第11讲环和域

可以证明：如果n为合数，但不是Carmichael数，采用随机选取 2—n-2中的数进行测试，测试n为合数的概率至少为1/2. 但是这个 算法不能解决 Carmichael数的问题.
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素数判定
命题：如果 p是素数，则方程 x2≡1(mod p)
只有两个解±1。
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素数判定命题的证明
证明 x2(mod n)1 x2-10(modn) (x+1)(x-1)0(modn) x+10 或 x-10 （域中没有零因子） x=-1 或 x=1
符号说明：0, 1, -x, x-1, nx, xn, x-y, xy,-xy
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3Baidu Nhomakorabea
多项式环
系数属于实数的所有x的多项式所组成的集合记作 R[x],R[x]对于多项式的加法，乘法构成一个环(多项式 环)
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环的性质
定 理 10.14: 设 < R,+, *> 是 一 个 环 ， 则 对 任 意 的
<Z,+, *>非域 <Q,+, *>域 <Zp,+, *>有限域（p为素数）
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小结整环与域
加法
整环
• 封闭 • 可结合 • 有幺元 • 有逆元 • 可交换
域与整环同
乘法对加法有分配性
乘法
整环
• 封闭 • 可结合 • 有幺元 • 可交换 • 无零因子
域比整环多
• 除零元外都有逆元
a,b,c∈R,
有
(1)
a*0=0*a=0
(2) a* (-b)=(-a) *b=-(ab)
(3)
(-a)
*
(-b)=a*b
(4)
a*
(b-c)=a*b-a*c
(5)
(b-c)
*a=b*a-c*a
(6)a1, a2,…… an, b1, b2,…… bm, n,m>1


n
ai

3.运算*对运算＋可分配
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整环举例
<Z,+, *> 为整环 <2Z,+, *> 非整环，乘法没有单位元 <Zp,+, *> 为整环（p为素数） <P(S),⊕,∩>非整环，有零因子，A，A，A∩A＝φ
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9
整环的性质
性质1:整环<R,+,*>的无零因子条件等价于乘法 消 去 律 ， 即 对 于 c≠0 和 c*a=c*b 必 有 a=b. 证明： 若无零因子，并设c≠0和c*a=c*b 则 有 c*a － c*b ＝ c* (a-b)=0 ∴必有a-b=0即 a=b 若消去律成立，设a≠0，a*b=0则 a*b＝a*0, 即b=0
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有限域
有限的整环都是域. 有限域的特征
F为有限域，1在<F,+>中的阶为域F的特征.
Zp的特征为p. 设F为有限域，则存在素数p使得|F|=pn,
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Fermat定理
Fermat定理：如果p是素数，a是正整数，p不能整除a， 那么，ap-1≡1(mod p)
考虑有限域(Zp,+,*)，| Zp* |=p-1
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素数测试的随机算法
改进方法：
随机选取2--n-2中的数，进行测试. 例如取a=3，则 3340(mod 341) 56，341不是素数.
新问题：
Fermat小定理的条件只是必要条件，满足条件的可能是合数. 对 所有与n互素的正整数a，都满足上述条件的合数n称为Carmichael 数，如561，1105，1729，2465等. Carmichael数非常少，小于108 的只有255个.
第11讲环和域
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1
环
定义10.11:设<R,+, *>是一个代数系统 ，如果满足
( 1 ) < R,+> 为 阿 贝 尔 群
(2)
< R, *> 是 半 群
(3) *对＋是可分配的
则称<R,+, *>是环
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2
举例
数环Z,Q,R,C 关于普通数的加法与乘法 <Zn, ⊕, ⊗> <Mn(R), +, ⋅> <P(B), ⊕, ∩>
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10
问题
p,q为不等的素数，是否存在pq阶的整环？
证：假设R为pq阶的整环， 则<R,+>为pq阶的Abel群. 存在p阶元a，q阶元b. 所以 |a+b|=pq, <R,+>为循环群， 令c=a+b为生成元. R={0,c,2c, …, (pq-1)c} 取x=pc, y=qc, 则 xy=(pc)(qc) = pqc2 =0 x,y为零因子. 矛盾.
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11
域
定 义 10.12:<R,+, *> 为 代 数 系 统 ， 若 满 足 ： ( 1 ) < R,+> 为 阿 贝 尔 群 ( 2 ) < R\{0},*> 为 阿 贝 尔 群 (3)运算*对运算+可分配
则称<R,+, *>为域 <Q,+, *>域，但<Z,+, *>非域
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12
域举例

m
bj
n
m
aibj
i1 j1 i1 j1
其中，0为加法幺元，-a是a的加法逆元，
并将a+(-b)记为a-b
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5
交换环,含幺环,无零因子环
定义10.12: 设<R,+,*>是环，
如果<R,*>是可交换的，则称<R,+,*>是交换环. 如果<R,*>含有幺元，则称<R,＋,*>是含幺环. 无零因子环 ab=0 ⇒ a=0 或b=0
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14
域和整环
性质2 :域一定是整环 (只需验证无零因子性，即乘法消去律，显然)
每个非零元都有乘法逆元的整环称为域。
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15
有限整环必定是域
性 质 3: 有 限 整 环 必 定 是 域 (只需验证每个非零元都有乘法逆元，换言之只需证A-
{0}为群，∵有限半群只要满足消去律即可为群，显然)
<Zp,+, *>有限域（p为素数）
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18
素数测试算法
令a=2, 检测an-11(mod n)? 如果回答“是”，输出“素数”；否则输出“合
数”. 分析：
时间 T(n)=O(log3n) 问题：
该算法只对a=2进行测试, 如果n为合数且输出 为“素数”，则称n为基2伪素数. 例如341满足 上述条件，但是341是合数.
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6
实例
<P(S),⊕,∩> 作成环(且为含幺交换)
加法幺元为φ，乘法幺元为S，A的加法逆元为A
数环, < Zp,,> 为无零因子环当且仅当p 为素数.
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7
整环
定义10.12:无零因子的含幺交换环称为整环。
整环满足：
1. <R,+>为阿贝尔群 2. <R,*>是可交换含乘法单位元，且无零因子