(工业机器人)位姿描述与齐次变换
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第3章 位姿描述和齐次变换
ZB ZA YB
P
AP
XB
OA
YA
A
参考坐标系{A}
机器人研究所
4
第1节 位置和姿态的表示
位置描述（Description of Position）
px A p p y pz
Ap
zA
{A}
p
A
p
：p点在坐标系{A}中的表示，
xA
oA
yA
也称作位置矢量。
图1 位置表示
齐次的，将其等价为齐次变换形式：
A A p B R | A pBo B p 0 0 0 | 1 1 1
A A B p B R p A pBo A
直角坐标
齐次坐标
等价于
p A BT
B
p
11
齐次变换
机器人研究所
22
第3节 齐次坐标变换
机器人研究所14坐标变换复合变换compositetransform机器人研究所15例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所16例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所17例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所18例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述3030086605303030050866坐标变换机器人研究所19例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所20例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述0866051211098050866坐标变换第第33节节齐次坐标变换齐次坐标变换旋转变换通式第三章位姿描述和齐次变换机器人研究所22齐次坐标变换齐次坐标和齐次变换坐标变换式中对于点是非齐次的将其等价为齐次变换形式
P
AP
XB
OA
YA
A
参考坐标系{A}
机器人研究所
4
第1节 位置和姿态的表示
位置描述（Description of Position）
px A p p y pz
Ap
zA
{A}
p
A
p
：p点在坐标系{A}中的表示，
xA
oA
yA
也称作位置矢量。
图1 位置表示
齐次的，将其等价为齐次变换形式：
A A p B R | A pBo B p 0 0 0 | 1 1 1
A A B p B R p A pBo A
直角坐标
齐次坐标
等价于
p A BT
B
p
11
齐次变换
机器人研究所
22
第3节 齐次坐标变换
机器人研究所14坐标变换复合变换compositetransform机器人研究所15例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所16例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所17例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所18例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述3030086605303030050866坐标变换机器人研究所19例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所20例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述0866051211098050866坐标变换第第33节节齐次坐标变换齐次坐标变换旋转变换通式第三章位姿描述和齐次变换机器人研究所22齐次坐标变换齐次坐标和齐次变换坐标变换式中对于点是非齐次的将其等价为齐次变换形式
工业机器人位姿描述资料
齐次变换法 矢量法
位姿描述
旋量法 四元数法
5
上海电机学院
位姿描述——点的位置描述
1.点的位置描述{位置矢量}
对于直角坐标系{A}，空间任一点P的位置可用3×1的列矢量 表示。
px
A
P
p
y
pz
AP的上标A代表参考坐标系｛A｝。
6
上海电机学院
位姿描述——姿态的描述(旋转矩阵)
姿态可由某个固连于此物体的坐标系描述。 BAR [AxB ,AyB, A zB ]
nx ox ax
A B
R
ny
oy
a
y
nz oz az
旋转矩阵
7
上海电机学院
位姿描述——姿态的描述(旋转矩阵)
nx ox ax cos(n, x) cos(o, x) cos(a, x)
A B
R
ny
oy
a
y
cos(n,
y)
cos(o, y)
cos(a, y)
nz oz az cos(n, z) cos(o, z) cos(a, z)
(1)点的齐次坐标
px
AP
py
pz
齐次坐标
px
p
y
pz
1
注意： 齐次坐标的表示不是惟一的。
P px py pz 1 T px py pz T a b c T
11
上海电机学院
位姿描述——齐次坐标
规定：
(1) (4×1)列阵[a b c ω]T中第四个元素不为零，则表示空间某点的 位置；
14
上海电机学院
位姿描述——动坐标系位姿的描述
静系
在机器人坐标系中，运动时相对 于连杆不动的坐标系称为静坐标
机器人学技术基础课程-位姿描述和齐次变换
2、齐次变换在研究空间机构动力学、机器人控制算法、计算 机视觉等方面也得到广泛应用。
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
位姿描述
此刚体固接。用坐标系{B}的三个单位主矢量 xB, yB,zB
相对于坐标系{A}的方向余弦组成3×3矩阵。
B AR[AxB,AyB,AzB]
r11 r12 r13
A B
R
r21
r22
r23
r31 r32 r33
该矩阵即表示刚体B相对于坐标系｛A｝的方位。
注意： (1)上角标A代表参考坐标系｛A｝。 (2)下角标B代表被描述的坐标系｛B｝。
❖ 1.坐标平移
设坐标系｛B｝与｛A｝具有相同的 方位，但是两个坐标原点不重合， 用位置矢量 A PB0 描述它相对于｛A｝ 的位置。把 A PB 0称为｛B｝相对于 ｛A｝的平移矢量。
如果点p在坐标系｛B｝中的位置为 B P ，则它相对于坐标系｛A｝的位置矢 量 A P 可由矢量相加得出，即
上式称为坐标平移方程。
0.8660.5 0
12
B ARR(z,30 0)0.5 0.8660;ApB06
0 0 1
0
0.90212 11.908 ApB ARBpApB07.562613.562
0 0 0
2.3齐次坐标
刚体B的位姿可由坐标系｛B｝来描述，即
{B}{B AR APB0}
nx ox ax px
A ny
刚体B的位姿可由坐标系｛B｝来描述，即
{B}{B AR APB0}
注意： 当表示位置时，旋转矩阵为单位矩阵； 当表示方位时，位置矢量为零。
2.2坐标变换
空间任一点P在不同坐标系中的描述是不同的。下面讨论从一个 坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关系。
1
坐标平移
2
坐标旋转
3
一般变换
2.2坐标变换
相对于坐标系{A}的方向余弦组成3×3矩阵。
B AR[AxB,AyB,AzB]
r11 r12 r13
A B
R
r21
r22
r23
r31 r32 r33
该矩阵即表示刚体B相对于坐标系｛A｝的方位。
注意： (1)上角标A代表参考坐标系｛A｝。 (2)下角标B代表被描述的坐标系｛B｝。
❖ 1.坐标平移
设坐标系｛B｝与｛A｝具有相同的 方位，但是两个坐标原点不重合， 用位置矢量 A PB0 描述它相对于｛A｝ 的位置。把 A PB 0称为｛B｝相对于 ｛A｝的平移矢量。
如果点p在坐标系｛B｝中的位置为 B P ，则它相对于坐标系｛A｝的位置矢 量 A P 可由矢量相加得出，即
上式称为坐标平移方程。
0.8660.5 0
12
B ARR(z,30 0)0.5 0.8660;ApB06
0 0 1
0
0.90212 11.908 ApB ARBpApB07.562613.562
0 0 0
2.3齐次坐标
刚体B的位姿可由坐标系｛B｝来描述，即
{B}{B AR APB0}
nx ox ax px
A ny
刚体B的位姿可由坐标系｛B｝来描述，即
{B}{B AR APB0}
注意： 当表示位置时，旋转矩阵为单位矩阵； 当表示方位时，位置矢量为零。
2.2坐标变换
空间任一点P在不同坐标系中的描述是不同的。下面讨论从一个 坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关系。
1
坐标平移
2
坐标旋转
3
一般变换
2.2坐标变换
机器人技术基础实验报告2(机器人空间位姿描述)
机器人技术基础实验报告班级：学号：姓名：台号： 2 课程：2.机器人空间位姿描述成绩：批改日期：教师签字：实验目的：1、认识机器人位置与姿态的描述方式2、了解多种姿态的描述方法实验设备及软件:1、珞石XB4机器人2、MATLAB实验原理:位置描述：建立坐标系后可以用一个3×1的位置矢量对坐标系中的任何点进行定位。
用三个相互正交的带有箭头的单位矢量来表示一个坐标系{A}.用一个矢量来表示一个点P A ，并且可等价地被认为是空间的一个位置矢量，或者简单地用一组有序的三个数字来表示。
矢量的各个元素用下标x，y和z 来标明：姿态描述：为了描述物体的姿态，需要在物体上固定一个坐标系并且给出此坐标系相对于参考系的表达。
用X B 、Y B和Z B来表示坐标系{B}主轴方向的单位矢量。
在用坐标系{A}的坐标表达时，写成X B A、Y B A、Z B A。
这三个单位矢量按照顺序排列组成一个3×3的矩阵，称之为旋转矩阵。
记为：R B A= [X B A Y B A Z B A]分别绕X 轴，Y轴，Z轴的旋转变换为：坐标系变换是一个坐标系描述到另一个坐标系描述的变换。
被描述的空间点本身没有改变，只是它的描述改变了。
一般情况下坐标系{A}与坐标系{B}既存在位置差异又存在姿态差异。
则相对于坐标系{B}描述的点PB在坐标系{A}下的描述为：AP A=R B A P B+P BORG为了简化表达，可改写为：[P A1]=[R B A P BORG A 01][P B 1]=T B A[P B 1] 其中T B A =[RB A P BORGA01]为4×4矩阵，称为齐次变换矩阵。
描述了坐标系{B} 相对于坐标系{A}的变换。
姿态其他描述： X-Y-Z 固定角 等效转轴表示法 X-Y-Z 欧拉角 四元素法 1、X-Y-Z 固定角:坐标系{B}的方位规则如下：最初坐标系{B}与{A}重合，转动相对固定坐标系{A}来描述，先绕X A 轴转γ 角 ，再绕Y A 轴转β角，最后绕Z A 轴转α角。
机器人的位姿描述与坐标变换
j i
R (a , ) R( Z , ) R( X , a )
Xi
Xm
Xj
cos sin j i R (a , ) 0
sin cos 0
0 1 0 0 cos a 0 1 0 sin a
0 cos sin sin a cos a 0
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
xi x j cos(X i , X j ) y j cos(X i , Y j ) z j cos(X i , Z j ) i P yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j ) z x cos(Z , X ) y cos(Z , Y ) z cos(Z , Z ) j i j j i j j i j i
T
5 21 7
2、坐标旋转（坐标系原点相同）
Zj Zi P
坐标系j由坐标系i旋转而成 已知点P在j坐标系的坐标：
Yj
j
P [x j
yj
z j ]T
Yi Xi Xj
求点P在i坐标系的坐标：
i
P [ xi
yi
zi ]T
Zj
Zi
zi
P
yj
zj
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
☺ 关于(Yi , X j )？
Z2 Z i (Z1 )
j f
R(Z i ,j )
j i
R(Y1 , )
R(Z 2 , f )
Zj
工业机器人运动学
注意：对于旋转关节，绕z 轴的旋转角 （ θ角）是关节变量。对于滑动关节， 沿 z轴的连杆长度d 是关节变量；
3.8 机器人正运动学方程的D-H参数表示法
一.连杆坐标系的建立
本地参考坐标系步骤：
（1）通常关节不一定平行或相交。因此 ，通常z轴是斜线，但总有一条距离最短的 公垂线，它正交于任意两条斜线。通常在 公垂线方向上定义本地参考坐标系的x轴。 所以如果an表示 zn-1与zn之间的公垂线， 则xn的方向将沿an 。同样，在 zn与 zn+1之 间的公垂线为，xn+1的方向将沿an +1。
3T6
S4C5C6
C4 S6
S5C6 0
S4C5S6 C4C6 S5S6 0
S4S5 C5 0
0
0 1
C1 0 S1 0
A1
S1 0
0 1
C1 0
0 0
0
0
0
1
3.8 机器人正运动学方程的D-H参数表示法
nx = C1 [ C2 ( C4C5C6 - S4S6 ) - S2S5C6 ] - S1( S4C5S6 + C4S6 ) ny = S1 [ C2 ( C4C5C6 - S4S6 ) - S2S5C6 ] + C1( S4C5S6+C4S6 ) nz = -S2 ( C4C5C6 - S4S6 ) - C2S5C6 ox = C1 [ -C2 ( C4C5S6 + S4C6 ) + S2S5C6 ] - S1( -S4C5S6 + C4S6 ) oy = S1 [ -C2 ( C4C5C6 + S4C6 ) + S2S5S6 ] + C1( -S4C5S6 + C4S6 ) oz = S2 ( C4C5C6 + S4C6 ) + C2S5S6 ax = C1 ( C2C4S5 + S2C5 ) – S1S4C5 ay = S1 ( C2C4S5 + S2C5 ) + C1S4S5 az = –S2C4S5 + C2C5 px = C1S2d3 – S1d2 py = S1S2d3 + C1d2 pz = C2d3
2-2.1位姿描述
这是绕Z轴的旋转.其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果.
上海电机学院 机械学院
旋转矩阵的几何意义: 1) 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}相对于参考坐标系 的姿态. 2) 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的坐标 变换成{A}中点的坐标 . 3) 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
px A P py pz
齐次坐标
px p y pz 1
注意： 齐次坐标的表示不是惟一的。
P px
py
p z 1 a b c
T
T
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位姿描述——齐次坐标
规定： (1) (4×1)列阵[a b c ω]T中第四个元素不为零，则表示空间某点的 位置； (2) (4×1)列阵[a b c 0]T中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1，则表示 某轴(矢量)的方向； (2)矢量(坐标轴)方向的齐次坐标 X、Y、Z三个坐标轴方向的齐次坐标为：
0 1 Rot( x, ) 0 cos 0 sin cos 0 sin Rot ( y , ) cos sin 0 0 sin cos sin 1 0 Rot ( z , ) 0 cos 0 sin cos 0 0 0 1
动系位姿 采用齐次坐标后可将原来 的3×4的非方阵转化为 4×4的方阵。
1 0 A 0 0 0 1 0 0 0 100 0 0 1 0 0 1
上海电机学院 机械学院
位姿描述——刚体位姿的描述
机器人的每一个连杆均可视为一个刚体。 1 2 3
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旋转矩阵的几何意义: 1) 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}相对于参考坐标系 的姿态. 2) 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的坐标 变换成{A}中点的坐标 . 3) 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
px A P py pz
齐次坐标
px p y pz 1
注意： 齐次坐标的表示不是惟一的。
P px
py
p z 1 a b c
T
T
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位姿描述——齐次坐标
规定： (1) (4×1)列阵[a b c ω]T中第四个元素不为零，则表示空间某点的 位置； (2) (4×1)列阵[a b c 0]T中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1，则表示 某轴(矢量)的方向； (2)矢量(坐标轴)方向的齐次坐标 X、Y、Z三个坐标轴方向的齐次坐标为：
0 1 Rot( x, ) 0 cos 0 sin cos 0 sin Rot ( y , ) cos sin 0 0 sin cos sin 1 0 Rot ( z , ) 0 cos 0 sin cos 0 0 0 1
动系位姿 采用齐次坐标后可将原来 的3×4的非方阵转化为 4×4的方阵。
1 0 A 0 0 0 1 0 0 0 100 0 0 1 0 0 1
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位姿描述——刚体位姿的描述
机器人的每一个连杆均可视为一个刚体。 1 2 3
[课件](工业机器人)位姿描述与齐次变换PPT
位姿描述与齐次变换PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/711ba841caaedd3383c4d3c4.png)
六、齐次表达
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s cs b a
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(An a,A sb,A0)Ro(zA t,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B在
A 中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A 1ps0 0
c
0 0
0 1 0
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
aacbs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs cb
坐 标 值
b 1 0b 1 0B A 0R
Ap 1OBB 1pA BTB 1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s cs b a
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(An a,A sb,A0)Ro(zA t,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B在
A 中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A 1ps0 0
c
0 0
0 1 0
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
aacbs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs cb
坐 标 值
b 1 0b 1 0B A 0R
Ap 1OBB 1pA BTB 1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
机器人学--坐标转换
1
p px py pz T ,n nx ny nz T ,o ox oy oz T ,a ax ay az T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系
或工件坐标系 满足方程
A P
1
A B
R
0
A
PB 1
0
B P
1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
(2-14)
AP Ax A y Az 1T ,BP Bx B y Bz 1T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A P ABTB P,
ABT
A B
R
0
A
PB0 1
(2-15,16)
Robotics 数学基础
ny
oy
ay
0
fx
f
yvers
f z s
fy fyvers c
fz fyvers fxs 0
nz 0
oz 0
az 0
0 1
fx
f z v ers 0
f y s
fy fzvers fxs 0
fz fzvers c 0
0 1
将上式对角线元素相加,并简化得
nx
oy
az
(
f
2 x
f
2 y
f
2023最新整理收集 do
something
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 位置和姿态的表示 2.2 坐标变换 2.3 齐次坐标变换 2.4 物体的变换及逆变换 2.5 通用旋转变换
机器人基础与数字孪生系统 第3章 机器人运动学
《机器人基础与数字孪生系统》
第3章 机器人运动学
【3.1齐次变换】
【3.1.1】位置描述——位置矢量
● 刚体位姿描述：齐次变换（矩阵）、矢量法、四元数
● 齐次变换法:
▲ 将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来，具有明显的几何特征。
▲ 在操作臂运动/动力学、机器人控制算法、计算机图学、视觉信息处理、手-眼建模标
BT
0
● 齐次变换：
A
p = BA R B p A pBo
A
pBo
1
齐次坐标
A p BA R
1 0
旋转矩阵
齐次坐标
A
pBo B p
1 1
平移矢量
【3.2 DH约定和MDH约定】
【3.2.1】关节与连杆
Z
R3
● 自由度：物体能够相对于坐标系进行独立运动的数目称为自由度
最后根据右手定则确定Yi 轴。
i -1
i+1
i
P
Zi -1
Yi -1 d
i
ai - 1
{
θi
ai
X i -1
Oi -1
Yi
i
Zi
Oi
Xi
【3.2 DH约定和MDH约定】
【3.2.2】连杆坐标系
Ji
Ji-1
Ji+1
Ci-1
Ci+1
Ci
● 方法二：对于相邻两个连杆Ci 和Ci+1，有3个关节，
r31
r12
r22
r32
r13
r23
r33
A
B
R 是正交矩阵，满足如下关系：
第3章 机器人运动学
【3.1齐次变换】
【3.1.1】位置描述——位置矢量
● 刚体位姿描述：齐次变换（矩阵）、矢量法、四元数
● 齐次变换法:
▲ 将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来，具有明显的几何特征。
▲ 在操作臂运动/动力学、机器人控制算法、计算机图学、视觉信息处理、手-眼建模标
BT
0
● 齐次变换：
A
p = BA R B p A pBo
A
pBo
1
齐次坐标
A p BA R
1 0
旋转矩阵
齐次坐标
A
pBo B p
1 1
平移矢量
【3.2 DH约定和MDH约定】
【3.2.1】关节与连杆
Z
R3
● 自由度：物体能够相对于坐标系进行独立运动的数目称为自由度
最后根据右手定则确定Yi 轴。
i -1
i+1
i
P
Zi -1
Yi -1 d
i
ai - 1
{
θi
ai
X i -1
Oi -1
Yi
i
Zi
Oi
Xi
【3.2 DH约定和MDH约定】
【3.2.2】连杆坐标系
Ji
Ji-1
Ji+1
Ci-1
Ci+1
Ci
● 方法二：对于相邻两个连杆Ci 和Ci+1，有3个关节，
r31
r12
r22
r32
r13
r23
r33
A
B
R 是正交矩阵，满足如下关系：
第三章工业机器人机器人技术数学基础PPT课件
•方向余弦阵的几个性质
1)方向余弦阵是正交矩 阵，因此，矩阵中每 行和每列中元素的平 方和为1
2)方向余弦阵中两个不 同列或不同行中对应 元素的乘积之和为O
• 3)因为方向余弦阵又 是正交变换矩阵，因 此
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
A B
R
可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的
坐标 B p 变换成{A}中点的坐标 A p .
3)
A B
R
可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
在坐标系的旋转变换中，有一些特殊情况，即绕单 个轴的旋转，相应的旋转矩阵称为基本旋转矩阵． 当{A}仅绕z轴旋转角时，基本旋转矩阵记为
12
B ARR(z,30 0) 0.5 0.866 0 ;ApB0 6
0 0 1
0
0.90212 11.908 ApB ARBpApB07.562613.562
0 0 0
3.3 齐次坐标变换
(1)定义
1.齐次坐标
• 将非零常数作为第四个元素，用由四个数所组成 的列向量
P= x y z T
来表示前述三维空间的直角坐标的点(a，b，c)，
它们的关系为:
a= x
b= y
c=
z
(x，y，z， )称为三维空间点(a，b，c)的齐 次坐标
(2)齐次坐标不是单值确定的
• 比如(x，y，z， )是某点的齐次坐标，则(mx，
my，mz，m )也是该点的次坐标（m为任一 非零常数）。
• M=1 时,很容易给出一个点(a，b，c)的齐次坐 标为(a，b，c，1)
• 显然齐次坐标(0，O，O，1)表示坐标原点
2-2.1位姿描述
2个常用的公式：
a b axbx ayby azbz
i a b ax bx j ay by a z (a y bz a z by )i (a z bx a xbz ) j (a x by a y bx )k bz k
上海电机学院 机械学院
各关节如何运动才能保证手 部准确运动到相关位置呢？
运动学问题
位姿描述
上海电机学院 机械学院
• 概念：刚体参考点的位置和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
齐次变换法
旋量法
位姿描述
矢量法
四元数法
上海电机学院 机械学院
2.1刚体位姿描述
1.位置描述{位置矢量} 对于直角坐标系{A}，空间任一点P的位置可用3×1的列矢量 A P 表示。
P B P APB0
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上式称为坐标平移方程。
例：坐标系｛A｝与｛B｝具有相同的方位，但两坐标系原 点不重合。其中 A PB0 为[1,1,1]T。假设点P在{B}中的描 述为 B P [3,7,0]T ，求该点在坐标系{A}中的描述。
3 1 4 1 8 A P B P APB 0 7 0 1 1
0T
A B
T [n o a ox oy oz 0 ax ay az 0
p] X0 Y0 Z0 1
o ox
oy
oz
0
T
a ax
ay
az
0T
T
o x0
y0
z0 1
ห้องสมุดไป่ตู้x n y nz 0
上海电机学院 机械学院
第二章 2.3工业机器人运动学(一)
第二章机器人基础知识2.3工业机器人运动学(一)【内容提要】本课主要学习工业机器人技术的运动学基础知识，涉及机器人正逆运动学的概念、平面二连杆机器人的运动学、以及机器人一般运动学的数学基础（位姿描述、齐次变换及运算）。
知识要点：✓机器人正逆运动学概念✓平面二连杆机器人的正逆运动学✓机器人的位姿描述✓齐次变换及运算重点：✓掌握机器人正逆运动学概念✓掌握平面二连杆机器人的正逆运动学✓理解机器人的位姿描述和齐次变换✓掌握齐次变换及运算难点：✓机器人的位姿描述、齐次变换及运算关键字：✓机器人正逆运动学、平面二连杆机器人、位姿描述、齐次变换及运算【本课内容相关资料】2.3机器人运动学从机构学的角度看，机器人可以看成开式运动链结构，由一系列连杆通转动或移动关节串联而成。
机器人运动学研究的是机器人各关节运动的几何关系，具体而言是各连杆之间的位移关系、速度关系和加速度关系。
本节仅研究位移关系，重点是研究手部相对于机座的位姿与各连杆之间的相互关系。
“位姿”是“位置和姿态”的简称。
工业机器人手部相对于机座的位姿与工业机器人各连杆之间的相互关系直接相关。
为了便于数学上的分析，一般将连杆和关节按空间顺序进行编号。
同时，选定一个与机座固联的坐标系，称为固定坐标系，并为每一个连杆（包括手部）选定一个与之固联的坐标系，称为连杆坐标系。
一般把机座也视为一个连杆，即零号连杆。
这样，连杆之间的相互关系可以用连杆坐标系之间的相互关系来描述。
工业机器人手部相对机座的位姿就是固联在手部的坐标系相对固定坐标系的位姿。
这样，就可以将“手部相对于机座的位姿”这样一个物理问题转化为一个数学问题，即，得到了工业机器人的运动学数学模型，便于用计算机进行分析计算。
工业机器人运动学主要包括正向运动学和反向运动学两类问题。
正向运动学是在已知各个关节变量的前提下，解决如何建立工业机器人运动学方程，以及如何求解手部相对固定坐标系位姿的问题。
反向运动学则是在已知手部要到达目标位姿的前提下，解决如何求出关节变量的问题。
第二章 位姿描述和齐次变换(2010-09)
三个基本旋转矩阵
R ( x, α )
µ 的旋转矩阵， 即动坐标系 ∑ O， vw绕OX轴转动α角， R ( x, α ) 的旋转矩阵，也就是 求
求出坐标系 ∑ O ' µvw 中各轴单位矢量 i µ , j v , k w 在固定坐标系 ∑ Oxyz 中各轴的投影分量，很容易得到在重合时， 中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：
T
合成旋转矩阵: 合成旋转矩阵:
例1：在动坐标中有一固定点 Po'uvw = [1 2 3]T ： ，相对固 ∑ Oxyz 做如下运动： 定参考坐标系 做如下运动：① R（x, 90°）；② （ °）；② ∑ Oxyz R(z, 90°)；③ R(y,90°)。求点 Po 'uvw 在固定参考坐标系 ° ； ° 。 下的位置。 下的位置。 解1：用画图的简单方法 ：
解2：用分步计算的方法 ： ① R（x, 90°） （ °
1 0 0 1 1 P ' = 0 0 - 1 2 = − 3 0 1 0 3 2
（2-14） ）
② R（z, 90°） （ °
0 - 1 0 1 3 P '' = 1 0 0 − 3 = 1 0 0 1 2 2
空间任意两直线的公法线长度公式
给定一直线过p点，具有方向矢量m，另一直线过点q，具有 方向矢量n，则：
r (m × n) ⋅ pq a= m×n
α = acr cos(
m⋅n m⋅n
)
位置描述(position)---点在坐标系的位置
一旦建立了一个坐标系，我们就能够用某个3×1位置矢量来确定该空 间内任一点的位置。对于直角坐标系{A}，空间任一点p的位置可用3×1的 列矢量AP表示。其中，px、py、pz入是点p在坐标系{A}中的三个坐标分量。 Ap的上标A代表参考坐标系{A}。我们称Ap为位置矢量，见图2．1。
工业机器人运动学
（2）圆柱坐标
由于这些变换都是相对于全局参考坐标系的坐标轴
的，因此由这三个变换所产生的总变换可以通过依
次左乘每一个矩阵而求得：
RTP Tcyl (r, ,l) Trans(0, 0,l)Rot(z, )Trans(r, 0, 0)
1 0 0 0 C S 0 0 1 0 0 r
动组成，运动顺序为：先沿z轴平移r ,再y轴旋转 β并 绕z轴旋转γ。这三个变换建立了手坐标系与参考坐标
系之间的联系。由于这些变换都是相对于全局参考坐
标系的坐标轴的，因此有这三个变换所产生的总变换
可以通过一次左乘每一个矩阵而求得：
RTP Tsph r, , Rotz, Roty, Trans0,0, r
解： 设定正运动学方程用式（3.31）中的RTP 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
1 0 0 Px 1 0 0 3
RTP
0 0
0
1 0 0
0 1 0
Py
0
Pz 1
0 0
1 0 0
0 1 0
4 7
或Px
3, Py
4, Pz
7
1
RTP
Tsph
C S S
C
0
S S
rS
S
C
rC
0
0
0
1
3.7 机器人的正逆运动学
例3-15假设要将球坐标机器人手坐标系原点放在3 4，7T 计算机器人的关节变量。
解： 设定正运动学方程用式（3.35）中的Txph 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
位姿描述和齐次变换
zA
过渡矩阵—公式3-13
C
p
C B
R
B
p
A B
R
B
p
A
oA
再由3-11得到复合变换 xA
A p C p A pC0 BAR B p A pB0
zBp A Bo o
yA xB
3.1 一般变换实例
｛A，B｝初始位姿重合， ｛B｝相对于｛A｝的zA轴 转 30度，再沿xA轴移动10个单位、沿yA轴移动5个单 位，求位置矢量和旋转矩阵
这种方法用强氧化剂将L-山梨糖在4位的仲醇基氧化生成维C的重要前 体——2-酮基-L古龙酸（2-Keto-L-gulonic acid，简称2-KGA）。为了保护 山梨糖C6位伯醇基不被氧化，就须在酸性条件下先用丙酮处理L-山梨糖， 形成双丙酮衍生物后再进行氧化；氧化后还必须水解生成2-酮基-L-古龙酸 （不稳定，难分离出），再经转化而得维C。
莱氏法维生素C生产工艺过程
1．D-山梨醇的制备 山梨醇是葡萄糖在氢作还原剂，镍作催化剂的条件
下，将葡萄糖醛基还原成醇羟基而制得的。
工艺过程 将水加热至70~75℃，在不断搅拌下逐渐加 入葡萄糖至全溶，制成50%葡萄糖水溶液，再加入活性炭 于75℃，搅拌10min，滤去炭渣，然后用石灰乳液调节滤 液pH8.4，备用。当氢化釜内氢气纯度≥99.3%，压强 >0.04Mpa时可加入葡萄糖滤液，同时在触媒槽中添加活性 镍，利用糖液冲入釜内，以碱液调节pH为8.2~8.4，然后 通蒸汽并搅拌。当温度达到120~135℃时关蒸汽，并控制 釜温在150~155℃，压强在3.8~4.0MPa。取样化验合格后， 在0.2~0.3MPa压强下压料至沉淀缸静置沉淀，过滤除去催 化剂，滤液经离子交换树脂交换，活性炭处理，即得D-山 梨醇。
过渡矩阵—公式3-13
C
p
C B
R
B
p
A B
R
B
p
A
oA
再由3-11得到复合变换 xA
A p C p A pC0 BAR B p A pB0
zBp A Bo o
yA xB
3.1 一般变换实例
｛A，B｝初始位姿重合， ｛B｝相对于｛A｝的zA轴 转 30度，再沿xA轴移动10个单位、沿yA轴移动5个单 位，求位置矢量和旋转矩阵
这种方法用强氧化剂将L-山梨糖在4位的仲醇基氧化生成维C的重要前 体——2-酮基-L古龙酸（2-Keto-L-gulonic acid，简称2-KGA）。为了保护 山梨糖C6位伯醇基不被氧化，就须在酸性条件下先用丙酮处理L-山梨糖， 形成双丙酮衍生物后再进行氧化；氧化后还必须水解生成2-酮基-L-古龙酸 （不稳定，难分离出），再经转化而得维C。
莱氏法维生素C生产工艺过程
1．D-山梨醇的制备 山梨醇是葡萄糖在氢作还原剂，镍作催化剂的条件
下，将葡萄糖醛基还原成醇羟基而制得的。
工艺过程 将水加热至70~75℃，在不断搅拌下逐渐加 入葡萄糖至全溶，制成50%葡萄糖水溶液，再加入活性炭 于75℃，搅拌10min，滤去炭渣，然后用石灰乳液调节滤 液pH8.4，备用。当氢化釜内氢气纯度≥99.3%，压强 >0.04Mpa时可加入葡萄糖滤液，同时在触媒槽中添加活性 镍，利用糖液冲入釜内，以碱液调节pH为8.2~8.4，然后 通蒸汽并搅拌。当温度达到120~135℃时关蒸汽，并控制 釜温在150~155℃，压强在3.8~4.0MPa。取样化验合格后， 在0.2~0.3MPa压强下压料至沉淀缸静置沉淀，过滤除去催 化剂，滤液经离子交换树脂交换，活性炭处理，即得D-山 梨醇。
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2. 含义：
（1）相对于 A 描述的B 的位姿（从数学角度）； （2）把 A 变换到 B 的结果（从运动角度）。
位姿描述的关键是求得其齐次变换矩阵！
八、基本变换矩阵（应牢记！！！）
1. 平移矩阵：
1
a
Trans(a,b,c)
1
b
1 c
0
1
参考坐标系未 标出，原因？
2. 绕X轴旋转 角（学生课堂推导！）
§2.2 位姿描述与变换
一、位姿表达
1、表达方式： 位置＋姿态
空间方位（线、
坐标原点 空间点 面、体）
三个坐标轴
位姿可以用一个直角坐标系 OAXAYAZA 表达，简记为：A
2、特点： 位姿描述是相对的！
二、位置描述
坐标系 B 在坐标系 A 中的位置：O B 点在 A 中的坐标 值。
数学表达式：
YA
坐标轴的姿态值可用其单
位矢量在参考坐标系中的
投影值表示！
b
AXB1 1csionscsions c s
OA
A YB 11 cso in s cso in s cs
Y A YB
OB
XB
X A
a
XA
注意！
由于笛卡儿坐标系各个坐标轴之间存在内部约束， 因此坐标系的姿态描述一般是冗余的。例如在平面坐标系
第二章 位姿描述与齐次变换
§2.1 操作机器人工作过程分析
一、操作机器人：具有和人类上肢相似的动作功能，用于操 作作业的机器人，称为～。 二、人类操作过程分析(先看人！）：
板擦黑板→讲台：（眼）定位（手）到位(手）抓 取（手臂）运动（手臂）停止 （手）松开…
工作方法？手眼协调！（盲动呢？） ：位置（＋姿态），动作顺序，动作要求 三、机器人的典型工作分析（如何让机器人完成？）： 1、轴孔类装配
情况下，只有一个独立量
四、绝对描述 已知某点在 B 中的位置，试求其在 A 中的位置值。
由几何学可知，要求出 一点在绝对坐标系中的
YA
位置，关键是求出其在
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
a ac bs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
（1）必须正确确定变换顺序！
（2）必须正确确定每次变换所相对的坐标系的 性质！
• 若每次变换都是相对于前一个坐标系进行的，则变换结 果等于各个基本变换矩阵顺序相乘；
•若每次变换都是相对于参考坐标系进行的，则变换结果 等于各个基本变换矩阵逆序相乘；
问题：上述结论只是根据2次变换得到的，适应于多次吗？
十、相对变换、绝对变换
相对变换：若变换是相对于上一次变换得到的坐标系进 行的，则称为～。 相对变换结果：
顺序相乘！
绝对变换：若变换是相对于参考坐标系进行的，则称 为～。 绝对变换结果：
1 0 0
Rot(x,) 0 c s 0
0 s c
0
1
3. 绕Y轴旋转 角（课堂推导！）
C 0 S
Rot(Y,)
0
1 0 0
S 0 c
0
1
4. 绕Z轴旋转 角（课堂推导！）
C S 0
Rot(Z,)S C 0 0
0 0 1
0
1
四 个 基 本 变 换， 要 牢 记！ （ 如 何 记 ？）
参考坐标系
a A poB OAOB b
Байду номын сангаасc
坐标值形式
描述对象
矢量表达形式
三、姿态描述
为了方便起见，先以平面坐标系为例进行讲解，然后推广
到三维情况！
YA
Y A
YB
XB
如右图所示，先将 A 平移
到 A，然后绕 Z A 旋转 得 到 B
b
OB
X A
OA
a
XA
现在求 B 的两个坐标轴在 坐标系 A 中的姿态。
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
5. 验证计算（绘图即可）
(1) Tra(nAas,Ab,A0)Ro(tzA,): (2) Ro(tzA,)Tra(nAsa,Ab,A0):
结论：
(3) Ro(tzA,)Tra(nAas,Ab,A0):
• 多次变换结果不仅与变换顺序有关，而且与相对的坐标 系有关！
从A 运动到B ，可以分解成如下几个基本变换： AA: 平移变换： Tra(nAas,Ab,0)
AB: 绕 Z A 旋转： Ro(Z tA,)
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(A na,sAb,A0)Ro(ztA,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A1ps0 0
c
0 0
0 1 0
b 1 0b1 0B A 0R
Ap 1OB B1pA BTB1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
六、齐次表达
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s
sa c b
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B 在
A
中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs c b
坐 标 值
？
分析： • 该矩阵的出现是由于 B 相对于 A 旋转造成的，即是由 姿态引起的； 比较此矩阵与B 在 A中的姿态表达式，可知：
（1）矩阵第一列：X B 在 A中的姿态； （2）矩阵第二列：Y B 在 A中的姿态。
五、姿态矩阵 由坐标系三个坐标轴的姿态构成的矩阵，称为～。
两个基本问题： （1）动作顺序及要求； （2）位置及姿态要求。
2、弧焊作业： 也需要解决上述两个基本问题！
3、搬运作业（例如码垛） （结论同上）
4、其它操作作业（喷漆、上下料、点焊、…） 操作机器人工作任务描述两个基本问题！ 关键：位姿描述！
四、位姿定义：
位置和姿态合称～。
（Position) (orientation) (pose)
九、多次变换
机器人一般由多个杆件构成，为了到达某一位姿往往需要 各个杆件都做出运动，因此存在多次变换问题；
第四节中的绝对变换结果是通过几何法求得的，不能总用 此法计算机器人位姿（？）。
如何计算多次变换结果？
分析：
1. 几何法计算结果：
c s 0 a
ABT
s 0
c 0
0 b 1 0
0
0 0 1
2. 运动过程分析
（1）相对于 A 描述的B 的位姿（从数学角度）； （2）把 A 变换到 B 的结果（从运动角度）。
位姿描述的关键是求得其齐次变换矩阵！
八、基本变换矩阵（应牢记！！！）
1. 平移矩阵：
1
a
Trans(a,b,c)
1
b
1 c
0
1
参考坐标系未 标出，原因？
2. 绕X轴旋转 角（学生课堂推导！）
§2.2 位姿描述与变换
一、位姿表达
1、表达方式： 位置＋姿态
空间方位（线、
坐标原点 空间点 面、体）
三个坐标轴
位姿可以用一个直角坐标系 OAXAYAZA 表达，简记为：A
2、特点： 位姿描述是相对的！
二、位置描述
坐标系 B 在坐标系 A 中的位置：O B 点在 A 中的坐标 值。
数学表达式：
YA
坐标轴的姿态值可用其单
位矢量在参考坐标系中的
投影值表示！
b
AXB1 1csionscsions c s
OA
A YB 11 cso in s cso in s cs
Y A YB
OB
XB
X A
a
XA
注意！
由于笛卡儿坐标系各个坐标轴之间存在内部约束， 因此坐标系的姿态描述一般是冗余的。例如在平面坐标系
第二章 位姿描述与齐次变换
§2.1 操作机器人工作过程分析
一、操作机器人：具有和人类上肢相似的动作功能，用于操 作作业的机器人，称为～。 二、人类操作过程分析(先看人！）：
板擦黑板→讲台：（眼）定位（手）到位(手）抓 取（手臂）运动（手臂）停止 （手）松开…
工作方法？手眼协调！（盲动呢？） ：位置（＋姿态），动作顺序，动作要求 三、机器人的典型工作分析（如何让机器人完成？）： 1、轴孔类装配
情况下，只有一个独立量
四、绝对描述 已知某点在 B 中的位置，试求其在 A 中的位置值。
由几何学可知，要求出 一点在绝对坐标系中的
YA
位置，关键是求出其在
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
a ac bs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
（1）必须正确确定变换顺序！
（2）必须正确确定每次变换所相对的坐标系的 性质！
• 若每次变换都是相对于前一个坐标系进行的，则变换结 果等于各个基本变换矩阵顺序相乘；
•若每次变换都是相对于参考坐标系进行的，则变换结果 等于各个基本变换矩阵逆序相乘；
问题：上述结论只是根据2次变换得到的，适应于多次吗？
十、相对变换、绝对变换
相对变换：若变换是相对于上一次变换得到的坐标系进 行的，则称为～。 相对变换结果：
顺序相乘！
绝对变换：若变换是相对于参考坐标系进行的，则称 为～。 绝对变换结果：
1 0 0
Rot(x,) 0 c s 0
0 s c
0
1
3. 绕Y轴旋转 角（课堂推导！）
C 0 S
Rot(Y,)
0
1 0 0
S 0 c
0
1
4. 绕Z轴旋转 角（课堂推导！）
C S 0
Rot(Z,)S C 0 0
0 0 1
0
1
四 个 基 本 变 换， 要 牢 记！ （ 如 何 记 ？）
参考坐标系
a A poB OAOB b
Байду номын сангаасc
坐标值形式
描述对象
矢量表达形式
三、姿态描述
为了方便起见，先以平面坐标系为例进行讲解，然后推广
到三维情况！
YA
Y A
YB
XB
如右图所示，先将 A 平移
到 A，然后绕 Z A 旋转 得 到 B
b
OB
X A
OA
a
XA
现在求 B 的两个坐标轴在 坐标系 A 中的姿态。
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
5. 验证计算（绘图即可）
(1) Tra(nAas,Ab,A0)Ro(tzA,): (2) Ro(tzA,)Tra(nAsa,Ab,A0):
结论：
(3) Ro(tzA,)Tra(nAas,Ab,A0):
• 多次变换结果不仅与变换顺序有关，而且与相对的坐标 系有关！
从A 运动到B ，可以分解成如下几个基本变换： AA: 平移变换： Tra(nAas,Ab,0)
AB: 绕 Z A 旋转： Ro(Z tA,)
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(A na,sAb,A0)Ro(ztA,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A1ps0 0
c
0 0
0 1 0
b 1 0b1 0B A 0R
Ap 1OB B1pA BTB1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
六、齐次表达
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s
sa c b
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B 在
A
中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs c b
坐 标 值
？
分析： • 该矩阵的出现是由于 B 相对于 A 旋转造成的，即是由 姿态引起的； 比较此矩阵与B 在 A中的姿态表达式，可知：
（1）矩阵第一列：X B 在 A中的姿态； （2）矩阵第二列：Y B 在 A中的姿态。
五、姿态矩阵 由坐标系三个坐标轴的姿态构成的矩阵，称为～。
两个基本问题： （1）动作顺序及要求； （2）位置及姿态要求。
2、弧焊作业： 也需要解决上述两个基本问题！
3、搬运作业（例如码垛） （结论同上）
4、其它操作作业（喷漆、上下料、点焊、…） 操作机器人工作任务描述两个基本问题！ 关键：位姿描述！
四、位姿定义：
位置和姿态合称～。
（Position) (orientation) (pose)
九、多次变换
机器人一般由多个杆件构成，为了到达某一位姿往往需要 各个杆件都做出运动，因此存在多次变换问题；
第四节中的绝对变换结果是通过几何法求得的，不能总用 此法计算机器人位姿（？）。
如何计算多次变换结果？
分析：
1. 几何法计算结果：
c s 0 a
ABT
s 0
c 0
0 b 1 0
0
0 0 1
2. 运动过程分析