偏导数原理及相关计算

| x0|0 0 f y (0,0). f x (0,0) lim x 0 x
问题 : 连续是否偏导数存在 ?
如 z x y 在(0,0)点连续但偏导数不存在.
x0 0 x z lim lim . x 0 x x x0 x
连续不一定偏导数存在,
偏导数存在也不一定连续
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数 为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
n z ) n 1 x y
例1. 求函数 z e x 2 y
解:
z e x2y x
2z
例3. 求 解:
的偏导数 .
2x x r x 2 x2 y 2 z 2 r
r z z r
z 1 x2 y 2 在点 1,1, 3 处的切线 例4: 求曲线 x 1 和 y 轴正向所构成的倾角. 解 所给的曲线是曲面 z 1 x 2 y 2 与平面 x 1 的交线。 该曲线在点 1,1, 3 处的切线关于 y 轴的斜率为 y z 3 2 2 y 2 y 1 y 2 y y 1 3 1,1, 3
偏导数 , 记为
z f , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) y y
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
f y ( x, y , z ) ?
r2
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
解法2: z
x 2 6x 4 y 2
z x (1, 2) 2 z z x 1 1 3 y y y (1, 2)
z x y ( x 0, 且 x 1 ， ） 求证 例2. 设
x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z y x ln x y
x0 x
x0
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x 2 z 2z z z ( ) 2 f y y ( x, y ) ( ) f y x ( x, y ); y y y x y y x
Tx
y0
Ty
o
y
Z f x0 , y
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的斜率.
有关偏导数的几点说明：
u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
例如, 设z f ( x, y)
解
xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
例如, f ( x, y )
x2 y2 xy 2 , x2 y2 0 x y2
0,
x2 y2 0
0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 x , x2 y2 0 f y ( x, y ) ( x2 y 2 )2 0, x2 y2 0 f x (0, y ) f x (0, 0) y f x y (0,0) lim 1 lim y 0 y 0 y y


所以，曲线在1,1, 3 处的切线与 y 轴正向所成的倾角为 3 tan . 3 6
二. 经济函数的偏导数几何意义
设两种相关商品甲和乙的需求函数为：
Q1 f1 p1 , p2
Q2 f2 p1 , p2
p 其中 Q1 Q2 为甲，乙商品需求量， 1 p2 分别表示甲和乙
同理
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
偏导数的求法 :
求多元函数对哪个自变量的偏导数, 就将其它自变量看作常数, 用一元函数求 导法则及公式求偏导.
例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
例2. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
2
3 x r 1 3 x2 1 u 3 4 3 5 r x r r x2 r 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2 2 2 u u u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
称其为甲商品关于自身价格 p2的边际需求；
Q2 p1
Q2 Q1 Q1 的边际解释可与 的边际解释类似. p2 p1 p2
三、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
2 z e x2y 2 x 2 2 z z x2y 4 e x2y 2e 2 y x y 3 2 z z ( ) 2 e x2y y x 2 x y x
3 z 的二阶偏导数及 . 2 y x z 2 e x2y y 2z 2 e x2y x y
二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z
M0
z f ( x, y ) Z f x, y 是曲线 0 y y0
在点 M0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率. x 0 f d x f ( x0 , y) x x0 y y0 y y y0 d y 是曲线
的价格.需求量 Q1 Q2 的偏导数为边际需求函数：
Q1 表示乙商品的价格 p2 保持不变的情况下， p1
甲商品的价格
p1
变化时，甲商品需求量Q1 的变化率，
称其为甲商品关于自身价格 p1 的边际需求；
Q1 表示乙商品的价格 p1 保持不变的情况下， p2
乙商品的价格
p2
变化时，甲商品需求量Q2 的变化率，
f y x (0,0) lim f y ( x, 0) f y (0, 0) x
x 0
x4 4x2 y 2 y 4 y , x2 y2 0 f x ( x, y ) ( x2 y 2 )2
x lim 1 x 0 x
二 者 不 等
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
x 的偏导数.
定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x f 的偏导数，记为 ; z x ( x0 , y 0 ) ; x ( x0 , y 0 ) f1( x0 , y0 ) . f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 f ( x x x) f ( x0 ) x y 0 d f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
x
x f z ( x, y, z ) ? (请自己写出)
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
第二节
偏 导 数
1 偏导数概念及其计算 2 经济函数偏导数的几何意义 3 高阶偏导数
一、 偏导数Leabharlann Baidu义及其计算法
一元函数 y f (x)
二元函数 z f ( x, y ) 若在两个自变量中 x 是变化的,
y 是不变的(视为常数 y0 ） 则 z f ( x, y0 ) 是x 的一元
函数.函数关于这个自变量 x 的变化率就是二元函数对
３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 连续，
例如,
xy , x2 y2 0 2 z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然
x0 0 f ( x, 0) f (0, 0) 2 lim 0 lim x 0 x0 x x0 x