二次根式的加减法
二次根式的加减法 Microsoft Word 文档
§7.2二次根式的加减法数学 学科 八 年级 下 册 诸城市辛兴初中 臧运建 学习目标：1、理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则2、会进行简单的二次根式的加减运算3、经历同类二次根式概念及加减法法则的发现过程，体验类比、猜想的思想方法。
课前延伸计算下列各式．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3 教学过程一、自主探究 计算下列各式．（先自主学习，然后小组合作交流） （1）3233-；（2）a a a 423+-．规律总结：与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与32-，a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为 ．归纳：是同类二次根式二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是 ．例1计算：(1)2454+(2)43932aa +二．合作探究（独立完成后小组合作交流并纠错）计算：54520290+-归纳二次根式的加减法则：三．应用提升（1）451227+-；（2）x x x916425-+．（3）)12)(12(-+； （4）)2)(2(b a b a -+四．谈一谈谈一谈本节课的收获和体会五．比一比（独立完成后组长批阅并指导纠错）当堂小测验1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）122，27；（2）50，83； ；（3）nmn m 2,2； （4）yxx y 2527,43． （5）ab 2，ab 83； （6）b a 23，227ab ．2．计算： （1）433332+-； （2）75335-．（3）245253-+-；（4）12273752+-；（5）2231872-+．3．计算：（1）)23)(23(-+；（2）)32)(32(-+a a ．六．课后拓展．已知二次根式12+a 与7是同类二次根式，试写出三个a 的可能取值．。
7.2二次根式的加减法
诸城市初中数学导学稿（八下）7.2二次根式的加减法学习目标：1.了解最简二次根式的概念，会识别同类二次根式。
2、会用二次根式加减运算法则进行计算。
重点：二次根式的加减运算。
难点：二次根式的化简及同类二次根式的判断方法.教学过程：【温故知新】（1）最简二次根式的概念（2）化简：3818（3）整式加减法的运算法则是什么？【探索新知】（一）自主学习1.同类二次根式的概念：2.判断下列二次根式是不是同类二次根式3818总结：判断同类二次根式的方法：（１）（２）3.尝试计算－２3+3+ 35.0x+x2总结（二次根式的加减运算法则）：（二）合作交流1.最简二次根式2a与8是同类二次根式，则a的值是（）Ａ.４Ｂ.６Ｃ.８Ｄ.１０2. 计算：（１）21322181238-+-+-； （２）)0,0(233>>-+-b a ab a b b a a b b a【巩固提升】(1)下列二次根式中，与32是同类二次根式的有（ ）271,50,54,48,3.0．A.1个B.2个C.3个D.4个(2)已知二次根式是同类二次根式，则的α值可以是（）. A.5 B.6 C.7 D.8（3）计算：318-+【课堂小结】【达标检测】1、下列计算正确的是（ ） A.752=+ B. 34372=+ C. 5225=- D. 24812==-2、 ）A ．B ．3-CD ．-3、计算：(1)x x x x 1324296-+； （2）（23-2)2.4.先化简，再求值：)6()3)(3(--+-a a a a ，其中215+=a【我的反思】。
二次根式的加减法(第二课时)
二次根式的加减法（第二课时）概述在数学中，二次根式是指以根号形式表示的含有平方根的表达式。
二次根式的加减法是对这样的表达式进行求和或求差的操作。
本文将介绍二次根式的加减法的基本概念和步骤，并通过一些例子来帮助读者理解和掌握这个重要的数学技巧。
二次根式的定义二次根式是形如√a或a√b的表达式，其中a和b是实数，且b大于0。
其中，a√b的形式称为含有系数的二次根式，√a的形式称为不含有系数的二次根式。
二次根式的加法二次根式的加法是指对两个二次根式进行求和的操作。
要执行二次根式的加法，需要满足以下两个条件：1.两个二次根式的根号下的数目和根号前的系数必须相同。
2.如果两个二次根式的根号前的系数不同，需要将它们化为相同的琍（即通分），再进行求和。
例子1我们以一个简单的例子来说明二次根式的加法：√3 + 2√3要求这两个根式的和，首先我们注意到根号下的数目都是3，根号前的系数分别是1和2。
由于这两个系数不同，我们需要将它们化为相同的分母。
这里我们可以将第一个根式的系数2改为2的平方，即2√3 = √12，然后再进行求和。
√3 + √12现在根号前的系数相同了，我们可以将根号下的数目相加。
√3 + √12 = 3√3所以，√3 + 2√3 = 3√3我们再来看一个复杂一些的例子：3√5 + 2√7 - √5对于这个表达式，我们首先注意到根号下的数目有两个5和7，根号前的系数分别是3、2和-1。
这里我们需要将这些根式化为相同的分母。
首先，将第一个根式和最后一个根式化为相同的表达式：3√5 - √5 = 2√5现在，我们重新整理一下表达式：2√5 + 2√7因为根号下的数目相同而且根号前的系数也相同，所以将它们相加即可：2√5 + 2√7 = 4√5 + 2√7所以，3√5 + 2√7 - √5 = 4√5 + 2√7二次根式的减法二次根式的减法是指对两个二次根式进行求差的操作。
要执行二次根式的减法，需要满足以下两个条件：1.两个二次根式的根号下的数目和根号前的系数必须相同。
二次根式的加减(知识讲解)-八年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)特别说明：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.特别说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：举一反三：【变式1a的值．【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)(2)2．【阅读材料】把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．．=【理解应用】(1) 化简： ∵∵ (2)2020++ 2020++【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1)3x x ≤【变式2【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算-+-+．3．计算：38|32|12举一反三：【变式1】计算：6-【变式2】计算：(1)(2) )011+类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算4．计算下列各式．(1)1)举一反三：．【变式1|1【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式2】计算：(1)1 (2))21+．类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值5．解答下列各题(1) 已知2x =，2y =．求22x xy y ++的值．(2) 若2y =，求y x 的平方根．【答案】(1) 19; (2) 3±.【分析】（1）分别求出22,,x y xy ，再代入到代数式求值即可；举一反三：【变式1】已知x =y 22205520x xy y ＋＋的值．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知3x =+3y =-(1) x y +=______；x y -=______；xy =______．(2) 根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子223x xy y x y -+--的值．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．类型五、二次根式➽➼应用6．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若0A B ->，则A B >；若0A B -=，则A B =；若0A B -<，则A B <；材料二：完全平方公式：（1）()2222a ab b a b ++=+；（2）()2222a ab b a b -+=-．(1)(2) 2912x x ++___________()2______2=+；(3) 试比较142x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()2y x y -的大小（写出相应的解答过程）． ）解：又32>(322-）解：根据题意，）解：4又()22x y -142x x y ⎛- ⎝【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】设一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，p =12（a +b +c ），则有下列面积公式：S S (1) 一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)任选以上一个公式求这个三角形的面积．解题的关键．【变式2】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为m，宽为1)m．(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为2元的地砖，5/m要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？答：购买地砖需要花费660元．【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．。
二次根式的加减说课稿
二次根式的加减说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次根式的加减法
＝２ ／ ＿ １、 ＿ ；
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（ ２ — ） ５ ６２ 俯
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点 进二根的减 拔 行 次 式加
运算时， 一定要正确地化简， 并注 ：
霉 二 根 的 ｊ 次 式 加目 Ｉ
二次 根式 的加减 实质就 是合 并 同类 二次 根式 ．
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二 次根式 ：
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时 间 消逝 ： 是 慰 藉 者 ， 是 镇 痛 剂 。— — 威 廉 ・ 克 雷 它 也 萨 １ ５
（ ） 个 二 次 根 式 是 否 同 类 ２几
二 次 根 式 ．只 与 被 开 方 数 及 根
指 数 有 关 ．而 与 根 号 外 的 因 式
无 关．
卞ｙ二次根式 中， ， ｊ 哪些是同类二次根式？
点 攮 判断 同类 二次 根式 ．
关 键 是 能 熟 练 准 确 地 化 二 次 根 式 为 最 简二 次 根 式 ．
回 回 减
注 意 （ ） 断几个 二 次 根 １判
式 是 否 为 同类 二 次 根 式 。 先 必 首
同类 二次根式 的定 义
几个 二次 根式化成 最 简二次 根式 以后 ， 如果 被开 方数相 同 ， 这
几个 二次 根式 叫做 同类二次 根式 ．
须 将 二 次 根 式 化 为 最 简 二 次 根 式 ， 看 被 开方 数 是 否 相 同． 再
17.5第2课时 二次根式的加减
学习课题17.5实数的运算第2课时二次根式的加减内容分析（复习课时才用）本节内容主要是理解同类二次根式的概念；能够正确进行简单的二次根式加减法的运算；利用二次根式加减法解决一些实际问题.二次根式的加减是中考的基本考点之一，主要以填空题、选择题为主，有时渗透在解答题中考查．本节重点是理解并掌握二次根式的加减法运算；难点是探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算；被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．本节常见的易混点是对同类二次根式的概念理解不清，将不是同类二次根式的式子合并，初学者往往忽略这一点，出现错误．本节常见的易错点是不能准确运用性质进行化简．学习目标1．理解同类二次根式的概念；2．能够正确进行简单的二次根式加减法的运算；3．利用二次根式加减法解决一些实际问题.学习重难点重点：理解并掌握二次根式的加减法运算难点： 1．探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算；2．被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．学习过程一．学习准备1.知识准备：①什么同类项？②二次根式的加、减运算步骤是．③的二次根式，叫做同类二次根式.④计算12＋48＝.2. 情绪准备：在二次根式的加、减运算中，怎样合并同类二次根式？答案：1.①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．②先化简后合并．③化简后被开方数相同④6 32.只把根号外面的因数相加减，被开方数和根指数不变.二．阅读感知本节内容安排了三个层次：1．同类二次根式由问题你能计算出5x2y－3xy2－4xy2－3xy2吗？引导学生回忆整式加减运算的步骤，启发学生思维，用类比的思想，进一步提出①什么叫做同类二次根式？它有哪两个必要条件？让学生展开联想，引导学生从具体的问题入手，概括出同类二次根式的概念及主意事项．出示联系题，让学生做判断，以达到理解概念，巩固新知的目的．2．最简二次根式：提出问题你们怎样计算下列各式呢？，激发学生的学习热情，让学生自己探究、交流，在计算的过程中寻求解决问题的方法，找出“二次根式的被开方数相同是可以合并的”的规律，从而得出最简二次根式的概念．3．二次根式的加减：由两个问题如何合并二次根式呢？对二次根式的加减运算，应按怎样的步骤进行呢？展开探究，在学生掌握同类二次根式的概念基础上，师生共同归纳出，二次根式的加减法则，在计算的过程中，教师要适时地点拨，二次根式的混合运算方法和顺序，从而为学生更好地掌握本课时的重点知识点打好基础．三．合作探究1．同类二次根式：我们学习了整式的加减运算，你能计算出5x 2y －3xy 2－4xy 2－3xy 2吗？上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减． 学生自主完成后，让学生说出解题过程．①什么叫做同类二次根式？它有哪两个必要条件？通过引导，让学生与同类项进行类比、联想、讨论、交流，概括出同类二次根式的概念．(1)被开方数相同；(2)二次根式不能再化简；(3)根指数都是2；(4)与二次根式的系数无关．它有哪两个必要条件：（1）它们都是最简二次根式；（2）它们的被开方数必须完全相同．②下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（1）33； （2）a 1； （3）77-； （4）2a ； （5）985a ； （6）23b a 。
二次根式的加减
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求 的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考： 观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练
人教版数学八年级下 16.3 二次根式的加减
更多同类练习见《教材帮》
数学RJ八下16.3节作业帮
2.计算：（1）( 12 + 5 8) × 3 .（2）(5 3 + 2 5)2 .
解：（1）原式= 2 3 + 10 2 × 3
=2 3 × 3+10 2 × 3
=6+10 6.
（2）原式= (5 3)2 +2 × 5 3 × 2 5 + (2 5)2
16.3 二次根式的加减
课时1
初中数学
八年级下册 RJ
知识回顾
最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做
最简二次根式.
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 .
二次根式化成最简二次根式的
1.分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方
数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的
B选项 63 2 = ab 6.
C选项
2
3
=
2× 3
3× 3
=
6
.
3
C. 3
D.
2
3
将下列二次根式化成最简二次根式：
0.5 =
1
1
= =
2
2
2
2
= .
2× 2
2
当小数无法开方时，
将它转化为分数.
83 = 42 ⋅ 2= 42 · 2= 2a 2.
44 =
8dm2 和 18dm2 的正方形木板？
7.5dm
面 积 为 8dm2 和
18dm2的正方形的
5dm
边 长 分别 是 多少 ？
8dm2
18dm2
解：因为 8 = 2 2 ， 18 = 3 2 ，
(完整版)二次根式的加减法
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。
人教版八年级数学下册教学课件-16.3二次根式的加减
达标检测
1.二 次 根 式 2a - 4与 2可 以 合 并 ， 那 么a的 值 ∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
可 以 为 （B ） （2）化简后被开方式不相同的不能合并，只能用+
（2）化简后被开方式不相同的不能合并，只能用+ 1、二次根式加减法运算法则
二次根式的加减运算法则
的二相次同根式分别
。 合并
注意:合并的实质是对被开方式相同的二次 根式的系数进行合并,即把根号外系数相加减,根
指数和被开方数不变。
梳理
二次根式加减法运算步骤
（1）将每个二次根式化为最简二次根；一化 （2）合并被开方数相同的二次根式。 二合并
注意： 化简后被开方式不相同的不能合并，只能用+或-号连接 在一起。
3.细心算一算
(1)( 8 2 0.25) ( 11 50 2 72)
8
3
(2)( 80 14) ( 31 4 45)
5
55
(3)2a 3ab2 (b 27a3 2ab 3 a)
6
4
拓展提升
如 果a, b都 是 有 理 数 ， 且a 2b 5 7 (a b) 5, 求a, b的 值 。
试一试
判断下列计算是否正确？ 如有错误，说出错误 原因并改正。
(1) 8 2 2
22 3 5 2 7 5 X
2 3与5 2被开放式不相同, 所以不能合并。
例1计算下列各题：
(1) 54 24
(2) 1 18 3 8
2
9
(3) 90 2 20 5 4 5
解：
4 (1) 54 24 (3) 90 2 20 5
也就是被开方数是整数或整式；
九年级数学二次根式的加减3
8
75
18 32
50
Байду номын сангаас1 12
45
1 2
你可要细心吆!
1、两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 +3x=5x(吨) 列火车共运多少？2x _______________ 2、两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 列火车共运多少？_______________ (2x +3y)吨 以下问题你能用同样的方法计算吗？
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
错在没有 按照二次根式 加减混算从左 向右依次进行 的运算顺序计 算。
3 2 ( 2) 72 18 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 9 2 2
运算不完 全，能合并的 没有合并。
初中数学九年级上册 （苏科版）
3.3.1 二次根式的加减
如图，学校要砌一个正方形花坛， 已知外边的正方形边长为 2 2 cm，里面 的正方形的边长为 2cm，两个正方形的 周长和为多少？ 两个正方形的周长和为： 2 2
2
4(2 2 2 ) 8 2 4 2
若两个正方形的面积分别为 27cm2、12cm2，则两正方形的周 长和为多少？ 两个正方形的周长和为：
15 2 2
练一练:
计算:
(1) 50 32 ( 2) 27 2 3 45
巩固练习
计算: (1)5 2
( 2 )3 40 (3) 12 ( 4 )2 12 4 8 7 18 2 1 2 5 10 1 3 1 27
1 3 48 27
拓展与延伸：
15
2 8 7 18
4 2 8 2
二次根式的加减法
（2）请你举出几个同类二次根式的例子
二次根式的加减的一般步骤：
• （1）先将二次根式化成最简二次根式 • （2）找同类二次根式 • （3）合并同类二次根式．
三、新知应用
四、总结归纳:
这节课你有哪些收获？
五、课堂反馈
3.现有一块长7.5m、宽5 m的木板，能否采 用如图所示的方式，在这块木板上截出两个 面积分别是8 m2和18 m2的正方形木板？
北京市义务教育教科书 八年级上册
11.7 二次根的加减法(1)
北京市房山区良乡六中 主讲人：高荣涛
一、问题引入
有两块面积分别是12 m2和3 m2 的正方形土地， 现在开垦成菜园，需要四面都围上栅栏，你 能帮老师计算一下共需要多长的栅栏吗?
同类二次根式
几个二次根式分别化成最简 二次根式以后，如果被开方数相 同，就把这几个二次根式叫做同 类二次根式
7.5m
8 18和7.5如何比大小？
8 18 ?
5m
18m
8m
8 18 m
二次根式加减法运算法则
二次根式加减法运算法则
二次根式加减法运算法则是将两个二次根式进行加减运算的方法。
1. 相加减分解法：如果两个二次根式的根指数和根号内的表达式完全相同，那么可以直接将它们的系数相加减即可，根指数和根号内的表达式保持不变。
例如：√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 0
2. 合并同类项法：如果两个二次根式的根号内的表达式相同，但是根指数不同，可以将它们的系数相加减，并将根号内的表达式保持不变。
例如：2√2 + 3√2 = 5√2，4√5 - 2√5 = 2√5
3. 有理化法：如果两个二次根式的根号内含有分母，可以通过有理化的方法将分母去掉，然后再按照相加减分解法或合并同类项法进行运算。
例如：(1/√2) + (√3/√2) = (√2 + √3)/(√2*√2) = (√2 + √3)/2，(1/√5) - (2/3√5) = (3 - 2√5)/(3√5)
需要注意的是，在进行二次根式加减法运算时，要先将根号内的表达式进行化简，然后再按照以上的运算法则进行运算。
二次根式的加减法
第11课 二次根式的加减法（1）一、目的要求：1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否同类二次根式。
2、使学生通过辨别同类二次根式，培养从特殊中找出一般、从个性中找出共性的对立统一观点。
二、内容分析：1、从科学思想方法上来说，分类和归类正好是对立统一的，相辅相成的种互逆的研究过程，在学习教学时、既要重视分类，也要重视归类，两者缺一不可。
例如，对于“项”这一研究对象，在我们分析了它的特点后，把“整式”这一概念按照项的多少进行了分类（即分为单项式和多项式）；反过来，又把“单项式”这一概念按照项中除系数外其余部分完全相同这一性质进行了归类（即归为同类项）。
对于“方程”这一研究对象，在我们分析了它垢特点后，把它分为有理方程、无理方程、超越方程等；反过来，又把形式上完全不同的方程2x=2，01=-x 等归为同解方程。
分类越细，我们对整体的结构就越清晰；归类越明确，我们对整体中部分的认识就越深入。
例如，经过归类，我们知道同类项可以相加减；“同解”是一种等价关系，因而具有自反性、对称性和传递性等等。
2、在二次根式的四则运算中，加法与减法要在同类二次根式的概念引入后进行，而同类二次根式的概念是以最简二次根式的概念为基础的，这就是说，学习最简二次根式与同类二次根式，是学习二次根式的加减运算的必要准备。
由此可见，先学二次根式的乘除，后学二次根式的加减，这是有原因的。
3、同类二次根式的概念中，最关键的是“被开方数相同”这六个字，根据这六个字，5353与⋅52531与等等，都不是同类二次根式，这是因为在53⋅中，有两具被开方数，而在53中，只有一个被开方数；同理，在52531与中的个数也不同。
另外，“化成最简二次根式以后”这十字也是很重要的，由上所述，由上所述，我们可以体会到上一课中我们强调把二次根式化成最简二次根式时，应该注意分母有理化的道理，如果不强调这一点，那么在a a a )231(231+=+ a a a a a 2332353231+=+⋅=+ 这两个运算式子中，就不知道该以哪一个式子为标准解答了。
人教版数学八年级下册：(二次根式)二次根式的加减法(教案)
第十六章二次根式16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减法【知识与技能】会进行二次根式的加减运算，利用二次根式的加减法解决生活实际问题.【过程与方法】经历由实际问题引入数学问题的过程，提高学生的抽象概括能力，进而掌握二次根式的加减运算方法.【情感态度】培养学生认真观察、思考的习惯，锻炼严谨细致、一丝不苟的科学精神.【教学重点】二次根式的加减法运算方法.【教学难点】二次根式的加减法的实际应用.一、情境导入,初步认识问题现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？【教学说明】可借助多媒体（或幻灯片）展示木板，尝试截取两个正方形木块，并引导学生思考.解决问题的关键在哪里？如何解决？激发学生的学习兴趣和求知欲望.二、思考探究，获取新知让学生相互讨论，共同探究，寻求解决问题的方案.与此同时，教师可设置如下问题帮助学生进行理解和分析：1.两个正方形木块的边长分别是多少？2.最大正方形木板的边长与原长方形木板的宽5dm的大小如何？3.两个正方形木板的边长之和与长方形木板的长7.5dm的大小关系如何？你认为用什么办法来得出结论的？4.谈谈你获得结论的过程中的想法，你有哪些新的认识？在学生充分交流，初步形成认知后，师生共同探讨：上述实际问题中，实质是求8与18这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：【教学说明】本环节教师要放手让学生自主探究，自主发现问题，并尝试解决问题，并能总结规律，形成认知.同时，教师应关注学生的完成情况，能否正确进行二次根式的化简，能否运用分配律将二次根式合并.【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.三、典例精析，掌握新知【教学说明】以上两例，应让学生先独立完成，并分别选派两名中等成绩同学上黑板进行演算.教师巡视，了解全班学生的掌握情况，并对有困难的同学及时予以点拨，帮助他们加深对新知的理解.最后，师生共同评析黑板上的作业，教师还可适时将巡视中发现的问题展示给全班同学，达到理解新知的目的.例3 如图，实验中学计划在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池，设计者需要考虑有关的周长，如果小喷水池的面积为8m2，花坛的绿化面积为10m2,则花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？分析：利用正方形的面积公式求出边长，再根据周长公式即可得解..【教学说明】本例展示了二次根式的加减在实际问题中的应用，在实际教学过程中，教师应引导学生进行合理分析，理清解题思路与步骤，再让学生自主完成解答过程.最后教师可以给出示范性解题过程，也可以用幻灯片展示学生的优秀作业及有代表性问题作业，让学生通过观察与反思，加深对知识的理解.四、运用新知，深化理解1.下列计算是否正确？为什么？5.先化简，再求值：【教学说明】学生自主完成上面前3个题，教师巡视，后两个题稍难，教师适当予以点拨.【答案】1.（1）不正确，两边不相等；（2）不正确，两边不相等；（3）正确.2.①和④；五、师生互动，课堂小结师生共同回顾本节主要知识点及需要注意的问题.（1）知识要点：二次根式加减的一般思路,①不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；②相同的二次根式一定要进行合并.（2）需注意的问题：①应能将化简的二次根式化简后再进行计算，不要出现8-2是最后结果的类似错误；②相同的二次根式合并时，只需把它们的系数相加减，根式不变，不相同的二次根式不能进行加减，防止出现35-22=（3-2）（5-2）=5-2的错误.1.布置作业：从教材“习题16.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则.2.三个例题，旨在帮助学生理解二次根式的加减运算.尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神，此外，例3还展示了二次根式的加减在实际问题中的应用.。
2.74二次根式的加减法
探究
下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √
(2) 12与 18 ×
2ab 2 (4) 与 ab × 3 3
(3) a b与2 b √
2
1 √ (5) a 与 a
3
如何判断
梳理
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法： 1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。 2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
2 1
C、2 D、
A、-2
3、化简：
2 2
20 5 1 12 3 5
巩固练习
计算: (1)5 2
( 2 )3 40 (3) 12 ( 4 )2 12 4 8 7 18 2 1 2 5 10 1 3 1 27
1 3 48 27
2 2
2
• 1、已知外边的正方形边长为 2 2 cm， 里面的正方形的边长为 2 cm，两个正 方形的周长和为 ；
2、有一个三角形,它的 两边长分别为 20和 80 ，如果 该三角形的周长为 9 5 ,那么第三边 ；
观察
以下是什么运算？如何计算？
4(2 2 2 ) 8 2 4 2
9 5 20 80
复习回顾
最简二次根式：
满足下列条件的二次根式叫最简二次根式 1.被开方数是 整数或整式； 2.被开方数 不含开得尽方的因数或因式。
分母有理化
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过 程叫做分母有理化。
积的算术平方根 积
算术平方根的
ab ห้องสมุดไป่ตู้ a b
(a≥0,b≥0)
a b ab
算术平方根的
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二次根式的加减法
一、知识概述
1、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．
2、二次根式的加减法法则
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；
(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．
3、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；
(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．
二、重难点知识
1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．
2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．
三、典型例题讲解
例1、计算：
．
分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．
解：
．例2、计算：
分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．
总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．
例3、计算下列各题：
．
思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．
例4、计算下列各题
．解：
例5、化简：
总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样
则为1，继续运算可避免错误．
例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．
分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．
解：，于是
即a＋b=3
∴a=2，b=1或a=1，b=2，
故x=222，y=888或x=888，y=222．
∴x＋y=1110，
总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．
课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．
思路分析：
由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．
解：原等式两边分别乘以，得
两式相加得，
所以．
A 卷
一、选择题
1、下列计算结果正确的是( )
A．B．
C．D．
2、下列计算正确的是( )
A．
B．
C．
D．
3、下列各式化简结果不正确的是（）
A．B．C．D．
4、下列计算正确的是（）
A．B．
C．D．
5、计算等于（）
A．·1 B．3
C．D．
6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）
A．A B．B
C．A、B的中点D．不能确定
B 卷
二、填空题
7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．
8、若成立，则xy的值为______．
9、若，则______．
10、已知正数a、b，有下列结论：
(1)若a=1，b=1，则；
(2)若，则；
(3)若a=2，b=3，则；
(4)若a=1，b=5，则．
根据以上几个命题提供的信息，请猜想：
若a=6，b=7，则______．
三、解答题
11、计算或化简下列各题：
12、计算：
13、已知，求代数式的值．
14、计算．
[
15、先观察下列等式，再回答问题：
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．
一．选择题DDCBDB
二．填空题
7、△ABC的周长大于6且小于10．
8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．
9、．
10、=13．
三．解答题
11.
12.
13.
.
14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为
（2）换元法：设，
两边同时平方得
，
所以x2=10，又因为x＞0，
所以，
即．15.。