空间向量的运算及应用

空间向量的运算及应用

[考纲传真]1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．

【知识通关】

1．空间向量的有关概念

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律：

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4．空间向量的坐标表示及其应用

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．

5.空间位置关系的向量表示

1．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →

(x ＋y ＝1)，则P ，A ，B 三点共线． 2．对空间任一点O ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面．

3．平面的法向量的确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧

n·

a ＝0，n·

b ＝0.

【基础自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( )

(2)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0.( ) (3)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×

2．(教材改编)设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t ＝( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

C

3．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →

相等的向量是( ) A ．－12a ＋1

2b ＋c

B .12a ＋1

2b ＋c C ．－12a －1

2b ＋c

D .12a －1

2b ＋c A

4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1,1,1)

B ．(1，－1,1)

C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33

D .⎝ ⎛⎭⎪⎫

33，33，－33

C

5．已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 26

【题型突破】

空间向量的线性运算

1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →

，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

，则x ＋y ＋z ＝________. 56

2.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→

＝a ，

AB →＝b ，AD →

＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点， 设用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. [解] (1)因为P 是C 1D 1的中点，

所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→

＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1

2b .

(2)因为N 是BC 的中点，

所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →

＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋1

2c .

(3)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →

＝－12a ＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫a ＋c ＋12b

＝12a ＋1

2

b ＋

c ， 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→

＝12AD →

＋AA 1→＝12

c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c

＝32a ＋12b ＋3

2

c .

共线(共面)向量定理的应用

【例1】 已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH .

[证明] (1)连接BG ，EG ，则EG →＝EB →＋BG →

＝EB →＋12⎝⎛⎭⎫BC →＋BD →

＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →.

所以E ，F ，G ，H 四点共面．

(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →

.

所以EH ∥BD .

又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .

[方法总结] (1)证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证A ，B ，C 三点共线，即证AB →，AC →共线，,只需证AB →＝λAC →

(λ≠0)即可.

(2)证明点共面问题，可转化为证向量共面问题.,如证P ，A ，B ，C 四点共面，只需证PA →＝xPB →＋yPC →

或对空间任意一点O ，有

OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(其中x ＋y ＋z ＝1)即可.

(1)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可

以是( ) A ．2，1

2

B ．－13，12

C ．－3,2

D ．2,2

(2)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，

则实数λ等于________． (1)A (2)

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空间向量的数量积