(工业机器人)位姿描述与齐次变换

问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
5. 验证计算（绘图即可）
(1) Tra(nAas,Ab,A0)Ro(tzA,): (2) Ro(tzA,)Tra(nAsa,Ab,A0):
结论：
(3) Ro(tzA,)Tra(nAas,Ab,A0):
• 多次变换结果不仅与变换顺序有关，而且与相对的坐标 系有关！
§2.2 位姿描述与变换
一、位姿表达
1、表达方式： 位置＋姿态
空间方位（线、
坐标原点 空间点 面、体）
三个坐标轴
位姿可以用一个直角坐标系 OAXAYAZA 表达，简记为：A
2、特点： 位姿描述是相对的！
二、位置描述
坐标系 B 在坐标系 A 中的位置：O B 点在 A 中的坐标 值。
数学表达式：
2. 含义：
（1）相对于 A 描述的B 的位姿（从数学角度）； （2）把 A 变换到 B 的结果（从运动角度）。
位姿描述的关键是求得其齐次变换矩阵！
八、基本变换矩阵（应牢记！！！）
1. 平移矩阵：
1
a
Trans(a,b,c)
1
b
1 c
0
1
参考坐标系未 标出，原因？
2. 绕X轴旋转 角（学生课堂推导！）
六、齐次表达
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s
sa c b
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B 在
A
中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
第二章 位姿描述与齐次变换
§2.1 操作机器人工作过程分析
一、操作机器人：具有和人类上肢相似的动作功能，用于操 作作业的机器人，称为～。 二、人类操作过程分析(先看人！）：
板擦黑板→讲台：（眼）定位（手）到位(手）抓 取（手臂）运动（手臂）停止 （手）松开…
工作方法？手眼协调！（盲动呢？） ：位置（＋姿态），动作顺序，动作要求 三、机器人的典型工作分析（如何让机器人完成？）： 1、轴孔类装配
两个基本问题： （1）动作顺序及要求； （2）位置及姿态要求。
2、弧焊作业： 也需要解决上述两个基本问题！
3、搬运作业（例如码垛） （结论同上）
4、其它操作作业（喷漆、上下料、点焊、…） 操作机器人工作任务描述两个基本问题！ 关键：位姿描述！
四、位姿定义：
位置和姿态合称～。
（Position) (orientation) (pose)
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs c b
坐 标 值
？
分析： • 该矩阵的出现是由于 B 相对于 A 旋转造成的，即是由 姿态引起的； 比较此矩阵与B 在 A中的姿态表达式，可知：
（1）矩阵第一列：X B 在 A中的姿态； （2）矩阵第二列：Y B 在 A中的姿态。
五、姿态矩阵 由坐标系三个坐标轴的姿态构成的矩阵，称为～。
（1）必须正确确定变换顺序！
（2）必须正确确定每次变换所相对的坐标系的 性质！
• 若每次变换都是相对于前一个坐标系进行的，则变换结 果等于各个基本变换矩阵顺序相乘；
•若每次变换都是相对于参考坐标系进行的，则变换结果 等于各个基本变换矩阵逆序相乘；
问题：上述结论只是根据2次变换得到的，适应于多次吗？
十、相对变换、绝对变换
YA
坐标轴的姿态值可用其单
位矢量在参考坐标系中的
投影值表示！
b
AXB1 1csionscsions c s
OA
A YB 11 cso in s cso in s cs
Y A YB
OB
XB
X A
a
XA
注意！
由于笛卡儿坐标系各个坐标轴之间存在内部约束， 因此坐标系的姿态描述一般是冗余的。例如在平面坐标系
情况下，只有一个独立量
四、绝对描述 已知某点在 B 中的位置，试求其在 A 中的位置值。
由几何学可知，要求出 一点在绝对坐标系中的
YA
位置，关键是求出其在
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
a ac bs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A1ps0 0
c
0 0
0 1 0
b 1 0b1 0B A 0R
Ap 1OB B1pA BTB1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
参考坐标系
a A poB OAOB b
c
坐标值形式
描述对象
矢量表达形式
三、姿态描述
为了方便起见，先以平面坐标系为例进行讲解，然后推广
到三维情况！
YA
Y A
YB
XB
如右图所示，先将 A 平移
到 A，然后绕 Z A 旋转 得 到 B
b
OB
X A
OA
a
XA
现在求 B 的两个坐标轴在 坐标系 A 中的姿态。
相对变换：若变换是相对于上一次变换得到的坐标系进 行的，则称为～。 相对变换结果：
顺序相乘！
绝对变换：若变换是相对于参考坐标系进行的，则称 为～。 绝对变换结果：
1 0 0
Rot(x,) 0 c s 0
0 s c
0
1
3. 绕Y轴旋转 角（课堂推导！）
C 0 S
Rot(Y,)
0
1 0 0
S 0 c
0
1
4. 绕Z轴旋转 角（课堂推导！）
C S 0
Rot(Z,)S C 0 0
0 0 1
0
1
四 个 基 本 变 换， 要 牢 记！ （ 如 何 记 ？）
Βιβλιοθήκη Baidu
九、多次变换
机器人一般由多个杆件构成，为了到达某一位姿往往需要 各个杆件都做出运动，因此存在多次变换问题；
第四节中的绝对变换结果是通过几何法求得的，不能总用 此法计算机器人位姿（？）。
如何计算多次变换结果？
分析：
1. 几何法计算结果：
c s 0 a
ABT
s 0
c 0
0 b 1 0
0
0 0 1
2. 运动过程分析
从A 运动到B ，可以分解成如下几个基本变换： AA: 平移变换： Tra(nAas,Ab,0)
AB: 绕 Z A 旋转： Ro(Z tA,)
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(A na,sAb,A0)Ro(ztA,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！