空间向量的运算及应用

空间向量的运算及应用[考纲传真]1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．【知识通关】1．空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．5.空间位置关系的向量表示1．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)，则P ，A ，B 三点共线． 2．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面．3．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n·a ＝0，n·b ＝0.【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( )(2)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) (3)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6C3．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB .12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD .12a －12b ＋c A4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1,1,1)B ．(1，－1,1)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33D .⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33C5．已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 26【题型突破】空间向量的线性运算1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________. 562.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点， 设用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. [解] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c .共线(共面)向量定理的应用【例1】 已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH .[证明] (1)连接BG ，EG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12⎝⎛⎭⎫BC →＋BD →＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →.所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →.所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .[方法总结] (1)证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证A ，B ，C 三点共线，即证AB →，AC →共线，,只需证AB →＝λAC →(λ≠0)即可.(2)证明点共面问题，可转化为证向量共面问题.,如证P ，A ，B ，C 四点共面，只需证PA →＝xPB →＋yPC →或对空间任意一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)即可.(1)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2(2)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于________． (1)A (2)657空间向量的数量积【例2】 如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60° . (1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值． [解] (1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.[方法总结] (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.111∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点． (1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .[解] (1)如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 由题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， 所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝3.(2)由题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， 所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5， 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明：由题意得C 1(0,0,2)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2， A 1B →＝(－1,1，－2)， C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，所以A 1B →⊥C 1M →，即A 1B ⊥C 1M .利用向量证明平行与垂直问题【例3】 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角，求证： (1)CM ∥平面PAD ； (2)平面PAB ⊥平面PAD .[解] (1)证明：由题意知，CB ，CD ，CP 两两垂直，以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz . ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)， CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面PAD ， ∴CM ∥平面PAD .(2)法一：由(1)知BA →＝(0,4,0)，PB →＝(23，0，－2)， 设平面PAB 的一个法向量为m ＝(x 0，y 0，z 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1,0，3)．又∵平面PAD 的一个法向量n ＝(－3，2,1)，∴m·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0， ∴平面PAB ⊥平面PAD .法二：取AP 的中点E ，连接BE ， 则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥PA .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →.∴BE ⊥DA . 又PA ∩DA ＝A ， ∴BE ⊥平面PAD . 又∵BE ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD .[方法总结] 1.利用向量法证明平行问题的类型及方法 (1)证明线线平行：两条直线的方向向量平行. (2)证明线面平行：①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. (3)证明面面平行：两个平面的法向量平行. 2.利用向量法证明垂直问题的类型及方法(1)证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0. (2)证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行. (3)证明面面垂直：①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直；②两个平面的法向量垂直.如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点． (1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．[解] 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝a .(1)证明：A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a ,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1.因为B 1E →·AD 1→＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，因此B 1E →⊥AD 1→， 所以B 1E ⊥AD 1. (2)存在满足要求的点P ，假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)， 再设平面B 1AE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． AB 1→＝(a ,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0.因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1→，n ⊥AE →， 得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－a2，z ＝－a ，则平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a .要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ， 此时AP ＝12.11。