排队问题的提出排队论基本概念到达间隔分布和服务时间
排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
排队论
f ( w n 1)
n！
e w
w0
f ( w ) Pn f ( w n 1) n0 ( w ) n w (1 ) n e ( )e ( ) w n0 n！
熊燕华
6.
忙期和闲期
系统忙的概率为ρ ，则闲的概率为1-ρ 。可以 认为在一段时间内，忙期和闲期的长度比为 ρ :(1-ρ ) 由于顾客到达间隔服从无记忆性的负指数分布， 且与服务时间无关。闲期I（系统从空闲开始到新 的顾客到达时刻）服从参数为λ 的负指数分布，则 E[I]=1/λ E[B]= ρ/(1-ρ) E[I]=1/(μ-λ )=Ws
熊燕华
L S n Pn
n0
1
Little公式
Ls=Lq+λ/μ Ws=Wq+1/μ
L q (n 1) Pn n 1
Ws=E(W)=1/(μ-λ) Wq=Ws－1/μ=ρ/(μ-λ)
Ws=Ls/λ
Wq=Lq/λ
熊燕华
定理： 对于存在平稳分布的任何排队系统，下列 关系成立：
熊燕华
七、随机过程知识准备
系统的状态
系统中的顾客数，即如果系统中有n个顾客即说系统 状态为n。在平稳过程中，在时刻t、系统状态为n的概率 Pn(t)是不变的，即Pn(t) ＝Pn是不随时间变化的统计平衡 状态解。
注：本章研究的均为平稳过程，即输入、输出过程 的概率分布、参数均不随时间变化，与所选取的时
第八章 排队论
基本概念 单服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 多服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 其他排队模型 经济分析
熊燕华
运筹学-排队论
（接受服务）
5
二、排队系统的组成和特征
1、输入过程
输入即指顾客到达排队系统，可能有以下不同情况。
（1）顾客源的组成
有限的 无限的
（2）顾客到来的方式
一个一个的 成批的
（3）顾客相继到达的间隔时间
确定型的 随机型的
（4）顾客的到来
相互独立的 关联的
（5）输入过程
平稳的，或称对时间是齐次的 非平稳的
6
14
9、其他常用数量指标
s —— 系统中并联服务台的数目；
—— 平均到达率；
1/
—— 平均到达间隔。
—— 平均服务率；
1/ —— 平均服务时间。
—— 服务强度，
每个服务台单位时间内的平均服务时间；
一般有 s ；当s=1时：
15
对于损失制和混合制的排队系统，顾客在到达服务系统时， 若系统容量已满，则自行消失。这就是说，到达的顾客不 一定全部进入系统，为此引入：
例如：某排队问题为
M / M / s / ∞ / ∞ /FCFS
则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；服务时 间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统等待空间容量无 限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。 可简记为： M / M / s
12
四、排队系统的参数(分析结果)
1、队长（Ls） 指在系统中的顾客数,期望值 2、排队长（Lq） 指系统中排队等候服务的顾客数
13
5、忙期 指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空 闲止 这段时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。 6、系统的状态n：指系统中的顾客数。 7、系统状态的概率Pn(t)：指时刻t、系统状态为n的概率。 一般为关于t的微分方程、关于n的差分方程。 8、稳定状态：t→时，t=0时的系统不稳定状态将消失， 系统的状态概率分布不再随时间变化，即 limPn(t)→Pn。
第5章排队系统讲解
Y表示服务时间的分布； Z表示并列的服务设备的数目。 表示相继到达间隔时间和服务时间分布的典型符号有：
M——负指数分布（M是Markov的字头） D——确定性（Deterministic） Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布 GI——一般相互独立（General Independent）的随
第5章 排队系统的建模与仿真
本章重点和难点
排队论概念 排队论仿真
排队是我们日常生活中常见的现象。 如：顾客到商店买东西、病人到医院看病
提高质量——减少被服务对象等待时间 平衡
降低成本——保证设备利用率前提下减少设备的投 入。
5.1 排队论的基本概念
5.1.1排队系统的组成 一般的排队系统都有三个基本组成部分：
(1)到达模式 指动态实体(顾客)按怎样的规律到达 常假定顾客总体是无限的。
(2)服务机构 指同一时刻有多少服务设备可以接纳动态 实体，它们的服务需要多少时间。它也具有一定的分 布特性。通常，假定系统的容量(包括正在服务的人数 加上在等待线等待的人数)是无限的。
(3)排队规则 指对下一个实体服务的选择原则。通用的 排队规则包括先进先出(FIFO)，后进先出(LIFO)，随 机服务(SIRO)等。
记此概率为Vk (t)；
(2)无后效性 不相交区间内到达的顾客数是相互 独立的；
(3)普通性 令Ψ(t)为时间t内至少有两个顾客到达 的概率，则
(4)有限性 任意有限区间内到达有限个顾客的概 率之和为l，即
对于这种到达分布，在时间t内到达k个顾客的概率 Vk(t)遵从泊松分布，即
函数相为继负顾指客数到分达布间隔ti是相互独立相同分布的，其分布
排队论方法讲解
M－负指数分布 D－确定型分布 Ek k阶爱尔朗分布 － 阶爱尔朗分布
GI －一般相互独立的时间间隔分布 G －一般服务时间的分布
如 D/M/10/1000/∞ / F
排 队 论 方 法 讲 解
1.3 排队系统的运行指标
⑴ Ls： 队长 －系统中顾客数的期望 ： ⑵ Lq： ： 排队长 －系统中等待服务的顾客数 Ln： ：正在接受服务的顾客数 Ls=Lq+Ln ⑶ Ws：逗留时间 ：
排 队 论 方 法 讲 解
(3)普通性： 普通性： 普通性
内有2个或 对于充分小的△t，在[t,t+△t]内有 个或 ， 内有 多个顾客到达的概率极小,可以忽略不 多个顾客到达的概率极小 可以忽略不 计,即 ∞ 即
∑ P (t , t + ∆t ) = o(∆t )
n=2 n
下面研究系统状态为n的概率分布：
= 1 − λ∆t − o(∆t )
P0 ( t , t + ∆ t ) = 1 − P1 ( t , t + ∆ t ) − ∑ Pn ( t , t + ∆ t )
n=2
∞
分为[0,t)和[t,t+△t), 将[0,t+△t)分为 分为 和 则在时间段[0,t+△t)内到达 个顾客的 内到达n个顾客的 则在时间段 内到达 概率为
n
由上结果可知,在长度为 的时间段内到达 由上结果可知 在长度为t的时间段内到达 在长度为 n个顾客的概率 服从泊松分布 个顾客的概率,服从泊松分布 个顾客的概率 服从泊松分布. 其中期望、 其中期望、方差为 E[ N (t )] = D[ N (t )] = λt
排 队 论 方 法 讲 解
1.5.2 负指数分布
运筹学排队论2
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
顾客到达排队系统的过程
19
2019年9月27日
1、Poisson分布
系统状态为 n 的概率分布:
如果取时间段的初始时间为 t 0 ，则可记 Pn (0,t) Pn (t)， 在[t,t t) 内，由于
Pn (t,t t) P0 (t,t t) P1(t,t t) Pn (t,t t) 1
n0
n2
故在[t,t t) 内没有顾客到达的概率为
P0 (t,t t) 1 P1(t,t t) Pn (t,t t) 1 t o(t) n2
20
2019年9月27日
1、Poisson分布
将[0,t t) 分为[0,t) 和[t,t t) ，则在[0,t t) 内到 达 n 个顾客的概率:
2、排队系统的组成与特征
（1）输入过程：主要有五条特征：
1）顾客总体(顾客源)的组成可能是有限的，也可 能是无限的； 2）顾客到来的方式可能是一个一个的，也可能是 成批的； 3）顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也 可以是随机的； 4）顾客的到达是相互独立的; 5）输入过程是平稳的，或称为对时间是齐次的， 即相继到达的时间间隔分布与时间无关。
Pn (t t) P{N (t t) N (0) n}
n
P{N (t t) N (t) k} P{N(t) N (0) n k} k 0 n
Pnk (t) Pk (t,t t) k 0
Pn (t)P0 (t,t t) Pn1(t)P1(t,t t) Pn2 (t)P2 (t,t t)
排队规则和服务规则：按怎样的规则和次序 接受服务。
4
2019年9月27日
轻松学运筹系列八-排队论
et
t> 0
f (t)
0
t0
=0.4
E(t) 1/ Var(t) 1/ 2
1/为平均到达间隔时间
k阶Erlang分布
定理 设v1，v2，…，vk是k个互相独立的，具有 相同参数的负指数分布随机变量，则随机变量
S=v1+v2+…+vk
服从k阶Erlang分布，S的密度函数为
返回
f (t) (t) k1 e t
❖ 排队系统的优化设计
排队规则、服务台数、服务时间 优化设计目标：成本最低、顾客优先、劳动负荷
优先等
排队系统的衡量指标
❖ 系统处于平稳状态（统计平衡状态）时的指标值 ❖ 反映系统状态的指标
λ—单位时间内平均到达的顾客数，1/ λ—顾客相继到达的平均间隔时间 μ—单位时间内平均服务的顾客数，1/ μ—顾客的平均服务时间 平均队长Ls—系统中的顾客总数； 平均排队长Lq—队列中的顾客数； ❖ 反映服务质量的指标
队列形式
多队多服务台
单队多服务台
领号
3
4
2
86
10
12
7
5 11 9
入口
...
队列 需要服务
服务台 服务完毕
返回
顾客源
排队论研究的基本问题
❖ 对排队系统进行优化设计。 ❖ 了解排队系统运行的基本特征
队长和排队长 等待时间和逗留时间 忙期和闲期
❖ 对排队系统的顾客到达时间和服务时间的概 率分布进行统计推断
Pn (t t)
Pn (t)(1 t)(1 t) Pn1(t)t(1 t) Pn1(t)(1 t)t o(t)
Pn
(t
t) t
Pn
排队系统
X/Y/Z
其中， XEk—— k阶爱尔朗(Erlang)分布。 ——表示相继到达间隔时间的分布； YGI —— 一般相互独立(General Independent)的随机分布。 ——表示服务时间的分布； ZG —— 一般(General)随机分布。 ——表示并列的服务设备的数目。
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.1 排队论的基本概念
排队模型的分类——例题
D/M/2
表示的是并行双服务机构的服务系统，客户到 客户到达系统的间隔时间为确定的定长分布 达的时间间隔符合定长分布，服务时间符合负 系统服务机构的服务时间为负指数分布 指数分布。 系统并行的服务机构数量为2台（单队排队）
队列的度量
已知平均到达速率λ和平均服务速率μ,定义业务量强度u为
u
在某些场合下，到达的动态实体并不全都能够得到服务。 因此有必要区分实际到达速率λ’以及得到服务的到达速率λ。
此时的业务量强度u为
' u
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
合一般分布。 系统的服务机构数量为1台
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.2 到达时间间隔和服务时间分布 引
收集顾客到达的时间间隔 运用回归法等统计方法， 计算得到到达模式分布的理论值
言
收集服务的时间统计值 运用回归法等统计方法， 计算得到服务时间分布的理论值
排队系统概述
顾客到达
……
服务台
服务完成后离开
图二 单服务台服务过程
服务台1
顾客到达
……
服务台2
………
服务台S
服务完成后离开
图三 多服务台并联单个队列服务过程
……
服务台1
服务完成后离开
顾客到达
…… 服务台2
服务完成后离开
……
………
服务台S
服务完成后离开
图四 多服务台并联多个队列服务过程
顾客到达
…… 服务台1
…… 服务台S
（4）顾客的到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后顾客的到来没 有影响。在港口，前面船舶的到达时间对后面船舶的到达时间没有影响。
（二）排队规则。排队规则主要描述服务机构是否允许顾客排队、顾客 对排队长度、时间的容忍程度以及在排队队列中等待服务的顺序。常见 的排队规则有如下几种情况：
（1）损失制排队系统。这种排队系统的排队空间为零，即不允许排队，顾客到 达系统时，若所有服务台均被占用，则自动离去，并假定不再回来。 （2）等待制排队系统。当顾客到达时，如所有服务台均被占用且允许排队，则 该顾客将进入队列等待。对于等待制，为顾客进行服务的次序可以采用以下规 则： ① 先到先服务（FCFS）。按照到达先后次序排成队依次接受服务，是最常见的 服务规则； ② 后到先服务（LCFS）。后到达的顾客先先接受服务。如仓库中后到的零件、 材料由于堆放在最上面而先被领走就属于这种情况； ③ 优先权服务（PR）。按照重要性对到达的顾客进行分类，服务设施优先对重 要性级别高的顾客服务，级别相同的顾客则按照先到先服务原则。如银行服务 系统对VIP客户实施优先服务，普通顾客则按照先到先服务原则进行服务； ④ 随机服务（SIRO）。到达服务系统的顾客不成队伍，当服务设施有空时，随 机选取一名顾客进行服务，对每名等待的顾客来说，被选取的概率相等。如， 仓库中并排放置的零件，当有领单下达时，库管员是随机选取的。
第七章 排队论
第七章排队论Chapter 7Queuing Theory§7.1 排队的基本概念7.1.1 顾客、服务台、服务先举一些排队系统的例子。
排队的过程可表示为：队列服务台顾客到达进入队列接受服务顾客离去7.1.2 排队系统的分类7.1.2.1、按顾客到达的类型分类(1)按顾客源顾客的数量，可分为有限顾客源和无限顾客源；(2)按顾客到达的形式，可分为单个到达和成批到达；(3)按顾客相继到达的时间间隔分布，可分为定长分布和负指数分布；7.1.2.2、按排队规则分类(1)等待制：顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去；(2)损失制：到达的顾客有一部分未接受服务就离去；例如：*队列容量有限的系统。
设队列容量为L0，顾客到达时的队长为L。
若L<L0，则顾客进入队列等待服务，若L=L0，则顾客离去。
*顾客对等待时间具有不耐烦性的系统。
设最长等待时间是W0，某个顾客从进入队列后的等待时间为W。
若W<W0，顾客继续等待；若W=W0，则顾客脱离队列而离去。
7.2.1.3、按服务规则分类(1)先到先服务（FCFS，First Come First Serve）；(2)后到先服务（LCFS，Last Come First Serve）；(3)有优先权的服务（PR，Priority）(4)随机服务（SIRO，Service in Random Order）7.1.2.4、根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为(1)单服务台单队(2)多服务台单队(3)多队多服务台(4)多服务台串联服务7.1.3 排队论中常用的记号及各类排队系统的符号7.1.3.1、排队论中常用的记号n ––系统中的顾客数；λ––顾客到达的平均速率，即单位时间内平均到达的顾客数；μ––平均服务速率，即单位时间内服务完毕离去的顾客数；P n(t) ––时刻t系统中有n个顾客的概率；c ––服务台的个数；M ––顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布；D ––顾客相继到达的时间间隔服从定长分布；E k––顾客相继到达的时间间隔服从k阶Erlang分布。
排队论模型求解就医排队问题
逗留的患者的平均人数： Ls= 3人 患者的平均逗留时间： Ws=4小时 等待患者的平均人数： Lq=2.25人 患者的平均排队等待时间： Wq=3小时
由此可知，K个M/M/1模型中患者的平均排 队等待时间为3小时。
假设：各种特征的规定和假设与模型1相同，假定K 个服务台并联排列，各服务台独立工作，其平均服 务率相同，即μ1=μ2=…=μk=μ因此，该系统的平均 服务率为kμ。 1 P 1 1 k 在M/M/K模型中： ( ) ( )(
[1]吴希.医院门诊系统的排队过程模型[J].中国 医药导报,2007,4(25):131—132. [2]彭迎春,董斯彬,常文虎.运用排队论模型测量 医 院 门 诊 流 程 效 率 [J]. 中 华 医 院 管 理 杂 志,2005,21(12):806—809. [3]李军,徐玖.运筹学一非线性系统优化[M].北京: 科学出版社2003:42 —50. [4]钱颂迪.运筹学[M].清华大学出版社,2005. [5]唐应辉,唐小我.排队论——基础与分析技术[M] 科学出版社,2006.
模型1OR模型2？
假设：该诊疗室每天平均有6名患者前来，每人平 均服务时间为l小时，前来的患者按泊松分布到达， 服务时间服从指数分布，每天按8小时计。则平均 到达率=6／8=0.75人／小时，平均服务率=1人／小 时，服务强度=0.75／1=0.75 在M／M／1模型中：
即如果一个诊室内有数名医生应把病案放在门口排队由一名护士按次序送到空闲的医生处而不是把病案放在各个医生处排队
资源学院2010级本科生 朱南华诺娃 201011191012
排队论中三种典型的分布
排队论顾客到达时间的间隔分布和服务时间的分布（1）泊松分布（顾客到达数满足泊松分布）随机变量x （单位时间内顾客到达数），满足泊松分布：x~P(λ)，概率分布为：()!kP x k e k λλ-==注意：泊松分布中的λ，既是数学期望又是方差，即E(x)=D(X)= λ(单位时间内平均到达的顾客数)（2）负指数分布随机变量T （顾客相继到达时间间隔），满足负指数分布，即：~()()t T f t e λλ-=密度函数注意：E(T)=1/λ(为相继到达平均间隔时间),21D(T)λ=。
说明：顾客到达数满足泊松分布等价于顾客相继到达时间间隔满足负指数分布。
随机变量v （顾客相继离开的间隔时间），满足负指数分布，即：~()()t v f t e μμ-=密度函数注意：E(v)=1/μ(为相继离开平均间隔时间),D(v)= 1/μ2 。
（3）爱尔朗分布设k 个顾客到达系统的时间间隔序列为：v1 ， v2 ,…, vk ，（为相互独立的随机变量），且都服从参数为kλ的负指数分布，即：k),...,2,1(i e k ~ vi k -=λλ 则随机变量Tk I=1iT v =∑服从k 阶爱尔朗分布()()()()()()()121~0,01!111,,k k t k i i i k k t T f t e t k E v E T v D T k k λλλλλλλ--==>>-====∑ 说明1：K=1时，就是负指数分布。
说明2：假设系统中有串联的K 个服务台，每个服务台对顾客的服务时间相互独立，且服从参数为kμ的负指数分布，则一个顾客接受完k 个服务台服务所需的总时间T 就服从k 阶爱尔朗分布。
运筹学第8章排队论
第八章 排队论排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。
在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。
由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。
对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。
若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。
因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。
排队论是优化理论的重要分支。
排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。
第一节 排队论的基本概念及所研究的问题一、基本概念（一）排队系统的组成一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。
1．输入过程输入过程指顾客按什么样的规律到达。
包括如下三个方面的内容：（1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。
顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。
如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。
（2）顾客到达的类型 指顾客的到达是单个的还是成批的；（3）顾客相继到达的时间间隔分布 即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；2．排队规则排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。
（1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。
这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。
（2）等待制 当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。
在等待制中，又可按顾客顾客达到排队系统 图8—1服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。
排队论简要知识
如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无 限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等 待制系统。
二，排队系统的主要数量指标
描述一个排队系统运行状况的主要数 量指标有：
1．队长和排队长(队列长) 队长是指系统中的顾客数(排队等待的 顾客数与正在接受服务的顾客数之和)； 排队长是指系统中正在排队等待服务的 顾客数。队长和排队长一般都是随机变 量。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
2．服务规则
(3)混合制 这是等待制与损失制相结合的一
种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许 队列无限长下去。具体说来，大致有三种： 1)队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过 规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服 务，即系统的等待空间是有限的。 2)等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间 不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时， 顾客将自动离去，并不再回来。 3)逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。
各种形式的排队系统
随机服务系统
排队论所要研究解决的问题
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务 设施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出 就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太 少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客 会带来不良影响。如何做到既保证一定的服务质 量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解 决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾， 就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决 的问题。
排队论(讲稿)PPT课件
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
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1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
到达间隔的分布和服务时间的
到达间隔的分布和服务时间的一、背景介绍在排队论中，到达间隔的分布和服务时间是非常重要的概念。
它们决定了队列系统的性能和稳定性。
到达间隔的分布描述了顾客到达队列的时间间隔的概率分布，而服务时间则描述了每个顾客在队列中接受服务的时间长度。
二、到达间隔的分布到达间隔的分布是指顾客到达队列的时间间隔的概率分布。
在排队论中，常见的到达间隔分布包括泊松分布、指数分布和常数到达间隔分布。
2.1 泊松分布泊松分布是一种常用的描述到达间隔的分布，它适用于一些独立的随机事件发生的概率问题。
泊松分布的概率质量函数为：P(k;λ) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内随机事件平均发生的次数，k表示随机事件发生的次数。
2.2 指数分布指数分布是一种连续概率分布，它常用于描述到达时间间隔的分布。
指数分布的概率密度函数为：f(x;λ) = λ * e^(-λx)其中，λ表示到达率，x表示时间。
2.3 常数到达间隔分布常数到达间隔分布是一种特殊的分布，它假设每个顾客到达的时间间隔相同。
在实际应用中，常数到达间隔分布并不常见，但在一些理论推导中可以作为简化的假设。
三、服务时间服务时间是指每个顾客在队列中接受服务的时间长度。
服务时间分布的选择会直接影响到队列系统的性能和稳定性。
在排队论中，常见的服务时间分布包括指数分布、正态分布和均匀分布。
3.1 指数分布指数分布在服务时间分布中经常被使用，其概率密度函数为：f(x;λ) = λ * e^(-λx)其中，λ表示服务速率，x表示时间。
3.2 正态分布正态分布（也称为高斯分布）是一种常见的连续概率分布，其形状呈钟形曲线。
在服务时间的分布中，正态分布可以用于描述服务时间的变化范围和概率密度。
3.3 均匀分布均匀分布是一种连续概率分布，其概率密度函数是常数。
在服务时间的分布中，均匀分布通常用于描述服务时间在一个区间内随机分布的情况。
四、总结到达间隔的分布和服务时间是排队论中的关键概念，对于队列系统的设计和分析具有重要意义。
运筹学—排队论
（queuing system）。
• 本质
– 研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率
问题。
• 总体目标
– 以最少的服务台满足最多的客户需求。
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2.2 排队系统的一般形式
• 排队可以是有形的队列，也可以是无
形的队列。排队可以是人，也可以是
物。
服务系统
顾客源
顾客到来
排队结构
服务规则
排队规则
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服
务
机
构
顾客离去
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3 .排队问题的特征
• 总体来源
• 排队纪律（服务顺序）
• 服务员数量（通道）
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3.1 总体来源
• 分析排队问题所用方法取决于潜在顾客
数量是否有限。
潜在顾客数量
无限顾客源
有限顾客源
例如：排队等候
公共汽车的乘客
人数
例如：公司只有
– 没事干的时候会让人觉得比有事干的时候要长。
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– 独自等待会让人觉得比大家一起等待要长。
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谢谢
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案例-2 医院排队系统
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形形色色的排队系统
系统类型
顾客
服务台
公路收费站
汽车
收费员
航班服务
人
飞机
出租车服务
人
出租车
电梯服务
人
电梯
消防部门
火灾
消防车
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（1）萌芽阶段 1909~1920年，丹麦数学家、电气工程师爱尔朗用概率论方法研究电话通话问
题，从而开创了这门应用数学学科，并为这门学科建立了许多基本原则。之后从事 排队论研究的先驱人物有法国数学家勃拉彻、前苏联数学家欣钦、瑞典数学家巴尔 姆等，他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。 20世纪30年代中期，当费勒引进了生灭过程时，排队论才被数学界承认是一门重要 的学科。
6.1.2 排队论在现代物流管理中的运用
排队论应用面很广，从开始的通信系统到存量问题和交通运输问题，从生产作 业到公共服务，再到计算机配置等，可以说是不胜枚举。这里仅列出与现代物流管理 有关的几个应用例子。
（1）交通运输系统 港口的码头是服务台，船只为顾客，码头的使用决定了港口的吞吐量，船只过久 等待进港造成罚款都是应当注意的问题。飞机跑道或者停机坪可以作为服务台，飞机 起降为顾客的服务要求，如何安排飞机班次便利旅客并使飞机起降有条不紊，是机场 调度的重要问题。铁路公路交通站可视作一个大服务台，服务系统上的队长为交通站 内旅客以及送行者的总人数，通过对人数变化的了解，可帮助设计者决定交通站建筑 的容量、旅客候车或候机室座位的多寡等。 （2）仓储配送服务 储存系统中存量的变化是随机行为，和排队论中的队列长度变化的随机行为有相 似之处。 （3）综合物流管理 在物流系统中排队的现象很多，如决策系统收发物流信息能力的强弱，服务网点 的布局与服务水平的高低，物流设施设备的多少与服务能力的大小，服务内容的多寡 与服务质量的好坏等等。 由此可见，排队问题不是一个简单的服务问题，它是一个管理问题。表面上的排 队问题背后，实际上隐藏着急待改善管理的“大文章”。
6.2.1.1 输入
输入描述的是顾客出现在排队系统中的方式，人们通常用某种带有任意参数和 适当简化假设的随机过程来表示它。输入过程又由如下一些元素构成：
（1）顾客总体 顾客总体可以是人，也可以是非生物。如靠泊的船只、提货的单证等。可以是一 个有限的集合，也可以是一个无限的集合，但只要顾客总体所包含的元素数量充分大， 就可以把顾客总体有限的情况近似看成是顾客总体无限的情况来处理。上游河水流入 水库可以认为顾客总体是无限的，而工厂里等待修理的机器设备显然是有限的顾客总 体。
（2）产生阶段 在第二次世界大战期间和第二次世界大战以后，排队论在运筹学这个新领域中 变成了一个重要的内容。20世纪50年代初，英国人堪道尔对排队论作了系统的研究， 他用嵌入马尔柯夫链方法研究排队论，使排队论得到了进一步的发展。是他首先 （1951年）用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。其中A表示顾客到达时间的 分布，B表示服务时间的分布，C表示服务机构中的服务台的个数。 排队论与存量理论、水库问题等的联系开始于20世纪50年代末到60年代初，这 期间 ，先后问世的重要著作有优先排队问题、网络队列问题。塔卡奇等人将组合方 法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。 60年代,排队论研究的课题日趋复杂，因而开始了近似法的探讨与队列上下限问 题的研究。在应用方面，排队论已经渗透到了生产系统和交通运输系统。 （3）发展阶段 70年代后，由于排队问题多呈网络出现，计算上的烦琐使得研究范围扩及到计 算方法上面，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，这成为研究现代 排队论的新趋势。排队论的发展、推广起自于实际应用的需要，同时由于近代计算 工具的精密、快速以及排队问题本身趋于复杂的倾向决定了排队论研究的方向。
6.1 排队问题的提出
6.1.1 排队论概述
排队论应用范围极广，排队论究竟包括什么内容是一件很难说清楚的事。简单 地说，排队论所讨论的是一个系统对某一群体提供某种服务时该群体占用此服务系统 时所呈现的状态。在界定排队问题中，必须交代清楚的事项包括：
（1）群体到达系统的情况； （2）系统对群体中各个分子提供服务时花去的时间的长短； （3）系统提供服务的先后次序。 到达系统的个体称作“顾客”，提供服务的系统可由一个或一个以上的“服务台” 组成，“服务时间”相当于顾客占用服务台的时间，而服务台对顾客们提供服务的次 序则称作“排队规则”。服务系统的状态通常是以顾客留在服务系统上的数量来表示， 这个数量称作“队列长度”(简称为“队长”)，有时也以顾客停留在系统上的时间表 示，这段时间称作“等待时间”。等待时间由两个部分组成，其一为顾客等候使用服 务台的“延误时间”；其二为占用服务台的时间，也即服务时间。由于排队论是讨论 有关顾客在服务系统上的活动情形，因而排队论有时也称为“随机服务系统”或称作 “拥挤理论”。 现代排队论起源于19世纪末20世纪初，二战后发展成为一门完整而丰富的理论学科。 学术界一般将其发展历程分为以下到达可能是单个发生，也可能是成批发生，但排队系统中总是假设 在同一时间点上只有一个顾客到达，同时到达的一批顾客只能看成是一个顾客。 （3）顾客到达的相关性 顾客到达可以是相互独立的，也可以是相关联的。所谓独立，即先前顾客的到 达对后续顾客的到达没有影响，否则就是相关的。 （4）顾客到达的时间间隔 顾客到达的时间间隔可以是确定的，也可以是随机的。如在流水线上装配的各
部件必须按确定的时间间隔到达装配点，定点运行的列车、班机的到达也都是确定 的，但物流配送等待的顾客、办理出关手续的顾客、通过路口的车辆的到达都是随 机的。对于随机的情形，我们必须了解单位时间的顾客到达数或相继到达的时间间 隔的概率分布。如定长分布、负指数分布等。
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6.2 排队论基本概念
6.2.1 排队系统构成要素
现实中排队现象虽然多种多样，但其排队过程基本是一致的。都包含了各个需 要服务的顾客由顾客源（总体）出发，到达服务机构（服务台、服务员）前排队等 候接受物流服务，服务完之后就离开这样一个过程。图6.1即排队过程的一般模型。 虚线包含的部分即排队系统。 图6.1物流排队系统构成示意从图中可以看出，一个排队系统由输入、队列、服务台 和输出四部分构成。