第一章 Fourier变换(答案)

积分变换练习题 第一章 Fourier 变换

________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______

§1 Fourier 积分 §2 Fourier 变换

一、选择题

1．设0()()f t t t δ=-，则[()]f t =F [ ] （A ）1 （B ）2π （C ）0

j t e

ω （D ）0

j t e

ω-

00

0[()]()i t i t i t t t f t t t e dt e e ωωωδ∞

---=-∞⎛⎫=-== ⎪⎝⎭

⎰F 二、填空题

1．设0a >，,0

(),0at at e t f t e t -⎧<=⎨>⎩，则函数()f t 的Fourier 积分表达式为

2202cos a

t

dt a ωπω

∞

+⎰ 0

00()()00()()2201()[()]()==lim lim 112=lim lim ;()112[()]()=22i t at i t at i t R a i t a i t

R R R R a i t a i t R R R i t

F f t f t e dt e e dt e e dt e dt e dt e e a a i a i a i a i a F F e d ωωωωωωωωωωωωωωωωωππ∞∞-----∞-∞-+-→∞→∞--+-→∞→∞-∞--∞==+++=+=-+-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰F F 22220(cos sin )2cos =a t i t d a a t d a ωωωωωωπω∞-∞∞

⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭

⎰⎰ 2．设[()]()f t δω=F ，则()f t =

1

2π

1

1

11[()]()=222i t

i t e d e ωωωδωδωωπ

ππ∞

-=-∞

⎛

⎫=

= ⎪⎝

⎭⎰

F 3．设2

()sin f t t =，则[()]f t =F ()[(2)(2)]2

π

πδωδωδω-

++-

2221cos2[()]()=sin 211()()[(2)(2)]242i t i t i t i t it it i t

t f t f t e dt te dt e dt e dt e e e dt ωωωωωππδωδωδω∞∞∞

----∞-∞-∞∞∞----∞-∞⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=-++- ⎪⎝⎭

⎰⎰⎰⎰⎰F

4．设()δt 为单位脉冲函数，则

2()cos ()3

πδ+∞

-∞

+=⎰

t t dt 1

4

221()cos ()cos ()334t t dt ππδ+∞-∞⎛⎫+== ⎪⎝

⎭⎰ 三、解答题

1．求下列定积分： (可用《高等数学》的方法做)

1

(1)

sin az

e

bzdz ⎰ 1

(2)

cos az

e

bzdz ⎰

1

()1

1

1

()0000

2222

22

10

1(cos sin )((cos sin )1)()cos sin 1sin cos (cos sin )(co a ib z a ib az az ibz a ib z

a a a a a az

ax

e e e bz i bz dz e e dz e dz a ib

a ib

e b i b a ib ae b be b ae b be b b i a b a b a b I e bz i bz dz e +++-+====

+++-+--+-==++++=+=⎰⎰⎰⎰在原积分中，由于被积函数解析，则

11

1

1

s sin ),

cos Re ;sin Im ax ibx az

az bx i bx dx e e dx e bzdz I e bzdz I

+===⎰⎰⎰⎰从而 2．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ

≤≤⎧=⎨⎩

其他的Fourier 变换。

(1)

[()]()=Ai i t

i t

A e f t f t e

dt Ae

dt i τ

ωωωω

∞

----∞

-=

=⎰

⎰F

3．求下列函数的Fourier 积分： ,||1

(1)()0,||1

t t f t t ≤⎧=⎨>⎩，

解法一：

1

1

1

2

2

2

1()()=1112sin (cos )11

2sin ()()(cos )2212sin (cos )(cos sin )22sin sin cos sin i t

i t i t

i i i t

i t F f t e

dt te dt

i t

i i i

e e e i

f t F e d e d i

t i t d t t

ωωωωωωωωωω

ω

ω

ωωωωω

ω

ω

ωωωω

ππω

ω

ω

ωωωω

π

ω

ω

ωωωωωπ∞---∞

----∞

∞

-∞

-∞

∞

-∞

=++-==

-

=

-=

=-

=-

+-=

⎰

⎰⎰⎰⎰；

2

d ω

ω

∞⎰

解法二：由于f(t)为奇函数，故由课本P12页的(1.12)式可知，

1

0000

11

1

000001

0022()()sin sin sin sin 2121cos sin cos cos sin 21sin 21sin cos sin cos f t f d td d td d td d td td τωττωωτωττωω

ππτωτωωτωτωττωωπωπωωτωωωωωπωωπωω∞∞∞∞∞∞

⎡⎤⎡

⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤--=⋅=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎡⎤--⎡⎤

=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣

⎦

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰02

sin 2sin cos sin td td ωωωωω

ωω

π

ω∞

∞

-=

⎰⎰