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高等数学与工程数学课件第八章多元函数积分学基础.ppt
第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
工程数学线性代数第六版课件
行列式的定义与性质
总结词
行列式是矩阵的一个重要数值指标， 表示由矩阵构成的平行多面体的体积 ，具有独特的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由矩阵的元素按照一定规则计算 得出的一个数值，用符号D表示。行列式 D与矩阵A的行和列具有相同的秩，即D的 行和列向量构成的子空间与A的行和列向 量构成的子空间是相同的。
空间具有平移不变性、旋转不变性和对称性 等性质。
向量空间的概念与性质
向量空间定义
向量空间是指由向量构成的集合，其中向量 之间可以进行加法、减法和数乘等运算，且 满足一定的封闭性和结合律。
向量空间的性质
向量空间具有向量的加法、数乘和标量乘积 等运算性质，同时也有零向量、负向量的概
念。
向量空间的基与维数
详细描述
线性规划问题通常可以表示为在一组线性约束条件下 ，最大化或最小化一个线性目标函数。通过使用线性 代数的方法，可以求解线性规划问题，并得到最优解 。
应用案例二：投入产出分析
总结词
投入产出分析是一种分析经济活动中各部门之间相互 关系的方法。
详细描述
投入产出分析通常通过构建一个投入产出表来描述各部 门之间的相互关系。这个表是一个方阵，其中的元素表 示各个部门之间的投入产出关系。通过求解线性方程组 ，可以得出各个部门的总投入和总产出。
线性代数具有抽象性和严谨性，对于解决实际问题中涉及到的线性问题具 有很高的实用价值。
线性代数在数学和其他学科中都有广泛的应用，如物理学、经济学、计算 机科学等。
线性代数的应用领域
01
在物理学中，线性代数被广泛应用于量子力学、线 性动力学等领域的计算和解析。
02
在经济学中，线性代数可以用于统计分析、计量经 济学、投入产出分析等方面的计算和建模。
高等数学与工程数学课件第十章数理统计基础.ppt
14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32， 假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问能否认为这一批滚珠
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
高等工程数学完整(研究生)ppt课件
误差分析
中南大学数学科学与计算技术学院
.
1
第一章 数学建模与误差分析
1
数学与科学计算
2
数学建模及其重要意义
3
数值方法与误差分析
4
误差的种类及其来源
5
绝对误差和相对误差
6
有效数字及其误差的关系*
7
误差的传播与估计
8
算法的相对稳定性*
.
2
§1 数学与科学计算
若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式 P ( x ) 改成
P ( x ) ( ( ( a n x ( a n 1 ) x a n 2 ) x a 2 ) x a 1 ) x a 0
来计算时，只要做 n 次乘法和次加法即可。
对于小型问题，计算的速度和占用计算机内存的多少似乎意义不大。 但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不恰当， 不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的 传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。不 合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败， 这就是算法的数值稳定性问题。
.
10
下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差与算法的选择对计算 结果精度所产生的巨大影响。
例1.3.1 计算
3
2 1
x
2 1
可用四种算式算出：
6
x
2 1
x 99 70 2
6
1 x 2 1
x
1
99 70 2
如果分别用近似值 27 51.4和 217121.4166L
.
7
§3 数值方法与误差分析
❖ 数值方法已成为科学研究的第三种基本手段。所谓数值方法，是指 将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算， 以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、 计算。这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本 的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过 框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。
中南大学数学科学与计算技术学院
.
1
第一章 数学建模与误差分析
1
数学与科学计算
2
数学建模及其重要意义
3
数值方法与误差分析
4
误差的种类及其来源
5
绝对误差和相对误差
6
有效数字及其误差的关系*
7
误差的传播与估计
8
算法的相对稳定性*
.
2
§1 数学与科学计算
若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式 P ( x ) 改成
P ( x ) ( ( ( a n x ( a n 1 ) x a n 2 ) x a 2 ) x a 1 ) x a 0
来计算时，只要做 n 次乘法和次加法即可。
对于小型问题，计算的速度和占用计算机内存的多少似乎意义不大。 但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不恰当， 不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的 传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。不 合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败， 这就是算法的数值稳定性问题。
.
10
下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差与算法的选择对计算 结果精度所产生的巨大影响。
例1.3.1 计算
3
2 1
x
2 1
可用四种算式算出：
6
x
2 1
x 99 70 2
6
1 x 2 1
x
1
99 70 2
如果分别用近似值 27 51.4和 217121.4166L
.
7
§3 数值方法与误差分析
❖ 数值方法已成为科学研究的第三种基本手段。所谓数值方法，是指 将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算， 以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、 计算。这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本 的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过 框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。
工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大
⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1
C
f z dz
n
k 1 C
k
f z dz 0
C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解 据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz
C
4
ux t , yt xt vx t , yt yt dt
i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是 连 续 函 数 而C 是 光 滑 曲 线 时, ⑵
C C C
C
f z 第二型曲线积分 dz一 定 存 在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。
工程数学第八章傅里叶变换课件
[
f ( )e j d ]ejtd
2π
2π
（8-5）
这样就得到了 f (t) 的一个积分形式的展开式，称为非周期函
数 f (t) 的傅里叶积分公式,等号右端称为傅里叶积分．
定理 1（傅里叶积分定理） 若函数 f (t) 在 (-,+) 上的任一
有限区间内满足狄利克雷条件，并且在 (-,+) 上绝对可积，
2
2π
j
1 1 sin t d
2 π0
利用狄利克雷积分 sin d π ，可知
0
2
若 t 0 ，令 t u ，则
sin t d sin u du π
0
0u
2
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结束
若 t 0 ，令t u ，则
sin t d
sin u
π
du
0
2
a0
1( 2
0
0d t
2
2
1d t) 1
0
an
1 2
2 0
cos
ntdt
1
2n
sin
nt
|02
sin 2n sin nπ 0(n 0) 2n nπ
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结束
bn
1 2
2 0
sin
n
tdt
1
2n
cos
nt
|02
1 (1 cos 2n) 1 (1 cos nπ)
2n
nπ
2
t
d
.
注意到上式被积函数关于 的奇偶性，可得 f (t) 的傅里叶积分公式为
f (t) 1
π
0
【工程数学课件】算子范数
k1 k1
i 1
nn
n
( | aik |) • | xk |
i1k 1
k 1
|| A ||m1 • || x ||1
例 2 设 x Pn, A Pnn，则|| A ||m2 是与|| x ||2
相容的矩阵范数.
证: || Ax ||22 n | ai1x1 ai2 x2 ainxn |2
3)
||
A
B
||a
max
x
||
(
A B)x || x ||a
||a
max || Ax ||a || Bx ||a
x
|| x ||a
max || Ax ||a max || Bx ||a x || x ||a x || x ||a
|| A ||a || B ||a
推论 1 设 || x ||a 是P n上的向量范数, A、B P nn , || A ||a 是从属于|| x ||a 的算子范数，则它是相容的 矩阵范数，即
|| AB ||a || A ||a || B ||a
证:
||
AB
||a
max
x
||
ABx ||a || x ||a
max || A ||a || Bx ||a
x
|| x ||a
||
A ||a
max
x
|| Bx ||a || x ||a
|| A ||a || B ||a
算子范数的特性：
三、 谱范数的性质
定理 6 设 A C nn，则 (1) || A ||2 || AH ||2 (2) 对任何 n 阶酉矩阵 U及V都有 || UA||2 || AV ||2 || UAV ||2 || A ||2
工程数学第二章矩阵课件
68 34
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结束
例 6 若 A 为 n 阶方阵， k 为实数，则 kA kn A .
证 由于 A 为 n 阶方阵， k 为实数，根据数与矩阵乘法的定义知， kA 是将 A 的 每个元素都乘以 k ，在求 kA 时，根据行列式性质的单行可提性，每一行提出一个 k ， 所以 kA kn A .
例1
已知
a
3
b
a
3
b
c
7
d
2c d 3
，求
a,b,c, d
．
解 根据题意，得
a b 7,
2c d 3,
cd
3,
a b 3
故 a 5,b 2,c 2, d 1 .
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结束
例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
；
0
0
A
0
0 0
0 0
0 2 1 0 4 2
0
3
2
5
1
3
10 2 5
4
1
.
0 A 称为 A 的负矩阵，记为 A，其中 A与 A 的每个对应元素都互为相反数．
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结束
矩阵加法具有如下性质：
假设 A, B,C, 0 均为 m n 矩阵，则 （1） A B B A（交换律）； （2） (A B) C A (B C) （结合律）； （3） A 0 0 A A； （4） A (A) 0 .
5
3
7 5
4 2
高等数学与工程数学课件第四章导数应用.ppt
思考题 1.极值点与驻点的关系是什么? 2.说明极值与最值的区别. 3.极值存在的必要条件是什么?
答案 答案 答案
课堂练习题 1.求y = x2 2x 3的极值.
2.求出y x4 2x2 1的全部驻点.
答案 答案
第三节 函数的最大值和最小值
在工农业生产和科学实验中，常要遇到在一定条件下，怎 样用料最省、效率最高或性能最好等问题，这些问题归纳到 数学上，即为函数最大值或最小值问题.
在x 0处无极值以上三题中都有y'x0 0, y''x0 0,所以说情形(3)失 效,失效时必须用定理2来判定驻点是否为极值点.
例2 求函数f (x)(x2 1)3 1的极值.
解 因为f '(x) 6x(x2 1)2,令f '(x) 0,得驻点x 1,x 0,x 1
所以f ''(x) 6(x2 1)2 6x2(x2 1)2x 6(x2 1)(5x2 1). 又因为f ''(0)60,所以函数f (x)在x 0处取得极小值为f (0)0.
0
0
可导, 如果
(1)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极大值f (x0);
(2)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极小值f (x0);
(3)当x从x0时的左侧变化到右侧时, f '(x)不变号,则f (x) 在x0处无极值.
定理 设函数y f (x)在(a,b)内可导,若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在 (a,b)上为增函数;若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在(a,b)上为减函数.( 一阶导数符号和函数单调性是否为充要条件?)
工程数学《复变函数》(第四版)课件 4-4 西安交大
1 z 4
1 1 1 f z 3 z z 1 z 4
在1 z 4内 :
1 1 1, z 4
1 1 z 1 z 1 1 z
1 1 1 1 2 z z z
例3 把 f z z 3e 在 0 z 内展成洛朗级数。
2 3 n z z z z 解 e 1 z 2! 3! n!
1 z
1 1 1 z 1 1 3 2 f z z 3 1 z z 2 3 z 2! z 2! 3! 4! z 3! z 12
1 1 z z 4 dz z 1
解法2（柯西积分公式）
1 z 1z 4 dz dz z z 1z 4 z z 3 C1
C2
1 1 2i 2i z 1 z 4 z z 4 z 0 z 1
（2） 洛朗级数
（3）
1
其中 z 0 及 cn n 0,1,2, 为常数。
规定 当且仅当2、 3收敛， 1收敛.
设2收敛域为: z z0 R2 ;
即为前面讨论的级数；
n
对于（3），
c 1 z z 0 c n z z 0
n
称为 f z 在以 z 0为中心的圆环域 R1 z z0 R2内的洛朗展
开式。 右端级数（洛朗级数）中，正整数次幂部分称为洛朗级数的 解析部分；负整数次幂部分称为洛朗级数的主要部分。
⑵ 洛朗级数是泰勒级数的推广。
当 f z 在 z 0 不解析但在 z 0 的去心邻域内解析时可用洛朗级数 展开，展开式是唯一的，展开时尽量用间接展开法。
1 1 1 f z 3 z z 1 z 4
在1 z 4内 :
1 1 1, z 4
1 1 z 1 z 1 1 z
1 1 1 1 2 z z z
例3 把 f z z 3e 在 0 z 内展成洛朗级数。
2 3 n z z z z 解 e 1 z 2! 3! n!
1 z
1 1 1 z 1 1 3 2 f z z 3 1 z z 2 3 z 2! z 2! 3! 4! z 3! z 12
1 1 z z 4 dz z 1
解法2（柯西积分公式）
1 z 1z 4 dz dz z z 1z 4 z z 3 C1
C2
1 1 2i 2i z 1 z 4 z z 4 z 0 z 1
（2） 洛朗级数
（3）
1
其中 z 0 及 cn n 0,1,2, 为常数。
规定 当且仅当2、 3收敛， 1收敛.
设2收敛域为: z z0 R2 ;
即为前面讨论的级数；
n
对于（3），
c 1 z z 0 c n z z 0
n
称为 f z 在以 z 0为中心的圆环域 R1 z z0 R2内的洛朗展
开式。 右端级数（洛朗级数）中，正整数次幂部分称为洛朗级数的 解析部分；负整数次幂部分称为洛朗级数的主要部分。
⑵ 洛朗级数是泰勒级数的推广。
当 f z 在 z 0 不解析但在 z 0 的去心邻域内解析时可用洛朗级数 展开，展开式是唯一的，展开时尽量用间接展开法。
信号与系统中的工程数学问题完美版PPT
几个方面的内容 ❖ 概率论与随机过程相关知识
概率论与随机过程相关知识
复变函数相关知识 概率论与随机过程相关知识
但是我们在教学中会合理的淡化数学背景，不会在繁琐的数学中过多纠缠，打破学生对课程的恐惧感 概率论与随机过程相关知识
微积分相关知识 概率论与随机过程相关知识
对于电子电气专业的学生来说，几乎没有其他课程象这门课程一样，与如此众多的数学有如此紧密的联系 概率论与随机过程相关知识
积分变换相关知识 对于电子电气专业的学生来说，几乎没有其他课程象这门课程一样，与如此众多的数学有如此紧密的联系
概率论与随机过程相关知识
泛函分析相关知识 概率论与随机过程相关知识
概率论与随机过程相关知识 课程必然会遇到很多的数学概念，需要很多的工程数学知识
概率论与随机过程相关知识 这也是学生在课程学习过程中会觉得疑惑的地方
式：子函数从 e jt 扩展到 e j)t
✓ 有人将此称为“广义傅里叶变换”
❖ 将 z 变换从冲激取样信号的傅里叶变换（或 者拉斯变换）导出
➢ 但是历史上并没有这样的传承故事。
三大积分变换
➢ Pierre Simon Laplace， （1749－1827），法国数学家、 天文学家、物理学家。1812 年在其《概率论的解 析理论》中提出了拉普拉斯变换；
➢ 教材中的实例多为指数函数 ➢ 但是其中也大量存在广义积分计算 ➢ 在工程中很多可以简化为定积分计算。
但是也有一些不能 例如：直流信号的傅里叶变换计算
微分方程
➢ 连续时间系统分析实际上就是一个求解 微分方程的过程
➢ 这部分内容与高等数学中的微分方程的 求解内容非常接近，但是 方程的形式没有高等数学中难 只集中在线性常系数微分方程 求解方法也不同：采用近代时域分 解法
第二章 矩阵及其运算 《工程数学线性代数》课件PPT
0
x
§2 矩阵的运算
例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示：
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
det(aij )
(aij )mn
三、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An.
2. 只有一行的矩阵 A (a1, a2 ,L , an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1
只有一列的矩阵
B
a2
M
称为列矩阵(或列向量)
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
( )A A A (A B) A B
备 注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
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a12 a22
a13 a23
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工程数学.ppt
e
2
H
2 0
(
)d
e
2
d
设 I e x2 dx
I 2
e x2 dx
e
y
2
dy
e( x2 y2 )dxdy
2 re r2 drd
2
d
re r2 dr
3/16
w 2( x t )e2 xtt2 t w 2(t x)w 0
t
w 2( x t)w t
w(
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t
)
n0
1 n!
cn
(
x)t
n
n0
1 n!
nc
n
(
x
)t
n1
n0
1 2(t n!
x)cn ( x)t n
{ Hn ( ) } 是带权正交的函数系
9/16
利用递推公式导出积分值递推关系
Hn
Hn ( x) 2 xHn1( x) 2(n 1)Hn2 ( x) 0
H
2 n
2xHn Hn1
2(n
1)H n H n2
0
Hn1
Hn1( x) 2xHn ( x) 2nH n1( x) 0
exp(
x2)
13/16
| 0( x) |2
1 exp( x2 )
| 1 ( x)
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{ Hn ( ) } 是带权正交的函数系
9/16
利用递推公式导出积分值递推关系
Hn
Hn ( x) 2 xHn1( x) 2(n 1)Hn2 ( x) 0
H
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1)H n H n2
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工程数学线性代数同济第五版课件1-5
n1
.
0
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a
b ab 2a b 3a b
c abc 3a 2b c 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10 a 6 b 3 c d
例4 计算
D
a a a
解
从第4行开始，后行减前行
r4 r 3 r3 r2 r 2 r1
D 0.
上页 下页
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
第行 i （列）乘以
a 11 a 12 a1n ka i 1 ka i 2
k ，记作 ri k ( c i k )
a 11 a 12 a1n
ai2 a in
2n
解 将第2n行依次与第2n-1行、…、第2行对调 （共作2n-2次相邻对换），再把第2n列依次与第 2n-1列、…、第2列对调，得到
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a c 0 D 2n ( 1)
2(2n 2)
b d 0
0 0 a
0 0 b
a c
b d d
2( n 1)
0
0
c
由上例题，得到递推公式
D 2 n ( ad bc ) D 2 ( n 1 ) ( ad bc ) D 2 ( n 2 )
1 3 1 2 2
上页 下页
r3 3 r1
r4 4 r1
0 0 0 0
r 2 r4
0 0 0 0
1
1 2 0 0 0
2 1 1 1 2
3 5 1 0 2
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算术运算起步只需要有加法的概念，乘是多次加 的简化运算，减是加的逆运算，除是乘的逆运算，这 就是四则运算。
• 3、代数
对实数的运算进入代数学阶段，有
“加、减、乘、除、乘方、开方、指数、 对数”八则，用符号代表数，列出方程， 求解方程成了比算术更有力的武器。这 个时期称为初等数学，从５世纪一直到 17世纪，大约持续了一千多年。初等数 学是常数的数学。对一组数群体性质的 研究就导致线性代数。
• １、 数学发生图
数学可分为五大学科：纯粹（基础）
数学、应用数学、计算数学、运筹与控 制、概率论与数理统计。
应用数学则以以上数学为综合理论 基础，可分为：价值数学、运筹学、数 理统计学、系统科学、决策论等。目前 又发展出混沌、小波变换、分形几何等。
• ２、 算术
人类逐步有了数的概念，由自然数开始。由于人有 十个手指，所以多数民族建立了十进位制的自然数表 示方法。二十个一组的太多太大，不能一目了然，还 要用上脚趾，五个一组又太少，使组数太多，十个一 组是比较会让人喜爱的折衷方法。有古巴比仑记数法、 希腊记数法、罗马记数法、中国记数法，发展进步了 5000年后，印度人第一次发明了零，零加自然数称为 为整数，传入伊斯兰世界形成目前通用的阿拉伯数字。 计算机的出现又需要二进位制，就是近几十年的事了。
• 另一个例子：现代经济学家使数学进入了经济 学领域，构建了平衡模型，可以预言自由市场 的经济行为，这方面的工作使阿洛（Arrow） 获得了诺贝尔经济学奖，他的哈佛大学的同事
看了这篇得奖论文说，这些应用在数学中是很
基本的，很多哈佛大学一年级学生就可以完成。
可见掌握数学工具后，在其它领域中进行应用，
对数学的再认识
• 华罗庚在五十年代就说过：“宇宙之大、粒子之 微、光箭之速、生物之迷、日用之繁，无处不用 数学”。
• 到了今天这个信息时代，可以说每一项高新技术 的背后都有着极其抽象的数学，高新技术本质上 就是数学技术。
一、 从数学与其它学科的关系来看数学
• 1、 数学是一种语言，是一种科学的共同语 言，若没有数学语言，宇宙就是不可描述的， 因而也就是永远是无法理解的。任何一门科学 只有使用了数学，才成其为一门科学，否则就 是不完善与不成熟的。社会在进步，它的数学 化程度也正在不断提高，数学语言已成为人类 社会中交流和贮存信息的重要手段，宇宙和人 类社会就是用数学语言写成的一本大书。
数学—— 一棵古老而富有 生命力的大树
数学家眼中的数学
• R·培根指出：“数学是打开科学大门的钥匙。” • 罗素说：“数学，不但拥有真理，而且有至高的美。” • 考特认为：“数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。” • 米斯拉说：“数学是代表人类抽象思维方面的最高成就和胜利。” • 格拉斯曼说：“数学除了锻炼敏锐的理解力，发现真理外，它还
• 4、几何
以上是研究数的，在研究形方面也平行的发展着， 古希腊的欧几里得用公理化的方法，构建了几何学是 最辉煌的成就。二千多年前的平面几何成就已经与目 前中学几何教科书几乎一样了。他们还了解了众多曲 线的性质，在计算复杂图形的面积时，接近了高等数 学。还初步了解到三角函数的值。在几何学方面，后 来进一步发展出非欧几何，包括罗巴切夫几何、黎曼 几何、图论和拓扑学等分支。
么时，他回答：“第一是数学，第二是数学， 第三还是数学。”
• 3、数学是一种工具，一种思维的工具。自然哲学 认为：任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究 量的科学，它不断地发现、总结和积累了很多人类对 量的方面的规律，这些都是人们认识世界的有力工具。 这里举两个例子：一个是自然科学的，一个是社会科 学的。我们企图找到一个不经手术就可以准确确定人 体内的器官位置、密度和三维形状的方法，可惜借助 X射线只能绘出二维信息图。这个问题难倒了工程师 很多年，后来遇到数学家的工作，即Radon变换，考 尔麦克把X射线从许多不同角度照射人体，再运用计 算机进行数学变换，导致CT数据透视仪的诞生，获得 了1979年的诺贝尔医学奖。现在这一方法进一步推广 到核磁共振领域，使图像分辨率更高。从本质上说， 这两项技术只不过是，先大量测量一维的物理量，再 用数学技巧来重构三维图像而已。
二、 从数学自身的研究对象来看数学
• 恩格斯说：数学是现实世界中的空间形式与 数量关系。数学就是研究数量、形状和他们之 间关系的科学，这是数学的三大领域。当前数 学还在发展，目前已经发展成为包括一百多个 分枝的庞大系统。 着计算机的发明和技术迅速提高，数学学科也 进入了新的黄金时代。数学包括三个方面，模 式、结构和模拟现实世界。它不光是理论，也 是能力，是文化，是素质。
并不是一件困难的事，而且有时甚至是一个很 大的成就。
• 4、 数学是一门艺术，一门创造性艺术。美是 艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评 价标准。数学的美体现在和谐性、对称性、简 洁性，这三性上。数学家不断地追求美好的新 概念、新方法、新结论，因此数学是创造性艺 术。人们掌握了数学，可以陶冶人的美感，培 养理性的审美能力，一个人数学造诣越深，越 是拥有一种直觉力，这种直觉力实际就是理性 的洞察力、由美感驱动的选择力，最终成为创 造美好新世界的驱动力。
有另一个训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。” • 爱因斯坦说：“……数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那
就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这 些科学是达不到这样的可靠性的。” • 美国著名数学史家克莱因认为，“数学是一种精神，一种理性的 精神。数学是西方文化中的一种主要的文化力量”！
• 2、 培根（Ｂａｃｏｎ）说：“数学是打开 科学大门的钥匙”。忽视数学必将伤害所有的
知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他
科学乃至世界上任何其他事物的。几千年来，
凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外
地借助于数学的力量。例如，没有微积分就谈
不上力学和现代科学技术，没有麦克斯威尔方 程就没有电波理论，伦琴因发现X射线于1901 成为诺贝尔的第一位获奖人，记者问他需要什
• 3、代数
对实数的运算进入代数学阶段，有
“加、减、乘、除、乘方、开方、指数、 对数”八则，用符号代表数，列出方程， 求解方程成了比算术更有力的武器。这 个时期称为初等数学，从５世纪一直到 17世纪，大约持续了一千多年。初等数 学是常数的数学。对一组数群体性质的 研究就导致线性代数。
• １、 数学发生图
数学可分为五大学科：纯粹（基础）
数学、应用数学、计算数学、运筹与控 制、概率论与数理统计。
应用数学则以以上数学为综合理论 基础，可分为：价值数学、运筹学、数 理统计学、系统科学、决策论等。目前 又发展出混沌、小波变换、分形几何等。
• ２、 算术
人类逐步有了数的概念，由自然数开始。由于人有 十个手指，所以多数民族建立了十进位制的自然数表 示方法。二十个一组的太多太大，不能一目了然，还 要用上脚趾，五个一组又太少，使组数太多，十个一 组是比较会让人喜爱的折衷方法。有古巴比仑记数法、 希腊记数法、罗马记数法、中国记数法，发展进步了 5000年后，印度人第一次发明了零，零加自然数称为 为整数，传入伊斯兰世界形成目前通用的阿拉伯数字。 计算机的出现又需要二进位制，就是近几十年的事了。
• 另一个例子：现代经济学家使数学进入了经济 学领域，构建了平衡模型，可以预言自由市场 的经济行为，这方面的工作使阿洛（Arrow） 获得了诺贝尔经济学奖，他的哈佛大学的同事
看了这篇得奖论文说，这些应用在数学中是很
基本的，很多哈佛大学一年级学生就可以完成。
可见掌握数学工具后，在其它领域中进行应用，
对数学的再认识
• 华罗庚在五十年代就说过：“宇宙之大、粒子之 微、光箭之速、生物之迷、日用之繁，无处不用 数学”。
• 到了今天这个信息时代，可以说每一项高新技术 的背后都有着极其抽象的数学，高新技术本质上 就是数学技术。
一、 从数学与其它学科的关系来看数学
• 1、 数学是一种语言，是一种科学的共同语 言，若没有数学语言，宇宙就是不可描述的， 因而也就是永远是无法理解的。任何一门科学 只有使用了数学，才成其为一门科学，否则就 是不完善与不成熟的。社会在进步，它的数学 化程度也正在不断提高，数学语言已成为人类 社会中交流和贮存信息的重要手段，宇宙和人 类社会就是用数学语言写成的一本大书。
数学—— 一棵古老而富有 生命力的大树
数学家眼中的数学
• R·培根指出：“数学是打开科学大门的钥匙。” • 罗素说：“数学，不但拥有真理，而且有至高的美。” • 考特认为：“数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。” • 米斯拉说：“数学是代表人类抽象思维方面的最高成就和胜利。” • 格拉斯曼说：“数学除了锻炼敏锐的理解力，发现真理外，它还
• 4、几何
以上是研究数的，在研究形方面也平行的发展着， 古希腊的欧几里得用公理化的方法，构建了几何学是 最辉煌的成就。二千多年前的平面几何成就已经与目 前中学几何教科书几乎一样了。他们还了解了众多曲 线的性质，在计算复杂图形的面积时，接近了高等数 学。还初步了解到三角函数的值。在几何学方面，后 来进一步发展出非欧几何，包括罗巴切夫几何、黎曼 几何、图论和拓扑学等分支。
么时，他回答：“第一是数学，第二是数学， 第三还是数学。”
• 3、数学是一种工具，一种思维的工具。自然哲学 认为：任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究 量的科学，它不断地发现、总结和积累了很多人类对 量的方面的规律，这些都是人们认识世界的有力工具。 这里举两个例子：一个是自然科学的，一个是社会科 学的。我们企图找到一个不经手术就可以准确确定人 体内的器官位置、密度和三维形状的方法，可惜借助 X射线只能绘出二维信息图。这个问题难倒了工程师 很多年，后来遇到数学家的工作，即Radon变换，考 尔麦克把X射线从许多不同角度照射人体，再运用计 算机进行数学变换，导致CT数据透视仪的诞生，获得 了1979年的诺贝尔医学奖。现在这一方法进一步推广 到核磁共振领域，使图像分辨率更高。从本质上说， 这两项技术只不过是，先大量测量一维的物理量，再 用数学技巧来重构三维图像而已。
二、 从数学自身的研究对象来看数学
• 恩格斯说：数学是现实世界中的空间形式与 数量关系。数学就是研究数量、形状和他们之 间关系的科学，这是数学的三大领域。当前数 学还在发展，目前已经发展成为包括一百多个 分枝的庞大系统。 着计算机的发明和技术迅速提高，数学学科也 进入了新的黄金时代。数学包括三个方面，模 式、结构和模拟现实世界。它不光是理论，也 是能力，是文化，是素质。
并不是一件困难的事，而且有时甚至是一个很 大的成就。
• 4、 数学是一门艺术，一门创造性艺术。美是 艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评 价标准。数学的美体现在和谐性、对称性、简 洁性，这三性上。数学家不断地追求美好的新 概念、新方法、新结论，因此数学是创造性艺 术。人们掌握了数学，可以陶冶人的美感，培 养理性的审美能力，一个人数学造诣越深，越 是拥有一种直觉力，这种直觉力实际就是理性 的洞察力、由美感驱动的选择力，最终成为创 造美好新世界的驱动力。
有另一个训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。” • 爱因斯坦说：“……数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那
就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这 些科学是达不到这样的可靠性的。” • 美国著名数学史家克莱因认为，“数学是一种精神，一种理性的 精神。数学是西方文化中的一种主要的文化力量”！
• 2、 培根（Ｂａｃｏｎ）说：“数学是打开 科学大门的钥匙”。忽视数学必将伤害所有的
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科学乃至世界上任何其他事物的。几千年来，
凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外
地借助于数学的力量。例如，没有微积分就谈
不上力学和现代科学技术，没有麦克斯威尔方 程就没有电波理论，伦琴因发现X射线于1901 成为诺贝尔的第一位获奖人，记者问他需要什