20052017年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题(教师版)(可编辑修改word版)

2 | y 0 |

2 m 2 -1⋅ | y | 0 m 2 -1

3 ⎪ ⎨ ⎪ + = 0 2 2

浙江高考历年真题之解析几何大题

（教师版）

1、（2005 年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F 1 , F 2 在 x 轴上，长轴 A 1 A 2 的长为 4，左准线l 与 x 轴的交点为 M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线l 1 ：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1 上的动点，使∠F 1PF 2 最大的点 P 记为 Q ，求点 Q 的坐标(用 m 表示)．

解析：(Ⅰ)设椭圆方程为 x a 2 + y 2

= 1(a > b > 0) ，半焦距为c ，

b 2

则 MA 1

= a 2 c

- a , A 1 F 1

= a - c

⎧ a 2

- a = 2(a - c )

c ，由题意, 得⎪

2a = 4

⎪a 2 = b 2 + c 2

⎪⎩ ∴ a = 2,b = 3, c = 1， 故椭圆方程为 x y

1.

4 3

(Ⅱ) 设 P (m , y 0 ),| m |> 1，当 y 0 > 0 时， ∠F 1PF 2 = 0 ；

当 y 0 ≠ 0 时， 0 < ∠F 2 PF 2 < ∠PF 1M < 2 ，∴只需求tan ∠F 2 PF 2 的最大值即可

设直线 PF 的斜率 k = y 0 ，直线 PF 的斜率 k = y

0 ，

1 1 m +1

2 2 m -1

∴tan ∠F 2PF 2 =

= 2 | y 0 | ≤ =

1 m

2 -1+ y 2

=| y 0 | 时， ∠F 1PF 2 最大，∴Q (m , ± m 2 -1)

,| m |> 1

x 2 2、（2006 年）如图，椭圆 a

2 + y 2 b

＝1（a ＞b ＞0）与过点 A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T ，

且椭圆的离心率 e=

。

2

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段 AF 2 的中点，求证：∠ATM=∠AF 1 T 。

k 2 - k 1 1+ k 1k 2 m 2

-1 2

2 6

⎨ ⎪ 2 1 y 解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 x

+ y = 1

2

⎧ x 2 因为由题意得 ⎪ a 2 + y 2

b 2 1 = 1 有惟一解， ⎪ y = - ⎩ 2

x + 1 即(b 2 + 1

a 2 )x 2 - a 2 x + a 2 - a 2

b 2 = 0 有惟一解,

4

所以∆ = a 2b 2 (a 2 + 4b 2 - 4) = 0(ab ≠ 0), 故 a 2 + 4b 2 - 4 =0

又因为 e = a 2 - b 2 3 ,即 = 2 a 2 4

， 所以 a 2 = 4b 2 2

2

1 x

2 2

从而得 a = 2,

b = , 2 故所求的椭圆方程为 2

+ 2 y = 1 6

6 6 6

（Ⅱ）由（Ⅰ）得c =

, 所以 2 F 1 (- 2 , 0), F 2 ( 2 , 0) ，从而 M （1+ 4 ，0） ⎧ x 2 + 由 ⎨ 2 y 2

1

= 1 ，解得

x 1 = x 2 = 1,

因此T = (1, ) 2

⎪ y = - ⎩ 2

x + 1

因为tan ∠AF 1T = 6

- 1，又tan ∠TAM 2 = 1

， tan ∠TMF = ，得 2 2

2 -

1

tan ∠ATM = 6

2 = 1 6 - 1，因此， ∠ATM 2

= ∠AF 1T 1 +

3、（2007 年）如图，直线 y = kx + b 与椭圆 x 2 + 2

4

= 1交于 A ，B 两点，记△AOB 的面积为 S ．

（I ） 求在 k = 0 ， 0 < b < 1 的条件下， S 的最大值； （II ） 当 AB = 2 ， S = 1 时，求直线 AB 的方程．

解析：（I ）设点 A 的坐标为(x 1，b ) ，点 B 的坐标为(x 2，b ) ．

3 6

1- b 2 ⎛ 1 ⎫2

⎛ 3 ⎫2

x + 2 ⎪ + y - 8 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭

1 6 6 6

x 2 2

由

+ y 4

= 1，解得 x 1,2 = ±2 所以 S = b | x - x |= 2b

≤ b 2 +1- b 2 = 1，当且仅当b =

2 时，．S 取到最大值 1．

2 1 2 2

⎧ y = kx + b ⎪

2 2 2

（Ⅱ）解：由⎨ x 2

⎪⎩ 4

y 2

= 1 得(4k +1)x + 8kbx + 4b - 4 = 0

∆ = 16(4k 2 - b 2 +1)

①

｜AB

| x - x |=

= 2

②

1 2

又因为 O 到 AB 的距离 d

= 2S = 1

| AB |

所以 b 2 = k 2 +1

③

③代入②并整理，得4k 4 - 4k 2 +1 = 0 ，解得， k 2 = 1 , b 2 = 3

，

2

2

代入①式检验，△＞0，故直线 AB 的方程是

y =

2

x + 或 y = 2 x - 或 y = - 2 x + 或 y = - 2 x - 6

． 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 5

4、（2008 年）已知曲线 C 是到点 P （ - , ）和到直线 y = - 2 8 8

距离相等的点的轨迹。

是过点 Q （-1，0）的直线，M 是 C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上， MA ⊥ l , MB ⊥ x

轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线 C 的方程；

（Ⅱ）求出直线l 的方程，使得

为常数。

解析：（Ⅰ）设 N (x ，y ) 为C 上的点，则| NP |= ，

N 到直线 y = - 5

的距离为 y + 8

．

= y +

．化简，得曲线C 的方程为 y =

1 (x

2 + x ) ．

2

（Ⅱ）解法一：

1- b 2

1+ k 2 16(4k 2 - b 2 +1) 1+ k 2

4k 2

+1

1+ k 2 QB

2 QA

5 8 ⎛ 1 ⎫2

⎛ 3 ⎫2

x + ⎪ + y - ⎝ 2 ⎭ ⎝ 8 ⎭

⎪ 5 8 +