二次函数的综合应用.doc

【引例】求下列二次函数的最值:

=2+2 _3

（1）求函数y x x 的最值. （2）求函数y x

★方法归纳：

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在处取得最大值（或最小值）

< <

X X X 如果自变量的取

值范围是

，分两种情况：>

1 2

a 0顶点在自变量的取值范围内

时，以

为例，最大值是 ；最小值是

顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性

一、二次函数实际应用

【例1】某商品的进价为每件 20元，售价为每件 30,每个月可买出180件；如果每件 商品的售价每上涨 1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于 35元，设每件商

x x

x

y 品的 售价上涨 元（为整数），每个月的销售利润为 的取值范围为 元。

二次函数（三）

二次函数的应用

2+2 _3 x

的最值.（0 x 3）

y x x

（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围;

（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少?

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？售价满足什么条件,

利润不低于1920元?

★解题回顾：总利润=* ;找出价格和销售量之间的关系，注意结合自变量的取值求得相应的售价.

先利用“成本不高于多少，利润不低于多少”等条件求得自变量的，然后根据函数性质

并结合函数图象求最值.

【例2】某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定

为3000元.在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元.

(1) 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？

(2) 设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(3) 该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着

一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？(其它销售条件不变)

★解题回顾：分段函数求最值时，要根据各段函数自变量的求相应的最值。

【例3］如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去,

球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的

水平距离为9米・已知山坡0A与水平方向0C的夹角为30 弋3

,Q A两点相距8 米.

(1) 求出点A的坐标及直线OA的解析式;

(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从

(2) 求岀球的飞行路线所在抛物线的解析式；

【例4】把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子 (纸板的厚度忽略不计)。

(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

2

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm

,那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正

方形的边长；如果没有，说明理由。

(2) 若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形

至少有一条边在正方形硬纸

板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为

二次函数与几何综合

【例5】(2013?攀枝花)如图，抛物线y二ax2+bx+c经过点A (-3, 0) , B( 1.0 ) , C(0,・3)・(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点P为第三象限内抛物线上的一点，设APAC的面积为S,

点P的坐标；

(3) 设抛物线的顶点为D DE丄x轴于点E,在y轴上是否存在点角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

「• fy 求S的最大值并求出此时M使得△ ADM是直角三

f V 备用图

(0, —3) •点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的屮点，直线I过点F且与y 轴平行•直线y二一x+m过点C,交y轴于D点。

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 点K为线段AB ±一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,

求线段HG长度的最大值；

⑶在直线I上取点M,在抛物线上取点N,使以点A, C, M, N为顶点的四边形是平行四边形，求

点N的坐标・

备用图

【例7】・如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y二丄x+2与x轴交于点A ,与y轴交于点

2

2

C.抛物线尸ax +bx+c的对称轴是

3

x=-~且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.

(1) ① 直接写出点B的坐标；② 求抛物线解析式.

(2) 若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA, PC.求APAC的面积的最大值，

并求出此时点P的坐标.

(3) 抛物线上是否存在点M ,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.