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算术运算起步只需要有加法的概念，乘是多次加 的简化运算，减是加的逆运算，除是乘的逆运算，这 就是四则运算。
• 3、代数
对实数的运算进入代数学阶段，有
“加、减、乘、除、乘方、开方、指数、 对数”八则，用符号代表数，列出方程， 求解方程成了比算术更有力的武器。这 个时期称为初等数学，从５世纪一直到 17世纪，大约持续了一千多年。初等数 学是常数的数学。对一组数群体性质的 研究就导致线性代数。
有另一个训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。” • 爱因斯坦说：“……数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那
就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这 些科学是达不到这样的可靠性的。” • 美国著名数学史家克莱因认为，“数学是一种精神，一种理性的 精神。数学是西方文化中的一种主要的文化力量”！
• 另一个例子：现代经济学家使数学进入了经济 学领域，构建了平衡模型，可以预言自由市场 的经济行为，这方面的工作使阿洛（Arrow） 获得了诺贝尔经济学奖，他的哈佛大学的同事
看了这篇得奖论文说，这些应用在数学中是很
基本的，很多哈佛大学一年级学生就可以完成。
可见掌握数学工具后，在其它领域中进行应用，
么时，他回答：“第一是数学，第二是数学， 第三还是数学。”
• 3、数学是一种工具，一种思维的工具。自然哲学 认为：任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究 量的科学，它不断地发现、总结和积累了很多人类对 量的方面的规律，这些都是人们认识世界的有力工具。 这里举两个例子：一个是自然科学的，一个是社会科 学的。我们企图找到一个不经手术就可以准确确定人 体内的器官位置、密度和三维形状的方法，可惜借助 X射线只能绘出二维信息图。这个问题难倒了工程师 很多年，后来遇到数学家的工作，即Radon变换，考 尔麦克把X射线从许多不同角度照射人体，再运用计 算机进行数学变换，导致CT数据透视仪的诞生，获得 了1979年的诺贝尔医学奖。现在这一方法进一步推广 到核磁共振领域，使图像分辨率更高。从本质上说， 这两项技术只不过是，先大量测量一维的物理量，再 用数学技巧来重构三维图像而已。
数学—— 一棵古老而富有 生命力的大树
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数学家眼中的数学
• R·培根指出：“数学是打开科学大门的钥匙。” • 罗素说：“数学，不但拥有真理，而且有至高的美。” • 考特认为：“数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。” • 米斯拉说：“数学是代表人类抽象思维方面的最高成就和胜利。” • 格拉斯曼说：“数学除了锻炼敏锐的理解力，发现真理外，它还
• 4、几何
以上是研究数的，在研究形方面也平行的发展着， 古希腊的欧几里得用公理化的方法，构建了几何学是 最辉煌的成就。二千多年前的平面几何成就已经与目 前中学几何教科书几乎一样了。他们还了解了众多曲 线的性质，在计算复杂图形的面积时，接近了高等数 学。还初步了解到三角函数的值。在几何学方面，后 来进一步发展出非欧几何，包括罗巴切夫几何、黎曼 几何、图论和拓扑学等分支。
• 2、 培根（Ｂａｃｏｎ）说：“数学是打开 科学大门的钥匙”。忽视数学必将伤害所有的
知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他
科学乃至世界上任何其他事物的。几千年来，
凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外
地借助于数学的力量。例如，没有微积分就谈
不上力学和现代科学技术，没有麦克斯威尔方 程就没有电波理论，伦琴因发现X射线于1901 成为诺贝尔的第一位获奖人，记者问他需要什
• １、 数学发生图
数学可分为五大学科：纯粹（基础）
数学、应用数学、计算数学、运筹与控 制、概率论与数理统计。
应用数学则以以上数学为综合理论 基础，可分为：价值数学、运筹学、数 理统计学、系统科学、决策论等。目前 又发展出混沌、小波变换、分形几何等。
• ２、 算术
人类逐步有了数的概念，由自然数开始。由于人有 十个手指，所以多数民族建立了十进位制的自然数表 示方法。二十个一组的太多太大，不能一目了然，还 要用上脚趾，五个一组又太少，使组数太多，十个一 组是比较会让人喜爱的折衷方法。有古巴比仑记数法、 希腊记数法、罗马记数法、中国记数法，发展进步了 5000年后，印度人第一次发明了零，零加自然数称为 为整数，传入伊斯兰世界形成目前通用的阿拉伯数字。 计算机的出现又需要二进位制，就是近几十年的事了。
对数学的再认识
• 华罗庚在五十年代就说过：“宇宙之大、粒子之 微、光箭之速、生物之迷、日用之繁，无处不用 数学”。
• 到了今天这个信息时代，可以说每一项高新技术 的背后都有着极其抽象的数学，高新技术本质上 就是数学技术。
一、 从数学与其它学科的关系来看数学
• 1、 数学是一种语言，是一种科学的共同语 言，若没有数学语言，宇宙就是不可描述的， 因而也就是永远是无法理解的。任何一门科学 只有使用了数学，才成其为一门科学，否则就 是不完善与不成熟的。社会在进步，它的数学 化程度也正在不断提高，数学语言已成为人类 社会中交流和贮存信息的重要手段，宇宙和人 类社会就是用数学语言写成的一本大书。
并不是一件困难的事，而且有时甚至是一个很 大的成就。
• 4、 数学是一门艺术，一门创造性艺术。美是 艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评 价标准。数学的美体现在和谐性、对称性、简 洁性，这三性上。数学家不断地追求美好的新 概念、新方法、新结论，因此数学是创造性艺 术。人们掌握了数学，可以陶冶人的美感，培 养理性的审美能力，一个人数学造诣越深，越 是拥有一种直觉力，这种直觉力实际就是理性 的洞察力、由美感驱动的选择力，最终成为创 造美好新世界的驱动力。
二、 从数学自身的研究对象来看数学
• 恩格斯说：数学是现实世界中的空间形式与 数量关系。数学就是研究数量、形状和他们之 间关系的科学，这是数学的三大领域。当前数 学还在发展，目前已经发展成为包括一百多个 分枝的庞大系统。数学已经不是原来人们头脑 中仅仅是数和形，仅仅是陈景润的概念了。随 着计算机的发明和技术迅速提高，数学学科也 进入了新的黄金时代。数学包括三个方面，模 式、结构和模拟现实世界。它不光是理论，也 是能力，是文化，是素质。