八年级数学四边形动点问题及难题

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专题9.16四边形与动点问题(重难点培优30题,八下苏科)

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.16四边形与动点问题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________一、解答题1．（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？(3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．2．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在线段PB上有一点M，且PM=10，当P运动秒时，四边形OAMP的周长最小, 并在图②画出点M的位置．3．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，▱ABCD中，∠B=2∠A，动点P、Q、M、N分别从点A、B、C、D同时出发，沿平行四边形的边，分别向点B、C、D、A匀速运动，运动时间记为t，当其中一个点到达终点时，其余各点均停止运动，连接PQ，QM，MN，NP．已知AB=6cm，BC=4.5cm，动点P、M的速度均是2cm/s，动点Q、N的速度均是1cm，(1)AP=_______cm，CQ=_______cm（用含t的代数式表示）(2)在点P、Q、M、N的整个运动过程中，四边形PQMN一定会是一种特殊的四边形吗？如果是，指出并证明你的结论，如果不是，说明理由．(3)在点P、Q、M、N的运动过程中，四边形PQMN能成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由．4．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB的点O在坐标原点上，点A在y轴上，AB∥OC，点B的坐标为（15，8），点C的坐标为（21，0），动点M从点A沿AB方向以每秒1个长度单位的速度运动，动点N从C点沿CO的方向以每秒2个长度单位的速度运动．点M、N 同时出发，一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t＝2时，点M的坐标为，点N的坐标为；(2)当t为何值时，四边形AONM是矩形？5．（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A点出发沿A-B-C-D移动，且点P的速度是2cm/s，设运动的时间为t秒，若点P与点A、点D连线所围成的三角形PAD的面积表示为S1．（1）当t=2秒时，求S1 =______cm2；（2）当S1=12cm2时，则t=______秒；（3）如图2，若在点P运动的同时，点Q也从C点同时出发，沿C-B运动，速度为1cm/s，若点Q与点C、点D连线所围成的三角形QCD的面积表示为S2，当|S1－S2|=18时，求t的值．6．（2021秋·江苏常州·八年级常州实验初中校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB ＝DC＝20cm，BC＝15cm，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以5cm/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且P、Q两点仍然同时出发，当点Q的运动速度为多少时，△BPE与△CQP全等？7．（2021春·江苏无锡·八年级统考期中）已知，如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P是直线BC上一个动点，连接AP，作DQ⊥AP于点Q．（1）AP•DQ＝；（2）以AP、AD为邻边作平行四边形APMD，当平行四边形APMD是菱形时，求PQ的长；（3）连接DP，以AP、DP为邻边作平行四边形APDN，当对角线PN取得最小值时，求DQ的长．8．（2021春·江苏苏州·八年级常熟市第一中学校考阶段练习）在四边形ABCD中，AD//BC，BC⊥CD，AD =6cm，BC=10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM=4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？9．（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）如图所示，AD//BC，∠BAD＝90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C作CF⊥BE于点F．（1）线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明：（2）若AB＝8，BC＝10，P从E沿直线ED方向运动，Q从C出发沿直线CB方向运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位．①求出当t为何值时，四边形EPCQ是矩形；②求出当t为何值时，四边形EPCQ是菱形．10．（2021春·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，C (0,4)，点D是线段OA的中点，点P在线段BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线BC上是否存在一点Q，使得点O、点D、点P、点Q构成菱形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．11．（2020·江苏苏州·八年级统考期中）如图1，四边形ABCD是菱形，AD=5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．（1）求DM的长；（2）如图2，动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．（2021秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t s．（1）PC=_____________cm．（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动（点Q 运动到点D处时停止运动，P,Q两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的υ值使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．13．（2020秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，长方形ABCD，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．（1）求AE的长．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，①则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？②当t为何值时，△PAE为直角三角形，直接写出答案．14．（2020秋·江苏扬州·八年级校考期中）在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°．如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动，运动的时间为ts．（1）当t=3时，①线段CE的长为______；②当EP平分∠AEC时，求a的值；（2）若a=1，且△CEP是以CE为腰的等腰三角形，求t的值．15．（2020秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AD=3cm，AB=7cm，E为边AB上任一点（不与A、B重合），从点B出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点F从点D出发，以x cm/s向终点C运动，运动的时间为t s．（注：长方形的对边平行且相等，每个角都是90°）（1）若t=4，则CE= ；（2）若x=2，当t为何值时点E在CF的垂直平分线上；（3）连接BF，直接写出点C与点E关于BF对称时x与t的值．16．（2020春·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，AB＝13，BC＝50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当t＝5时，AP＝________．（2）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（3）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．17．（2022春·江苏无锡·八年级宜兴市树人中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣6，0)，点B在y轴正半轴上，∠ABO＝30°，动点D从点A出发沿着射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，同时，动点F从定点C (1，0)出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结DO，EF，设运动时间为t秒．（1）当点D运动到线段AB的中点时．①t的值为；②判断四边形DOFE是否是平行四边形，请说明理由．（2）点D在运动过程中，若以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的t的值．18．（2020春·江苏连云港·八年级统考期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为BC延长线上一点，且BD＝BE，连接DE，Q为DE的中点，有一动点P从B点出发，沿BC以每秒1个单位的速度向E点运动，运动时间为t秒．（1）如图1，连接DP、PQ，则S△DPQ＝（用含t的式子表示）；（2）如图2，M、N分别为AD、AB的中点，当t为何值时，四边形MNPQ为平行四边形？请说明理由；（3）如图3，连接CQ，AQ，试判断AQ、CQ的位置关系并加以证明．19．（2019春·江苏连云港·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．20．（2020春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．（1）直接写出坐标：D（，）；（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；（3）在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以O、P、D、Q为顶点四边形为菱形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．21．（2022春·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考阶段练习）如图所示，菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上.点C的坐标为.动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒.(1)①点B的坐标.②求菱形ABCD的面积.(2)当t=3时，问线段AC上是否存在点E，使得PE+DE最小，如果存在，求出PE+DE最小值;如果不存在，请说明理由.(3)若点P到AC的距离是1，则点P运动的时间t等于.22．（2020春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm／s．（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗?说明理由；（2）若BD=8cm，AC=12cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形? 23．（2021春·江苏苏州·八年级常熟市第一中学校考阶段练习）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为xcm/s．当点F到达点C（即点F与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t＝s时，四边形EBFB'为正方形；（2）当x为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等？（3）是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．24．（2020秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A,B的坐标分别为A(6,0)，B(6,4)，D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→D运动，设点P运动的时间为t秒（0<t<13）.（1）点D的坐标是______；（2）当点P在AB上运动时，点P的坐标是______（用t表示）；（3）求△POD的面积S与t之间的函数表达式，并写出对应自变量t的取值范围.25．（2019秋·江苏常州·八年级校联考期中）综合探究题在之前的学习中，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°.如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以a cm/s向终点C运动，运动的时间为t s.（1）当t=3时，①则线段CE的长=______；②当EP平分∠AEC时，求a的值；（2）若a=1，且ΔCEP是以CE为腰的等腰三角形，求t的值；（3）连接DP，直接写出点C与点E关于DP对称时a与t的值.26．（2019春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动.当其中一个点到达终点时，另一个随之停止运动.点P与点Q同时出发，设运动时间为t，ΔCPQ的面积为S.(1)求S关于t的函数关系式；(2)t为何值时，将ΔCPQ以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形.27．（2019春·江苏南京·八年级校联考期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)求证：矩形DEFG是正方形．(2)当点E从A点运动到C点时；①求证：∠DCG的大小始终不变；②若正方形ABCD的边长为2，则点G运动的路径长为．28．（2019春·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C 出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．29．（2019春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，将一三角板放在边长为4cm的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．设点P从A向C运动的速度为2cm/s，运动时间为x秒．探究：（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想：（2）当点Q在边CD上且x＝1s时，四边形PBCQ的面积是；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值；如果不可能，试说明理由．30．（2018·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠BAD=60°．动点E、F分别从点B、D同时出发，以1cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接GE、FH．设运动的时间为t s（0＜t＜4）．（1）求证：AF∥CE；（2）当t为何值时，四边形EHFG为菱形；（3）试探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．。

初二数学-特殊四边形中的动点问题

特殊四边形中的动点问题及解题方法1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2、如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O?B?A 运动．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t （秒），△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A 、B 的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q 由O 到A 的时间是8秒，点P 的速度是2，从而可求出，当P 在线段OB 上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t ，OP=2t ，S=t2，当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t ，作PD ⊥OA 于点D ，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD ，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t 的值，进而求出OD 、PD ，即可求出P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M 的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A （8，0）B （0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q 由O 到A 的时间是 81=8（秒）， ∴点P 的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．当P 在线段OB 上运动（或O≤t≤3）时， OQ=t ，OP=2t ，S=t2．当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时， OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t ，如图，做PD ⊥OA 于点D ，由 PDBO=APAB ，得PD= 48-6t5． ∴S= 12OQ?PD=- 35t2+245t ．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P 在AB 上当S= 485时，- 35t2+245t= 485 ∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8 AD= 82-(245)2= 325 ∴OD=8- 325= 85 ∴P （ 85， 245） M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 5.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；6.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？四边形中的动点问题课后作业1. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F.（1）求证：CD ∥AB ；（2）求证：△BDE ≌△ACE ；（3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝12BE.A B D C O P x y AQ CDBP2、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E ＋CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．3、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB =；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．4、如图l －4－80，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，则OE=OF ．（1）请证明0E=OF（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，AG 交 EB 的延长线于 G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有OE=OF ．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．5、如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．FEDCBAA DCBNE6. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。

四边形中的动点问题(带答案)

四边形中的动点问题（带答案）四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿 EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE= 2, DE= 6,Z EFB= 60°, 则矩形ABCD勺面积是 _____________________2、如图，在四边形ABCD中对角线ACL BD 垂足为0,点E, F, G, H分别为边AD AB, BC CD 的中点•若AC= 8, BD= 6,则四边形EFGH的面积为3、如图，正方形ABCD勺边长为4,点P在DC 边上，且DP= 1,点Q是AC上一动点，则D® PQ 的最小值为 _____________________4、如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°,AC= 60 cm Z A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E 运动的时间是t s(0 < t < 15) •过点D作DF 丄BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AG// BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. (1)连接EF当EF经过AC边的中点D时，(1)求证：△ ADE^A CDF：6、在菱形ABCD中，/ B=60°,点E在射线BC上运动，/ EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段BC上时(如图1)( 1)求证：EC+CF=A； (2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),线段EC CFAB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明图1 027、如图，在菱形ABC［中, AB=2 / DAB=60 , 点E 是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N 连接MD AN（1）求证：四边形AMDI是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMD是矩形；②当AM的值为时，四边形AMD是菱形.D8 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN BC 设MN交/ BCA的平分线于点E, 交/ BCA 的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.9、如图，已知菱形ABC［中, / ABC=60 , AB=8 过线段BD上的一个动点P (不与B、D重合)分别向直线AB AD作垂线，垂足分别为E、F.(1)BD的长是______ ;(2)连接PC当PE+PF+P(取得最小值时，此时PB的长是_______10、如图，/ MON=9°,矩形ABCD勺顶点A B 分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OMk运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________ .11、如图，已知矩形ABCD AD=4 CD=10 P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.(1)求证：四边形PMEI是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；(3)四边形PMEf有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能，请说明理由.12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm AC=16cm AC BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm/s。

四边形中的动点问题(带答案)

四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。

部编数学八年级下册专题19四边形中的动图问题(解析版)含答案

专题19 四边形中的动图问题（解析版）类型一平行四边形及特殊平行四边形的存在性问题1．如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在X轴正半轴上，∠COA＝60°，OA＝10cm，OC ＝4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求点C，B的坐标（结果用根号表示）（2）从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形；（3）在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．思路引领：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，根据直角三角形的性质算出OE的长，再利用勾股定理即可求出CE的长，从而得到C点坐标；根据平行线间的距离相等可知CE＝BF＝证明Rt△COE≌Rt△BAF，从而得到AF的长，即可得到B点坐标；（2）根据平行四边形的性质可知CP＝OQ，设时间为x秒，表示出OQ、CP的长，可得到方程10﹣3x＝x，解方程即可；（3）如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，根据运动速度，算出运动时间，计算可发现不能成为菱形．解：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，∵∠COA＝60°，∴∠1＝30°，∴OE=12CO＝2cm，在Rt△COE中，CE==∴C点坐标是（2，，∵四边形OABC是平行四边形，∴CO＝AB，CO∥AB，∵CE⊥OA，过B作BF⊥OA，∴CE＝BF＝，∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF＝EO＝2，∴OF＝OA+AF＝12（cm），∴B点坐标是（12，；（2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形，10﹣3x＝x，解得：x＝2.5，故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；（3）不能成为菱形，如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，∵OA＝10cm，∴AQ＝10﹣4＝6（cm），则Q的运动时间是：6÷3＝2（秒），这时CP＝2×1＝2（cm）∵CP≠4cm，∴四边形OCPQ不能成为菱形．总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，直角梯形的性质，菱形的性质，是一道综合题，关键是需要同学们熟练掌握各种特殊四边形的性质，并能熟练应用．2．（2022春•广信区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．思路引领：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．总结提升：本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．3．（2021春•睢县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？思路引领：（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，在△ADE和△CDF中，∠EAD=∠FCD∠AED=∠CFDAD=CD，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：①当点F在C的左侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AEFC为平行四边形，即t＝2t﹣6，解得t＝6，综上可得：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．总结提升：此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．类型二动点最值问题4．（2021春•灌云县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB =13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C．D．思路引领：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，AP+PB＝A'B即为所求，由面积关系可得AM=23AD＝4，在Rt△ABA'中求出A'B即可．解：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，∴AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，∵S△PAB =13S矩形ABCD，∴12×AB×AM=13×BA×AD，∴AM=23 AD，∵AD＝6，∴AM＝4，∴AA'＝8，∵AB＝10，在Rt△ABA'中，A'B＝故选：B．总结提升：本题考查轴对称求最短距离，通过面积关系，能确定P点所在直线是解题的关键．5．（自贡中考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．思路引领：根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF＝ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，作CH⊥AB，∵AC ＝BC ，∴AH =12，由勾股定理可得，CH ∵12×AB ×CH =12×BC ×AN ，可得，AN =∴ME ＝AN =4，∴PE +PF总结提升：此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．6．（2020•锦州模拟）如图，已知平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BC ＝10，∠BCD ＝60°，两顶点B 、D 分别在平面直角坐标系的y 轴、x 轴的正半轴上滑动，连接OA ，则OA 的长的最小值是．思路引领：利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A 点位置，进而求出AO 的长．解：如图所示：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，当点A ，O ，E 在一条直线上，此时AO 最短，∵平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BC ＝10，∠BCD ＝60°，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝10，∠BAD ＝∠BCD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AE 过点O ，E 为BD 中点，∵∠BOD ＝90°，BD ＝10，∴EO ＝5，故AO 的最小值为：AO ＝AE ﹣EO ＝AB sin60°―12×BD ＝―5．故答案为：―5．总结提升：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键．7．（2022•利州区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5B．2.5C D．1思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，延长HM交CD于点N．则△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH为等边三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，连接BH，EH，则四边形HEPM为矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP=12EC=32，∴CM＝MP+CP＝1+32=52，即CG的最小值为5 2．方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，则△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，当FH⊥AB时，FH最小＝1+32=52．故选：B．总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．8．（2022秋•射阳县月考）如图，△APB中，AB＝4，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE 和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是　．思路引领：先延长EP 交BC 于点F ，得出PF ⊥BC ，再判定四边形PCDE 平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP 的面积＝EP ×CF ＝a ×12b =12ab ，最后根据a 2+b 2＝8，判断12ab 的最大值即可．解：如图，延长EP 交BC 于点F ，∵∠APB ＝90°，∠APE ＝∠BPC ＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF ＝180°﹣150°＝30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB ＝PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP ＝a ，BP ＝b ，则CF =12CP =12b ，a 2+b 2＝42＝16，∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ，在△EAD 和△PAB 中，AE =AP ∠EAD =∠PAB AD =AB，∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴ED ＝PB ＝CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP＝AP＝CD，∴四边形PCDE是平行四边形，∴四边形PCDE的面积＝EP×CF＝a×12b=12ab，又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2＝16，∴12ab≤4，即四边形PCDE面积的最大值为4．故答案为：4．总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．9．（2022春•番禺区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值．思路引领：（1）连接CF，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到CF＝EF，CF＝AF，从而求证结论．（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，即可得到MN+NG=12（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，结合已知推断△ABC为等边三角形，即可求解．解：（1）证明：连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF ＝AF ，∴AF ＝EF ；（2）连接AC ，∵M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，∴MN =12AF ，NG =12CF ，即MN +NG =12（AF +CF ），当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF +CF 最小，即此时MN +NG 最小，∵菱形ABCD 边长为1，∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，AC ＝AB ＝1，即MN +NG 的最小值为12；总结提升：本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．类型三求运动路径的长10．（2022•虞城县二模）如图，矩形ABCD 中．AB =AD ＝1，点E 为CD 中点，点P 从点D 出发匀速沿D ﹣A ﹣B 运动，连接PE ，点D 关于PE 的对称点为Q ，连接PQ ，EQ ，当点Q 恰好落在矩形ABCD的对角线上时（不包括对角线端点），点P 走过的路径长为 12或1　．思路引领：当点Q 恰好落在矩形ABCD 的对角线上时存在两种情况：①如图1，点P 在AD 上，点Q 在AC 上，连接DQ ，证明AP ＝PD 可得结论；②如图2，点P 在AB 上，连接PD ，根据30°角的三角函数列式可得AP 的长，从而计算结论．解：如图1，点P 在AD 上，点Q 在AC 上，连接DQ ，∵E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ，∵点D 关于PE 的对称点为Q ，∴PE ⊥DQ ，DE ＝EQ ＝EC ，∴∠DQC ＝90°，∴DQ ⊥AC ，∴PE ∥AC ，∴PD ＝AP =12AD =12，即点P 走过的路径长为12；如图2，点P 在AB 上，连接PD ，∵E 为CD 的中点，且CD =∴DE ＝CE ∵∠DFE ＝90°，∴cos ∠EDF ＝cos30°=DF DE，∴DF =34，∵BD 2，∴BF ＝2―34=54，cos ∠ABD ＝cos30°=BF PB ，∴BP 5=∴AP ==∴此时点P 走过的路径长为1综上，点P 走过的路径长为12或1+故答案为：12或1+总结提升：本题主要考查了矩形的性质，对称的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想．11．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．（1）当点B '恰好落在边CD 上时，线段BM 的长为 cm ；（2）点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB ′与边CD 交于点E ，求点E 相应运动的路径长度．（3）当点A 与点B '距离最短时，求AM 的长．思路引领：（1）运用矩形性质和翻折性质得出：MB′＝NB′，再利用勾股定理即可求得答案；（2）探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．（3）如图5中，连接AN，当点B′落在AN上时，AB′的值最小，此时MN平分∠ANB．利用面积法求出AM：BM＝2，可得结论．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′cm），∴BM＝NB′=cm）．（2）如图1中，点B'恰好落在边CD上时，BM＝NB′=cm）．如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt △ADE 中，则有x 2＝22+（4﹣x ）2，解得x =52，∴DE ＝4―52=32（cm ），如图3中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝5﹣1﹣2＝2（cm ），如图4中，当点M 运动到点B ′落在CD 时，DB ′（即DE ″）＝5﹣1―（4―（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝2―32+2﹣（432）（cm ）．（3）如图5中，连接AN ，当点B ′落在AN 上时，AB ′的值最小，此时MN 平分∠ANB ．过点M 作MP ⊥AN 于点P ，MQ ⊥BN 于点Q ．在Rt △ADN 中，AN ===∵S △AMN S △MNB =AM BM =12⋅AN⋅MP 12⋅BN⋅MQ =2，∴AM =23AB =103．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．类型四平移、翻折及旋转问题12．（2019春•江北区期中）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝8，F 是AB 的中点．过点F 作FE ⊥AD ，垂足为E ．将△AEF 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A ′E ′F ′．设P 、P ′分别是EF 、E ′F ′的中点，当点A ′与点B 重合时，四边形PP ′F ′F 的面积为（）A ．B ．C ．D ．―8思路引领：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP ′于H ．首先证明四边形PP ′CD 是平行四边形，再证明DF ⊥PP ′，求出FH 即可解决问题．解：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP ′于H ．由题意PP ′＝AA ′＝AB ＝CD ，PP ′∥AA ′∥CD ，∴四边形PP ′CD 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵AF ＝FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′，在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90°，∠A ＝60°，AF ＝4，∴AE ＝2，EF ＝∴PE ＝PF =在Rt △PHF 中，∵∠FPH ＝30°，PF∴HF =12PF∴平行四边形PP ′FF ′的面积8＝故选：B ．总结提升：本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13．（2021•海南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为1；将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 的位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是（）A ．14B ．2―C 1D ．12思路引领：依据△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．解：正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，∴EF ＝CE ＝1，∴CF =∴BF =―1，∵∠BFE ＝45°，∴BH ＝BF ―1，∴阴影部分的面积=12×1×1―12×―1）2―1，故选：C ．总结提升：本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是利用△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形求解线段的长．14．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为．思路引领：由已知得出AD ＝OA ﹣OD ＝4，由矩形的性质得出∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，由勾股定理得出ED ＝解：∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，；∴矩形CODE的面积为2＝∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为如图，设ME′＝x，则FE′，依题意有x×÷2＝解得x＝±2（负值舍去）．故矩形CODE向右平移的距离为2．故答案为：2．总结提升：考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键（2022•大连模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝．思路引领：过点E作EH⊥AD于H，根据勾股定理可求DH的长度，由折叠的性质得出AG＝GE，在Rt△HGE中，由勾股定理可求出答案．解：过点E作EH⊥AD于H，∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝4，∴∠BAD＝∠HDE＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝2，在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝1，HE=∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，∴AG＝GE，在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，∴GE＝2.8．故答案为：2.8．总结提升：本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．。

八下数学平行四边形中的动点问题

动点问题练习题1．（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．2．如图，在四边形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．CP Q BA M N C1．如图，在平面直角坐标系中，在四边形OABC 中，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？(2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． 2．（河北卷）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；（2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．3．（山东济宁）如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。

(完整版)八年级四边形动点问题及难题

动点问题及四边形难题1 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H．（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；2.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A，B， C 三点的坐标分别为A(8，0)，，B(，81，0) C(0 4) ，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面2积的？7（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设△OPD 的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；BxyDCO P ADQ3. 如图，已知△ABC 中， AB = AC = 10 厘米， BC = 8 厘米，点 D 为 AB 的中点．（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA上由 C 点向 A 点运动．①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， △BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？ABPC4.如图，已知 AD 与 BC 相交于 E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB＝90°，CH⊥AB 于H ，CH 交 AD 于 F.（1）求证：CD∥AB；（2）求证：△BDE≌△ACE；1（3）若 O 为 AB 中点，求证：OF ＝ BE.25、如图 1―4―2l，在边长为 a 的菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，E 是异于 A 、D 两点的动点， F 是 CD 上的动点，满足 A E ＋CF=a ，说明：不论 E 、F 怎样移动，三角形 BEF 总是正三角形．6、如图 1－4－38，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB =CD ，∠ DBC＝45○ ,翻折梯形使点 B重合于点 D ，折痕分别交边 AB 、BC于点F 、E ，若 AD=2，BC=8，求 BE 的长．ACE7、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．(1)求证：AB CF ；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，D四边形ABFC 是矩形，并说明理由．BF8、如图 l－4－80，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是AC 上一点，过点A 作AG⊥EB，垂足为 G，AG 交BD 于F，则OE=OF．（1）请证明 0E=OF（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点 E 在AC 的延长线上，AG⊥EB，AG 交 EB 的延长线于 G，AG 的延长线交 DB 的延长线于点 F，其他条件不变，则仍有OE=OF．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．9已知：如图 4-26 所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，P 为BC 的延长线上一点，PE⊥直线 AB 于点E，PF⊥直线 AC 于点F．求证：DE⊥DF并且相等．10已知：如图 4-27，ABCD 为矩形，CE⊥BD于点E，∠BAD的平分线与直线 CE 相交于点F．求证：CA=CF．11已知：如图 4-56A．，直线 l 通过正方形 ABCD 的顶点 D 平行于对角线 AC，E 为l 上一点，EC=AC，并且 EC 与边AD 相交于点 F．求证：AE=AF．本例中，点 E 与A 位于BD 同侧．如图 4-56B．，点E 与A 位于BD 异侧，直线 EC 与DA 的延长线交于点 F，这时仍有 AE=AF．请自己证明．12求证：矩形各内角平分线(对角的平分线不在一直线上)所围成的四边形 EFGH 是正方形．。

人教版八年级下册数学《平行四边形》动点问题带答案

《平行四边形》动点问题（一） 1. 如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD△AB 于点D ，点P 在线段DB 上，点M 是边AC 的中点，连接MP ，作△MPQ=90°，点Q 在边BC 上，若AC=6，BC=8，则（）A ．当CQ=4时，点P 与点D 重合B ．当CQ=4时，△MPA=30°C ．当PD=57时，CQ=4 D ．当PM=PQ 时，CQ=4 【答案】C2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF=6cm ，BF=12cm ，△FBM=△CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】3或5秒3. 已知四边形ABCD ，△ABC=45°，△C=△D=90°，含30°角（△P=30°）的直角三角板PMN （如图）在图中平移，直角边MN△BC ，顶点M 、N 分别在边AD 、BC 上，延长NM 到点Q ，使QM=PB ．若BC=10，CD=3，则当点M 从点A 平移到点D 的过程中，点Q 的运动路径长为__________。

【答案】27△当P点有8个时，x=22-2；△当△PEF是等边三角形时，P点有4个A．△△B．△△C．△△D．△△【答案】B6.如图，在△ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，△A=60°．点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F的运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时停止运动，经过s时，EF=AB．7.如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（）A．下滑时，OP增大B．上升时，OP减小C．无论怎样滑动，OP不变D．只要滑动，OP就变化【答案】C8.如图，E是△ABCD边AD上动点，连接CE作△ECDN，过A点作AM△EN，交EN延长线于点M，作矩形AMEF，动点E从A出发，沿着AD方向运动到终点D，在整个运动变化的过程中，记△ECDN的面积为S2，矩形AMEF的面积为S1，则S1+S2大小变化情况是（）A．一直在减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】C9. 如图，在矩形OAHC 中，OC=8，OA=12，B 为CH 中点，连接AB ．动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM ，CN ，MN ，设运动时间为t （秒）（0＜t ＜10）．则t= 时，△CMN 为直角三角形．【答案】27或424141 10. 如图，已知矩形ABCD ，AB=8，AD=4，E 为CD 边上一点，CE=5，点P 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA 边向终点A 运动，连接PE ，设点P 运动的时间为t 秒，则当t 的值为时，△PAE 是以PE 为腰的等腰三角形．动点．若点P 从点F 出发，沿F→A→D→C 的路线运动，当△FPE=30°时，FP 的长为__________。

初二数学《平行四边形中的动点问题》(附练习及答案)

四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。

解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。

数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。

这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。

解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。

八年级数学四边形之动点问题(建等式一)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理框架是什么？问题2：在分析运动过程时常借助运动状态分析图，需要关注哪几个要素？四边形之动点问题（建等式一）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，∠ABC=60°．动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AC向点C运动（不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线CB-BA向点A运动（不与点C，A重合）．设点P的运动时间为t秒，△APQ的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为( )秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．A. B.C.或D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在平行四边形OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm．动点P 从点O出发，以1cm/s的速度沿折线OA-AB运动；动点Q同时从点O出发，以相同的速度沿折线OC-CB运动．当其中一点到达终点B时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）设△OPQ的面积为S，要求S与t之间的函数关系式，根据表达的不同，t的分段应为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第4题）（3）当点P在OA上运动，且△OPQ的面积为平行四边形OABC的面积的一半时，t的值为( )A.，8B.4C. D.8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：动点问题的处理框架中的第三步：分析几何特征、表达、设计方案求解，具体的操作动作有哪些？问题2：表达线段长时有哪些手段？。

人教版八年级数学下册-难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题

难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP＝10，∴PM ＝12AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

初中数学：四边形中的动点问题专题

(3)设经过 t s 时，PQ＝CD，分别过点 P，D 作 BC 边的垂线 PE， DF，垂足分别为 E，F.
当 CF＝EQ 时，四边形 PQCD 为梯形(腰相等)或者平行四边形． ∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°， ∴四边形 ABFD 是矩形．∴AD＝BF. ∵AD＝12 cm，BC＝18 cm， ∴CF＝BC－BF＝6 cm.
四边形中的动点问题
【例】如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB ＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 2 cm/s 的速度向点 B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点 P，Q 运动的时间为 t s.
解：不存在．理由：要使四边形 PQCD 是菱形，则四边形 PQCD 一定是平行四边形．由例知当 t＝4 s 时，四边形 PQCD 是平行四边形．此时 DP＝12－t＝8≠10，即 DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形 PQCD 只能是平行四边形，不可能是菱形．
【拓展变式 2】从运动开始，当 t 取何值时，四边形 PQBA 是矩形？
在 Rt△DQH 中，DH2＋QH2＝DQ2. ∴82＋|2t－6|2＝(2t)2. 解得 t＝265. 综上，当 t＝5 或 6 或265时，△DQC 是等腰三角形．
解：如图，由题意，得 AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－
2t. 要使四边形 PQBA 是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC，即 AP∥BQ，
只需满足 AP＝BQ，即 t＝18－2t，解得 t＝6. 所以当 t＝6 时，四边形 PQBA 是矩形．
【拓展变式 3】在整个运动过程中是否存在 t 值，使得四边形 PQBA 是正方形？若存在，请求出 t 值；若不存在，请说明理由．

八上四边形动点问题

八上四边形动点问题
四边形是初中数学中的一种重要图形，掌握四边形的性质可以
帮助我们更好地理解空间几何知识。

本文将讨论八年级上册涉及的
四边形动点问题。

问题描述
在直角坐标系中，有一个矩形ABCD，对角线AC和BD的交
点是P。

点P随着矩形ABCD的变化而运动，令M, N分别为C点
在AP, BP上的垂足，O为MN的交点。

若矩形ABCD在平面内可
以任意移动，求证：当M, N在同一侧时，点O在以AC和BD为
直径的圆上。

解题思路
本题需要我们掌握四边形的性质和坐标系中点的坐标计算方法。

具体来说，我们可以采用以下的解题思路：
- 通过坐标系计算AC, BD的表达式；
- 计算MN的表达式；
- 通过分析M,N同侧、异侧的关系，推导O是否在以AC和
BD为直径的圆上；
- 利用自己的思考和动手能力完成证明。

需要注意的是，本题需要我们熟练掌握射影、垂线等基本知识，同时在实际计算时需要注意计算精度和证明过程的严谨性。

小结
四边形动点问题是初中数学中的一个经典问题，涉及到坐标计算、图形性质等多个方面。

通过认真学习，我们可以深入理解这个
问题，提高我们的数学思维能力。

专题9.3 四边形中的动点问题(压轴题专项讲练)(苏科版)(解析版)

专题9.3 四边形中的动点问题【典例1】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1－1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图1－2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿ΔAFB和ΔCDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．（1）利用SAS证明△AOE≌△COF，得OE=OF，可知四边形AFCE是平行四边形，再说明AC⊥EF即可证明是菱形，设AF=CF=x cm，则BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理得：42+（8-x）2=x2，解方程即可；（2）①通过判断可知只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形，根据QA=PC，从而可求解；②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况分别画出图形，从而解决问题．解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，∵O为AC中点，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC平分∠EAF，∴AC⊥EF，∴四边形AFCE为菱形；设菱形的边长AF=CF=x cm，则BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8-x）2=x2，解得x=5，∴AF=5cm；（2）解：①显然当点P在AF上时，Q点在CD上，此时A，C，P，Q的四点不可能构成平行四边形，同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上也不能构成平行四边形，因此只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形，∴以A，C，P，Q的四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC=5t，QA=CD+AD-4t=12-4t，即QA=12-4t，∴5t=12-4t，∴t=4，3；∴t的值为43∴当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为4；3②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况：I：如图，当P点在AF上，Q点在CE上，AP=CQ=CD+DE+CE-b，即a=12-b，∴a+b=12；Ⅱ：如图，当P点在BF上，Q点在DE上时，AQ=CP，则PC=AD+DC-b即12-b=a，，∴a+b=12；Ⅲ：如图，当P点在AB上，Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，∴a+b=12，综上所述，a与b满足的数量关系为a+b=12（ab≠0）．1．（2023春·八年级课时练习）如图，平行四边形ABCD中，AD=12，AB=4，AE平分∠DAB交BC于E，且AB=AE，（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）求平行四边形ABCD的面积；（3）取AD中点F，动点P以每秒1个单位的速度从B点向E点运动，动点Q以每秒2个单位的速度从D点向A点运动，两点同时出发，当P，Q中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为t，是否存在t，使得以P，E，Q，F为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由．【思路点拨】（1）先证明∠DAE=∠B，即可证明两个三角形全等；（2）作AH⊥BC于H，利用已知条件证明△ABE是等边三角形，即可求出平行四边形的面积；（3）存在，设BP=t，表示出PE、FQ关于t的代数式，利用以P，E，Q，F为顶点的四边形为平行四边形得到QD=PE，建立方程求解．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠DAE=∠B，∴△ABC≌△EAD(SAS)．（2）如图，作AH⊥BC于H，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∵DA∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠AEB=∠BAE，∴△ABE是等边三角形，∵AB=4，AH⊥BE，∴BH=HE=2，AH=∴S平行四边形ABCD=BC⋅AH=12×=（3）存在．由题意：BP=t，∴PE=4−t，FQ=6−2t或2t−6，∵以P，E，Q，F为顶点的四边形为平行四边形，∴QD=PE，∴6−2t=4−t或2t−6=4−t，s．解得t=2s或103s时，以P，E，Q，F为顶点的四边形为平行四边形．∴t=2s或1032．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．（1）求点B的坐标；（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【思路点拨】（1）由四边形OABC是平行四边形，得到OA=BC，OA//BC，于是得到OA=10，OE=AF=2，可求出点B的坐标；（2）根据四边形PCDA是平行四边形，得到PC=AD，即10−2t=5，解方程即可得到结论；（3）如图2，可分三种情况：①当PD=OD=5时，②当PO=OD=5时，③当PD=OP时分别讨论计算即可．【解题过程】解：如图1，过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC，OA//BC，∵A，C的坐标分别为(10,0)，(2,4)，∴OA=10，OE=AF=2，∴BC=10，∴B(12,4)；（2）设点P运动t秒时，四边形PCDA是平行四边形，由题意得：PC=10−2t，∵点D是OA的中点，∴OD=BC=AD=1OA=5，2∵四边形PCDA是平行四边形，∴PC=AD，即10−2t=5，∴t=5，2∴当t=5秒时，四边形PCDA是平行四边形；2（3）如图2，①当PD=OD=5时，过P1作P1E⊥OA于E，则P1E=4，∴DE=3，∴P1(8,4)，又∵D，C的坐标分别为(5,0)，(2,4)，∴CD=5,即有，当点P与点C重合时，PD=OD=5，∴P(2,4)；②当PO=OD=5时，过P2作P2G⊥OA于G，则P2G=4，∴OG=3，∴P2(3,4)；③当PD=OP时，过P3作P3F⊥OA于F，则P3F=4，OF=5，2∴P3(5，4)；2，4)，(3,4)，(2,4)．综上所述：当ΔODP是等腰三角形时，点P的坐标为(8,4)，(523．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC－CD向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．（t>0）（1）DE ＝______；（2）连接AP ，当四边形APED 是菱形时，求菱形APED 的周长；（3）连接BP 、PD ，设四边形ABPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（4）直接写出点P 到四边形ABED 相邻两边距离相等时t 的值．【思路点拨】（1）直接利用勾股定理计算即可；（2）根据菱形的性质：四边相等，可得答案；（3）分类讨论，当0＜t ＜52和52≤t <92时，分别计算梯形的面积即可；（4）当点P 在BC 上，若点P 到AB 、AD 的距离相等时，则BP ＝4；当点P 到AD 、DE 距离相等时，则PH ＝CD ＝4，利用AAS 证明△ECD ≌△EHP ，得EP ＝DE ＝5；当点P 在CD 上时，若P 到BE 、DE 距离相等时，则PH ＝PC ，利用面积法求出PC ，进而解决问题．【解题过程】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，∠BCD ＝90°，在Rt △DCE 中，由勾股定理得，DE 5，故答案为：5；（2）∵四边形APED 是菱形，且AD ＝5，∴菱形APED 的周长为4×5＝20；（3）当0＜t ＜52时，由题意知，BP ＝2t ，∴S ＝12（5+2t ）×4＝10+4t ，当52≤t <92时，则PD ＝9﹣2t ，∴S ＝12（4+9﹣2t ）×5＝652−5t ，综上：S ＝{10+4t(0<t <52)652−5t(52≤t <92)；（4）当点P 在BC 上，若点P 到AB 、AD 的距离相等时，则BP ＝4，∴t ＝2；当点P 到AD 、DE 距离相等时，则PH ＝CD ＝4，∵∠DCE ＝∠PHE ，∠E ＝∠E ，PH ＝CD ．∴△ECD ≌△EHP （AAS ），∴EP ＝DE ＝5，∴BP ＝3，∴t ＝32，当点P 在CD 上时，若P 到BE 、DE 距离相等时，则PH ＝PC ，∴12×3PC +12×5×PH =12×3×4，∴PC ＝32，∴t ＝322＝134；综上：t ＝2或32或134．4．（2022春·广东广州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠B =90°，AB =8cm ，AD =24cm ，BC =26cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始：（1）当运动6s ，判断此时：四边形PQCD 的形状，并证明．（2）当PQ =8cm 时，求AQ 长．（3）当PQ =CD 时，需经过多少时间？【思路点拨】（1）由题意得AP =t ，PD =24-t ，CQ =3t ，BQ =26-3t ，运动6s 时，AP =6cm ，CQ =18cm ，证出PD =CQ ，由平行四边形的判定可得出答案；（2）证明四边形APQB 为矩形，由矩形的性质得出BQ =AP ，求出AP 的长，由勾股定理可得出答案；（3）根据PQ =CD ，一种情况是：四边形PQCD 为平行四边形，一种情况是：四边形PQCD 为等腰梯形，过点P 作PS ∥CD ，PM ⊥BC 于M ，证出QM =MS =2，可得3t =4+24-t ，解此方程即可求得答案．【解题过程】（1）解：四边形PQCD 为平行四边形，证明：由题意得AP =t ，PD =24-t ，CQ =3t ，BQ =26-3t ，运动6s 时，AP =6cm ，CQ =18cm ，又∵AD =24cm ，∴PD =AD -AP =18cm=CQ ，∵AD ∥BC ，∴PD ∥CQ ，PD =CQ ，∴四边形PQCD 为平行四边形；（2）解：当PQ =8cm 时，PQ =AB =8cm ，又∵∠B =90°，∴四边形APQB为矩形，∴BQ=AP，即26-3t=t，∴AP=t=6.5，∴AQ（3）解：若PQ=DC，分两种情况：①PQ∥DC，由（1）可知，t=6，②PQ与CD不平行，过点P作PS∥CD，PM⊥BC于M，由四边形PDCS为平行四边形得，PD=CS=24-t，PS=CD，由四边形ABMP为矩形得，BM=AP=t，∴MS=26-24=2，∵PQ=PS=CD，∴QM=MS=2，∴3t=4+24-t，解得：t=7．综上所述，满足条件的t的值为6或7．5．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s．（1）CD边的长度为______cm，t的取值范围为______．（2）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（3）从运动开始，当t取何值时，PQ=CD？【思路点拨】（1）作辅助线，构建矩形ABED，利用勾股定理可得CD的长，根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值范围；（2）根据PD=CQ列方程可得t=4时PQ∥CD，（3）由PQ=CD，根据CQ=2t=6+6+12−t，可得t=8，再结合（2）可得出结论；【解题过程】（1）如图1，过点D作DE⊥BC于E，则∠DEB=∠DEC=90°，∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠B=90°，∴∠A=∠B=∠DEB=90°，∴四边形ABED是矩形，∴DE=AB=8，BE=AD=12，∵BC=18，∴CE=18−12=6，由勾股定理得：CD=10（cm）；∵点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，AD=12cm，∴点P运动到D的时间为：12s，=9s，同理得：点Q运动到点B的时间为：182∴0≤t≤9；故答案为：10，0≤t≤9；（2）如图2，∵AD∥BC，∴PD∥CQ，当PD=CQ时，四边形DPQC是平行四边形，∴PQ∥CD，∴12−t=2t，∴t=4，即当t=4时，PQ∥CD，此时PD=CQ；（3）如图3，过点P作PF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC于E，当PQ=CD时，∵PF=DE，∴Rt△PQF≌Rt△DCE，∴FQ=CE=6，∵∠PFE=∠DEF=∠ADE=90°，∴四边形DPFE矩形，∴PD=EF=12−t，∴CQ=QF+EF+CE，即6+6+12−t=2t，∴t=8，综合（2）、（3）所述，当t=8或t=4时，PQ=CD；6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为ts．（1）CD边的长度为________cm，t的取值范围为________．（2）从运动开始，当t=________时，PQ=CD．（3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形．若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）过点D作DH⊥BC于H，再利用勾股定理，即可得出结论，用点P，Q的运动速度，即可求出t的范围；（2）构造出直角三角形，表示出PG，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；（3）先利用CQ=CD求出时间t，再求出AP，进而得出DP，判断，即可得出结论．【解题过程】解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC于H，∴∠CHD=90°，∵∠B=90°，∴∠B=∠CHD，∴DH//AB，∵AD//BC，∴四边形ABHD是平行四边形，∴DH=AB=8cm，BH=AD=12cm，∴CH=BC−BH=6(cm)，根据勾股定理得，CD==10(cm)，∵点P在AD上运动，∴0≤t≤12，∵点Q在BC上运动，∴0≤t≤9，∴0≤t≤9，故答案为10，0≤t≤9；（2）如图2，过点Q作QG⊥AD于G，则四边形ABQG是矩形，∴QG=AB=8cm，AG=BQ，∵BQ=BC−CQ=(18−2t)cm，∴PG=|AG−AP|=|18−2t−t|=|18−3t|cm，∵PQ=CD=10cm，根据勾股定理得，82+(18−3t)2=102，∴t=4或t=8，故答案为4或8；（3）∵不存在，理由：∵得四边形PQCD是菱形，∴CQ=CD，∴2t=10，∴t=5，此时，DP=AD−AP=12−5=7(cm)，而DP≠CD，∴四边形PQCD不可能是菱形．7．（2023·陕西西安·校考一模）如图，平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）①AE =______时，四边形CEDF 是矩形；②AE =______时，四边形CEDF 是菱形．【思路点拨】（1）证△CFG≅△EDG ，推出FG =EG ，根据平行四边形的判定推出即可；（2）①求出△MBA≅△EDC ，推出∠CED =∠AMB =90°，再根据矩形的判定推出即可；②证△CDE 是等边三角形，推出CE =DE ，再根据菱形的判定推出即可．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC∥AD ，∴∠FCG =∠EDG ，∵G 是CD 的中点，∴CG =DG ，在△CFG 和△DEG 中，∠FCG =∠EDG CG =DG ∠CGF =∠DGE，∴△CFG≅ △DEG(ASA)，∴FG =EG ，又∵CG =DG ，∴四边形CEDF 是平行四边形．（2）①当AE =5cm 时，平行四边形CEDF 是矩形，理由如下：如图，过A 作AM ⊥BC 于M，∵∠B =60°，AB =6，∴BM =12AB =3，∵AE =5，∴DE =AD−AE =3=BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM =DE ∠B =∠CDA AB =CD，∴△MBA≅△EDC(SAS)，∴∠CED =∠AMB =90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴平行四边形CEDF 是矩形，故答案为：5．②当AE =2cm 时，四边形CEDF 是菱形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =8，CD =AB =6，∠CDE =∠B =60°，∵AE =2，∴DE =AD−AE =6，∴DE =CD ，∴ΔCDE 是等边三角形，∴CE =DE ，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴平行四边形CEDF 是菱形，故答案为：2．8．（2022秋·全国·九年级专题练习）在四边形ABCD 中，AB//CD,∠BCD =90°,AB =AD =10cm ,BC =8cm，点P从点A出发，沿折线ABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段DC方向以2cm/s 的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t(s)．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）过A作AM⊥DC于M，得出平行四边形AMCB，求出AM，根据勾股定理求出DM即可；（2）根据平行四边形的对边相等得出方程，求出即可；（3）分为三种情况，根据题意画出符合条件的所有图形，根据三角形的面积得出方程，求出符合范围的数即可．【解题过程】解：（1）如图1，过A作AM⊥DC于M，∵在四边形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，∴AM//BC，∴四边形AMCB是矩形，∵AB=AD=10cm，BC=8cm，∴AM=BC=8cm，CM=AB=10cm，在RtΔAMD中，由勾股定理得：DM=6cm，CD=DM+CM=10cm+6cm=16cm；（2）如图2，当四边形PBQD 是平行四边形时，PB =DQ ，即10−3t =2t ，解得t =2，此时DQ =4，CQ =12，BQ =所以C ▱PBQD =2(BQ +DQ )=8+即四边形PBQD 的周长是(8+；（3）当P 在AB 上时，如图3，即0⩽t⩽103，S ΔBPQ =12BP·BC =4(10−3t)=20，解得t =53；当P 在BC 上时，如图4，即103<t⩽6，S ΔBPQ =12BP·CQ =12(3t−10)(16−2t)=20，、此方程没有实数解；当P 在CD 上时：若点P 在点Q 的右侧，如图5，即6<t <345，S ΔBPQ =12PQ·BC =4(34−5t)=20，解得t =295<6，不合题意，应舍去；若P 在Q 的左侧，如图6，即345<t⩽8，S ΔBPQ =12PQ·BC =4(5t−34)=20，解得t =395；综上所述，当t =53秒或395秒时，ΔBPQ 的面积为20cm 2．9．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，▱ABCD 的面积为36，动点P 从A 点出发，以1个单位长度的速度沿线段AD 向终点D 运动，同时动点Q 从点B 出发以3个单位长度的速度在BC 间往返运动，当点P 到达点D 时，动点P 、Q 同时停止运动，连结PQ ．设运动时间为t 秒．（1）直线AD 与BC 之间的距离是______．（2）当点Q 从点C 向点B 运动时（点Q 不与点B 、C 重合），设四边形ABQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3）当PQ ⊥BC 时，求t 的值．（4）当PQ平分▱ABCD的面积时，直接写出t的值．【思路点拨】（1）根据平行四边形的面积即可求解；（2）连接BP，当点Q从点C向点B运动时，BQ=2×9−3t，根据0≤BQ≤9，求得t的取值范围，根据S=S ABP+S BPQ即可求解；（3）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，则△ABE是直角三角形，当PQ⊥BC时，四边形APQE是矩形，分3种情形分别求得BQ的长，根据AP+BE=BQ建立一元一次方程，解方程即可求解；（4）由PQ平分▱ABCD的面积，可得AP+BQ=9，根据（3）的分类情形建立方程，解方程即可求解．【解题过程】（1）解：设平行四边形ABCD，BC边上的高为ℎ∴S▱ABCD=BC⋅ℎ，∵BC＝9，▱ABCD的面积为36，∴ℎ=4，即直线AD与BC之间的距离是4，故答案为：4；（2）如图，连接BP，由题意可知AP=t,DP=9−t由ℎ=4，∴△ABP,△BPQ的高为4∴S=S ABP+S BPQ=12×4×AP+12×4×BQ∵当点Q从点C向点B运动时，BQ=2×9−3tS=12×4×t+12×4×(18−3t)∵0≤BQ≤9∴0≤18−3t≤9解得3≤t≤6∴S =36−4t(3≤t ≤6)（3）如图，过点A 作AE ⊥BC ，交BC 于点E ，则△ABE 是直角三角形，∵AB =5,AE =4∴BE =3∵当点P 到达点D 时，动点P 、Q 同时停止运动，∴0≤t ≤9当点Q 从点B 向点C 运动时,AP =t,BQ =3t ，当第一次点Q 从点C 向点B 运动时,BQ =18−3t ，∵PQ ⊥BC ，∴PQ∥AE ，∵AP∥EQ ，∴四边形APQE 是平行四边形，，∵PQ ⊥BC ，∴四边形APQE 是矩形，∴AP +BE =BQ即3t =t +3或18−3t =t +3，解得t =32或154，当第二次点Q 从点B 向点C 运动时,AP =t,BQ =3t−18，则t +3=3t−18，解得t =212>9舍去，综上所述，t =32或154（4）当点Q 从点B 向点C 运动时,BQ =3t ，∵PQ 平分▱ABCD 的面积∴ AP +BQ =9t +3t =9,解得t =94当t +18−3t =9，解得t =92当t +3t−18=9，解得t =274综上所述，t =94或t =92或t =274.10．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）如图在四边形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，AD =6，BC =12，四边形ABCD 的面积等于36；（1）求CD 的长；（2）点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度在射线BC 上运动，连接AP ，当t 为何值时，以点A 、P 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形?（3）点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度在线段BC 上运动，连接PD ，当t 为何值时，△PDC 为等腰三角形?【思路点拨】（1）过D 作DE ⊥BC 于点E ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，证明四边形AFED 是矩形，Rt △AFB≌Rt △DEC ，进而可得BF =DE ，根据已知条件求得DE ，EC ，进而根据勾股定理求得DC ；（2）根据平行四边形的性质，分类讨论①当AP //CD 时，②当AC //DP 时，根据AD =PC ，列出方程即可求得t ；（3）①当PD =PC 时，如图，过D 作DE ⊥BC 于点E ，过P 作PM ⊥DC 于M ，②当CD =CP 时，③当DP =DC 时，过D 作DE ⊥BC 于点E ，根据PB =BC−PC 求得PB ，进而求得t 的值【解题过程】解：（1）过D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图，∵AD//BC，DE⊥BC，AF⊥BC∴∠AFB=∠DEC=90°∴四边形AFED是矩形，∴AD=EF，AF=DE∵AB=DC∴Rt△AFB≌Rt△DEC∴BF=CE∵BF+CE=BC−EF=BC−AD=12−6=6∴BF=CE=3依题意，S四边形ABCD =12⋅(AD+BC)⋅DE=36,AD=6，BC=12，∴DE=4在Rt△DEC中CD==5（2）根据题意，四边形A,P,D,C四个顶点为平行四边形，∵P在射线BC上，∴PC//AD依题意可得PC=AD①当AP//CD时，此时BP=BC−PC=BC−AD=12−6=6∵P以每秒2个单位的速度∴2t=6，解得t=3②当AC//DP时，此时BP=BC+CP=BC+AD=12+6=18∴2t=18，解得t=9（3）①当PD=PC时，如图，过D作DE⊥BC于点E，过P作PM⊥DC于M，∵DE=4，EC=3∵PE2+DE2=PD2=PC2(PC−3)2+42=PC2解得PC=256∴PB=BC−PC=12−256=476∵2t=47 6∴t=47 12②当CD=CP时，如图，∵CD=5∴BP=BC−PC=12−5=7∵2t=7∴t=7 2③当DP =DC 时，过D 作DE ⊥BC 于点E ，PE =EC =3∴BP =BC−PC =12−6=6∵2t =6∴t =3综上所述，t =3或72或471211．（2023春·全国·八年级期中）在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，E 、F 是直线AC 上的两个动点，分别从A ，C 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，其中0≤t ≤7．（1）如图1，M 、N 分别是AB ，DC 中点，当四边形EMFN 是矩形时，求t 的值．（2）若G 、H 分别从点A 、C 沿折线A−B−C ，C−D−A 运动，与E ，F 相同的速度同时出发．①如图2，若四边形EGFH 为菱形，求t 的值；②如图3，作AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点P 、Q ，当四边形PGQH 的面积是矩形ABCD 面积的一半时，则t 的值是_______．【思路点拨】（1）根据矩形的性质得到EF =MN ，得到AE =CF =0.5，从而分两种情况得到t 值；（2）①根据菱形的性质，作AC 的垂直平分线GH ，连接AG ，得到AG =CG ，在△ABG 中利用勾股定理列出方程，求出BG ，得到AB +BG 的值，可得t ；②求出BQ 和CQ ，分析得到S △AGP +S △BQG =3时，S 四边形GQHP =12S 矩形ABCD ，可得关于AG 的方程，解之得到AG ，即可得到t 值．【解题过程】解：（1）如图1，当四边形EMFN 为矩形，EF =MN ，OE =OM =OF =ON ，∵四边形ABCD 是矩形，且M ，N 分别为AB ，CD 中点，∴OM =ON ，OA =OC ，∵E ，F 两点运动速度均为1个单位，∴AE =CF ，∴OE =OF ，∴EF =MN =BC =4，∵AC ，∴AE =CF =0.5，∴t =0.5，同理：当AE =CF =4.5，四边形EMFN 为矩形，∴当t =0.5或4.5时，四边形EMFN 为矩形；（2）①作AC 的垂直平分线交BC 于G ，交AD 于H ，交AC 于O ，当点G ，H 运动到AC 的垂直平分线上时，四边形EGFH 为菱形，连接AG ，此时AG =CG ，∴AB 2+BG 2=AG 2，即32+BG 2=(4−BG )2，解得：BG =78，∴AB +BG =3+78=318，∴当t =318秒时，四边形EGFH 为菱形；②由①得：BQ =78，即CQ =258，由题意可得：DP =BQ ，DH =BG ，AG =CH ，AP =CQ ，S 矩形ABCD =3×4=12，∴S 梯形APQB =12S 矩形ABCD =6，∴当S △AGP +S △BQG =3时，S 四边形GQHP =12S 矩形ABCD ，∴12AG ·AP +12BG ·BQ =3，即12AG ·258+12（3-AG ）·78=3，解得：AG =1.5，∴当t =1.5时，S 四边形PGQH =12S 矩形ABC D ．12．（2023·全国·九年级专题练习）如图，Rt △ABC 中，∠C =90∘，∠B =30∘，BC =E 从点A 出发沿AC 方向以每秒1个单位长的速度向点C 匀速运动，同时点F 从点B 出发沿BA 方向以每秒2个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t 秒(t >0) ．过点F 作FD ⊥BC 于点D ，连接DE ，EF ，AD ．（1）求证：四边形AEDF 是平行四边形；（2）当t 为何值时， AD ⊥EF ；（3）当t 为何值时， △DEF 为直角三角形？请说明理由．【思路点拨】（1）根据平行线的判定与勾股定理即可得出结论；（2）由（1）知四边形AEDF是平行四边形，只要平行四边形AEDF为菱形，即可利用菱形对角线垂直得到结论；（3）要使△DEF为直角三角形，需要分三种情况讨论：∠DEF=90°；∠DFE=90°；∠FDE=90°，直接求解即可．【解题过程】（1）证明：在Rt△ABC中，∠C=90∘，∵FD⊥BC，∴∠FDB=90°=∠C，∴AC∥FD，∵点E从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，同时点F从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D，E运动的时间是t秒(t>0)∴AE=t,BF=2t，在RtΔFBD中，∠FDB=90∘，∠B=30∘，BF=2t，则FD=t，∴AE∥FD，且AE=t=FD，∴四边形AEDF是平行四边形；（2）解：由（1）知四边形AEDF是平行四边形，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，BC=∴AB=10，∴AF＝AB−BF＝10−2t．当平行四边形AEDF是菱形时，AD⊥EF，则需AE＝AF，即t＝10−2t，∴t=10，3时，平行四边形AEFD为菱形，AD⊥EF；即当t=103或4时，△DEF为直角三角形．（3）解：（3）解：当t＝52理由如下：分情况讨论：方法①∠BDF＝∠DFE＝90°时，如图所示：则EF∥BC，∴∠AEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠C＝30°，∴AF＝2AE，∴10−2t＝2t，；∴t＝52②∠DEF＝90°时，如图所示：∵AC⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEDF为平行四边形，∴AF∥ED，AE，∴∠AFE=∠DEF=90°，∠BED＝∠A＝60°，即AF＝12t，解得t＝4；∴10−2t＝12③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．或4时，△DEF为直角三角形．综上所述，当t＝5213．（2023春·八年级单元测试）如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以3cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以2cm/s的速度运动．点E在线段BC上，且BE=1cm，若M、N两点同时从点D出发，到第一次相遇时停止运动．（1）求经过几秒钟M、N两点停止运动？（2）求点A、E、M、N构成平行四边形时，M、N两点运动的时间；（3）设运动时间为t （s ），用含字母t 的代数式表示△EMN 的面积S （cm 2）．【思路点拨】（1）由题意可得：M 、N 两点同时从点D 出发，到第一次相遇时共运动了：2（5+10）=30（cm ），则可得t=30÷（2+3）=6；（2）由题意知，当点N 在AD 边上运动，点M 在BC 边上运动时，点A 、E 、M 、N 才可能组成平行四边形，然后设经过t 秒，四点可组成平行四边形，①当构成▱AEMN 时，10-2t=14-3t ，②当构成▱AMEN 时，10-2t=3t-14，继而求得答案；（3）分别从当 0＜t ＜53时，当53≤t ＜143时，当143＜t ＜5时，当5＜t ＜6时，去分析求解即可求得答案．【解题过程】解：（1）∵矩形ABCD 中，AB =5cm ，BC =10cm ，∴M 、N 两点同时从点D 出发，到第一次相遇时共运动了：2（5+10）=30（cm ），∴t =30÷（2+3）=6 （s ）答：经过6 s 两点相遇．故答案为6s.（2）由题意知，当点N 在AD 边上运动，点M 在BC 边上运动时，点A 、E 、M 、N 才可能组成平行四边形，设经过t 秒，四点可组成平行四边形，①当构成▱AEMN 时，10-2t =14-3t ，解得t =4；②当构成▱AMEN 时，10-2t =3t -14，解得t =4.8；答：当点A 、E 、M 、N 构成平行四边形时，M 、N 两点运动的时间为4s 或4.8s ．故答案为4s 或4.8s ．（3）如图（1），当0＜t ＜53时，点M 在线段CD 上，S ＝S △EMN =S 梯形CDNE -S △DMN -S △CEM =12×（2t +9）×5 - 12×2t ×3t - 12×9×（5-3t ）=-3t 2+372t ；如图（2），当53≤t ＜143时，点M 在线段CE 上，S ＝S △EMN =12EM •CD =12×（3t -5-1）×5=35-152t ；如图（3），当143＜t ＜5时，点M 在线段BE 上，S ＝S △EMN =12ME •CD =12×（3t -14）×5=152t -35；如图（4），当5＜t ＜6时，点M 、N 都在线段AB 上，S =S △EMN =12MN •BE =12×（30-2t -3t ）×1=15-52t ．故答案为当0＜t ＜53时，S =-3t 2+372t ；当53≤t ＜143时，S = 35-152t ；当143＜t ＜5时，S = t -35；当5＜t ＜6时，S =15-52t ．14．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AD =16，BC=21，CD=13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t(秒)．（1）线段AB的长为．（2）用含t的代数式表示线段PC的长．（3）求当t为何值时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形？（4）直接写出以线段CD为腰，△PCD为等腰三角形时t的值．【思路点拨】（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ABED是矩形，AB=DE，BE=AD=16，然后由勾股定理可求出答案；（2）分两种情况当0≤t≤7时，PC=21−3t；当7<t≤16时，PC=3t−21．则可得出答案；（3）分两种情况，由平行四边形的性质列出方程可得出答案；（4）分两种情况，由等腰三角形的性质列出方程可得出答案．【解题过程】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，∠DEB=∠DEC=90°，∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=180°−∠A=90°，∴四边形ABED是矩形，∵AD=16，BC=21，CD=13，∴AB=DE，BE=AD=16，∴EC=BC−BE=21−16=5，∴在Rt△∠DEC中，DE===12，∴AB=12．故答案为：12．（2）∵动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t，∴BP=3t，∴当点P到达点C时，t=21÷3=7，当点Q到达点D时，t=16÷1=16，∴当点P在线段BC上，0≤t≤7，∴PC=BC−BP=21−3t，∴当点P在线段BC的延长线上时，7<t≤16，∴PC=BP−BC=3t−21，∴线段PC的长：当0≤t≤7时，PC=21−3t；当7<t≤16时，PC=3t−21．（3）∵动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t，且AD=16，∴AQ=t，QD=AD−AQ=16−t，∵AD∥BC，∴当QD=PC时，点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，当点P在线段BC上时，21−3t=16−t，；解得：t=52当点P在线段BC的延长线上时，3t−21=16−t，解得：t =374．∴t 为52秒或374秒时，以点P 、C 、D 、Q 为顶点的四边形是平行四边形（4）当点P 在线段BC 上，且PC =DC =13，∴21−3t =13，∴t =83，当点P 在线段BC 上，且DP =DC =13，如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，连接DP ，由（1）可知：EC =5，∴PE =EC =5，∴PC =2PE =10，即21−3t =10，∴t =113，当点P 在线段BC 的延长上，且CP =DC =13，如图，连接DP ，∴3t−21=13，∴t =343．综上所述，以线段CD 为腰，△PCD 为等腰三角形时t 的值为83秒或113秒或343秒．15．（2022春·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，四边形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，BC ＝14cm ，点P 从点A 出发以1cm/s 的速度在边AD 上向点D 运动；点Q 从点C 同时出发以2cm/s 的速度在边CB 上向点B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动．设运动时间为ts ．（1）当四边形ABQP 是矩形时，t 的值是______；（2）在运动过程中，当PQ ＝CD 时，t 的值是_______；（3）如图2，若∠DPQ ＝2∠C ，求t 的值．【思路点拨】（1）由题意得AP ＝t ，CQ ＝2t ，BC ＝14cm ，当四边形ABQP 是矩形时，则AP ＝BQ ，可列方程t ＝14﹣2t ，解方程求出t 的值即可；（2）当PQ ＝CD ，且PQ ∥CD 时，则四边形PQCD 是平行四边形，则PD ＝CQ ，可列方程10﹣t ＝2t ，解方程求出t 的值；当PQ ＝CD ，且PQ 与CD 不平行时，作PE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，可证明Rt △PQE ≌Rt △DCF ，四边形PDFE 和四边形ABFD 都是矩形，可推导出QE +CF +EF ＝CQ ，可列方程4+4+（10﹣t ）＝2t ，解方程求出t 的值；（3）作PG 平分∠DPQ ，交BC 于点G ，则∠QPG ＝∠DPG =12∠DPQ ，由∠DPQ ＝2∠C 得∠C =12∠DPQ ，所以∠DPG ＝∠C ，可证明四边形PDCG 是平行四边形，则PQ ＝GQ ＝2t ﹣（10﹣t ）＝3t ﹣10，作PE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则四边形PDFE 和四边形ABFD 都是矩形，所以EQ ＝2t ﹣4﹣（10﹣t ）＝3t ﹣14，PE ＝DF ＝AB ＝6cm ，根据勾股定理得PQ 2＝EQ 2+PE 2，于是可列方程（3t ﹣10）2＝（3t ﹣14）2+62，解方程求出t 的值即可．【解题过程】（1）解：由题意得AP ＝t ，CQ ＝2t ，AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，BC ＝14cm ，如图1，∵四边形ABQP是矩形，∴AP＝BQ，∴t＝14﹣2t，，解得t=143，∴当四边形ABQP是矩形时，t的值是143．故答案为：143（2）当PQ＝CD，且PQ∥CD时，如图2，∵PD∥CQ，∴四边形PQCD是平行四边形，∴PD＝CQ，∴10﹣t＝2t，；解得t=103当PQ＝CD，且PQ与CD不平行时，如图3，作PE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则∠PEQ＝∠DFC＝∠PEF＝∠DFE＝90°，∵AD∥BC，∴PE＝DF，∠PDF＝∠DFC＝90°，∵PQ=CD，∴Rt△PQE≌Rt△DCF（HL），四边形PDFE是矩形，∴EF＝PD＝10﹣t，∵∠B＝90°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝10cm，∴QE＝CF＝BC﹣BF＝4cm，由QE+CF+EF＝CQ得4+4+（10﹣t）＝2t，解得t＝6，综上所述，当PQ＝CD时，t的值是10或6，3或6．故答案为：103∠DPQ，（3）如图4，作PG平分∠DPQ，交BC于点G，则∠QPG＝∠DPG=12∵∠DPQ＝2∠C，∠DPQ，∴∠C=12∴∠DPG＝∠C，∵∠DPG＝∠QGP，∴∠QGP＝∠C，∠QGP＝∠QPG，∴PG∥CD，PQ＝GQ，∵PD∥CG，∴四边形PDCG是平行四边形，∴CG ＝PD ＝10﹣t ，∴PQ ＝GQ ＝2t ﹣（10﹣t ）＝3t ﹣10，作PE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则四边形PDFE 是矩形，∠PEQ ＝90°，CF ＝4，∴EF ＝PD ＝10﹣t ，∴EQ ＝2t ﹣4﹣（10﹣t ）＝3t ﹣14，∵四边形ABFD 是矩形，∴（3t ﹣10）2＝（3t ﹣14）2+62，解得t =112，∴t 的值是112．16．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB 与CD 不平行，AB ＝CD ＝5，AD ＝6，动点P 从点A 出发沿AD 方向以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，且PM ＝4；同时动点Q 从点C 出发沿CB 方向以每秒2个单位的速度向终点B 运动．设点P 运动的时间为t 秒．（1）BC ＝；（2）用含t 的代数式表示QM 的长；（3）当以点A 、Q 、M 、P 为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值；（4）连接PQ ．当0≤t ＜3时，∠PQM 的大小等于四边形ABCD 某内角的一半时，直接写出t 的值．【思路点拨】（1）过点A 、点D 分别作BC 的垂线，根据勾股定理可得结果；（2）根据线段之间的关系即可得出，注意当t =6时，点P 、点Q 同时到达各自的终点；（3）分情况讨论，一是0≤t <3时，二是3<t ≤6时，即可得出结果；（4）同样是分两种情况，一是当∠PQM =12∠BCD 时，二是当∠PQM =12∠BAD 时，再根据边长之间的关系即可求得．【解题过程】（1）解：如图1，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，∵AD∥BC,PM⊥BC，∴AE=DF=PM=4，∵∠AEB=∠DFC=∠ADF=∠DFE=90°，∴AD⊥DF,EF⊥DF，∵AE∥DF，∴EF=AD=6，∵AB=DC=5，∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，∴BE=CF，∵BE==3，∴CF=3，∴BC=BE+EF+CF=3+6+3=12；（2）解：∵∠APM=∠PMC=∠PME=90°，∴PA⊥AE,ME⊥AE，∵PM∥AE，∴EM=AP=t，∵CQ=2t，∴当t=6时，AP=AD=6，CQ=BC=2×6=12，∴当t=6时，点P、点Q同时到达各自的终点，∵EF+CF=6+3=9，∴当点M与点Q重合时，则t+2t=9，解得t=3，。

八年级数学四边形之动点问题(框架)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理框架是什么？问题2：在分析运动过程时常借助运动状态分析图，需要关注哪几个要素？四边形之动点问题（框架）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC 方向向点C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动；当P，Q两点中其中一点到达终点时，则停止运动．设运动时间为t秒，则当t为( )秒时，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B 运动.点P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△PDQ≌△CQD．A.4B.6C.8D.12答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9．动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动时间为t秒．解答下列问题：（1）运动状态分析图如下空缺处依次所填正确的是( )A.①1/s；②B.①3/s；②C.①3/s；②D.①3/s；②答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当点P沿AB-BC-CA方向运动时，需要分_____种情况来考虑，时间段的划分为( )A.1；B.2；；C.3；；；D.3；；；答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第3，4题）（3）当P在BC上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为( )A.3tB.18-3tC.3t-9D.3t-18答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第3，4，5题）（4）当点P在CA上运动时，线段PC的长可用含t的式子表示为( )A.18-3tB.3t-18C.27-3tD.3t-9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发，沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CB以每秒3个单位长度的速度匀速运动．过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB 于点E．点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间为t秒（）．（1）当运动终止时，线段BQ的长为( )A.105B.45C.35D.30答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）当点P落在射线QK上时，t的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第7，8题）（3）当点P运动到AD上时，若PQ∥DC，则t的值为( )A. B.25C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

8下方法技巧训练之利用特殊四边形的性质巧解动点问题

利用特殊四边形的性质巧解动点问题（方法技巧训练）知识点利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点（动点）来解答。

经典例题一、平行四边形中的动点问题1、如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF。

请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由。

二、矩形中的动点问题1、在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E,F，垂足为O。

(1)如图①，连接AF，CE。

试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长。

(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P 自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止。

在运动过程中，已知点P的速度为5cm/s，点Q 的速度为4cm/s，运动时间为ts，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。

三、菱形中的动点问题1、如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上。

(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形。

四、正方形中的动点问题1、如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF ＝CG＝DH。

(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由。

五、与函数结合的动点问题1、如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H。

（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）练习1、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为______。

八年级数学下册动点问题构成平行四边形解题技巧(一)

八年级数学下册动点问题构成平行四边形解题技巧(一)八年级数学下册动点问题构成平行四边形解题技巧什么是动点问题？动点问题是数学中经常遇到的一类问题，它通常涉及到平行四边形的性质和特点。

解决动点问题需要一定的技巧和方法。

动点问题解题技巧以下是一些解决八年级数学下册动点问题的技巧：•确定动点的位置和性质在解决动点问题时，首先要确定动点的位置和性质。

根据问题所给条件，我们可以确定动点在平行四边形内部、边界上还是延长线上。

这些信息有助于我们确定动点的坐标。

•确定平行四边形的特点平行四边形有一些独特的性质，利用这些性质可以解决动点问题。

例如，平行四边形的对角线相互平分，对角线长相等等。

通过确定平行四边形的特点，我们可以推断出关于动点的一些性质。

•运用向量法或坐标法求解在解决动点问题时，我们可以运用向量法或坐标法来求解。

向量法常用于证明或推导问题，而坐标法常用于具体计算。

具体选择使用哪种方法要根据问题的特点和要求来决定。

•画图辅助解题绘制图形是解决动点问题的重要步骤。

通过画图，我们可以更好地理解问题，并帮助我们找到解题的思路。

画图时，注意要准确绘制出平行四边形的形状和各个元素的位置关系。

•通过推理和运算得出答案在完成前面步骤后，我们可以通过推理和运算来得出最终的答案。

根据题目所要求的内容，进行逻辑推理和数学运算，得出问题的解答。

总结解决八年级数学下册动点问题需要我们熟悉平行四边形的性质和特点，并掌握相应的解题技巧。

通过确定动点的位置和性质、确定平行四边形的特点、运用向量法或坐标法、画图辅助解题以及通过推理和运算得出答案，我们可以有效地解决动点问题。

希望以上技巧能帮助到你解决八年级数学下册动点问题，在数学学习中取得更好的成绩！对于八年级数学下册动点问题构成平行四边形解题，下面给出了更具体的步骤和实例来帮助你更好地理解和应用这些技巧。

1.确定动点的位置和性质首先，从题目中找出关于动点的相关信息，然后根据这些信息来确定动点的位置和性质。

八年级下册四边形动点问题和答案

八年级数学下册四边形动点问题专题1、如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，F 、G 是垂足，若正方形ABCD 周长为a ，则EF ＋EG等于。

2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=3、在Rt △ABC 中 ∠C=90° AC=3 BC=4 P 为AB 上任意一点过点P 分别作PE ⊥AC 于E PE ⊥BC 于点F 线段EF 的最小值是4、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是。

5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为6、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．CA BP FE EDCBAPADEPB C7、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有个．8、已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为。

9、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16.点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）10、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．，不需证明)①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在．11、如图，矩形ABCD中，cm，cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2 cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1 cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？12、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm 的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．13、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD 相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q 同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．15、如图，已知ΔABC和ΔDEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=0.3cm,ΔABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ΔABC运动时间为t秒，①当t为何值时,□ADFC是菱形？请说明你的理由；②□ADFC有可能是矩形吗？若可能,求出t的值及此矩形的面积；若不可能,请说明理由.16、在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA 的外角平分线于F。

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