等差数列的判定与证明-中项公式法
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1 1 －1＝2a －1， n
1 1 ∵a1＝2，∴ －1＝－ . a1 2 ∴数列{ 1 1 1 －1Байду номын сангаас是首项为－ ，公比为 的等比数列． an 2 2
∴
1 1 11 － －1＝－ 2n 1＝－2n. an 2
2n ∴an＝ n . 2 －1
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列， 那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得
G b 即 a G G 2 ab G ab
变式训练
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝
1 3
(an－1)(n∈N*)． (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列．
2an 1 在数列{an}中，已知 a1＝2，an＋1＝ ，证明数列{a － an＋1 n 1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式． 2an [解析] 由 a1＝2，an＋1＝ 可知，对 n∈N*，an≠0. an＋1
2an 1 1 1 由 an＋1＝ 两边取倒数得， ＝2＋2a . an＋1 an＋1 n 即 1 an＋1
等差数列的判定与证明-中项公式法
• 1．等比数列的有关概念 • (1)等比数列的定义 • 一般地，如果一个数列从
起，每一项与它的 的比等 同一个 于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 q 列 数公比 的 ，公比通常用字母 (q≠0)表示． • (2)等比数列的通项公式 a1qn－1 • 设 等 比 数 列 {an} 的 首 项 为 a1 ， 公 比 为 q ， 则 它 的 通 项 an ＝ . (3)等比中项
如果三个数 a、G、b 组成 G b 中项，那么 a ＝G，即 G2＝ ab
第2项
前一项
等比数列
.
，则 G 叫做 a 和 b 的等比
• 【思考探究】 b2 ＝ ac 是 a ， b ， c 成等比数列的什 么条件？ • 提示： b2 ＝ ac 是 a ， b ， c 成等比的必要不充分条 件， • ∵当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立， 但a，b，c不成等比数列；反之，若a，b，c成等比 数列，则必有b2＝ac.
1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . 3 4
(2)证明：当 n≥2 时， 1 1 由 an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)， 3 3 an 1 a2 1 得 ＝－ ，又 ＝－ ， 2 a1 2 an － 1 1 1 所以 {an} 是首项为－ ，公比为－ 的等 2 2 比数列．
1 1 ∵a1＝2，∴ －1＝－ . a1 2 ∴数列{ 1 1 1 －1Байду номын сангаас是首项为－ ，公比为 的等比数列． an 2 2
∴
1 1 11 － －1＝－ 2n 1＝－2n. an 2
2n ∴an＝ n . 2 －1
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列， 那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得
G b 即 a G G 2 ab G ab
变式训练
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝
1 3
(an－1)(n∈N*)． (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列．
2an 1 在数列{an}中，已知 a1＝2，an＋1＝ ，证明数列{a － an＋1 n 1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式． 2an [解析] 由 a1＝2，an＋1＝ 可知，对 n∈N*，an≠0. an＋1
2an 1 1 1 由 an＋1＝ 两边取倒数得， ＝2＋2a . an＋1 an＋1 n 即 1 an＋1
等差数列的判定与证明-中项公式法
• 1．等比数列的有关概念 • (1)等比数列的定义 • 一般地，如果一个数列从
起，每一项与它的 的比等 同一个 于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 q 列 数公比 的 ，公比通常用字母 (q≠0)表示． • (2)等比数列的通项公式 a1qn－1 • 设 等 比 数 列 {an} 的 首 项 为 a1 ， 公 比 为 q ， 则 它 的 通 项 an ＝ . (3)等比中项
如果三个数 a、G、b 组成 G b 中项，那么 a ＝G，即 G2＝ ab
第2项
前一项
等比数列
.
，则 G 叫做 a 和 b 的等比
• 【思考探究】 b2 ＝ ac 是 a ， b ， c 成等比数列的什 么条件？ • 提示： b2 ＝ ac 是 a ， b ， c 成等比的必要不充分条 件， • ∵当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立， 但a，b，c不成等比数列；反之，若a，b，c成等比 数列，则必有b2＝ac.
1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . 3 4
(2)证明：当 n≥2 时， 1 1 由 an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)， 3 3 an 1 a2 1 得 ＝－ ，又 ＝－ ， 2 a1 2 an － 1 1 1 所以 {an} 是首项为－ ，公比为－ 的等 2 2 比数列．