AB的距离d＝|2－0＋2|4＋1＝455.∴S △PAB 的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎫455＋1＝2＋52，S △PAB 的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫455－1＝2－52.2．设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________．解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径r ＝1，根据对称性可知，四边形PACB 的面积为2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2.所以四边形PACB 面积的最小值为(|PC |min )2－r 2＝4－1＝ 3.答案： 3考点三 与圆有关的轨迹问题 [师生共研过关][典例精析]已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)． (1)求直角顶点C 的轨迹方程；(2)求直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4(y ≠0)， 即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[解题技法]求与圆有关轨迹问题的3种方法(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．(3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．[过关训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，P Q 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D 由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|P Q |＝|PO |，且P Q ⊥C Q ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.2．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)， 则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝⎛⎭⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285.。
高三第一轮复习圆的方程及求法
圆的方程及求法【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 主干知识归纳1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2．圆的方程：方法规律总结1．待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 2．几何法求圆的方程：利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径， 弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法【指点迷津】【类型一】确定圆的方程【例1】：求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程 【解析】： 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=+013211222222b a r b a r b a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-==534r b a ,∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.【例2】：已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．【解析】：法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2.由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-+-+=+--0205)5(106)6(222E D F E D F E ,消去F 得⎩⎨⎧ D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎨⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0，标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝1)6(5----＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎨⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r ＝|AC |＝22)26()30(+-++＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.【类型二】与圆有关的轨迹问题【例1】：已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【例2】：已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】：(1)设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．答案：(1) x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2) (x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．例3．(2010·山东烟台调研)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0【解析】：由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0. 答案：C.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1. 已知两点A (9，4)和B (3，6)，则以AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x －6)2＋(y －5)2＝10B ．(x ＋6)2＋(y ＋5)2＝10C ．(x －5)2＋(y －6)2＝10D ．(x ＋5)2＋(y ＋6)2＝10【解析】：线段AB 的中点坐标(6，5)为圆心坐标，半径=21|AB|=10答案：A.2. (2014·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1【解析】：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B.3. 若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】：曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2. 答案：D.4. 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞32B ．－32 ＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜32【解析】：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x +2a )2＋(y ＋a )2＝－43a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－43a 2－a ＋1＞0，∴3a 2＋4a －4＜0，∴－2＜a ＜32 .答案：D.5. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13【解析】：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：C. 二、填空题6. 经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________． 【解析】：由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1.7. 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 【解析】： ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1).8. 圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为______________． 【解析】：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝2. 三、解答题9. 已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0， (1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 【解析】：(1)配方得：(x ＋m －1)2＋(y －2m )2＝9∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且⎩⎨⎧x ＝1－my ＝2m ，∴2x ＋y ＝2.∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．答案：(1) 圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3. (2) 圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．10. (2010·辽宁抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【二级目标】能力提升题组一、选择题1. 已知二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，是方程表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】：取A ＝C ＝4，D ＝2，E ＝2，F ＝1时，满足⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，但是4x 2＋4y 2＋2x ＋2y ＋1＝0不表示圆；方程13x 2＋13y 2＋x ＋y ＋1＝0表示圆，其中A ＝13，C ＝13，D ＝1，E ＝1，F ＝1，但不满足D 2＋E 2－4F ＞0.综上可知，选D ． 答案：D.2. (2010·浙江宁波调研)若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14【解析】：由题意知，圆C 的圆心坐标为(－4，－1)．又直线l 始终平分圆C ，所以直线l 必过圆心，故4＝4a ＋b ≥24ab ，故ab ≤1. 答案：C. 二、填空题3. (2009·扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．【解析】：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )， ∴ab ＋ab ＝1， ∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π， ∴面积的最小值为π.答案：π.【高考链接】1. （2016年浙江省文科第10题）已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a +2)y 2+4x+8y +5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 【解析】：由题可得a 2=a +2，解得a =－1或a =2当a =－1时，方程为x 2＋y 2+4x+8y －5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5 当a =2时，方程不表示圆 答案：(－2，－4)，5.2. （2009年上海第题）点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】：设中点M 的坐标为(x ，y )，与之对应的圆上动点Q 的坐标为(x 0，y 0)，显然M 与Q 的对应关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋(－2)2，同时Q 满足在圆x 2＋y 2＝4上，即x 20＋y 20＝4；利用M 与Q 的对应关系将x 、y 代入，得中点M 的轨迹方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A.3. （2015年湖北省第16题）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【解析】:试题分析：设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1， 即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=，令0x =得：1)B .设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -=，则圆心C到其距离为：d ==，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y =可得x 1=，即圆C 在点B 处的切线在x轴上的截距为1--故应填22(1)(2x y -+=和1--答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1--。
圆的方程及其求法
解析：圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心 C1 为(－1,1)，半径为 1.易知点 C1(－1,1)
关于直线 x－y－1＝0 对称的点为 C2，设 C2(a，b)，则baa－ ＋ －2 111＝ ， b＝－2，
所以 C2(2，－2)，所以圆 C2 的圆心为 C2(2，－2)，半径为 1，所以圆
引申探究 1.在本例的条件下，求yx的最大值和最小值． 解：yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点 的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为 y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2kk2＋＋31|＝1，解得 k＝－2＋233或 k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最
又∵圆 C 与直线 x－y＝0 相切， ∴－D2 ＋2 E2＝12 D2＋E2－4F， 即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)， ∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心－D2 ，－E2到直线 x－y－3＝0 的距离 d＝－D2 ＋2E2－3， 由已知得 d2＋ 262＝r2， ∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
解析：由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线 4x －3y＝0 相切， ∴|4a5－3|＝1，解得 a＝2 或 a＝－12(舍去)． ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 故选 A.
答案：A
题型一 圆的方程
例 1 (1)(2020·湖北名校摸底)过点 A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线 x＋y－2＝0
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－ y1)(y－y2)＝0.( √ )
圆的通用方程
圆的通用方程圆的通用方程圆是平面几何中的一种基本图形，它具有许多重要的性质和应用。
在数学中，圆可以用不同的方式来表示和描述，其中最常用的是通用方程。
一、圆的定义圆是一个平面上所有到定点距离相等的点构成的集合。
这个定点称为圆心，到定点距离称为半径。
半径相等的圆互相重合。
二、圆的标准方程在直角坐标系中，如果一个圆心坐标为(h,k)，半径为r，则这个圆可以表示为：(x-h)² + (y-k)² = r²这就是标准方程。
其中，(x,y)表示平面上任意一点的坐标。
三、通过图像理解通用方程通用方程也可以通过图像来理解。
假设有一个以原点为中心，半径为r 的圆，则它可以表示为：x² + y² = r²这个公式描述了所有到原点距离等于r的点构成的集合。
如果将原点移到(h,k)，则公式变成：(x-h)² + (y-k)² = r²这个公式描述了所有到(h,k)距离等于r的点构成的集合。
四、如何从通用方程求出其他参数？从通用方程可以求出圆的半径、圆心坐标和直径等参数。
具体方法如下：1. 半径：将通用方程中的r²提取出来，即可得到半径的值。
2. 圆心坐标：将通用方程展开，化简后得到形如x² + y² + Dx + Ey +F = 0的一般式方程。
然后，通过配方法，将它转化为(x - h)² + (y -k)² = r²的形式，即可得到圆心坐标(h,k)。
3. 直径：直径是圆上两点之间的最长距离。
因此，可以在通用方程中找到两个点，并计算它们之间的距离。
这个距离就是直径。
五、例题解析例题1：已知圆心坐标为(2,-3)，半径为5，求该圆的通用方程。
解：根据公式(x-h)² + (y-k)² = r²，代入已知数据可得：(x-2)²+ (y+3)² = 25这就是该圆的通用方程。
圆的方程求解及圆最值问题
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2
.
1．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．
答案 2 13π 解析 配方，得(x－3)2＋(y＋2)2＝13. ∴r＝ 13，∴圆的周长 c＝2π· 13＝2 13π.
2．方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的充要条件是
的距离为 55，求该圆的方程．
【解析】 (1)设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25， 如图，∵|AB|＝10－2＝8，
∴|AD|＝4. ∵|AC|＝5，∴|CD|＝3. ∴a＝6，b＝±3. ∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25或(x－
6)2＋(y＋3)2＝25.
∵点 A，B 在圆上，所以可得到方程组
1－a2＋0－b2＝5， 5－a2＋0－b2＝5，
解得 a＝3，b＝±1.
∴圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5 或(x－3)2＋(y＋
1)2＝5.
方法二：由 A，B 两点在圆上，那么线段 AB 是圆的一条 弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段 AB 的垂直平 分线 x＝3 上，于是可设圆心为 C(3，b)，又|AC|＝ 5，即
答案 (x－2)2＋y2＝10
解析 依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给
两点坐标代入方程，得51－ －aa22＋ ＋19＝ ＝rr22， ，
解得ar2＝＝21，0， 所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
授人以渔
题型一 方程与圆
例1 已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－ 4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.
程．
5．点与圆的位置关系
圆y0)的与标圆准的方关程系(有x－三a种)2＋．(y－b)2＝r2，点M(x0， (1)点在圆上：(x0－__a_)2_＋_(_y0_－_b_)_2＝__r2_______.
16高中数学：圆的标准方程全解析
高中数学：圆的标准方程全解析一、引言圆是平面几何中最基本、最重要的图形之一。
在数学中，我们常用圆的标准方程来描述一个圆。
掌握圆的标准方程及其性质，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
本文将详细解析高中数学中圆的标准方程的知识点，帮助学生更好地掌握这一内容。
二、基本概念与性质1.圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2。
这个方程反映了圆上任意一点到圆心的距离等于半径的几何性质。
2.圆心与半径：在圆的标准方程中，点O(a,b)称为圆心，r称为半径。
圆心是圆的中心，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
3.圆的性质：圆具有许多重要的性质，如圆的任意两点间的距离小于等于直径、圆的切线垂直于半径等。
这些性质在解决与圆相关的问题时非常有用。
三、求解与圆相关的问题1.求解圆的方程：给定圆的圆心坐标和半径，可以直接写出圆的标准方程。
例如，以(2,3)为圆心，4为半径的圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=16。
2.判断点与圆的位置关系：通过比较点到圆心的距离与半径的大小关系，可以判断点是否在圆内、圆上或圆外。
若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；若等于半径，则点在圆上；若大于半径，则点在圆外。
3.求解与圆相关的最值问题：利用圆的性质，可以求解一些与圆相关的最值问题。
例如，求解点到圆的最近距离、最远距离等。
4.求解与圆相交的直线方程：当直线与圆相交时，可以通过联立直线和圆的方程求解交点坐标。
若直线方程为Ax+By+C=0，则联立方程组{Ax+By+C=0(x−a)2+(y−b)2=r2可求得交点坐标。
四、应用举例1.几何问题中的应用：在解决一些几何问题时，需要利用圆的标准方程及其性质。
例如，在求解两圆的公切线、内切圆等问题时，可以通过分析两个圆的方程和性质找到解决方法。
2.实际问题中的应用：在实际生活中，圆的标准方程也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，可以利用圆的标准方程来确定建筑物的圆形结构的尺寸和位置；在物理学中，可以利用圆的标准方程来描述物体的运动轨迹等。
圆的轨迹方程求法归纳
圆的轨迹方程求法归纳圆的轨迹方程求法归纳圆的轨迹方程求法是数学中研究圆的有效方法，可以用于求解圆的相关问题。
本文将从四个方面介绍圆的轨迹方程求法：一是介绍圆的定义及特征；二是介绍求解圆的几种基本方法；三是介绍求解圆的一些技巧；四是介绍圆的轨迹方程求法归纳。
一、圆的定义及特征圆是一种特殊的曲线，它是由一个点作为中心，一个半径向外指向的圆弧所组成的。
圆的特征是它的曲线是一个完全封闭的曲线，它的每个点都离中心点的距离（即半径）都相同。
二、求解圆的几种基本方法1、求圆的标准方程要求出圆的标准方程，首先需要知道圆的中心坐标和半径，根据它们可以算出圆的标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2、求圆的参数方程如果需要求出圆的参数方程，则需要知道圆心的坐标及其与圆心的距离，可以用参数x和y来表示圆心，t来表示距离，因此可以得出圆的参数方程：x=a+tcosθy=b+tsinθ其中，(a,b)是圆心的坐标，t是圆上任意点与圆心的距离。
3、求圆的极坐标方程极坐标可以表示圆上任意一点，极坐标方程可以用来求出圆上任意点的坐标，极坐标方程为：x=rcosθy=rsinθ其中，r是圆的半径，θ是定义域的角度范围，一般定义域的角度范围为0~2π。
三、求解圆的一些技巧1、利用圆的对称性圆的特征之一就是具有对称性，利用这一性质可以从比较简单的方向着手，可以减少求解的难度。
2、利用实际问题实际问题中经常涉及到求解圆的问题，在实际问题中有时可以把圆简化为线段，这样可以更容易地求解圆。
3、利用解析几何解析几何是一种求解几何形状的有效方法，利用解析几何可以更容易地求解圆的标准方程和参数方程。
四、圆的轨迹方程求法归纳1、圆的标准方程求法根据圆的定义及其特征，可以求出圆的标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2、圆的参数方程求法根据参数定义，可以求出圆的参数方程：x=a+tcosθy=b+tsinθ其中，(a,b)是圆心的坐标，t是圆上任意点与圆心的距离。
高考数学复习第7章解析几何第3讲圆的方程
答案：(x－2)2＋y2＝9
(3)(2018 年天津) 在平面直角坐标系中,经过三点(0,0) , (1,1),(2,0)的圆的方程为______________.
解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点
F＝0， (0,0)，(1,1)，(2,0)，则1＋1＋D＋E＋F＝0，
解析：抛物线 y2＝4x 中,2p＝4,p＝2,焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x ＝－1 ,以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的方程为 (x－1)2＋y2＝22,即为(x－1)2＋y2＝4.
考点 1 求圆的方程 例 1：(1)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相 切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为 ________. 解析：∵圆心在直线 x－2y＝0 上，∴设圆心为(2a，a)， ∵圆 C 与 y 轴的正半轴相切，∴a>0，r＝2a，又∵圆 C 截 x 轴 所得弦的长为 2 3，∴a2＋( 3)2＝(2a)2，a2＝1，a＝1.则圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(x－1)2＝4.
(2)研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思 想,又要重视几何性质及定义的运用,以降低运算量.总之,要 数形结合,拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到 直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.
考点 2 与圆有关的最值问题 考向 1 斜率型最值问题 例 2：已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最 大值和最小值.
的学习过程中,体会用 与圆的位置关系；二是重在知识的交
代数方法处理几何问题 汇处命题,把解析几何初步与集合、
的思想
向量、函数等知识结合命题,注重考
平面解析几何(圆的方程)
平面解析几何——圆的方程圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x－x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ ) (3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ ) (4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.5．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎨⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，yx 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34， ∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值， 由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3， 即b ＝－2±6， 故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 (2017·潍坊调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中， |PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． 思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2， 解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋22 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 b a ×2ab＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．23 答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形P ACB 的面积最小， |PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|P A |＝|PB |＝ 3.所以四边形P ACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C.7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解之得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________． 答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1， 所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求． 易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)．10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7， 故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5. (1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程． 解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43， 知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)． 由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意， ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3. *13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，n－3所以m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
圆的方程
题型三 与圆有关的轨迹方程 题型三 与圆有关的轨迹方程 例3 设定点 M （3， ， 4）动点 N 在圆
x2 + y 2 = 4
上，以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP， 求点 P 的轨迹。
思维启迪：求轨迹方程的一般步骤： 思维启迪 建系，设点，列式，化简，证明
思想方法
方法与技巧
感悟提高
探究提高 求圆的方程时，应根据条件选用合 适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种 方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出 圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用 待定系数法求解．
题型二 ＝0.
与圆有关的最值问题
例 2 已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1 (1)求 y－x 的最大值和最小值； (2)求 x2＋y2 的最大值和最小值．
5．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大 致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D、E、F 的方程组； (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程 或一般方程．
6．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆 的 标 准 方 程 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 ， 点 M(x0，y0)
思维启迪：根据待定系数法求相应的量即可．
解
(1)∵AB 的中垂线方程为 3x＋2y－15＝0，
x＝7， 解得 y＝－3.
3x＋2y－15＝0， 由 3x＋10y＋9＝0，
∴圆心为 C(7，－3)．又|CB|＝ 65. 故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将 P、Q 点的坐标分别代入得 2D－4E－F＝20， ①
圆的方程的求法例析
例#! 已知 2(') 的三个顶点所对应的坐标为
()"&!"*!')"!!*!))!!"!*!则 2(') 的外接圆的
方程为
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复习
!"!!年!月 上半月!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!解法探究
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根据题目条件 中 圆 心 在 已 知 直 线 上可 设
出所求的圆的标准方程将已知圆上两点的坐标代入
圆的标准 方 程圆 心 代 入 已 知 的 直 线 方 程联 立 方 程
组进而确定对应的参数值得以求解圆的方程!
解析设所求圆的方程为)&"7*!*)%"H*!$N!! /)+"7*! * )""H*! $N!!
说条件更为广泛运算更为简单处理起来更加方便
快捷!圆 的 系 数 方 程 法 可 选 择 的 两 种 方 程都 可 以 达 到破解问题的目的!
$ 平面几何法
应用平面几何法求解圆的方程时!常用到圆的几
个性质%)#*直径所对的圆周角为直角&)!*圆心在任
意一弦的垂直平分线上&),*圆心在过切点且垂直于
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例"!)!"#-年高考数学天津卷文科第#!题*在
平面直角坐 标 系 中!经 过 三 点 )"!"*!)#!#*!)!!"*的
第二节 圆的方程(知识梳理)
第二节圆的方程复习目标学法指导1.圆的定义及标准方程(1)圆的定义.(2)圆的标准方程.(3)判断点与圆的位置关系.2.圆的一般方程(1)圆的一般方程.(2)圆的一般方程化为标准方程. (3)求曲线方程的基本方法.3.认识圆的方程与x2,y2项系数相同的二元二次方程之间的联系. 1.圆与圆的方程是高考重点内容之一,常与直线、向量、圆锥曲线等知识综合命题.这部分内容要注重数形结合思想、转化化归思想的应用.2.准确理解圆的形成过程、定义以及x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形,对学好圆很关键.一、圆的定义与方程1.圆的定义在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. 2.圆的方程 标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r 2圆心(a,b),半径r一般 方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 (D 2+E 2-4F>0)圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径22142D E F+-1.概念理解(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)中,有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆方程就会被确定.其中,圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.(2)圆的一般方程的形式特点 ①x 2,y 2项的系数相等且不为0. ②无xy 项. ③D 2+E 2-4F>0.(3)圆的标准方程体现了圆的几何性质,即圆心与半径,而圆的一般方程体现了圆的代数性质,即圆方程是一个二元二次方程(x 2,y 2的系数相等,不为0且不含xy 项). 2.与圆方程相关结论圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0),配方后得(x+2D )2+(y+2E )2=14(D 2+E 2-4F).当D 2+E 2-4F>0时,方程才能表示圆;当D 2+E 2-4F=0时,方程表示点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F<0时,方程无意义,不表示任何曲线. 二、点A(x 0,y 0)与☉C 的位置关系1.|AC|<r ⇔点A 在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2<r 2;2.|AC|=r ⇔点A 在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2;3.|AC|>r ⇔点A 在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2>r 2.1.概念理解判断点M(x 0,y 0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)的位置关系,有几何法与代数法两种,两种方法的核心都是比较点到圆心的距离与半径r 的大小.2.与点与圆位置关系相关的知识 (1)同一平面内,不共线三点确定一个圆. (2)证四点共圆的方法:①证其中一点在另外三点确定的圆上; ②证四边形一组对角互补.1.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( A )(A)x 2+y 2=2 (B)x 2+y 22(C)x 2+y 2=1 (D)x 2+y 2=4解析:AB 的中点坐标为(0,0),所以圆的方程为x 2+y 2=2.故选A.2.圆x 2+y 2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( A )(B)2 解析:将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为故选A.3.过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为 .解析:由已知k AB =0,所以AB 的中垂线方程为x=3.①过点B 且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②联立①②,解得3,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以圆心坐标为(3,0), 半径所以圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2. 答案:(x-3)2+y 2=24.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 解析:法一 设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),所以0.20, 420,FD E FD F=⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩解得2,0,0. DEF=-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以圆的方程为x2+y2-2x=0.法二画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=05.已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,则x2-y的取值范围为. 解析:x2=1-y2,-1≤y≤1,x2-y=1-y2-y=-(y+12)2+54∈[-1,54].答案:[-1,54]考点一圆的方程[例1] (1)求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程;(2)已知圆过P(4,-2),Q(-1,3),且在y轴上截得的线段长为3.求该圆方程.解:(1)法一因为圆过A(5,2),B(3,-2)两点,所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上.线段AB 的垂直平分线的方程为y=-12(x-4).设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有()230,14,2a b b a --=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以.所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 法二 设所求圆的方程为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,其圆心为(-2D ,-2E ). 则由已知可得()()222252520,32320,130,22D E F D E F D E ⎧⎪++++=⎪⎪+-++-+=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪⨯----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 整理得5229,3213,260,D E F D E F D E ++=-⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩解得4,2,5.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以所求圆的方程为x 2+y 2-4x-2y-5=0, 即(x-2)2+(y-1)2=10.解:(2)法一 设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.① 将P,Q 点的坐标分别代入①得4220,310. D E F D E F -+=-⎧⎪⎨--=⎪⎩②③ 令x=0,由①得y 2+Ey+F=0.④由已知|y 1-y 2|=43,其中y 1,y 2是方程④的两根,所以(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F=48.⑤ 解②③⑤组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4,故所求圆的方程为x 2+y 2-2x-12=0或x 2+y 2-10x-8y+4=0.法二 PQ 中点M(32,12),k PQ =()3214----=-1. 因为圆过P,Q 两点,所以圆心在PQ 的中垂线上,即在直线y-12=1×(x-32)上,也就是在直线y=x-1上,设圆心为C(a,b),半径为r,则有()()()2222221,13,23,b a r a b r a ⎧=-⎪⎪=++-⎨⎪⎪=-⎩解得1,0,13a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或5,4,37.a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以所求圆的方程为(x-1)2+y 2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.(1)求圆的方程,一般采用待定系数法.①若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程. ②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的一般方程. (2)在求圆的方程时,常用到圆的以下两个性质: ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ②圆心在任一弦的垂直平分线上.1.以点(0,b)为圆心的圆与直线y=2x+1相切于点(1,3),则该圆的方程为 .解析:由题意设圆的方程为x 2+(y-b)2=r 2(r>0),根据条件得()2213,1,5b r b r ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解得7,25.2b r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以该圆的方程为x 2+(y-72)2=54. 答案:x 2+(y-72)2=54 2.若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程为 .解析:设圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,因为圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,所以()222222,4,1,a b r a b r b r ⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩解得2,3,25,2a b r ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩故所求圆的方程为(x-2)2+232y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=254. 答案:(x-2)2+(y+32)2=254 考点二 与圆有关的轨迹问题[例2] 如图,已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点,点A(12,0),当点P 在圆上运动时,线段PA 的中点M 的轨迹是 什么?解:设M(x,y),因为M是PA的中点,所以P(2x-12,2y),又因为点P在圆上,故(2x-12)2+(2y)2=16,即(x-6)2+y2=4,所以线段PA的中点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.(1)“轨迹”与“轨迹方程”的区别:“轨迹”是图形,要指出形状、位置、大小(范围)等特征;“轨迹方程”是方程(等式),不仅要给出方程,还要指出变量的取值范围.(2)求轨迹方程的步骤如下:建系,设点:建立适当的坐标系,设曲线上任一点坐标M(x,y).写集合:写出符合条件p的点M的集合 {M|p(M)}.列式:用坐标表示p(M),列出方程f(x,y)=0.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式.证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.求与圆有关的轨迹方程的方法如下:1.已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解:(1)设C(x,y),因为A,B,C 三点不共线,所以y ≠0. 因为AC ⊥BC,所以k AC ·k BC =-1,又k AC =1y x +,k BC =3yx -, 所以1y x +·3y x -=-1, 化简得x 2+y 2-2x-3=0.因此,直角顶点C 的轨迹方程为x 2+y 2-2x-3=0(y ≠0).解:(2)设M(x,y),C(x 0,y 0),因为B(3,0),M 是线段BC 的中点,由中点坐标公式得x=032x +,y=002y +,所以x 0=2x-3,y 0=2y.由(1)知,点C 的轨迹方程为(x-1)2+y 2=4(y ≠0),将x 0=2x-3,y 0=2y 代入得(2x-4)2+(2y)2=4, 即(x-2)2+y 2=1.因此动点M 的轨迹方程为(x-2)2+y 2=1(y ≠0).2.求到两点A(-3,0),B(3,0)距离之比为2的点P 的轨迹方程.解:设P(x,y),||||PA PB=2, 化简得x 2-10x+y 2+9=0,经检验符合要求,故所求轨迹方程为x 2-10x+y 2+9=0.考点三 与圆有关的最值问题[例3] 已知实数x,y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0.(1)求yx 的最大值和最小值;(2)求y-x 的最大值和最小值; (3)求x 2+y 2的最大值和最小值.解:原方程可化为(x-2)2+y 2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆. (1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设y x =k,即y=kx. 当直线y=kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时2|20|1k k -+=3,解得k=±3(如图1).所以y x 的最大值为3,最小值为-3.解:(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y 轴上的截距,当直线y=x+b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时|20|2b -+=3,解得b=-2±6(如图2).所以y-x 的最大值为-2+6,最小值为-2-6. 解:(3)x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为2,所以x 2+y 2的最大值是(2+3)2=7+43,x 2+y 2的最小值是(2-3)2=7-43.(1)形如m=y b x a--的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.已知函数y=1x -+3x +的最大值为M,最小值为m,求m M 的值.解:法一 y 2=4+2()()13x x -+∈[4,8],所以M=22,x=-1时取到;m=2,当x=1或-3时取到, 所以m M =22.法二 设1x -=u,3x +=v,则u ≥0,v ≥0,且u 2+v 2=4,设u=2cosθ,v=2sin θ,其中θ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 所以u+v=22sin(θ+π4)∈[2,22], 所以M=22,当θ=π4时取到,m=2当θ=π2或0时取到, 所以m M =22.考点四 易错辨析[例4] 若方程a 2x 2+(a+2)y 2+2ax+a=0表示圆,则实数a 的值是 .解析:令a 2=a+2,得a=-1或a=2,当a=-1时,原方程化为(x-1)2+y 2=2表示圆,当a=2时,原方程化为x 2+y 2+x+12=0(*), 因为1+0-4×12<0, 所以方程(*)不表示任何图形.答案:-1方程Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是(1)C=0;(2)A=B ≠0;(3)D 2+E 2-4FA>0,仅满足A=B 不能判定二元二次方程表示的图形一定是圆.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是.解析:圆的方程化为(x+1)2+(y-2)2=5-a,其圆心为 (-1,2),且5-a>0,即a<5.又圆关于直线y=2x+b成轴对称,所以2=-2+b,所以b=4,a-b=a-4<1.答案:(-∞,1)。
2023届高考数学九种方法求圆的切点弦方程(含解析)
2023届高考数学九种方法求圆的切点弦方程在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识1、在标准方程222)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：200))(())r b y b y a x a x =--+--（（在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dyy xx 2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）0221111=++++++F y y E x x Dyy xx （在圆的一般方程下的形式）。
二、题目已知圆044222=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。
例谈求解圆的方程常用方法
例谈求解圆的方程常用方法杜红全(甘肃省康县教育局教研室㊀７４６５００)摘㊀要:圆是高考热点ꎬ也是必然考查的内容.主要考查圆的方程㊁直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系以及圆的几何性质等ꎬ但是会求圆的方程是基础.本文从直接法㊁几何性质法㊁待定系数法等五个方面举例说明圆的方程的常用求法ꎬ希望起到抛砖引玉的作用.关键词:直接法ꎻ几何性质法ꎻ待定系数法ꎻ利用圆的直径式方程ꎻ利用圆系方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００１０－０３收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:杜红全(１９６９.９－)ꎬ男ꎬ甘肃省康县人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀圆是简单的二次曲线ꎬ是高中数学的一个基本内容ꎬ也是高考常考的内容ꎬ会求圆的方程才是硬道理.下面举例说明求圆的方程的常用方法ꎬ供参考.㊀㊀一㊁直接法直接法就是根据圆的定义ꎬ利用已知条件ꎬ确定圆心坐标和半径ꎬ直接求出圆的标准方程.例１㊀求满足下列条件的圆的方程:(１)圆心在点Ｃ(３ꎬ－４)处ꎬ半径是５ꎻ(２)经过点Ｐ(５ꎬ２)ꎬ圆心是点Ｃ(４ꎬ－１).分析㊀根据题设条件ꎬ可利用圆的方程的定义来解决.㊀解㊀(１)因为圆心是在点Ｃ(３ꎬ－４)ꎬ半径是５ꎬ所以圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ＋４)２＝５.(２)因为圆的半径是ｒ＝｜ＰＣ｜＝(５－４)２＋(２＋１)２＝１０ꎬ圆心是Ｃ(４ꎬ－１)ꎬ所以圆的方程是(ｘ－４)２＋(ｙ＋１)２＝１０.点评㊀确定圆的标准方程只需要圆心的坐标和圆的半径即可ꎬ因此圆心和半径是圆的两要素.㊀㊀二㊁几何性质法几何性质法就是通过研究圆的性质㊁直线和圆㊁圆和圆的位置关系ꎬ求出圆心坐标与半径ꎬ从而得到圆的标准方程.常用的几何性质有:圆心与切点的连线垂直于切线ꎻ圆心到切线的距离等于圆的半径ꎻ圆的弦的垂直平分线过圆心ꎻ两条弦的垂直平分线的交点为圆心等.例２㊀求过点Ａ(１ꎬ－１)和Ｂ(－１ꎬ１)ꎬ且圆心在直线ｘ＋ｙ－２＝０上的圆的方程.分析㊀利用圆的几何性质求出圆的圆心和半径后ꎬ再写出方程.解法一㊀设点Ｃ为圆心ꎬ因为点Ｃ在直线ｘ＋ｙ－２＝０上ꎬ所以可设点Ｃ的坐标为(ａꎬ２－ａ).又因为该圆经过ＡꎬＢ两点ꎬ所以｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜.所以(ａ－１)２＋(２－ａ＋１)２＝(ａ＋１)２＋(２－ａ－１)２ꎬ解得ａ＝１.所以圆心Ｃ的坐标为(１ꎬ１)ꎬ半径ｒ＝｜ＣＡ｜＝２.故所求圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝４.解法二㊀由已知可得线段ＡＢ中点的坐标为(０ꎬ０)ꎬｋＡＢ＝１－(－１)－１－１＝－１ꎬ所以弦ＡＢ的垂直平分线的斜率为ｋ＝１ꎬ所以弦ＡＢ的垂直平分线的方程为ｙ－０＝１ˑ(ｘ－０)ꎬ即ｙ＝ｘ.而圆心是直线ｙ＝ｘ与ｘ＋ｙ－２＝０的交点ꎬ由ｙ＝ｘꎬｘ＋ｙ－２＝０ꎬ{得ｘ＝１ꎬｙ＝１ꎬ{即圆心为(１ꎬ１)ꎬ圆的半径为(１－１)２＋[１－(－１)]２＝２.故所求圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝４.点评㊀一般地ꎬ在解决有关圆的问题时ꎬ有时利用圆的几何性质作转化较为简单ꎬ充分体现了解析几何问题的代数方法和几何方法的有机结合的特点.本题还可以用待定系数法求解.㊀㊀三㊁待定系数法圆的方程中ꎬ有三个独立系数ꎬ因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆ꎬ确定系数的方法就是待定系数法.待定系数法就是先设出圆的方程ꎬ然后根据条件求出方程中的参数.０１１.设圆的标准方程例３㊀求与ｘ轴交于Ａ(１ꎬ０)和Ｂ(５ꎬ０)两点ꎬ且半径为５的圆的方程.分析㊀可设出圆的标准方程ꎬ再把ＡꎬＢ两点的坐标代入ꎬ用待定系数法求解.解㊀设圆的标准方程为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝５.因为ＡꎬＢ在圆上ꎬ所以ＡꎬＢ坐标满足方程(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝５.把ＡꎬＢ坐标分别代入该方程再联立ꎬ得(１－ａ)２＋(０－ｂ)２＝５ꎬ(５－ａ)２＋(０－ｂ)２＝５ꎬ{解得ａ＝３ꎬｂ＝１ꎬ{或ａ＝３ꎬｂ＝－１.{所以所求圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ－１)２＝５或(ｘ－３)２＋(ｙ＋１)２＝５.点评㊀如果由已知条件容易求得圆心坐标㊁半径或需要利用圆心的坐标或半径列方程问题ꎬ一般采用圆的标准方程ꎬ再用待定系数法求出ａꎬｂꎬｒ.本题还可以用几何性质法求解.２.设圆的一般方程例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点为Ａ(１ꎬ４)ꎬＢ(－２ꎬ３)ꎬＣ(４ꎬ－５)ꎬ求әＡＢＣ的外接圆方程.分析㊀已知三个顶点都在圆上ꎬ可采用圆的一般方程ꎬ利用待定系数法求出圆的方程.解㊀设әＡＢＣ的外接圆方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０.因为ＡꎬＢꎬＣ在圆上ꎬ所以将坐标分别代入ꎬ有１＋１６＋Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ４＋９－２Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ１６＋２５＋４Ｄ－５Ｅ＋Ｆ＝０ꎬìîíïïï解得Ｄ＝－２ꎬＥ＝２ꎬＦ＝－２３.ìîíïïï所以әＡＢＣ的外接圆方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋２ｙ－２３＝０.点评㊀如果已知条件与圆心和半径都无直接关系ꎬ通常采用圆的一般方程ꎬ再用待定系数法求出常数ＤꎬＥꎬＦꎻ本题还可以用几何性质法求解.㊀㊀四㊁利用圆的直径式方程已知一个圆的一条直径的端点是Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ则圆的方程可表示为(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)＋(ｙ－ｙ１)(ｙ－ｙ２)＝０ꎬ此方程称为圆的直径式方程.例５㊀求过直线２ｘ＋ｙ＋４＝０和圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０的交点ꎬ且面积最小的圆的方程.分析㊀设直线和圆的交点为ＡꎬＢꎬ面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆.故可以利用圆的直径式方程求解.解㊀由２ｘ＋ｙ＋４＝０ꎬｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０ꎬ{得交点Ａ(－１１５ꎬ２５)ꎬＢ(－３ꎬ２).因为面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆ꎬ所以所求的圆方程为(ｘ＋１１５)(ｘ＋３)＋(ｙ－２５)(ｙ－２)＝０ꎬ即ｘ２＋ｙ２＋２６５ｘ－１２５ｙ＋３７５＝０.点评㊀求解本题的关键是知道面积最小的圆是以直线和圆的交点为直径的圆ꎬ此题虽然还可以利用圆的性质求出圆心的坐标和半径求解ꎬ但是用圆的直径式方程求解比较简便.当然本题还可以用过直线与圆交点的圆系方程求解.㊀㊀五㊁利用圆系方程具有某种共同性质的圆的集合叫做圆系ꎬ含有参数的圆的方程称为圆系方程.常用的圆系方程类型有以下几种:(１)同心圆系①以(ａꎬｂ)为圆心的同心的圆系方程为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝λ２(λ为参数ꎬλ>０)ꎻ②与圆ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋λ＝０(λ为参数)ꎻ同心圆系图形特点是位置相同ꎬ大小不同.(２)半径相等的圆系方程为(ｘ－ｍ)２＋(ｙ－ｎ)２＝ｒ２(ｍ㊁ｎ为参数)ꎬ图形特点是大小一样ꎬ位置不同.(３)过直线与圆交点的圆系方程.设直线ｌ:Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０相交ꎬ则方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋λ(Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ)＝０(λ为参数)表示过直线ｌ与圆Ｃ的两个交点的圆系方程.(４)过两圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＝０和Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２＝０交点的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＋λ(ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２)＝０(λ为参数ꎬλʂ－１ꎬ且不含圆Ｃ２)ꎬ特别提示:①由于该圆系方程不包括圆Ｃ２ꎬ因此直接应用该圆系方程必须检验Ｃ２是否满足题意ꎬ谨防漏解ꎻ②当参数λ＝－１时ꎬ该方程为过两圆交点的一条直线方程:(Ｄ１－Ｄ２)ｘ＋(Ｅ１－Ｅ２)ｙ＋(Ｆ１－Ｆ２)＝０.例６㊀有一圆与直线ｌ:４ｘ－３ｙ＋６＝０相切于点Ａ(３ꎬ６)ꎬ且圆经过点Ｂ(５ꎬ２)ꎬ求此圆的方程.分析㊀将点Ａ(３ꎬ６)视为 点圆 :(ｘ－３)２＋(ｙ－６)２＝０ꎬ然后利用过直线与圆交点的圆系方程求解.解㊀根据题意可设所求圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ－６)２＋λ(４ｘ－３ｙ＋６)＝０ꎬ把点Ｂ(５ꎬ２)的坐标代入方程ꎬ解得λ＝－１.所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－１０ｘ－９ｙ＋３９＝０.点评㊀所谓 点圆 就是半径为０的圆ꎬ所以一个孤立的点Ｃ(ａꎬｂ)的图形可以看成 点圆 ꎬ即点Ｃ(ａꎬｂ)的圆的方程可表示为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝０ꎬ在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的问题时ꎬ把切点视为 点圆 是一个重要方法技巧.本题还可用几何性质法和待定系数法求解.１１例７㊀求以圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０和圆Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０的公共弦为直径的圆的方程.㊀分析㊀可先求公共弦所在直线的方程ꎬ再利用过两圆交点的圆系方程求解.解㊀联立两圆方程ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０ꎬｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０ꎬ{相减得公共弦所在直线的方程为４ｘ＋３ｙ－２＝０.设所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＋λ(ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５)＝０(λ为参数ꎬλʂ－１)ꎬ由此可得圆心Ｃ(－１２λ－１２２(１＋λ)ꎬ－１６λ－２２(１＋λ)).因为圆心Ｃ在公共弦所在的直线上ꎬ所以４－(１２λ＋１２)２(１＋λ)＋３ －(１６λ＋２)２(１＋λ)－２＝０ꎬ解得λ＝１２.所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋４ｙ－１７＝０.点评㊀一般地ꎬ求过两个圆交点的圆的方程利用圆系方程求解比较简捷ꎬ应学会使用此法.本题还可先求出公共弦的端点坐标ꎬ再得所求圆的方程.㊀㊀参考文献:[１]高杲.圆与方程知识点及常考题型分析[Ｊ].中学生数理化(高一版)ꎬ２０１４(１２):３－６.[责任编辑:李㊀璟]２０１９年北京卷文科第１９题的推广与变式刘才华(山东省泰安市宁阳第一中学㊀２７１４００)摘㊀要:本文给出了２０１９年北京高考文科第１９题在椭圆㊁双曲线及圆中的推广与变式.关键词:椭圆ꎻ双曲线ꎻ圆ꎻ定点ꎻ定值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００１２－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:刘才华(１９６９.１０－)ꎬ男ꎬ山东省泰安宁阳人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀章建跃先生在«数学教育心理学»中提到:变式就是变更对象的非本质特征的表现形式ꎬ变更观察事物的角度或方法ꎬ以突出事物的本质特征ꎬ突出那些隐蔽的本质特征.这就要求教师在教学过程中ꎬ善于 借题发挥 ꎬ一题多变ꎬ 以少胜多 ꎬ引导学生从不同的角度出发ꎬ对题目本身进行相应地理解以及挖掘ꎬ这对于提升学生的逻辑推理和数学运算等核心素养有着极大的帮助.下面对２０１９年北京市文科第１９题进行推广与变式ꎬ供教学参考.试题㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的右焦点为(１ꎬ０)ꎬ且经过点Ａ(０ꎬ１).(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)设Ｏ为原点ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔʂ１)与椭圆Ｃ交于两个不同点ＰꎬＱꎬ直线ＡＰ与ｘ轴交于点Ｍꎬ直线ＡＱ与ｘ轴交于点Ｎ.若ＯＭ ＯＮ＝２ꎬ求证:直线ｌ经过定点.将试题推广到一般的椭圆ꎬ我们得到如下命题１㊀设Ｏ为原点ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔʂｂ)与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)交于两个不同点ＰꎬＱꎬＡ(０ꎬｂ)为椭圆Ｃ的上顶点ꎬ直线ＡＰ与ｘ轴交于点Ｍꎬ直线ＡＱ与ｘ轴交于点Ｎ.若ＯＭ ＯＮ＝ａ２ꎬ则直线ｌ经过定点Ｏ.证明㊀设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２).由ｙ＝ｋｘ＋ｔꎬｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１{得(ａ２ｋ２＋ｂ２)ｘ２＋２ｋｔａ２ｘ＋ａ２ｔ２－ａ２ｂ２＝０ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝－２ｋｔａ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬｘ１ ｘ２＝ａ２ｔ２－ａ２ｂ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬ且Δ>０.直线ＡＰ的方程为ｙ＝ｙ１－ｂｘ１ｘ＋ｂꎬ令ｙ＝０得ｘＭ＝－ｂｘ１ｙ１－ｂ＝－ｂｘ１ｋｘ１＋ｔ－ｂ.直线ＡＱ的方程为ｙ＝ｙ２－ｂｘ２ｘ＋ｂꎬ同理得ｘＮ＝－ｂｘ２ｋｘ２＋ｔ－ｂ.则ｘＭ ｘＮ＝ｂｘ１ｋｘ１＋ｔ－ｂｂｘ２ｋｘ２＋ｔ－ｂ＝ｂ２ｘ１ｘ２(ｋｘ１＋ｔ－ｂ)(ｋｘ２＋ｔ－ｂ).２１。
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a)^2+（y-b)^2=r^2。
圆的一般方程:把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=—2a，E=-2b,F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1。
由Ax+By+C=0,可得y=(—C—Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x)=0。
利用判别式b^2—4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac〉0，则圆与直线有2交点,即圆与直线相交.如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac〈0，则圆与直线有0交点,即圆与直线相离.2。
如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴）,将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y—b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A〈x1或x=—C／A〉x2时，直线与圆相离;当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交;半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x—a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2）^2+（y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=〉圆心坐标为(-D/2,-E/2）1．点与圆的位置关系设圆C∶(x—a)2+(y-b)2=r2,点M(x0，y0）到圆心的距离为d，则有：（1）d＞r 点M在圆外；(2）d=r 点M在圆上；（3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0,圆心(a,b)判别式为△，则有: (1)d＜r 直线与圆相交; (2）d=r 直线与圆相切；(3）d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或（1）△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；（3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征,3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+（y-b)2=r2和圆C2：（x-m)2+（y—n）2=k2（k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2）d=k-r 两圆内切；（3)d＞k+r 两圆外离；（4）d＜k+r 两圆内含；（5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1）过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2,圆上一点为（x0,y0），则此点的切线方程为x0x+y0y=r2（课本命题）．②圆（x-a)2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0,y0)，则过此点的切线方程为(x0—a）（x—a）+(y0—b)（y-b)=r2（课本命题的推广)．（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1—E2)y+(F1-F2）=0．(3）圆系方程:①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程）．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N（3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程.解：设圆的方程为:x^2+y^2 +Dx+Ey+F=0 ,∴ 圆心为(- ，— )，半径r=由题意：圆心到y轴的距离为｜- | , y轴上截得的弦长为1∴ r =( ) +（）∴ (D +E −4F)= + D∴ E −4F=1 。
(复习指导)9.3 圆的方程含解析
9.3 圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1.圆的定义及方程圆心:-D2,-E 2注意:当D 2+E 2-4F=0时,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示一个点(-D2,-E2);当D 2+E 2-4F<0时,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),点M (x 0,y 0), (1)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆上; (2)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆外; (3)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆内.以A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0(公式推导:设圆上任一点P (x ,y ),则有k PA ·k PB =-1,由斜率公式代入整理即可).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知圆的方程为x 2+y 2-2y=0,过点A (1,2)作该圆的切线只有一条. ( ) (2)方程(x+a )2+(y+b )2=t 2(t ∈R )表示圆心为(a ,b ),半径为t 的一个圆.( )(3)方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆心为-a2,-a ,半径为12√-3a 2-4a +4的圆.( )(4)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则以AB 为直径的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. ( )(5)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0外,则x 02+y 02+Dx 0+Ey 0+F>0. ( ) 2.已知圆C 经过点A (1,5),且圆心为C (-2,1),则圆C 的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2=5B.(x+2)2+(y-1)2=5C.(x-2)2+(y+1)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=253.(2020山东聊城模拟)圆x2+y2-6x-2y+3=0的圆心到直线x+ay-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.√3D.24.(2020山东青岛实验高中测试)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.a<-2B.-23<a<0C.-2<a<0D.-2<a<235.已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△ABO外接圆的方程是.关键能力学案突破考点求圆的方程【例1】(1)(2020山东青岛实验高中测试)圆心为(2,-1)的圆,在直线x-y-1=0上截得的弦长为2√2,那么这个圆的方程为()A.(x-2)2+(y+1)2=4B.(x-2)2+(y+1)2=2C.(x+2)2+(y-1)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=2(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,则圆C的方程为.?解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,过A(4,4),B(4,0),C(0,4)三点的圆被x轴截得的弦长为()A.4B.4√2C.2D.2√2(2)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2√7,则该圆的方程为.考点与圆有关的轨迹问题【例2】点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=44)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1?解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.对点训练2古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为()A.πB.2πC.3πD.4π考点与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3m+2的最大值和最小值.解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(1)形如u=y -bx -a 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a )2+(y-b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 对点训练3已知实数x ,y 满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为和 .考向2 借助圆的几何性质求最值【例4】已知点A (0,2),点P 在直线x+y+2=0上运动,点Q 在圆C :x 2+y 2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是 .?解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P ,Q 均为动点),要立足两点: (1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A (0,-3),B (4,0),若点P 是圆C :x 2+y 2-2y=0上的动点,则△ABP 的面积的最小值为 .考向3 建立函数关系求最值【例5】(2020江苏,14)在平面直角坐标系xOy 中,已知P (√32,0),A ,B 是圆C :x 2+(y -12)2=36上的两个动点,满足PA=PB ,则△PAB 面积的最大值是 .解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P (x ,y )是圆(x-3)2+y 2=4上的动点,定点A (0,2),B (0,-2),则|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为 .求半径常有以下方法:(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;(2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.9.3 圆的方程必备知识·预案自诊知识梳理1.定点 定长 (a ,b ) r √D 2+E 2-4F22.(1)= (2)> (3)<考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.D 因为圆C 经过A (1,5),且圆心为C (-2,1),所以圆C 的半径为r=√(-2-1)2+(1-5)2=5,则圆C 的方程为(x+2)2+(y-1)2=25.故选D .3.B 由题意,圆x 2+y 2-6x-2y+3=0,即(x-3)2+(y-1)2=7.圆心(3,1)到直线x+ay-1=0的距离d=√1+a2=1,所以a=-34. 4.D 方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆,所以a 2+4a 2-4(2a 2+a-1)>0,所以3a 2+4a-4<0,所以(a+2)(3a-2)<0,即-2<a<23.5.(x-1)2+(y-2)2=5 方法1 由题知OA ⊥OB ,故△ABO 外接圆的圆心为AB 的中点(1,2),半径为12|AB|=√5,所以△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.方法2 设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,因为过A (2,0),B (0,4),O (0,0)三点,所以{4+2D +F =0,16+4E +F =0,F =0,解得D=-2,E=-4,F=0,则△ABO 外接圆的方程是x 2+y 2-2x-4y=0,即△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.关键能力·学案突破例1(1)A (2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)因为圆心(2,-1)到直线x-y-1=0的距离d=√2=√2,弦长为2√2,所以圆的半径r=√(√2)2+(2√22)2=2,则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.(2)由圆C 的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a ,-a ),又圆C 与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=√2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=√2,圆C 被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,所以d 2+(√62)2=r2,即(2a -3)22+32=2a 2,解得a=1,所以圆C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.对点训练1(1)A (2)x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0 (1)根据题意,设过A ,B ,C 三点的圆为圆M ,其方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,又由A (4,4),B (4,0),C (0,4),则有{32+4D +4E +F =0,16+4D +F =0,16+4E +F =0,解得D=-4,E=-4,F=0,即圆M 的方程为x 2+y 2-4x-4y=0,令y=0可得x 2-4x=0,解得x 1=0,x 2=4,即圆与x 轴的交点的坐标为(0,0),(4,0),则圆被x 轴截得的弦长为4.故选A.(2)方法1 ∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴设所求圆的圆心为(3a ,a ),又所求圆与y 轴相切,∴半径r=3|a|,又所求圆在直线y=x 上截得的弦长为2√7,圆心(3a ,a )到直线y=x 的距离d=√2,∴d 2+(√7)2=r 2,即2a 2+7=9a 2,∴a=±1.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.方法2 设所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,则圆心(a ,b )到直线y=x的距离为|a -b |√2,∴r 2=(a -b )22+7,即2r 2=(a-b )2+14. ① ∵所求圆与y 轴相切,∴r 2=a 2,② ∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴a-3b=0,③联立①②③,解得{a =3,b =1,r 2=9或{a =-3,b =-1,r 2=9.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.方法3 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D 2,-E 2,半径r=12√D 2+E 2-4F .在圆的方程中,令x=0,得y 2+Ey+F=0. 由于所求圆与y 轴相切,∴Δ=0,则E 2=4F. ①圆心-D 2,-E 2到直线y=x 的距离d=|-D 2+E2|√2,由已知得d 2+(√7)2=r 2, 即(D-E )2+56=2(D 2+E 2-4F ).② 又圆心-D 2,-E2在直线x-3y=0上,∴D-3E=0. ③联立①②③,解得{D =-6,E =-2,F =1或{D =6,E =2,F =1.故所求圆的方程为x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.例2A 设圆上任一点为Q (x 0,y 0),PQ 中点为M (x ,y ),根据中点坐标公式,得{x 0=2x -4,y 0=2y +2,因为Q (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4上,所以x 02+y 02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化为(x-2)2+(y+1)2=1,故选A .对点训练2D 以A 为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,则B (3,0).设M (x ,y ),依题意有√x 2+y 2√(x -3)+y 2=2,化简整理得x 2+y 2-8x+12=0,即(x-4)2+y 2=4,则圆的面积为4π.故选D.例3解(1)(方法1)依题意,圆心C (2,7),半径r=2√2.设m+2n=t ,则点M (m ,n )为直线x+2y=t 与圆C 的公共点,所以圆心C 到该直线的距离d=√12+22≤2√2,解得16-2√10≤t ≤16+2√10.所以m+2n 的最大值为16+2√10.(方法2)由x 2+y 2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8. 因为点M (m ,n )为圆C 上任意一点,所以可设{m -2=2√2cosθ,n -7=2√2sinθ,(θ为参数)即{m =2+2√2cosθ,n =7+2√2sinθ,(θ为参数)所以m+2n=2+2√2cos θ+2(7+2√2sin θ)=16+2√2cos θ+4√2sin θ =16+2√10sin(θ+φ),其中tan φ=12. 因为-1≤sin(θ+φ)≤1,所以m+2n 的最大值为16+2√10. (2)设点Q (-2,3).则直线MQ 的斜率k=n -3m+2. 设直线MQ 的方程为y-3=k (x+2), 即kx-y+2k+3=0.由直线MQ 与圆C 有公共点, 得√k +1≤2√2,解得2-√3≤k ≤2+√3,即2-√3≤n -3m+2≤2+√3.所以n -3m+2的最大值为2+√3,最小值为2-√3. 对点训练34+√73 4-√73由题意,得y+1x表示过点A (0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P (x ,y )的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则√k 2+1=1,解得k=4±√73.所以z max =4+√73,z min =4-√73. 例42√5 依题意,圆心C (2,1),半径r=√5.设点A (0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m ,n ),则{m+02+n+22+2=0,n -2m -0=1,解得{m =-4,n =-2,故A'(-4,-2).连接A'C 交直线x+y+2=0于点P ,交圆C 于点Q (图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2√5. 对点训练4112依题意,圆心C (0,1),半径r=1.如图,过圆心C 向直线AB 作垂线交圆C 于点P ,连接BP ,AP ,此时△ABP 的面积最小.因为直线AB 的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C 到直线AB 的距离d=165.又|AB|=√32+42=5,所以△ABP 的面积的最小值为12×5×(165-1)=112. 例510√5 本题考查圆与直线的位置关系.如图,由已知,得C (0,12),CP=1,AB ⊥CP.设过点P 的直径为EF ,AB 与EF 相交于点D ,设CD=d. (1)当点D 与P 在圆心C 的异侧时, S △PAB =12×2√36-d 2×(1+d ) =√(36-d 2)(1+d )2(0≤d<6).设f (d )=(36-d 2)(1+d )2,则f'(d )=-2d (d+1)2+2(36-d 2)(d+1)=-2(d+1)(d-4)(2d+9). 所以f (d )在区间[0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减, 所以当d=4时,f (d )取得最大值f (4)=500,此时,S △PAB =10√5.(2)当点D 与P 在圆心C 的同侧时,①当点D 在点C ,P 之间时,△PAB 的高为1-d ; ②当点D 在CP 的延长线上时,△PAB 的高为d-1. 根据圆的对称性,当AB 与(1)中相等时,相应的高都小于(1)中AB 对应的高,所以相应△PAB 的面积也小. 综上,△PAB 面积的最大值是10√5.对点训练510 由题意,知PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ,2-y ),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ,-2-y ),所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x ,-2y ),所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√x 2+y 2.因为点P (x ,y )是圆(x-3)2+y 2=4上的点,所以(x-3)2+y 2=4,1≤x ≤5,所以y 2=-(x-3)2+4,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√x 2-(x -3)2+4=2√6x -5.因为1≤x ≤5,所以当x=5时,|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值最大,最大值为2√6×5-5=10.。
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圆的方程求法分类解析
圆的方程是解析几何中一类重要曲线方程，是高考的必考内容之一，本文将圆的方程的求法作以分类解析，供同学们学习时参考.
一、直接法
根据条件利用圆的有关性质，求的圆心坐标和半径，从而写出圆的方程的方法. 例1已知圆C 的圆心与点(2,1)P 关于直线1y x =+对称．直线3430x y ++=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，求圆C 的方程.
分析：利用点关于直线对称以求得圆心，利用点到直线的距离公式及垂径定理易求的半径，从而求出圆的方程.
解析：设圆心C （,a b ），半径为r ，则12
122
1112
b a b a ++⎧=+⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得a =0，b =3，
∴C （0,3）.
由点到直线的距离公式得，圆心C 到直线34110x y +-=距离为
d =
2
2
|30433|
34
⨯+⨯++=3，
由垂径定理得，2r =22
||(
)2
AB d +=18,
∴圆C 的方程为: 22(3)18x y +-=.
点评：若根据条件利用圆的有关性质，易求的圆心坐标和半径,常用直接法.
二、待定系数法
例2 已知圆C 经过A （-2，4），B （3.-1）两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，求圆C 的方程.
分析：求过两已知点的圆的方程问题，用带到系数法，设圆的一般方程形式.
解析：设圆C 的方程为：2x +2
y +Dx +Ey +F =0， 圆C 经过A （-2，4）
，B （3.-1）， ∴2
)2(-+24D 2-+E 4+F =0 ①，
2
3+2)1(-+D 3E -+F =0 ②
令圆方程中y =0得，02
=++F Dx x ，
设方程两根为1x ，2x ，则1x +2x =－D ，1x 2x =F ，
∴||21x x -=211)(x x -=212
214)(x x x x -+=F D 42-=6 ③
由 ①②③联立解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=086F E D 或⎪⎩
⎪
⎨⎧-==-=842F E D
∴圆C 的方程为：2x +2y +x 6-+y 8=0，或2x +2y +x 2-+y 4+8-=0，
点评：求圆的方程的常用方法是待定系数法，若已知圆心或半径或在解题过程中需要用到圆心或半径，如已知弦长、相切等，则将圆的方程设成标准方程形式；若已知条件与圆
心和半径无关，则设圆的一般方程.
三、圆系法
经过两圆1C ：2x +2y +x D 1+y E 1+1F =0和圆2C ：2x +2y +x D 2+y E 2+2F =0交点的圆系方程为：222211122()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）.注意包括圆1C 不包括圆2C .
经过直线：0Ax By C ++=与圆：220x y D x Ey F ++++=交点的圆系方程为：
2
2
()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.
例3求过直线240x y ++=和圆：222410x y x y ++-+=的交点，且面积最小的圆的方程.
分析：本题是过直线与圆的交点的圆的方程问题，可用圆系法.
解析：设所求圆的方程为22241(24)0x y x y x y λ++-++++=，即
2
2
2(1)(4)410x y x y λλλ++++-++=，
所以所求圆的半径为r =22
14(1)(4)4(41)2
λλλ++--+
=
2
1516162
λλ-+ 当λ=
85
时，m in r ，圆的面积最小，
∴所求圆的方程为2
2
26123705
5
5
x y x y ++
-
+
=.
点评：若所求圆过两圆的交点或以直线与一个圆的交点，常用圆系法，本题也可用直接法，因以直线被圆截得的弦为直径的圆半径最小，此时圆面积最小，故可求出直线与圆的交点，从而求出圆心与半径，写出圆的方程.
在求圆的方程时，根据已知条件，选用合适的方法求解，用待定系数法时，注意方程类型的选定.。